临沂市2013年中考数学试题

临沂市2013年中考数学试题

A B C D 1 2 （第 3 题图） 2013 年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 4 页，第 II 卷 5 至 12 页.共 120 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共 42 分） 注意事项: 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他的答案，不能答在试卷上. 3. 考试结束，将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是 （A） .（B） . （C） . （D） . 2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克， 这个数据用科学计数法表示为 (A) . (B) . (C) . (D) . 3．如图，已知 AB∥CD，∠2=135°，则∠1 的度数是 (A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°. 4．下列运算正确的是 (A) . (B) . (C) . (D) . 5．计算 的结果是 (A) . (B) . (C) . (D) . 2− 2 2− 1 2 1 2 − 110.5 10× 千克 950 10× 千克 95 10× 千克 105 10× 千克 2 3 5x x x+ = 4)2( 22 −=− xx 2 3 52 2x x x⋅ = ( ) 743x x= 148 9 3 − 3− 3 11 33 − 11 33 （第10题图） E D C B A 6．化简 的结果是 (A) . (B) . (C) . (D) . 7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 （A） （B） (C) (D) 8．不等式组 的解集是 (A) . (B) . (C) . (D) 9.在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92, 88, 95, 93, 96, 95, 94. 这组数据的众数和中位数分别是 (A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95，94. 10.如图，四边形 ABCD 中,AC 垂直平分 BD,垂足为 E,下列结论不一定成立的是 （A） AB=AD. (B) AC 平分∠BCD. (C) AB=BD. (D) △BEC≌△DEC. 11.如图，在平面直角坐标系中,点 A1 ， A2 在 x 轴上，点 B1，B2 在 y 轴 上 ， 其坐标分别为 A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以 A1A2B1B2 其 中 的 任 意两点与点 O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率 是 （A） 3 4. (B) 1 3. (C) . (D) 1 2. 12.如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是 (A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°. 13.如图，等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上，双曲线 在第一象限内的图像经 过 OB 边的中点 C，则点 B 的坐标是 2 1 2(1 )2 1 1 a a a a + ÷ +− + − 1 1a − 1 1a + 2 1 1a − 2 1 1a + 212 cmπ 28 cmπ 26 cmπ 23 cmπ 2 0, 1 3.2 x x x − > + ≥ − 8x ≥ 2x > 0 2x< < 2 8x< ≤ 2 3 xy 3= 2cm 2cm3cm 2cm A C D O E F (第 14 题图) B O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm ) （A） O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm ) （B） O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm ) （C） O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm ) （D） O 1A 2A 1B 2B x y O B A C O A B C (第 11 题图) （第 12 题图） 第 13 题图 （A） ( 1， ). （ B ） ( ， 1 ). （C）( 2 ， ). （D）( ，2 ). 14、如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm,对角线 AC,BD 相交 于点 O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC,CD 运动，到点 C,D 时停止运动，设运动时间为 t(s),△OEF 的面积为 s( )，则 s( )与 t(s)的函数关系可用图像表示为 2013 年临沂市初 中学生学业考试试题 数 学 第Ⅱ卷（非选择题 共 78 分）． 注意事项： 1.第 II 卷共 8 页，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目及座号填写清楚。 得分 评卷人 3 3 32 32 2cm 2cm 6 （第18题图）（第17题图） E D CB A FE D C B A 选项 人数 A B C D 4 12 56 图 1 图2 C D B A 70% 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）把答案填在 题中横线上． 15．分解因式 　　　　　. 16．分式方程 的解是　　　　　. 17.如图，菱形 ABCD 中，AB＝4， , ,垂足分别为 E,F,连接 EF, 则的△AEF 的面积是 . 18．如图，等腰梯形 ABCD 中， 垂足分别为 E,D,DE=3，BD=5， 则腰长 AB=　　　　　 19. 对于实数 a,b,定义运算“﹡”：a﹡b= 例如 4﹡2，因为 4>2,所以 4﹡2 .若 是一元二次方程 的两个根，则 ﹡ = 　　　　　 三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共 3 小题，共 21 分） 20．（本小题满分 7 分） 2013 年 1 月 1 日新交通法规开始实施。为了解某社区居民遵守交通 法规情况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调 查，调查分为“A：从不闯红灯;B：偶尔闯红灯;C:经常闯红灯;D：其他”四种情况，并根据 调查结果绘制出部分条形统计图（如图 1）和部分扇形统计图（如图 2）.请根据图中信息， 解答下列问题： 得分 评卷人 24x x− = 2 1 31 1 x x x + =− − o60B∠ = ,AE BC AF CD⊥ ⊥ / / , , ,AD BC DE BC BD DC⊥ ⊥ 2 2 ( ), ). a ab a b ab b a b  − ≥ − < （ 24 4 2 8= − × = 1 2,x x 2 5 6 0x x− + = 1x 2x F E D C B A (1)本次调查共选取　　　　　名居民; (2)求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整; (3)如果该社区共有居民 1600 人，估计有多少人从不闯红灯？ 21．(本小题满分 7 分) 为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分 资金用于购买 A,B 两种型号的学习用品共 1000 件，已知 A 型学习用品 的单价为 20 元，B 型学习用品的单价为 30 元. （1）若购买这批学习用品用了 26000 元，则购买 A,B 两种学习用品各多少件？ （2）若购买这批学习用品的钱不超过 28000 元，则最多购买 B 型学习用品多少件？ 22．（本小题满分 7 分） 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. （1）求证：AF=DC； （2）若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论. 得分 评卷人 得分 评卷人 （第 22 题图） O E D C B A 四、认真思考，你一定能成功！（本大题共 2 小题，共 18 分） 23． (本小题满分 9 分) 如图，在△ABC 中，∠ACB= ， E 为 BC 上一点，以 CE 为直径作 ⊙O,AB 与⊙O 相切于点 D，连接 CD,若 BE=OE=2. （1）求证：∠A=2∠DCB； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号）. 得分 评卷人 得分 评卷人 o90 π (第 23 题图) 图 a z 55 75 15 35 （第 24 题图） 24．（本小题满分 9 分） 某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元.当该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台时，每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值 如下表： x(单位：台） 10 20 30 y(单位：万元∕台） 60 55 50 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求该机器的生产数量； (3)市场调查发现，这种机器每月销售量 z（台）与售价 a（万元∕台）之间满足如图所示的 函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第 一个月销售这种机器的利润.（注：利润=售价 成本） 五、相信自己，加油呀！（本大题共 2 小题，共 24 分） 25．（本小题满分 11 分）如图，矩形 中，∠ACB = ，将一块 直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC,BD 的交点处，以点 P 为旋 转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边 AB,BC 所在的直线相交，交点分别为 E,F. (1)当 PE⊥AB,PF⊥BC 时，如图 1，则 的值为　　　　　. (2)现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （ ）角，如图 2，求 的值； 得分 评卷人 − ABCD o30 PE PF α o o0 60α< < PE PF （第25题图） 图3图2图1 F E P C B DA F E P D CB A F E P D CB A x y A O C B （第 26 题图） (3)在（2）的基础上继续旋转，当 ，且使 AP:PC=1：2 时，如图 3， 的值 是否变化？证明你的结论. 26、（本小题满分 13 分） 如图，抛物线经过 三点. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为 平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 2013 年临沂市初中学生学业 考试试题 数学参考答案及评分标准 说明：第三、四、五题给出了一种或两种解法，考生若用其它解法，应参照本评分标准给 分. 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A D B C B A C D D C D B C B 得分 评卷人 o o60 90α< < PE PF 5( 1,0), (5,0), (0, )2A B C− − 选项 人数 A B C D 4 8 12 56 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 15． ； 16． ； 17． ； 18． 19． 三、开动脑筋，你一定能做对！（共 21 分） 20．解：（1）80 ………………………………(2 分) （2） （人） ……………(3 分) . 所以“C”所对圆心角的度数是 ………(4 分) 图形补充正确 ………………………………(5 分) （3） （人）． 所以该社区约有 1120 人从不闯红灯．…………………………………(7 分) 21 ． 解 : （ 1 ） 设 购 买 A 型 学 习 用 品 x 件 ， 则 B 型 学 习 用 品 为 ． ……(1 分) 根据题意，得 ………………(2 分) 解方程，得 x=400． 则 ． 答 ： 购 买 A 型 学 习 用 品 400 件 ， 购 买 B 型 学 习 用 品 600 件． ………………………(4 分) （2）设最多购买 B 型学习用品 x 件，则购买 A 型学习用品为 件. 根据题意，得 ……………………(6 分) 解不等式，得 . 答：最多购买 B 型学习用品 800 件. ……………………(7 分) 22.证明：（1）∵E 是 AD 的中点，∴AE=ED.……………………………(1 分) ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE, ∴△AFE≌△DBE. ………………………(2 分) ∴AF=DB. ∵AD 是 BC 边上的中点，∴DB=DC,AF=DC ……………(3 分) (2 )(2 )x x x+ − 2x = 3 3 15 4 3或- 3 80 56 12 4 8− − − = o o8 100% 360 3680 × × = o36 1600 70% 1120× = (1000 )x− 20 30(1000 ) 26000x x+ − = 1000 1000 400 600x− = − = (1000 )x− 20(1000 )+30 28000x x− ≤ 800x ≤ EO D C B A （2）四边形 ADCF 是菱形. …………………………………(4 分) 理由：由（1）知，AF=DC, ∵AF∥CD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形. ……(5 分) 又∵AB⊥AC, ∴△ABC 是直角三角形 ∵AD 是 BC 边上的中线, ∴ . …(6 分) ∴平行四边形 ADCF 是菱形. …………………(7 分) 四、认真思考，你一定能成功！（共 18 分） 23. (1)证明：连接 OD. ……(1 分) ∵AB 与 ⊙ O 相 切 于 点 D , ∴ ， ∴ . ∵ ,∴ ,∴ ……(3 分) ∵OC=OD, ∴ .∴ ……(4 分) (2)方法一：在 Rt△ODB 中，OD=OE,OE=BE ∴ ∴ ……6 分 ∵ ∴ ………………(7 分) ………………(9 分) 方法二：连接 DE,在 Rt△ODB 中，∵BE=OE=2 ∴ , ∵OD=OE, ∴△DOE 为等边三角形，即 ……(6 分) 以下解题过程同方法一. 24．解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 根据题意，得 解得 1 2AD BC DC= = o90ODB∠ = o90B DOB∠ + ∠ = o90ACB∠ = o90A B∠ + ∠ = A DOB∠ = ∠ 2DOB DCB∠ = ∠ 2A DCB∠ = ∠ 1sin 2 ODB OB ∠ = = o o30 , 60B DOB∠ = ∠ = osin60 2 3BD OB= ⋅ = 1 1 2 2 3 2 32 2DOBS OD DB= = × × =   260 2 360 3ODE ODS π π⋅= =扇形 2= 2 3 3D OOB DES S S π− = − 阴影 扇形 1 2DE OB OE= = o60DOB∠ = +y kx b= 10 60, 20 55, k b k b + =  + = 1 2 65 k b  = −  = G H G H F E P C B DA F E P D CB A ∴y 与 x 之间的函数关系式为 ；…(3 分) （2）设该机器的生产数量为 x 台， 根据题意，得 ，解得 ∵ ∴x=50. 答：该机器的生产数量为 50 台. ……………………………(6 分) （3）设销售数量 z 与售价 a 之间的函数关系式为 根据题意，得 解得 ∴ ……………………(8 分) 当 z=25 时，a=65. 设该厂第一个月销售这种机器的利润为 w 万元. (万元). …………………(9 分) 五、相信自己，加油呀！（共 24 分） 25．（1） …………………………(2 分) （2）过点 P 作 PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为 H,G.…………………(3 分) ∵在矩形 ABCD 中, ，∴PH∥BC. 又∵ ，∴ ∴ , ………………(5 分) 由题意可知 , ∴Rt△PHE∽Rt△PGF. ∴ …………(7 分) 又∵点 P 在矩形 ABCD 对角线交点上，∴AP=PC. ∴ ………………(8 分) （3）变 化 1 +65(10 70)2y x x= − ≤ ≤ 1( +65) 20002x x− = 1 250, 80.x x= = 10 70x≤ ≤ z ka b= + 55 35, 75 15, k b k b + =  + = 1, 90. k b = −  = 90.z a= − + 200025 (65 ) 62550w = × − = 3 o90ABC∠ = o30ACB∠ = o30APH PCG∠ = ∠ = o 3cos30 2PH AP AP= ⋅ = o 1sin30 2PG PC PC= ⋅ = HPE GPE α∠ = ∠ = ∠ 3 32 1 2 APPE PH AP PF PG PCPC = = = 3PE PF = x y A O C B （第 26 题图） 'N P N M H 'M ……………………………………………………(9 分) 证明：过点 P 作 PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为 H,G. 根据（2），同理可证 ………(10 分) 又∵ ∴ ………………………(11 分) 26. 解：（1）设抛物线的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为： ………(3 分) （2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，则 P 点 即为所求. 设直线 BC 的解析式为 ， 由题意，得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 …………(6 分) ∵抛物线 的对称轴是 ， ∴当 时， ∴点 P 的坐标是 . …………(7 分) （3）存在 …………………………(8 分) (i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，∵四边形 ACNM 是平行四边形，∴CN∥x 轴，∴ 3PE AP PF PC = : 1: 2AP PC = 3 2 PE PF = 2y ax bx c= + + 0, 25 5 0, 5.2 a b c a b c c   − + =  + + =   = − 1 ,2 2, 5.2 a b c  =  = −   = −  21 52 .2 2y x x= − − y kx b= + 5 0, 5.2 k b b + = = − 1 ,2 5.2 k b  =  = − 1 5.2 2y x= − 21 522 2y x x= − − 2x = 2x = 1 5 3.2 2 2y x= − = − 3(2, )2 − 点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，∵C 点的坐标为 ，∴点 N 的坐标为 ………………………(11 分) （II）当存在的点 在 x 轴上方时，如图所示，作 轴于点 H，∵四边形 是平行四边形，∴ , ∴Rt△CAO ≌Rt△ ,∴ . ∵点 C 的坐标为 ,即 N 点的纵坐标为 ， ∴ 即 解得 ∴点 的坐标为 和 . 综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个， 分别为 ， ， ………………………(13 分) 5(0, )2 − 5(4, ).2 − 'N 'N H x⊥ ' 'ACM N ' ' ' ',AC M N N M H CAO= ∠ = ∠ ' 'N M H 'N H OC= '5 5(0, ),2 2N H− ∴ = 5 2 21 5 52 ,2 2 2x x− − = 2 4 10 0x x− − = 1 22 14, 2 14.x x= + = − 'N 5(2 14, )2 − 5(2 14, )2 + 5(4, ).2 − 5(2 14, )2 + 5(2 14, )2 −