杭州市中考数学卷

杭州市中考数学卷

‎2013年杭州市各类高中招生文化考试 数 学 满分120分，考试时间100分钟 参考公式：‎ 直棱柱的体积公式：（S为底面积，为高）；‎ 圆锥的全面积（表面积）公式：（为底面半径，为母线长）；‎ 圆柱的全面积（表面积）公式：（为底面半径，为高）‎ 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）‎ 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。‎ ‎1. 下列“表情图”中，属于轴对称图形的是 ‎2. 下列计算正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 在□ABCD中，下列结论一定正确的是 A. AC⊥BD B. ∠A+∠B=180°‎ C. AB=AD D. ∠A≠∠C ‎4. 若，，则=‎ A. -10 B. ‎-40 C. 10 D. 40‎ ‎5. 根据2008~2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是 A. 2010~2012年杭州市每年GDP增长率相同 B. 2012年杭州市的GDP比2008年翻一番 C. 2010年杭州市的GDP未达到5500亿元 D. 2008~2012年杭州市的GDP逐年增长 ‎6. 如图，设（），则有 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是 A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 ‎8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于 A. B. C. D. ‎ ‎10. 给出下列命题及函数，和的图象 ‎①如果，那么；‎ ‎②如果，那么；‎ ‎③如果，那么；‎ ‎④如果时，那么。‎ 则 A. 正确的命题是①④ B. 错误的命题是②③④‎ C. 正确的命题是①② D. 错误的命题只有③‎ 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）‎ 要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 ‎11. =__________‎ ‎12. 把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为__________‎ ‎13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）‎ ‎14. 杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则=__________分 ‎15. 四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则| S1-S2|=__________（平方单位）‎ ‎16. 射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=‎2cm，QM=‎4cm。动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒‎1cm的速度向右移动，经过秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出可取的一切值__________（单位：秒）‎ 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）‎ 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。‎ ‎17.（本小题满分6分）‎ 如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）。连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条。‎ ‎18.（本小题满分8分）‎ 当满足条件时，求出方程的根 ‎19.（本小题满分8分）‎ 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF。‎ 求证：△GAB是等腰三角形。‎ ‎20.（本小题满分10分）‎ 已知抛物线与轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与轴相交于点C，且点A，C在一次函数的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围。‎ ‎21.（本小题满分10分）‎ 某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片 ‎（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率 ‎（2）若规定：取到的卡片上序号是（是满足1≤≤50的整数），则序号是的倍数或能整除（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；‎ ‎（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎（1）先求解下列两题：‎ ‎①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；‎ ‎②如图②，在直角坐标系中，点A在轴正半轴上，AC∥轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求的值。‎ ‎（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出。‎ ‎23.（本小题满分12分）‎ 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1。‎ ‎（1）求证：∠APE=∠CFP；‎ ‎（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=，。‎ ‎①求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并求出的最大值；‎ ‎②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求的值。‎ ‎2013年杭州市各类高中招生文化考试 数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D D B A D B C C B A 选择题解析 1、 D 2、 D 3、 B 4、 A 5、 D 解析：由图得，A：2010年到2011年的GDP增长略大于1000亿元左右，但2011年到2012年的GDP增长小于1000亿元，故两次增长率必不相同。B：2012年的GDP为小于8000亿元，而2008年的GDP大于4000亿元，所以没有翻一番。C：2010年GDP接近6000亿元，图中很显然超过5500亿元 6、 B 解析：甲阴影部分面积，而乙阴影部分的面积，则，由图得出，所以，则 7、 C 解析：A：如图则A不正确；B：如图则B不正确 ‎ C：如图则C正确；D：如图则D不正确 8、 A 解析：由俯视图和主视图易得此图形为正六边形，根据主视图得其六边形的边长为6，而正六边形由6个正三角形所组成，，则，而通过左视图可得，所以 9、 B 解析：通过，，可得出，，如图，过点做边的垂线交边于点，则根据，，得出 1、 A 解析：如图分析：交点坐标已给出，由图得 ‎① 描述正确。‎ ‎② 如果，则根据图像可得或，所以②描述错误。‎ ‎③ 如果，则根据图像没有这样的存在，所以③描述错误。‎ ‎④ 描述正确。‎ 二、填空题 ‎11、0； 12、； 13、②③④； 14、4.75； 15、； 16、或或 填空题解析 2、 ‎0‎ 3、 解析：7的平方根有正负，需注意 4、 ‎②③④‎ 解析：根据题意，因为，，则该直角三角形是含角的直角三角形，则，令，，，作出图形 ‎①，②，③，④，则答案为②③④。‎ 5、 ‎4.75‎ 解析： ‎ 1、 解析：由题意可知，与的面积差即为以为轴旋转图形的侧面积与以为轴旋转图形的侧面积的差值，所以 2、 或或 解析：因为该圆的半径为，圆心P从Q点开始运动时会与圆3次相切，而，，所以为正三角形的中位线，‎ 图1 图2 图3‎ ‎(1) 当圆与正三角形边相切时，如图1，则，易得，，则，则 ‎(2) 当圆与正三角形边相切时，如图2，事实上圆的半径刚好等于与射线之间的距离，所以，则，，同理，，而在此之间圆始终与边相切，所以 ‎(3) 当圆与正三角形边相切时，如图3，则，易得，，则，则 综上所述，或或 三、解答题 ‎17、解：图略。发现：或者等等，开放题。‎ 18、 解：由求得 ‎，‎ 则 解方程可得，‎ ‎，而，‎ ‎19、解： 在等腰梯形中中，，，而，‎ ‎ 则 ‎ 又等腰梯形中，，‎ ‎，‎ 则为等腰三角形 ‎20、解：根据长为可得一次函数中的的值为或。‎ ‎ 分类讨论：(1) 时，易得如图 抛物线过、两点，且与轴交点，在原点两侧 抛物线开口向下，则 ‎，且，‎ ‎，而，关于对称轴对称 对称轴直线 要使随着的增大而减小，且，‎ ‎(2) 时，易得如图 抛物线过、两点，且与轴交点，在原点两侧 抛物线开口向上，则 ‎，且，‎ ‎，而，关于对称轴对称 对称轴直线 要使随着的增大而减小，且，‎ ‎21、解：（1）是20倍数或者能整除20的数有7个，则 ‎ （2）不公平，无论取何值，都能被1整除，‎ 则序号为1的学生被抽中的概率为，即100%，而很明显抽到其他序号时，‎ 其他学生概率不为100%。‎ ‎ （3）先抽出一张，记下数字，然后放回。若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，‎ 则不记数，放回，重新抽取。不断重复，直至抽满10个不同的数字为止。‎ ‎（为保证每个数字每次被抽到的概率都是1/50）‎ ‎22、解：（1），‎ ‎，，‎ 而，，‎ 设，‎ 则可得，则，即 ‎ （2）点在反比例函数图像上，设点，，‎ ‎ ，‎ 点也在反比例函数图像上 ‎，解得 ‎ （3）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法。（开放题）‎ ‎23、解：（1）‎ 而在中，由于为正方形对角线，则，‎ 则 ‎ （2）①，且 ‎ ，则 ‎ 而在正方形中，为对角线，则 ‎ 又为对称中心，则，‎ ‎ ‎ 如图，过点做垂直于于，‎ ‎ 过点做垂直于于，‎ ‎ 为中点，则//则，‎ ‎ 同理 ‎，‎ 阴影部分关于直线轴对称，‎ 与也关于直线对称，‎ 则，同理，，‎ 而 在上运动，在上运动，且 令，则，当，即时，取最大值。‎ 而在的取值范围内。‎ 代入，则 ‎ ② 图中两块阴影部分图形关于点成中心对称，‎ 而此两块图形也关于直线成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线对称，‎ 则即，‎ ‎，解得，‎ 代入，得