中考数学专题大讲堂对辅助圆的思考及探究Word版

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中考数学专题大讲堂对辅助圆的思考及探究Word版

对辅助圆的思考及探究 锡滨-祝荣耀 在几何证明中,困难的并不在于题目,而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中,我们带着学生学习了很多种的辅助线,比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后,我们又遇到了新的问题,如做弦的垂线,连接半径,连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的,但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线?这也是今天要讲的专题 ‎--辅助圆.‎ ‎“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题,因难度系数大,学生不易接受,所以得分率一直 都很低.因其考点新颖,有创新又不失难度,所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.‎ 那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.‎ 出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等. 那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.‎ 一 线段最值 线段最值分类相对较多,我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.‎ Ⅰ.折叠中的线段最值 ‎1.(2019 年成都中考)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A=60°,M 是 AD 边的中点,‎ N 是 AB 边上一动点,将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A¢MN,连接 A¢C,则 A¢C 长度的最小值是 .‎ ‎〖分析〗△AMN 沿 MN 所在直线翻折过程中,始终都保持着 MA=MA’,即 A 点的运动轨迹满足于圆的基本概念,则 A 点的运动轨迹是以 M 为圆心,MA 为半径的一个圆,则 A¢C 的最小值即转化到点 C 到⊙M 的上的最小值问题,这时就可以得到 A¢C 最小值是 CM—半径,求出 CM 的长即可,如下图.‎ ‎2.(2019 年无锡惠山区二模)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=60°,BC=3,D 为 BC 边上的三等分点,BD=2CD,E 为 AB 边上一动点,将△DBE 沿 DE 折叠到△D B¢E 的位置,连接A B¢,则线段 A B¢的最小值为 .‎ ‎〖分析〗△DBE 沿 DE 折叠过程中,与上题一样,始终满足于 DB=D B¢,与 1 相似,即作出辅助圆⊙D,以 D 为圆心,DB 为半径的圆.A 为圆外一点,求 AB’的最小值即用 AD— 半径即可,如下图.‎ Ⅱ.圆轨迹中的线段最值 ‎3.(2019 年无锡惠山区一模)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,以 A(4,3)为圆心,‎ ‎1 为半径作圆.P 点为圆上一动点,连结 OP.点 B 为 OP 的中点,点 C 坐标为(2,0), 求 BC 的取值范围 .‎ ‎〖分析〗点 P 的运动轨迹是圆,B 为 OP 中点,随着 P 的运动而运动,则根据“瓜豆原理”,‎ B 的运动轨迹也是一个圆.我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径,则就可以解出此题.为 确定圆心,则连接 OA,取 OA 中点 Q.连接 BQ,BQ= 1 AP= 1 ,则 B 的运动轨迹是以 Q ‎2 2‎ ‎1‎ 为圆心,‎ ‎2‎ ‎为半径的圆.再求出 CB 的最大和最小值=CQ ±半径即可.(如下图)‎ ‎4.(2019 年无锡外国语中学一模)如图,点 O 在线段 AB 上,OA=1,OB=3,以 O 为圆心,‎ OA 长为半径作圆 O.点 M 在圆 O 上运动,连接 MB,以 MB 为腰作等腰 Rt△MBC,使 ‎∠MBC=90°,M.B.C 三点为逆时针顺序,连接 AC,则 AC 长的取值范围是 .‎ ‎〖分析〗点 M 的运动轨迹是圆,点 C 是由 BM 旋转 90°得出,则根据“瓜豆原理”初步确定点 C 的运动轨迹也是一个圆.我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径,则就可以解出 此题.为确定圆心,连接 OM,将 OM 也绕着点 B 旋转 90°,确定O¢,连接O¢C .易证 ‎△BOM≌△ BO¢C , 得出 OM = O¢C =1 , 则可得出点 C 的运动轨迹是以 O¢为圆心,‎ ‎1 为半径的圆.再求出 AC 的最大和最小值= AO¢±半径即可.(如下图)‎ Ⅲ.直角三角形中的辅助圆 5. ‎( 2019 年江阴校级一模) 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC ‎=2,P 是△ABC 所在平面内一点,且满足 PA⊥PB,则 PC 的取值范围为 .‎ ‎〖分析〗因为∠APB=90°,由 90°所对的弦是直径得出,构造⊙O.以 AB 中点 O 为圆心, 1 为半径作圆,则 P 是在⊙O 上运动,确定 CP 的最小值为 OC—半径即可.(如下图)‎ 5. ‎( 2019 年无锡天一中学二模) 如图, E, F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点, 满足 AE=DF. 连接 CF 交 BD 于点 G, 连接 BE 交 AG 于点 H. 若正方形 的边长为 2, 则线段 DH 长度的最小值是 .‎ ‎〖分析〗因为 AE=DF,易得△ABE≌△ DCF、△AGD≌△ CGD, 则∠ ABE= ∠ GAD=‎ ‎∠ DCF. 因为∠ GAD+∠ BAH=90 ° , 所以∠ BAH+ ∠ ABE=90° , 所以∠ AHB=90° . 则点 H 是在以 AB 为直径的圆上运动. 确定 DH 的最小值为 OD—半径即可.(如下图)‎ Ⅳ.定弦、定角中的辅助圆 ‎7.(2019 年无锡滨湖区期中考试)如图,在正方形 ABCD,AB= 2‎ ‎,若点 P 满足 PD=2,‎ 且∠BPD=90°,请求出 AP 的长.‎ ‎〖分析〗因为∠BAD=∠BPD=90°,则可认为 B、A、P、D 四点是在以 BD 为直径的圆上, 设 BD 的中点为 O,则如图,共圆.得到∠BDA=∠APB=45°,得出∠DPE=45°,则在 Rt ‎△PED 中,得出 DE=PE=‎ ‎,在 Rt△AED 中,AD= 2‎ ‎,得出 AE=‎ ‎,则可得 AP= 6-‎ ‎.如下图即可.‎ ‎8.(2019 年威海中考)如图,△ABC 为等边三角形,AB=2,若 P 为△ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段 PB 长度的最小值 .‎ ‎〖分析〗因为△ABC 为等边三角形,满足∠PAB=∠ACP,则可确定∠APC=120°,而∠APC 所对的边恒定为 AC,且长度为定值,则由圆周角的性质可以得出 P 点的运动轨迹是一个弧, 点 P 是在△APC 的外接圆上运动,确定 BP 的最小值为 OB—半径即可.(如下图)‎ 这也是我们定弦定角定理的一般模型.‎ ‎9.(2019 年无锡惠山区二模)如图,已知 A、B 是半径为 2 的⊙O 上的两动点,以 AB 为直角边在⊙O 内作等腰 Rt△ABC,∠B=90°,连接 OC,则 OC 的最小值为 .‎ ‎〖分析〗因为△ABC 为等腰 Rt△,则∠BCA=45°为定值,延长 BC 交⊙O 于点 D,则∠‎ ACD=135°,连接 AD. 因为∠ B=90° , 则 AD 为⊙O 的直径,即 AD=4 为定值,则满足于上述例 7 的定弦定角定理模型,可分析得出点 C 是在一个圆上运动,则需要找圆心. 设 圆心为O¢,因为∠ACD=135°,则其所对的圆心角∠AO¢D =90°,则O¢是在⊙O 上,半径 O¢D=2 . 连接 O¢C ,则当O¢、O、C 三点共线的时候,OC 的值最小,为 ‎2 2-2 .(如下图)‎ 二 证明角度关系或求值 Ⅰ.角度的倍数关系 ‎1.(2019 年江苏学大教师月考)如图,AB=AC=AD,如果∠DAC 是∠CAB 的 k 倍, 那么∠DBC 是∠BDC 的( ) 倍 A.k B.2k C.3k D.不能确定 ‎〖分析〗因为 AB=AC=AD,则 B、C、D 三点可以看成是在以点 A 为圆心,AB 为半径的圆上.则∠DBC 与∠CAD 是同弧所对的圆周角和圆心角,∠BDC 与∠CAB 是同 弧所对的圆周角和圆心角.∠DAC 是∠CAB 的 k 倍, 则∠DBC 也是∠BDC 的 k 倍.‎ Ⅱ.角度求值问题 ‎2.( 2019 年无锡惠山区校级月考) 已知在正方形 ABCD 中, 两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动, 点 C 点 D 在第一象限, 点 E 为正方形 ABCD 的对称中心, 连结 OE, 证明 OE 平分角∠ AOB.‎ ‎〖分析〗因为∠AOB=∠AEB=90°,则可以说明 A、O、B、E 四点共圆,以 AB 的中点O¢‎ 为圆心, O¢A 为半径的圆.这种有一组对角为 90°的四边形称为损矩形,即可采用四点共圆的技巧去解决.很明显,∠EBA 与∠AOE 是同弧所对的圆周角,则∠EBA=∠AOE=45°, 即可说明 OE 平分角∠ AOB.(如下图)‎ Ⅲ.角度最值问题 ‎3.( 2019 年南京市校级月考)如图,O 是半径为 2,AB、CD 是互相垂直的两条直径, 点 P 是 O 上任意一点,过点 P 作 PM⊥AB 于 M, PN⊥CD 于 N, 点 Q 是 MN 的中点, 当点 P 沿着圆周从 D 运动到点 C 时, tan∠QCN 的最大值为 .‎ ‎〖分析〗 因为 PM⊥AB,PN⊥CD, 则四边形 MONP 为矩形, 得到对角线 MN=OP=2. 说明 OQ 的长度恒定为 1, 确定点 Q 是在以 O 为圆心, 1 为半径的 圆上, 则当 CQ 与圆相切时, 即是∠ QCO 最大, tan∠QCN 的值最大. (如下图)‎ 三 最值存在问题 Ⅰ.线段范围 ‎1. ( 2019 年河池中考) 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ABC=90°, AB=3 , BC=4 , P 是 BC 边上的动点. 设 BP=x, 若能在 AC 边上找到一点 Q, 使∠BQP=90 °, 则 x 的取值范围是 .‎ ‎〖分析〗 因为∠ABC=90 °, 则由直径所对的圆周角等于 90 ° , 得出以 BP 为直径的圆与线段 AC 有交点,得出题目的解题技巧.则当⊙O 与 AC 相切时,x 的值最小, 当点 P 到达 C 点时,x 的值最大. (如下图)‎ ‎2.(2019 年无锡外国语二模)在平面直角坐标系中,已知△AOB 是等边三角形,点 A 的坐标是(4,0),点 B 在第一象限,若 N 为直线y=-x-2 上一点,过 B 作直线 l⊥x 轴,在 l 上是否存在一点 M,使得∠OMA=2∠ONA,且这样的点 N 有且只有一个.若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎〖分析〗 因为题目中满足∠OMA=2∠ONA, 在图中我们可以看出以 M 为圆心,OM 为半径的圆正好满足于此条件,则可以理解为辅助 圆.若这样的点 N 有且只有一个,则说明⊙M 与直线y=-x-2 相切即可,同时也要注意图形的 对称性,M 存在另外一个点,与图中的 M 点关于 x 轴对称即可.(如左图)‎ Ⅱ. 路程长或面积问题 ‎3. ( 2019 年无锡惠山区校级月考) 如图,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的坐标为(7,3),点 E 在边 AB 上,且 AE=1,已知点 P 为 y 轴上一动点,连接 EP,过点 O 作直线 EP 的垂线段,垂足为点 H,在点 P 从点 F(0, 程中,点 H 的运动路径长为 .‎ ‎25‎ ‎)运动到原点 O 的过 ‎4‎ ‎〖分析〗因为∠APB=90°,且 OE 为定长,则点 H 在以 OE 为直径的圆上运动. 点 P 由 点 F 为起点, O 为终点运动, 则点 H 的运动轨迹是一段弧, 圆心角为∠ OO¢H ,‎ 则求出∠ OO¢H 的度数即可,而∠ OO¢H =2 ∠ OEF,求出∠ OEF 的度数即可.(如下图)‎ ‎4.(2019 年无锡外国语月考)如图,圆 O 的半径为 2,弦 AB=2,点 P 为优弧 AB 上一动点,BC⊥BP 交直线 PA 于点 C,则△ABC 的最大面积为 .‎ ‎〖分析〗因为 BC 半径为 2,弦 AB=2,则∠P=30°,BC⊥BP,则∠C=60°.因为∠C=60°, 且 AB=2,则可以得出点 C 是在△ABC 的外接圆上运动,也可以理解为我们上面讲解的定弦定角定理.要使得△ABC 的面积最大,则 C 到 AB 的距离最大,如下图即可.‎ 在辅助圆方面还需要学生多多的做练习,理解我们出现辅助圆的情况的一般要求,同时具体 情况具体分析,需要学生具有很强的临场发挥能力,这部分的知识点活跃在模拟考试及中考 中,还是需要学生能理解掌握,方便与学生能运用技巧性方法去解决实际困难问题.‎
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