阜新2015年中考数学卷

阜新2015年中考数学卷

‎2015年辽宁省阜新市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分）‎ ‎1．﹣3的绝对值是（　　）‎ ‎　 A． 3 B． ﹣ C． ﹣3 D． ‎ ‎　‎ ‎2．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎　‎ ‎3．某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示：‎ 年龄（岁） 15 16 17 18‎ 人数 4 5 2 1‎ 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（　　）‎ ‎　 A． 15，15 B． 15，16 C． 16，16 D． 16，16.5‎ ‎　‎ ‎4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎　‎ ‎5．反比例函数y=的图象位于平面直角坐标系的（　　）‎ ‎　 A． 第一、三象限 B． 第二、四象限 C． 第一、二象限 D． 第三、四象限 ‎　‎ ‎6．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（　　）‎ ‎　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎7．函数y=的自变量取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为　　　　　　个．‎ ‎　‎ ‎10．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S△DEF=a，那么S△BCF=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　　　　　　m（结果保留根号）．‎ ‎　‎ ‎12．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　　　　　　折．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（13、14、15、16题每题10分，17、18题每题12分，共64分）‎ ‎13．（1）计算：（）﹣2+﹣2cos60°；‎ ‎（2）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a=+1．‎ ‎　‎ ‎14．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，‎ ‎（1）画出△AB′C′；‎ ‎（2）写出点B′，C′的坐标；‎ ‎（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．‎ ‎　‎ ‎15．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共抽查了　　　　　　名学生，两幅统计图中的m=　　　　　　，n=　　　　　　．‎ ‎（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？‎ ‎（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？‎ ‎　‎ ‎16．为了丰富学生的体育生活，学校准备购进一些篮球和足球，已知用900元购买篮球的个数比购买足球的个数少1个，足球的单价为篮球单价的0.9倍．‎ ‎（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？‎ ‎（2）如果计划用5000元购买篮球、足球共52个，那么至少要购买多少个足球？‎ ‎17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．‎ ‎（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；‎ ‎（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．‎ ‎①如图b，求证：BE⊥DQ；‎ ‎②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎18．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年辽宁省阜新市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分）‎ ‎1．﹣3的绝对值是（　　）‎ ‎　 A． 3 B． ﹣ C． ﹣3 D． ‎ 考点： 绝对值．‎ 分析： 根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．‎ 解答： 解：|﹣3|=3，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 简单组合体的三视图．‎ 分析： 根据几何体的三视图可以得出几何体，然后判断即可．‎ 解答： 解：根据题意发现主视图和左视图为矩形，俯视图是一个圆，可以得出这个图形是圆柱．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力，较简单．‎ ‎　‎ ‎3．某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示：‎ 年龄（岁） 15 16 17 18‎ 人数 4 5 2 1‎ 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（　　）‎ ‎　 A． 15，15 B． 15，16 C． 16，16 D． 16，16.5‎ 考点： 众数；加权平均数．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据表格中的数据，求出众数与平均数即可．‎ 解答： 解：根据题意得：这12名队员年龄的众数为16；平均数为=16，‎ 故选C 点评： 此题考查了众数，以及加权平均数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．‎ 分析： 先解不等式，然后在数轴上表示出解集．‎ 解答： 解：解不等式1﹣x＜2得，x＞﹣1，‎ 解不等式3x≤6得：x≤2，‎ 则不等式的解集为：‎ ‎．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．‎ ‎　‎ ‎5．反比例函数y=的图象位于平面直角坐标系的（　　）‎ ‎　 A． 第一、三象限 B． 第二、四象限 C． 第一、二象限 D． 第三、四象限 考点： 反比例函数的性质．‎ 分析： 根据反比例函数的图象性质求解．‎ 解答： 解：∵k=2＞0，‎ ‎∴反比例函数y=的图象在第一，三象限内，‎ 故选A 点评： 此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．‎ ‎　‎ ‎6．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（　　）‎ ‎　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°‎ 考点： 圆周角定理．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．‎ 解答： 解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=50°，‎ 故选C 点评： 此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎7．函数y=的自变量取值范围是　x≠2　．‎ 考点： 函数自变量的取值范围．‎ 分析： 根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．‎ 解答： 解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．‎ 故答案是：x≠2．‎ 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．‎ ‎　‎ ‎8．如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为　110°　．‎ 考点： 平行线的性质．‎ 分析： 先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．‎ 解答： 解：∵直线a∥b，被直线c所截，∠1=70°，‎ ‎∴∠3=∠1=70°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°．‎ 故答案为：110°．‎ 点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ ‎9．为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为　20　个．‎ 考点： 利用频率估计概率．‎ 分析： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．‎ 解答： 解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，‎ 解得：n=20，‎ 故答案为：20．‎ 点评： 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．‎ ‎　‎ ‎10．如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S△DEF=a，那么S△BCF=　4a　．‎ 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ 分析： 根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△EFD∽△CFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．‎ 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴△EFD∽△CFB，‎ ‎∵E是边AD的中点，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∴S△DEF：S△BCF=1：4，‎ ‎∵S△DEF=a，∴S△BCF=4a，‎ 故答案为：4a．‎ 点评： 本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎11．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　10　m（结果保留根号）．‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析： 由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．‎ 解答： 解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ ‎∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．‎ ‎∴楼的高度AC为10米．‎ 故答案为：10．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎12．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　七　折．‎ 考点： 一次函数的应用．‎ 分析： 根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可．‎ 解答： 解：打折前，每本练习本价格：20÷10=2元，‎ 打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）=1.4元，‎ ‎=0.7，‎ 所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折．‎ 故答案为：七．‎ 点评： 本题考查了一次函数的应用，比较简单，准确识图并求出打折前后每本练习本的价格是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（13、14、15、16题每题10分，17、18题每题12分，共64分）‎ ‎13．（1）计算：（）﹣2+﹣2cos60°；‎ ‎（2）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a=+1．‎ 考点： 分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ 分析： （1）分别根据负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；‎ ‎（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．‎ 解答： 解：（1）原式=4+2﹣2×‎ ‎=6﹣1‎ ‎=5；‎ ‎（2）原式=•‎ ‎=a﹣1，‎ 当a=+1时，原式=+1﹣1=．‎ 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，‎ ‎（1）画出△AB′C′；‎ ‎（2）写出点B′，C′的坐标；‎ ‎（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．‎ 考点： 作图-旋转变换；弧长的计算．‎ 分析： （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；‎ ‎（2）根据图形即可得出点A的坐标；‎ ‎（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．‎ 解答： 解：（1）△AB′C′如图所示；‎ ‎（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；‎ ‎（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，‎ ‎∵AC=4，‎ ‎∴弧长为：==2π，‎ 即点C经过的路径长为2π．‎ 点评： 本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共抽查了　120　名学生，两幅统计图中的m=　48　，n=　15　．‎ ‎（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？‎ ‎（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？‎ 考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．‎ 分析： （1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A，C，D类的人数，即可求出m的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值；‎ ‎（2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数=学校总人数×A类的百分比求解即可；‎ ‎（3）列出图形，即可得出答案．‎ 解答： 解：（1）这次调查的学生人数为42÷35%=120（人），‎ m=120﹣42﹣18﹣12=48，‎ ‎18÷120=15%；所以n=15‎ 故答案为：120，48，15．‎ ‎（2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：960×35%=336（人），‎ ‎（3）抽出的所有情况如图：‎ 两名参赛同学为1男1女的概率为：．‎ 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎16．为了丰富学生的体育生活，学校准备购进一些篮球和足球，已知用900元购买篮球的个数比购买足球的个数少1个，足球的单价为篮球单价的0.9倍．‎ ‎（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？‎ ‎（2）如果计划用5000元购买篮球、足球共52个，那么至少要购买多少个足球？‎ 考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．‎ 分析： （1）设篮球、足球的单价分别为x，y元，列出二元一次方程组，即可求出x和y的值；‎ ‎（2）由（1）中的单价可列出一元一次不等式，解不等式即可得到至少要购买多少个足球．‎ 解答： 解：（1）设篮球、足球的单价分别为x，y元，由题意列方程组得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：求篮球、足球的单价分别为100，90元；‎ ‎（2）设至少要购买m个足球，由题意得：‎ ‎52×90+100m≤5000，‎ 解得：m≤3.2，‎ 所以至少要购买3个足球．‎ 点评： 此题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．‎ ‎（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；‎ ‎（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．‎ ‎①如图b，求证：BE⊥DQ；‎ ‎②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．‎ 考点： 四边形综合题．‎ 分析： （1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；‎ ‎（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；‎ ‎②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．‎ 解答： （1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，‎ ‎∴∠BCP=∠DCQ，‎ 在△BCP和△DCQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCP≌△DCQ；‎ ‎（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，‎ ‎∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，‎ ‎∴∠DEF=∠BCF=90°，‎ ‎∴BE⊥DQ；‎ ‎②∵△BCP为等边三角形，‎ ‎∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，‎ ‎∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，‎ ‎∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，‎ ‎∴△DEP为等腰直角三角形．‎ 点评： 本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．‎ ‎ ‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；‎ ‎（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；‎ ‎（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．‎ 解答： 解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得 ‎，‎ 解得．‎ 故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．‎ ‎（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．‎ ‎∵S△AOP=4S△BOC，‎ ‎∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．‎ 整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，‎ 解得x=﹣1或x=﹣1±．‎ 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；‎ ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，‎ 得，‎ 解得．‎ 即直线AC的解析式为y=x+3．‎ 设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），‎ QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，‎ ‎∴当x=﹣时，QD有最大值．‎ 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．‎ ‎　‎