2020年辽宁省营口市中考数学试卷(含解析）

2020年辽宁省营口市中考数学试卷(含解析）

‎2020年辽宁省营口市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2020•营口）﹣6的绝对值是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．‎1‎‎6‎ D．‎‎-‎‎1‎‎6‎ ‎2．（3分）（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•营口）下列计算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．xy2‎-‎‎1‎‎4‎xy2‎=‎‎3‎‎4‎xy2 ‎ C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4‎ ‎4．（3分）（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 ‎（　　）‎ A．66° B．56° C．68° D．58°‎ ‎5．（3分）（2020•营口）反比例函数y‎=‎‎1‎x（x＜0）的图象位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎6．（3分）（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD‎=‎‎3‎‎2‎，则CECA的值为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．‎3‎‎5‎ B．‎2‎‎3‎ C．‎4‎‎5‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎7．（3分）（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．110° B．130° C．140° D．160°‎ ‎8．（3分）（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）‎ A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 ‎ C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3‎ ‎9．（3分）（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：‎ 射击次数 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎1000‎ ‎“射中九环以上”的次数 ‎18‎ ‎68‎ ‎82‎ ‎168‎ ‎327‎ ‎823‎ ‎“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.82‎ ‎0.84‎ ‎0.82‎ ‎0.82‎ 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）‎ A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84‎ ‎10．（3分）（2020•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x 第25页（共25页）‎ 轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y‎=‎kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD‎=‎‎3‎‎2‎，则k的值为（　　）‎ A．3 B．‎5‎‎2‎ C．2 D．1‎ 二、填空題（每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2020•营口）ax2﹣2axy+ay2＝　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•营口）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•营口）（3‎2‎‎+‎‎6‎）（3‎2‎‎-‎‎6‎）＝　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．‎ ‎17．（3分）（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为　 　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎18．（3分）（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为　 　．‎ 三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）‎ ‎19．（10分）（2020•营口）先化简，再求值：（‎4-xx-1‎‎-‎x）‎÷‎x-2‎x-1‎，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．‎ ‎20．（10分）（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．‎ ‎（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　；‎ ‎（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．‎ 四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）（2020•营口）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择 第25页（共25页）‎ 一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　 　；‎ ‎（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．‎ ‎22．（12分）（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：‎3‎‎≈‎1.73）‎ 五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）‎ ‎23．（12分）（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若tanA‎=‎‎3‎‎4‎，AD＝2，求BO的长．‎ 第25页（共25页）‎ ‎24．（12分）（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．‎ ‎（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？‎ 六、解答题（本题满分14分）‎ ‎25．（14分）（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．‎ ‎（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　 　；‎ ‎（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）‎ ‎（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．‎ 七、解答题（本题满分14分）‎ ‎26．（14分）（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；‎ 第25页（共25页）‎ ‎①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年辽宁省营口市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2020•营口）﹣6的绝对值是（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．‎1‎‎6‎ D．‎‎-‎‎1‎‎6‎ ‎【解答】解：|﹣6|＝6，‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从上面看易得俯视图：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）（2020•营口）下列计算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．xy2‎-‎‎1‎‎4‎xy2‎=‎‎3‎‎4‎xy2 ‎ C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4‎ ‎【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ B、xy2‎-‎‎1‎‎4‎xy2‎=‎‎3‎‎4‎xy2，原计算正确，故此选项符合题意；‎ C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；‎ D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于 第25页（共25页）‎ 点G，则∠GEB的度数为 ‎（　　）‎ A．66° B．56° C．68° D．58°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF+∠EFD＝180°，‎ ‎∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；‎ ‎∵EG平分∠BEF，‎ ‎∴∠GEB＝58°．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•营口）反比例函数y‎=‎‎1‎x（x＜0）的图象位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵反比例函数y‎=‎‎1‎x（x＜0）中，k＝1＞0，‎ ‎∴该函数图象在第三象限，‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD‎=‎‎3‎‎2‎，则CECA的值为（　　）‎ A．‎3‎‎5‎ B．‎2‎‎3‎ C．‎4‎‎5‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解：∵DE∥AB，‎ ‎∴CEAE‎=CDBD=‎‎3‎‎2‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴CECA的值为‎3‎‎5‎，‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．110° B．130° C．140° D．160°‎ ‎【解答】解：如图，连接BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，‎ ‎∵∠B+∠ADC＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）‎ A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 ‎ C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3‎ ‎【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，‎ x﹣2＝0或x﹣3＝0，‎ 所以x1＝2，x2＝3．‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：‎ 第25页（共25页）‎ 射击次数 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎1000‎ ‎“射中九环以上”的次数 ‎18‎ ‎68‎ ‎82‎ ‎168‎ ‎327‎ ‎823‎ ‎“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.82‎ ‎0.84‎ ‎0.82‎ ‎0.82‎ 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）‎ A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84‎ ‎【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，‎ ‎∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）（2020•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y‎=‎kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD‎=‎‎3‎‎2‎，则k的值为（　　）‎ A．3 B．‎5‎‎2‎ C．2 D．1‎ ‎【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），‎ ‎∵点C为斜边OB的中点，‎ ‎∴C（m‎2‎，m‎2‎），‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx（k＞0，x＞0）的图象过点C，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴k‎=‎m‎2‎•m‎2‎‎=‎m‎2‎‎4‎，‎ ‎∵∠OAB＝90°，‎ ‎∴D的横坐标为m，‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx（k＞0，x＞0）的图象过点D，‎ ‎∴D的纵坐标为m‎4‎，‎ 作CE⊥x轴于E，‎ ‎∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎（AD+CE）•AE‎=‎‎3‎‎2‎，即‎1‎‎2‎（m‎4‎‎+‎m‎2‎）•（m‎-‎‎1‎‎2‎m）‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴m‎2‎‎8‎‎=‎1，‎ ‎∴k‎=m‎2‎‎4‎=‎2，‎ 故选：C．‎ 二、填空題（每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2020•营口）ax2﹣2axy+ay2＝　a（x﹣y）2　．‎ ‎【解答】解：ax2﹣2axy+ay2‎ ‎＝a（x2﹣2xy+y2）‎ ‎＝a（x﹣y）2．‎ 故答案为：a（x﹣y）2．‎ ‎12．（3分）（2020•营口）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　1.8×106　．‎ ‎【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106，‎ 故答案为：1.8×106．‎ ‎13．（3分）（2020•营口）（3‎2‎‎+‎‎6‎）（3‎2‎‎-‎‎6‎）＝　12　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：原式＝（3‎2‎）2﹣（‎6‎）2‎ ‎＝18﹣6‎ ‎＝12．‎ 故答案为：12．‎ ‎14．（3分）（2020•营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　丙　．‎ ‎【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52，‎ ‎∴S丙2＜S乙2＜S甲2，‎ ‎∴丙选手的成绩更加稳定，‎ ‎∴适合参加比赛的选手是丙，‎ 故答案为：丙．‎ ‎15．（3分）（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　15π　．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，‎ ‎∴母线长为5，‎ ‎∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，‎ 故答案为：15π ‎16．（3分）（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　4　．‎ ‎【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，‎ ‎∴AC＝2，BD＝4，‎ ‎∴菱形ABCD的面积为‎1‎‎2‎‎×‎2×4＝4．‎ 故答案为：4．‎ ‎17．（3分）（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，‎ 第25页（共25页）‎ 点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为　3‎3‎　．‎ ‎【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，‎ 则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，边长为6，‎ ‎∴BF‎=‎‎1‎‎2‎AB‎=‎1‎‎2‎×‎6＝3，‎ ‎∴CF‎=BC‎2‎-BF‎2‎=‎6‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=‎3‎3‎，‎ ‎∴CE+EF的最小值为3‎3‎，‎ 故答案为：3‎3‎．‎ ‎18．（3分）（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为　‎3‎（1‎+‎‎3‎）2019　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，‎ ‎∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°‎=‎‎3‎，‎ ‎∵A1B1∥A2B2，‎ ‎∴A‎2‎B‎2‎A‎1‎B‎1‎‎=‎OA‎2‎OA‎1‎，‎ ‎∴A‎2‎B‎2‎‎3‎‎=‎‎1+‎‎3‎‎1‎，‎ ‎∴A2B2‎=‎‎3‎（1‎+‎‎3‎），‎ 同法可得，A3B3‎=‎‎3‎（1‎+‎‎3‎）2，‎ ‎…‎ 由此规律可知，A2020B2020‎=‎‎3‎（1‎+‎‎3‎）2019，‎ 故答案为‎3‎（1‎+‎‎3‎）2019．‎ 三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）‎ ‎19．（10分）（2020•营口）先化简，再求值：（‎4-xx-1‎‎-‎x）‎÷‎x-2‎x-1‎，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎‎4-x-x‎2‎+xx-1‎•‎x-1‎x-2‎ ‎=‎‎(2-x)(2+x)‎x-1‎‎•x-1‎x-2‎ ‎ ‎＝﹣2﹣x．‎ ‎∵x≠1，x≠2，‎ ‎∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．‎ 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．‎ ‎20．（10分）（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②‎ 第25页（共25页）‎ 戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．‎ ‎（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　‎1‎‎4‎　；‎ ‎（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．‎ ‎【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率‎=‎‎1‎‎4‎；‎ 故答案为：‎1‎‎4‎；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，‎ 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率‎=‎4‎‎16‎=‎‎1‎‎4‎．‎ 四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）（2020•营口）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　18°　；‎ ‎（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有 第25页（共25页）‎ 必要”的学生人数．‎ ‎【解答】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人），‎ C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），‎ 补全的条形统计图，如右图所示；‎ ‎（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°‎×‎10‎‎200‎=‎18°，‎ 故答案为：18°；‎ ‎（3）2500×30%＝750（人），‎ 答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．‎ ‎22．（12分）（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：‎3‎‎≈‎1.73）‎ ‎【解答】 解：没有触礁的危险；‎ 理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，‎ 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，‎ ‎∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝30°，‎ ‎∴BC＝AC＝12，‎ 第25页（共25页）‎ 在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12‎×‎3‎‎2‎=‎6‎3‎，‎ ‎∵AN＝6‎3‎‎≈‎10.38＞10，‎ ‎∴没有危险．‎ 五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）‎ ‎23．（12分）（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若tanA‎=‎‎3‎‎4‎，AD＝2，求BO的长．‎ ‎【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴OC⊥BC，‎ ‎∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，‎ ‎∴OH＝OC，‎ 即OH为⊙O的半径，‎ ‎∵OH⊥AB，‎ ‎∴AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，‎ 在Rt△AOH中，∵tanA‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴OHAH‎=‎‎3‎‎4‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴‎3xAH‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴AH＝4x，‎ ‎∴AO‎=OH‎2‎+AH‎2‎=‎(3x‎)‎‎2‎+(4x‎)‎‎2‎=‎5x，‎ ‎∵AD＝2，‎ ‎∴AO＝OD+AD＝3x+2，‎ ‎∴3x+2＝5x，‎ ‎∴x＝1，‎ ‎∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，‎ ‎∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，‎ 在Rt△ABC中，∵tanA‎=‎BCAC，‎ ‎∴BC＝AC•tanA＝8‎×‎3‎‎4‎=‎6，‎ ‎∴OB‎=OC‎2‎+BC‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎3‎5‎．‎ ‎24．（12分）（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．‎ ‎（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20‎×‎‎20-x‎0.5‎，‎ ‎∴y＝﹣40x+880；‎ ‎（2）设每天的销售利润为w元，则有：‎ w＝（﹣40x+880）（x﹣16）‎ 第25页（共25页）‎ ‎＝﹣40（x﹣19）2+360，‎ ‎∵a＝﹣40＜0，‎ ‎∴二次函数图象开口向下，‎ ‎∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．‎ 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．‎ 六、解答题（本题满分14分）‎ ‎25．（14分）（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．‎ ‎（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　AF＝AE　；‎ ‎（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）‎ ‎（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．‎ ‎【解答】解：（1）AE＝AF．‎ ‎∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAD＝90°，‎ ‎∵AF⊥AE，‎ ‎∴∠EAF＝90°，‎ ‎∴∠EAB＝∠FAD，‎ ‎∴△EAB≌△FAD（AAS），‎ ‎∴AF＝AE；‎ 故答案为：AF＝AE．‎ ‎（2）AF＝kAE．‎ 第25页（共25页）‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，‎ ‎∴∠FAD+∠FAB＝90°，‎ ‎∵AF⊥AE，‎ ‎∴∠EAF＝90°，‎ ‎∴∠EAB+∠FAB＝90°，‎ ‎∴∠EAB＝∠FAD，‎ ‎∵∠ABE+∠ABC＝180°，‎ ‎∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，‎ ‎∴∠ABE＝∠ADF．‎ ‎∴△ABE∽△ADF，‎ ‎∴ABAD‎=‎AEAF，‎ ‎∵AD＝kAB，‎ ‎∴ABAD‎=‎‎1‎k，‎ ‎∴AEAF‎=‎‎1‎k，‎ ‎∴AF＝kAE．‎ ‎（3）解：①如图1，当点F在DA上时，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，AB∥CD，‎ ‎∵AD＝2AB＝4，‎ ‎∴AB＝2，‎ ‎∴CD＝2，‎ ‎∵CF＝1，‎ ‎∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．‎ 第25页（共25页）‎ 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，‎ ‎∴AF‎=AD‎2‎+DF‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎17‎，‎ ‎∵DF∥AB，‎ ‎∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，‎ ‎∴△GDF∽△GBA，‎ ‎∴GFGA‎=DFBA=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵AF＝GF+AG，‎ ‎∴AG‎=‎2‎‎3‎AF=‎‎2‎‎3‎‎17‎．‎ ‎∵△ABE∽△ADF，‎ ‎∴AEAF‎=ABAD=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴AE‎=‎1‎‎2‎AF=‎1‎‎2‎×‎17‎=‎‎17‎‎2‎．‎ 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，‎ ‎∴EG‎=AE‎2‎+AG‎2‎=‎(‎17‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎17‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎17‎‎6‎，‎ ‎②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，‎ 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，‎ ‎∴AF‎=AD‎2‎+DF‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎5．‎ ‎∵DF∥AB，‎ ‎∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，‎ ‎∴△AGB∽△FGD，‎ ‎∴AGFG‎=ABFD=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∵GF+AG＝AF＝5，‎ ‎∴AG＝2，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵△ABE∽△ADF，‎ ‎∴AEAF‎=ABAD=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴AE‎=‎1‎‎2‎AF=‎1‎‎2‎×5=‎‎5‎‎2‎，‎ 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，‎ ‎∴EG‎=AE‎2‎+AG‎2‎=‎(‎5‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎41‎‎2‎．‎ 综上所述，EG的长为‎5‎‎17‎‎6‎或‎41‎‎2‎．‎ 七、解答题（本题满分14分）‎ ‎26．（14分）（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；‎ ‎①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），‎ 解得：a＝1，‎ 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；‎ ‎（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），‎ 第25页（共25页）‎ 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；‎ tan∠BCO‎=‎‎1‎‎3‎，则cos∠BCO‎=‎‎2‎‎10‎；‎ ‎①当点P（P′）在点C的右侧时，‎ ‎∵∠PAB＝∠BCO，‎ 故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；‎ 当点P在点C的左侧时，‎ 设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，‎ ‎∵∠PAB＝∠BCO，‎ ‎∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH‎×‎2‎‎10‎=‎‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎，‎ 解得：CH‎=‎‎5‎‎3‎，则OH＝3﹣CH‎=‎‎4‎‎3‎，故点H（0，‎-‎‎4‎‎3‎），‎ 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y‎=‎‎4‎‎3‎x‎-‎‎4‎‎3‎②，‎ 联立①②并解得：x=-5‎y=-8‎，‎ 故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；‎ ‎②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 故设直线AP的表达式为：y‎=‎‎1‎‎3‎x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，‎ 故直线AP的表达式为：y‎=‎‎1‎‎3‎x+1，‎ 联立①③并解得：x=‎‎4‎‎3‎y=‎‎13‎‎9‎，故点N（‎4‎‎3‎，‎13‎‎9‎）；‎ 第25页（共25页）‎ 设△AMN的外接圆为圆R，‎ 当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），‎ ‎∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，‎ ‎∴∠RMH＝∠GAR，‎ ‎∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，‎ ‎∴△AGR≌△RHM（AAS），‎ ‎∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，‎ ‎∴点M（m+n，n﹣m﹣3），‎ 将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，‎ 由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m‎-‎‎4‎‎3‎）2+（‎13‎‎9‎）2④，‎ 联立③④并解得：m=-‎‎2‎‎9‎n=-‎‎10‎‎9‎，‎ 故点M（‎-‎‎4‎‎3‎，‎-‎‎35‎‎9‎）．‎ 第25页（共25页）‎