中考数学专题训练二作三角形 浙教版

中考数学专题训练二作三角形 浙教版

作三角形 一、选择题（共4小题）‎ ‎1．（衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）‎ A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角 C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径 ‎2．（河北）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．‎ 以下是甲、乙两同学的作业：‎ 甲：‎ ‎1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；‎ ‎3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．‎ 乙：‎ ‎1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；‎ ‎2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．‎ 对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）‎ A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 ‎3．（河北）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（台湾）如图，矩形ABCD中，AD=3AB，O为AD中点，是半圆．甲、乙两人想在上取一点P，使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下：‎ ‎（甲） 延长BO交于P点，则P即为所求；‎ ‎（乙） 以A为圆心，AB长为半径画弧，交于P点，则P即为所求．‎ 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）‎ A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 ‎　‎ 二、填空题（共1小题）‎ ‎5．（绍兴）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共25小题）‎ ‎6．（杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．‎ ‎7．（青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：线段c，直线l及l外一点A．‎ 求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．‎ ‎8．（丽水）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．‎ ‎（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．‎ ‎9．（山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．‎ ‎（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．‎ ‎（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．‎ ‎10．（六盘水）如图，已知Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=45°．‎ ‎（1）用尺规作图：在CA的延长线上截取AD=AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）求∠BDC的度数．‎ ‎（3）定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．‎ ‎11．（东莞）如图，已知锐角△ABC．‎ ‎（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．‎ ‎12．（孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）若的中点C到弦AB的距离为‎20m，AB=‎80m，求所在圆的半径．‎ ‎13．（兰州）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）‎ ‎14．（广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°‎ ‎（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．‎ ‎15．（珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．‎ ‎（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若BC=8，CD=5，则CE=　　　　　　．‎ ‎16．（黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．‎ ‎（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）证明：AC是所作⊙O的切线；‎ ‎（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．‎ ‎17．（盐城）实践操作 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；‎ ‎（2）以O为圆心，OC为半径作圆．‎ 综合运用 在你所作的图中，‎ ‎（1）AB与⊙O的位置关系是　　　　　　；（直接写出答案）‎ ‎（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．‎ ‎18．（锦州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．‎ ‎（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）在网格中，△ABC的下方，直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等．‎ ‎19．（北海） 已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．‎ ‎（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）‎ ‎（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．‎ ‎20．（六盘水）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）‎ ‎21．（白银）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．‎ ‎（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；‎ ‎（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．‎ ‎22．（太原）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．‎ ‎（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎①作∠DAC的平分线AM；‎ ‎②连接BE并延长交AM于点F；‎ ‎（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．‎ ‎23．（酒泉）如图，已知在△ABC中，∠A=90°‎ ‎（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．‎ ‎24．（兰州）如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）‎ ‎25．（孝感）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．‎ ‎（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎26．（广州）如图，△ABC中，AB=AC=4，cosC=．‎ ‎（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）综合应用：在你所作的图中，‎ ‎①求证： =；‎ ‎②求点D到BC的距离．‎ ‎27．（贵港）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．‎ ‎（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎①作∠CBD的平分线BM；‎ ‎②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．‎ ‎（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是　　　　　　．‎ ‎28．（青岛）已知：线段a，∠α．‎ 求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．‎ ‎29．（南昌）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；‎ ‎（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．‎ ‎30．（济宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．‎ 实验与操作：‎ 根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（1）作∠DAC的平分线AM；‎ ‎（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．‎ 猜想并证明：‎ 判断四边形AECF的形状并加以证明．‎ ‎　‎ 浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：作三角形 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共4小题）‎ ‎1．（衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）‎ A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角 C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径 ‎【解答】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（河北）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．‎ 以下是甲、乙两同学的作业：‎ 甲：‎ ‎1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；‎ ‎3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．‎ 乙：‎ ‎1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；‎ ‎2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．‎ 对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）‎ A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 ‎【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴▱ABCD是矩形．‎ 所以甲的作业正确；‎ 由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴▱ABCD是矩形．‎ 所以乙的作业正确；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（河北）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∵PB+PC=BC，‎ ‎∴PA+PC=BC 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（台湾）如图，矩形ABCD中，AD=3AB，O为AD中点，是半圆．甲、乙两人想在上取一点P，使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下：‎ ‎（甲） 延长BO交于P点，则P即为所求；‎ ‎（乙） 以A为圆心，AB长为半径画弧，交于P点，则P即为所求．‎ 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）‎ A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 ‎【解答】解：要使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积，‎ 需P甲H=P乙K=2AB．‎ 故两人皆错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共1小题）‎ ‎5．（绍兴）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是　sin35°=或b≥a　．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥AB时，即sin35°=；②当b≥a时．‎ 故答案为：sin35°=或b≥a．‎ ‎　‎ 三、解答题（共25小题）‎ ‎6．（杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．‎ ‎【解答】解：如图所示：发现：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．‎ ‎　‎ ‎7．（青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：线段c，直线l及l外一点A．‎ 求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．‎ ‎【解答】解：如图，△ABC为所求．‎ ‎　‎ ‎8．（丽水）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．‎ ‎（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：点D即为所求；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，‎ ‎∴∠CAB=53°，‎ 又∵AD=BD，‎ ‎∴∠BAD=∠B=37°，‎ ‎∴∠CAD=53°﹣37°=16°．‎ ‎　‎ ‎9．（山西）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．‎ ‎（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．‎ ‎（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎⊙C为所求；‎ ‎（2）∵⊙C切AB于D，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，‎ 在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，‎ ‎∴CD=3cos30°=，‎ ‎∴的长==π．‎ ‎　‎ ‎10．（六盘水）如图，已知Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=45°．‎ ‎（1）用尺规作图：在CA的延长线上截取AD=AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）求∠BDC的度数．‎ ‎（3）定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎（2）∵AD=AB，‎ ‎∴∠ADB=∠ABD，‎ 而∠BAC=∠ADB+∠ABD，‎ ‎∴∠ADB=∠BAC=×45°=22.5°，‎ 即∠BDC的度数为22.5°；‎ ‎（3）设AC=x，‎ ‎∵∠C=90°，∠BAC=45°，‎ ‎∴△ACB为等腰直角三角形，‎ ‎∴BC=AC=x，AB=AC=x，‎ ‎∴AD=AB=x，‎ ‎∴CD=x+x=（+1）x，‎ 在Rt△BCD中，cot∠BDC===+1，‎ 即cot22.5°=+1．‎ ‎　‎ ‎11．（东莞）如图，已知锐角△ABC．‎ ‎（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎（2）∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°，‎ 在Rt△ABD中，∵tan∠BAD==，‎ ‎∴BD=×4=3，‎ ‎∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．‎ ‎　‎ ‎12．（孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）若的中点C到弦AB的距离为‎20m，AB=‎80m，求所在圆的半径．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ 点O为所求；‎ ‎（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，‎ ‎∵C为的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴AD=BD=AB=40，‎ 设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，‎ 在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+BD2，‎ ‎∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，‎ 即所在圆的半径是‎50m．‎ ‎　‎ ‎13．（兰州）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）‎ ‎【解答】解：如图所示．‎ 圆P即为所作的圆．‎ ‎　‎ ‎14．（广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°‎ ‎（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．‎ ‎【解答】（1）如图所示；‎ ‎（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，‎ ‎∵∠BAE=∠CDE，‎ ‎∠AEB=∠DEC，‎ ‎∴△ABE∽△DCE，‎ 在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，‎ ‎∴AB=AC=r，‎ ‎∵∠ABD=∠ACD=45°，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴∠OCD=∠ODC=45°，‎ ‎∴∠DOC=90°，‎ 在Rt△ODC中，DC==r，‎ ‎∴===．‎ ‎　‎ ‎15．（珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．‎ ‎（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若BC=8，CD=5，则CE=　3　．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：E点即为所求．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD=5，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE=∠AEB，‎ ‎∵AE是∠A的平分线，‎ ‎∴∠DAE=∠BAE，‎ ‎∴∠BAE=∠BEA，‎ ‎∴BE=BA=5，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．（黔东南州）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．‎ ‎（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）证明：AC是所作⊙O的切线；‎ ‎（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．‎ ‎【解答】（1）解：如图所示：‎ ‎（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，‎ ‎∵FC平分∠ACB，‎ ‎∴OB=OE，‎ ‎∴AC是所作⊙O的切线；‎ ‎（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠A=30°，‎ ‎∴∠ACO=∠OCB=∠ACB=30°，‎ ‎∵BC=，‎ ‎∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，‎ ‎∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2×1=．‎ ‎　‎ ‎17．（盐城）实践操作 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；‎ ‎（2）以O为圆心，OC为半径作圆．‎ 综合运用 在你所作的图中，‎ ‎（1）AB与⊙O的位置关系是　相切　；（直接写出答案）‎ ‎（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．‎ ‎【解答】解：实践操作，如图所示：‎ 综合运用：‎ ‎（1）AB与⊙O的位置关系是相切．‎ ‎∵AO是∠BAC的平分线，‎ ‎∴DO=CO，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ADO=90°，‎ ‎∴AB与⊙O的位置关系是相切；‎ ‎（2）∵AC=5，BC=12，‎ ‎∴AD=5，AB==13，‎ ‎∴DB=AB﹣AD=13﹣5=8，‎ 设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12﹣x）‎ x2+82=（12﹣x）2，‎ 解得：x=．‎ 答：⊙O的半径为．‎ ‎　‎ ‎18．（锦州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．‎ ‎（1）利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB、BC的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）在网格中，△ABC的下方，直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等．‎ ‎【解答】解：（1）如图，作∠ABC的平分线，‎ ‎（2）如图，‎ ‎　‎ ‎19．（北海） 已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．‎ ‎（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）‎ ‎（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．‎ ‎【解答】解：（1）作图如图1：‎ ‎（2）证明：如图2，‎ 连接OC，‎ ‎∵OA=OC，∠A=25°‎ ‎∴∠BOC=50°，‎ 又∵∠B=40°，‎ ‎∴∠BOC+∠B=90°‎ ‎∴∠OCB=90°‎ ‎∴OC⊥BC ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎20．（六盘水）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎　‎ ‎21．（白银）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．‎ ‎（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；‎ ‎（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．‎ ‎【解答】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；‎ ‎（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠ABD=∠A=30°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴BD平分∠CBA．‎ ‎　‎ ‎22．（太原）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．‎ ‎（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎①作∠DAC的平分线AM；‎ ‎②连接BE并延长交AM于点F；‎ ‎（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示；‎ ‎（2）AF∥BC，且AF=BC，‎ 理由如下：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，‎ 由作图可得∠DAC=2∠FAC，‎ ‎∴∠C=∠FAC，‎ ‎∴AF∥BC，‎ ‎∵E为AC中点，‎ ‎∴AE=EC，‎ 在△AEF和△CEB中，‎ ‎∴△AEF≌△CEB（ASA）．‎ ‎∴AF=BC．‎ ‎　‎ ‎23．（酒泉）如图，已知在△ABC中，∠A=90°‎ ‎（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．‎ ‎（2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABP=30°，‎ ‎∵tan∠ABP=，‎ ‎∴AP=，‎ ‎∴S⊙P=3π．‎ ‎　‎ ‎24．（兰州）如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）‎ ‎【解答】解：作出角平分线AD，‎ 作AD的中垂线交AC于点O，‎ 作出⊙O，‎ ‎∴⊙O为所求作的圆．‎ ‎　‎ ‎25．（孝感）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．‎ ‎（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图：‎ ‎（2）AB与⊙O相切．‎ 证明：作OD⊥AB于D，如图．‎ ‎∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，‎ ‎∴OD=OC，‎ ‎∴AB与⊙O相切．‎ ‎　‎ ‎26．（广州）如图，△ABC中，AB=AC=4，cosC=．‎ ‎（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）综合应用：在你所作的图中，‎ ‎①求证： =；‎ ‎②求点D到BC的距离．‎ ‎【解答】解：（1）如图 ‎（2）如图，连接AE，‎ ‎∵AC为直径，‎ ‎∴∠AEC=90°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠DAE=∠CAE，‎ ‎∴=；‎ ‎（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，‎ ‎∵AC为直径，‎ ‎∴∠AEC=90°，‎ ‎∵AB=AC=4，cosC=．‎ ‎∴EC=BE=4，‎ ‎∴BC=8，‎ ‎∵点A、D、E、C共圆 ‎∴∠ADE+∠C=180°，‎ 又∵∠ADE+∠BDE=180°，‎ ‎∴∠BDE=∠C，‎ ‎∴△BDE∽△BCA，‎ ‎∴=，即BD•BA=BE•BC ‎∴BD×4=4×8‎ ‎∴BD=，‎ ‎∵∠B=∠C ‎∴cos∠C=cos∠B=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BM=，‎ ‎∴DM===．‎ ‎　‎ ‎27．（贵港）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．‎ ‎（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎①作∠CBD的平分线BM；‎ ‎②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．‎ ‎（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是　BF∥AC　．‎ ‎【解答】解：（1）①如图所示：BM即为所求；‎ ‎②如图所示：AF即为所求；‎ ‎（2）∵AB=BC，‎ ‎∴∠CAB=∠C，‎ ‎∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，‎ ‎∴∠C=∠CBM，‎ ‎∴BF∥AC．‎ ‎　‎ ‎28．（青岛）已知：线段a，∠α．‎ 求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．‎ ‎【解答】解：如图所示：△ABC即为所求．‎ ‎　‎ ‎29．（南昌）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；‎ ‎（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；‎ ‎（2）如图所示：CT就是AB上的高．‎ ‎　‎ ‎30．（济宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．‎ 实验与操作：‎ 根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（1）作∠DAC的平分线AM；‎ ‎（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．‎ 猜想并证明：‎ 判断四边形AECF的形状并加以证明．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 四边形AECF的形状为菱形．理由如下：‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∵AM平分∠DAC，‎ ‎∴∠DAM=∠CAM，‎ 而∠DAC=∠ABC+∠ACB，‎ ‎∴∠CAM=∠ACB，‎ ‎∴EF垂直平分AC，‎ ‎∴OA=OC，∠AOF=∠COE，‎ 在△AOF和△COE中 ‎，‎ ‎∴△AOF≌△COE，‎ ‎∴OF=OE，‎ 即AC和EF互相垂直平分，‎ ‎∴四边形AECF的形状为菱形．‎ ‎　‎