上海市各区中考二模数学分类汇编压轴题专题含答案

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上海市各区中考二模数学分类汇编压轴题专题含答案

上海市各区 2018 届九年级中考二模数学试卷精选汇编:压轴题专题 宝山区、嘉定区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 在圆 中, 、 是圆 的半径,点 在劣弧 上, , , ∥ ,联结 . (1)如图 8,求证: 平分 ; (2)点 在弦 的延长线上,联结 ,如果△ 是直角三角形,请你在如图 9 中画出 点 的位置并求 的长; (3)如图 10,点 在弦 上,与点 不重合,联结 与弦 交于点 ,设点 与 点 的 距离为 ,△ 的面积为 ,求 与 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围. 25.(1)证明:∵ 、 是圆 的半径 ∴ …………1 分 ∴ …………1 分 ∵ ∥ O AO BO O C AB 10=OA 12=AC AC OB AB AB OAC∠ M AC BM AMB M CM D AC A OD AB E D C x OEB y y x x AO BO O BOAO = BOAB ∠=∠ AC OB A C B 图 8 O A C B 图 9 O A C B 图 10 OD E A C B 图 8 O ∴ …………1 分 ∴ ∴ 平分 …………1 分 (2)解:由题意可知 不是直角, 所以△ 是直角三角形只有以下两种情况: 和 ① 当 ,点 的位置如图 9-1……………1 分 过点 作 ,垂足为点 ∵ 经过圆心 ∴ ∵ ∴ 在 Rt△ 中, ∵ ∴ ∵ ∥ ∴ ∵ ∴ ∴四边形 是矩形 ∴ ∴ ……………2 分 ②当 ,点 的位置如图 9-2 由①可知 , 在 Rt△ 中, ∴ ……………2 分 综上所述, 的长为 或 . 说明:只要画出一种情况点 的位置就给 1 分,两个点都画正确也给 1 分. (3)过点 作 ,垂足为点 由(1)、(2)可知, 由(2)可得: BBAC ∠=∠ BACOAB ∠=∠ AB OAC∠ BAM∠ AMB °=∠ 90AMB °=∠ 90ABM °=∠ 90AMB M O ACOH ⊥ H OH ACHCAH 2 1== 12=AC 6== HCAH AHO 222 OAHOAH =+ 10=OA 8=OH AC OB °=∠+∠ 180OBMAMB °=∠ 90AMB °=∠ 90OBM OBMH 10== HMOB 4=−= HCHMCM °=∠ 90ABM M 58=AB 55 2cos =∠CAB ABM 55 2cos ==∠ AM ABCAB 20=AM 8=−= ACAMCM CM 4 8 M O ABOG ⊥ G CABOAG ∠=∠ sinsin 5 5sin =∠CAB A C B 图 9-1 O M H A C B 图 9-2 O M A C B 图 10 OD E G ∵ ∴ ……………1 分 ∵ ∥ ∴ ……………1 分 又 , , ∴ ∴ ……………1 分 ∴ ∴ ……………1 分 自变量 的取值范围为 ……………1 分 长宁区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分) 在圆 O 中,C 是弦 AB 上的一点,联结 OC 并延长,交劣弧 AB 于点 D,联结 AO、BO、 AD、BD. 已知圆 O 的半径长为 5 ,弦 AB 的长为 8. (1)如图 1,当点 D 是弧 AB 的中点时,求 CD 的长; (2)如图 2,设 AC=x, ,求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域; (3)若四边形 AOBD 是梯形,求 AD 的长. 10=OA 52=OG AC OB AD OB AE BE = BEAE −= 58 xAD −= 12 10=OB xBE BE −= − 12 10 58 xBE −= 22 580 5222 580 2 1 2 1 ×−×=××= xOGBEy xy −= 22 400 x 120 <≤ x yS S OBD ACO = ∆ ∆ O A C D B 图 1 O BA C D 图 2 BA O 备用图 第 25 题图 tututu 图 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分) 解:(1)∵OD 过圆心,点 D 是弧 AB 的中点,AB=8, ∴OD⊥AB, (2 分) 在 Rt△AOC 中, ,AO=5, ∴ (1 分) , (1 分) (2)过点 O 作 OH⊥AB,垂足为点 H,则由(1)可得 AH=4,OH=3 ∵AC=x,∴ 在 Rt△HOC 中, ,AO=5, ∴ , (1 分) ∴ ( ) (3 分) (3)①当 OB//AD 时, 过点 A 作 AE⊥OB 交 BO 延长线于点 E,过点 O 作 OF⊥AD,垂足为 点 F, 则 OF=AE, ∴ 在 Rt△AOF 中, ,AO=5, ∴ ∵OF 过圆心,OF⊥AD,∴ . (3 分) ②当 OA//BD 时, 过点 B 作 BM⊥OA 交 AO 延长线于点 M,过点 D 作 DG⊥AO,垂足为点 G, 则由①的方法可得 , 在 Rt△GOD 中, ,DO=5, ∴ , , 42 1 == ABAC °=∠ 90ACO 322 =−= ACAOCO 5=OD 2=−=∴ OCODCD |4| −= xCH °=∠ 90CHO 258|4|3 22222 +−=−+=+= xxxHCHOCO 5 258 8 2 +−⋅−=⋅=⋅== ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ xx x x OD OC BC AC S S S S S Sy OBD OBC OBC ACO OBD ACO x xxx 540 2582 − +−= 80 << x AEOBOHABS ABO ⋅=⋅=∆ 2 1 2 1  OFOB OHABAE ==⋅= 5 24 °=∠ 90AFO 5 722 =−= OFAOAF 5 142 == AFAD 5 24== BMDG °=∠ 90DGO 5 722 =−= DGDOGO 5 18 5 75 =−=−= GOAOAG 在 Rt△GAD 中, ,∴ ( 3 分) 综上得 崇明区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分) 如 图 , 已 知 中 , , , , D 是 AC 边 上 一 点 , 且 ,联结 BD,点 E、F 分别是 BC、AC 上两点(点 E 不与 B、C 重合), ,AE 与 BD 相交于点 G. (1)求证:BD 平分 ; (2)设 , ,求 与 之间的函数关系式; (3)联结 FG,当 是等腰三角形时,求 BE 的长度. 25.(满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分) (1)∵ , 又∵ ∴ ∴ ……………………………1 分 ∵ ∴ °=∠ 90DGA 622 =+= DGAGAD 65 14 或=AD ABC△ 8AB = 10BC = 12AC = 2AB AD AC= ⋅ AEF C∠ = ∠ ABC∠ BE x= CF y= y x GEF△ 8AB = 12AC = 2AB AD AC=  16 3AD = 16 2012 3 3CD = − = 2AB AD AC=  AD AB AB AC = (第 25 题图) A B C D G E F (备用图) A B C D 又∵ 是公共角 ∴ …………………………1 分 ∴ , ∴ ∴ ∴ ………………………1 分 ∴ ∴ 平分 ………………………1 分 (2)过点 作 交 的延长线于点 ∵ ∴ ∵ , ∴ ∴ ……1 分 ∵ ∴ ∴ ∴ …1 分 ∵ 即 ∵ ∴ 又∵ ∴ ……………………………………………………………1 分 ∴ ∴ ∴ …………………………………………………………1 分 (3)当△ 是等腰三角形时,存在以下三种情况: 1° 易证 ,即 ,得到 ………2 分 2° 易证 ,即 , …………2 分 3° 易证 ,即 ………2 分 BAC∠ ADB ABC△ ∽△ ABD C=∠ ∠ BD AD BC AB = 20 3BD = BD CD= DBC C=∠ ∠ ABD DBC=∠ ∠ BD ABC∠ A AH BC∥ BD H AH BC∥ 16 43 20 5 3 AD DH AH DC BD BC = = = = 20 3BD CD= = 8AH = 16 3AD DH= = 12BH = AH BC∥ AH HG BE BG = 8 12 BG x BG −= 12 8 xBG x = + BEF C EFC= +∠ ∠ ∠ BEA AEF C EFC+ = +∠ ∠ ∠ ∠ AEF C=∠ ∠ BEA EFC=∠ ∠ DBC C=∠ ∠ BEG CFE△ ∽△ BE BG CF EC = 12 8 10 x x x y x += − 2 2 80 12 x xy − + += GEF GE GF= 2 3 GE BE EF CF = = 2 3 x y = 4BE = EG EF= BE CF= x y= 5 105BE = − + FG FE= 3 2 GE BE EF CF = = 3 2 x y = 3 89BE = − + 奉贤区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 4 分) 已知:如图 9,在半径为 2 的扇形 AOB 中,∠AOB=90°,点 C 在半径 OB 上,AC 的 垂直平分线交 OA 于点 D,交弧 AB 于点 E,联结 BE、CD. (1)若 C 是半径 OB 中点,求∠OCD 的正弦值; (2)若 E 是弧 AB 的中点,求证: ; (3)联结 CE,当△DCE 是以 CD 为腰的等腰三角形时,求 CD 的长. BCBOBE ⋅=2 图 9 A BC D O E 备用图 A BO 备用图 A BO 黄浦区 25.(本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 中,∠BCD=∠D=90°,E 是边 AB 的中点.已知 AD=1,AB=2. (1)设 BC=x,CD=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当∠B=70°时,求∠AEC 的度数; (3)当△ACE 为直角三角形时,求边 BC 的长. 25. 解:(1)过 A 作 AH⊥BC 于 H,————————————————————(1 分) 由∠D=∠BCD=90°,得四边形 ADCH 为矩形. 在△BAH 中,AB=2,∠BHA=90°,AH=y,HB= , 所以 ,——————————————————————(1 分) 则 .———————————————(2 分) (2)取 CD 中点 T,联结 TE,————————————————————(1 分) 则 TE 是梯形中位线,得 ET∥AD,ET⊥CD. ∴∠AET=∠B=70°. ———————————————————————(1 分) 又 AD=AE=1, ∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————(1 分) 由 ET 垂直平分 CD,得∠CET=∠DET=35°,————————————(1 分) 所以∠AEC=70°+35°=105°. ——————————————————(1 分) (3)当∠AEC=90°时, 易知△CBE≌△CAE≌△CAD,得∠BCE=30°, 则在△ABH 中,∠B=60°,∠AHB=90°,AB=2, 得 BH=1,于是 BC=2. ——————————————————————(2 分) 当∠CAE=90°时, 易知△CDA∽△BCA,又 , 1x − 22 22 1y x= + − ( )2 2 3 0 3y x x x= − + + < < 2 2 2 4AC BC AB x= − = − 则 ( 舍 负 ) —————( 2 分) 易知∠ACE<90°. 所以边 BC 的长为 2 或 .——————————————————(1 分) 金山区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 如图 9,已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=AD=5, ,P 是线段 BC 上 一点,以 P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与射线 AD 的另一个交点为 Q,射线 PQ 与射线 CD 相交于点 E,设 BP=x. (1)求证△ABP∽△ECP; (2)如果点 Q 在线段 AD 上(与点 A、D 不重合),设△APQ 的面积为 y, 求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (3)如果△QED 与△QAP 相似,求 BP 的长. 2 2 1 4 1 17 24 AD CA x xAC CB xx − ±= ⇒ = ⇒ = − 1 17 2 + 3sin 5B = A B P C DQ E A B C D 图 9 备用图 25.解:(1)在⊙P 中,PA=PQ,∴∠PAQ =∠PQA,……………………………(1 分) ∵AD∥BC,∴∠PAQ =∠APB,∠PQA =∠QPC,∴∠APB =∠EPC,……(1 分) ∵梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,∴∠B =∠C,…………………………(1 分) ∴△APB∽△ECP.…………………………………………………………(1 分) (2)作 AM⊥BC,PN⊥AD, ∵AD∥BC,∴AM∥PN,∴四边形 AMPN 是平行四边形, ∴AM=PN,AN=MP.………………………………………………………(1 分) 在 Rt△AMB 中,∠AMB=90°,AB=5,sinB= , ∴AM=3,BM=4,∴PN=3,PM=AN=x-4,……………………………………(1 分) ∵PN⊥AQ,∴AN=NQ,∴AQ= 2x-8,……………………………………(1 分) ∴ ,即 ,………………………(1 分) 定义域是 .………………………………………………………(1 分) (3)解法一:由△QED 与△QAP 相似,∠AQP=∠EQD, ①如果∠PAQ=∠DEQ,∵△APB∽△ECP,∴∠PAB=∠DEQ, 又∵∠PAQ=∠APB,∴∠PAB=∠APB,∴BP=BA=5.………………………(2 分) ②如果∠PAQ=∠EDQ,∵∠PAQ=∠APB,∠EDQ=∠C,∠B=∠C, ∴∠B=∠APB,∴ AB=AP,∵AM⊥BC,∴ BM=MP=4,∴ BP=8.………(2 分) 综上所述 BP 的长为 5 或者 8.………………………………………………(1 分) 解法二:由△QAP 与△QED 相似,∠AQP=∠EQD, 在 Rt△APN 中, , ∵QD∥PC,∴ , ∵△APB∽△ECP,∴ ,∴ , ①如果 ,∴ ,即 , 解得 ………………………………………………………………………(2 分) 3 5 ( )1 1 2 8 32 2y AQ PN x= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ 3 12y x= − 134 2x< < ( )22 23 4 8 25AP PQ x x x= = + − = − + EQ EP QD PC = AP EP PB PC = AP EQ PB QD = AQ EQ QP QD = AQ AP QP PB = 2 2 2 8 8 25 8 25 x x x xx x − − += − + 5x = ②如果 ,∴ ,即 , 解得 ………………………………………………………………………(2 分) 综上所述 BP 的长为 5 或者 8.…………………………………………………(1 分) 静安区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 4 分) 如图,平行四边形 ABCD 中,已知 AB=6,BC=9, .对角线 AC、BD 交于 点 O.动点 P 在边 AB 上,⊙P 经过点 B,交线段 PA 于点 E.设 BP= x. (1) 求 AC 的长; (2) 设⊙O 的半径为 y,当⊙P 与⊙O 外切时, 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; (3) 如果 AC 是⊙O 的直径,⊙O 经过点 E, 求⊙O 与⊙P 的圆心距 OP 的长. 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 解:(1)作 AH⊥BC 于 H,且 ,AB=6, 那么 …………(2 分) BC=9,HC=9-2=7, , ……………………(1 分) ﹒ ………(1 分) (2)作 OI⊥AB 于 I,联结 PO, AC=BC=9,AO=4.5 ∴∠OAB=∠ABC, 3 1cos =∠ABC 23 16cos =×=∠⋅= ABCABBH 2426 22 =−=AH 9493222 =+=+= HCAHAC AQ DQ QP QE = AQ PB QP AP = 2 2 2 8 8 25 8 25 x x x x x x − = − + − + 8x = 3 1cos =∠ABC A 第 25 题图B P O C D E · 第 25 题备用图 A B O C D DA · 第 25 题图(1) B P O CH E · A 第 25 题图(2) B P O C D H E I ∴Rt△AIO 中, ∴AI=1.5,IO= ……………………(1 分) ∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5= , ……………………(1 分) ∴Rt△PIO 中, ……(1 分) ∵⊙P 与⊙O 外切,∴ ……………………(1 分) ∴ = …………………………(1 分) ∵动点 P 在边 AB 上,⊙P 经过点 B,交线段 PA 于点 E.∴定义域:0 90o. 与∠ACD =∠CDB = 90o 矛盾. ∴四边形 ABDC 不可能为直角梯形.…………………………(2 分) 普陀区 25.(本题满分 14 分) 已知 是 的直径 延长线上的一个动点, 的另一边交 于点 C、D,两点 位于 AB 的上方, =6, , ,如图 11 所示.另一个半径为 6 的 经 过点 C、D,圆心距 . (1)当 时,求线段 的长; (2)设圆心 在直线 上方,试用 的代数式表示 ; (3)△ 在点 P 的运动过程中,是否能成为以 为腰的等腰三角形,如果能,试求 出此时 的值;如果不能,请说明理由. 8BC = 32cos 5CD BC BCD= ⋅ ∠ = 24sin 5BD BC BCD BE= ⋅ ∠ = = 32 165 10 25 CD AB = = 328 15 32 4 5 CE BE − = = CD CE AB BE ≠ AB CD AB P O⊙ BA P∠ O⊙ OP m= 1sin 3P= 1O⊙ 1OO n= 6m= 1O n m 1POO 1OO n D E BA C F OA B 备用图 P D OA B C 图 11 25.解: (1)过点 作 ⊥ ,垂足为点 ,联结 . 在 Rt△ 中,∵ , ,∴ .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵ =6,∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) 由勾股定理得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵ ⊥ ,∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) (2)在 Rt△ 中,∵ , ,∴ .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) 在 Rt△ 中, .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) 在 Rt△ 中, . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) 可得 ,解得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2 分) (3)△ 成为等腰三角形可分以下几种情况: ● 当圆心 、 在弦 异侧时 ① ,即 ,由 解得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) 即圆心距等于 、 的半径的和,就有 、 外切不合题意舍去.(1 分) ② ,由 , 解得 ,即 ,解得 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ● 当圆心 、 在弦 同侧时,同理可得 . ∵ 是钝角,∴只能是 ,即 ,解得 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2 分) O OH CD H OC POH 1sin 3P= 6PO = 2OH = AB 3OC= 5CH = OH DC 2 2 5CD CH= = POH 1sin 3P= PO m= 3 mOH= OCH 2 2 9 3 mCH  −   = 1O CH 2 2 36 3 mCH n − −  = 2 2 36 93 3 m mn   − − −      = 23 81 2 nm n −= 1POO 1O O CD 1OP OO= m n= 23 81 2 nn n −= 9n= O⊙ 1O⊙ O⊙ 1O⊙ 1 1O P OO= 2 22 3 3 m mn m− + −( ) ( ) n= 2 3m n= 2 3 n 23 81 2 n n −= 9 155n= 1O O CD 281 3 2 nm n −= 1POO∠ m n= 281 3 2 nn n −= 9 55n= 综上所述, 的值为 或 . 青浦区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 如图 9-1,已知扇形 MON 的半径为 ,∠MON= ,点 B 在弧 MN 上移动,联结 BM,作 OD BM,垂足为点 D,C 为线段 OD 上一点,且 OC=BM,联结 BC 并延长交半径 OM 于点 A,设 OA= x,∠COM 的正切值为 y. (1)如图 9-2,当 AB OM 时,求证:AM =AC; (2)求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (3)当△OAC 为等腰三角形时,求 x 的值. 25.解:(1)∵OD⊥BM,AB⊥OM,∴∠ODM =∠BAM =90°. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M,∴∠ABM =∠DOM.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵∠OAC=∠BAM,OC =BM, ∴△OAC≌△ABM,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∴AC =AM. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) (2)过点 D 作 DE//AB,交 OM 于点 E. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵OB=OM,OD⊥BM,∴BD=DM.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵DE//AB, ∴ ,∴AE=EM, ∵OM= ,∴AE= .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∵DE//AB, 2 90 ⊥ ⊥ n 9 55 9 155 =MD ME DM AE 2 ( )1 22 − x O M N DC B A 图 9-1 O M N DC B A 图 9-2 N MO 备用图 ∴ ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) ∴ , ∴ .( )∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2 分) (3)(i) 当 OA=OC 时, ∵ , 在 Rt△ODM 中, .∵ , ∴ .解得 ,或 (舍).(2 分) (ii)当 AO=AC 时,则∠AOC =∠ACO, ∵∠ACO >∠COB,∠COB =∠AOC,∴∠ACO >∠AOC, ∴此种情况不存在.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) (ⅲ)当 CO=CA 时, 则∠COA =∠CAO= , ∵∠CAO >∠M,∠M= ,∴ > ,∴ > , ∴ ,∵ ,∴此种情况不存在. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1 分) 松江区 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题每个小题各 5 分) 如图,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2,AC=3,以点 C 为圆心、CB 为半径的圆交 AB 于点 D,过点 A 作 AE∥CD,交 BC 延长线于点 E. (1)求 CE 的长; (2)P 是 CE 延长线上一点,直线 AP、CD 交于点 Q. ① 如果△ACQ ∽△CPQ,求 CP 的长; ② 如果以点 A 为圆心,AQ 为半径的圆与⊙C 相切,求 CP 的长. 2= =OA OC DM OE OD OD 2 =DM OA OD OE 2 = + xy x 0 2< ≤x 1 1 1 2 2 2 = = =DM BM OC x 2 2 212 4 = − = −OD OM DM x = DMy OD 2 1 2 1 22 4 = +− x x xx 14 2 2 −=x 14 2 2 − −=x α 90 α° − α 90 α° − α 45° 2 90α∠ = > °BOA 90∠ ≤ °BOA (第 25 题图) CB A D E (备用图) CB A D E 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题每个小题各 5 分) 解:(1)∵AE∥CD ∴ …………………………………1 分 ∵BC=DC ∴BE=AE …………………………………1 分 设 CE=x 则 AE=BE=x+2 ∵ ∠ACB=90°, ∴ 即 ………………………1 分 ∴ 即 …………………………………1 分 (2)① ∵△ACQ ∽△CPQ,∠QAC>∠P ∴∠ACQ=∠P…………………………………1 分 又∵AE∥CD ∴∠ACQ=∠CAE ∴∠CAE=∠P………………………………1 分 ∴△ACE ∽△PCA,…………………………1 分 ∴ …………………………1 分 即 ∴ ……………………………1 分 BC DC BE AE = 2 2 2AC CE AE+ = 2 29 ( 2)x x+ = + 5 4x = 5 4CE = 2AC CE CP= ⋅ 2 53 4 CP= ⋅ 36 5CP = CB A D E P Q (第 25 题图) CB A D E ②设 CP=t,则 ∵∠ACB=90°, ∴ ∵AE∥CD ∴ ……………………………1 分 即 ∴ ……………………………1 分 若两圆外切,那么 此时方程无实数解……………………………1 分 若两圆内切切,那么 ∴ 解之得 ………………………1 分 又∵ ∴ ………………………1 分 徐汇区 25. 已知四边形 是边长为 10 的菱形,对角线 、 相交于点 ,过点 作 ∥ 交 延长线于点 ,联结 交 于点 . (1)如图 1,当 时,求 的长; (2)如图 2,以 为直径作⊙ ,⊙ 经过点 交边 于点 (点 、 不重合), 设 的长为 , 的长为 ; ① 求 关于 的函数关系式,并写出定义域; 5 4PE t= − 29AP t= + AQ EC AP EP = 2 5 54 5 4 59 4 AQ tt t = = −+ − 25 9 4 5 tAQ t += − 25 9 14 5 tAQ t += =− 25 9 54 5 tAQ t += =− 5 4t > 215 40 16 0t t− + = 20 4 10 15t ±= 20 4 10 15t += ABCD AC BD E C CF DB AB F EF BC H EF BC⊥ AE EF O O C CD G C G AE x EH y y x ③ 联结 ,当 是以 为腰的等腰三角形时,求 的长.EG DEG∆ DG AE 杨浦区 25、(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 如图 9,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC=5,AD=1,BC=9,点 P 为边 BC 上一动点,作 PH⊥ DC,垂足 H 在边 DC 上,以点 P 为圆心 PH 为半径画圆,交射线 PB 于点 E. (1) 当圆 P 过点 A 时,求圆 P 的半径; (2) 分别联结 EH 和 EA,当△ABE △CEH 时,以点 B 为圆心,r 为半径的圆 B 与圆 P 相 交,试求圆 B 的半径 r 的取值范围; (3) 将劣弧 沿直线 EH 翻折交 BC 于点 F,试通过计算说明线段 EH 和 EF 的比值为定值, 并求出此定值。
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