浙江省温州市中考数学试卷含有答案精析

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浙江省温州市中考数学试卷含有答案精析

‎2017年浙江省温州市初中毕业生学业考试(温州市卷)‎ 数学试题卷 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.的相反数是( )‎ ‎ A.6 B.1 C.0 D.‎ ‎2.某校学生到校方式情况的统计图如图所示,若该校步行到校的学生有100人,则乘公共汽车到校的学生有( )‎ ‎(第2题)‎ ‎ A.75人 B.100人 C.125人 D.200人 ‎3.某运动会颁奖台如图所示,它的主视图是( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.下列选项中的整数,与最接近的是( )‎ ‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎5.温州某企业车间有50名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如下表:‎ 零件个数(个)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数(人)‎ ‎3‎ ‎15‎ ‎22‎ ‎10‎ 表中表示零件个数的数据中,众数是( )‎ ‎ A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 ‎6.已知点(,),(4,y2)在一次函数的图象上,则,,0的大小关系是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知,则小车上升的高度是( )‎ ‎(第7题)‎ ‎ A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 ‎8.我们知道方程的解是,,‎ 现给出另一个方程,它的解是( )‎ ‎ A., B., C. , D.,‎ ‎9.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=EF,则正方形ABCD的面积为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎(第9题)‎ ‎10.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列,为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧,,,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连结,,,…得到螺旋折线(如图),已知点(0,1),(,0),(0,),则该折线上的点的坐标为( )‎ ‎ A.(,24) B.(,25) ‎ ‎ C.(,24) D.(,25)‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分):‎ ‎(第10题)‎ ‎11.分解因式:_______________. ‎ ‎12.数据1,3,5,12,,其中整数是这组数据的中位数,则该组数据的平均数是__________.‎ ‎13.已知扇形的面积为,圆心角为120°,则它的半径为________.‎ ‎14.甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米?设甲每天铺设米,根据题意可列出方程:_____________________.‎ ‎15.如图,矩形OABC的边OA,OC分别在轴、轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应),若AB=1,反比例函数的图象恰好经过点 A′,B,则的值为_________.‎ ‎(第15题)‎ ‎16.‎ 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A至出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为_________cm.‎ 三、解答题(共8小题,共80分):‎ ‎17.(本题10分)(1)计算:;(2)化简:.‎ ‎18.(本题8分)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.‎ ‎(1)求证:△ABC≌△AED;‎ ‎(第18题)‎ ‎(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.‎ ‎19.(本题8分)为培养学生数学学习兴趣,某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课(每位学生必须且只选其中一门).‎ ‎(1)学校对七年级部分学生进行选课调查,得到如图所示的统计图,根据该统计图,请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数。‎ ‎(第19题)‎ ‎(2)学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A,B,C三个班,小聪、小慧都选择了“数学故事”,已知小聪不在A班,求他和小慧被分到同一个班的概率.(要求列表或画树状图)‎ ‎(图2)‎ ‎(图1)‎ ‎20.(本题8分)在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.‎ ‎(1)在图1中画一个△PAB,使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;‎ ‎(2)在图2中画一个△PAB,使点P,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.‎ ‎21.(本题10分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点,交AB于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G,作ED∥AC交CG于点D ‎(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;‎ ‎(第21题)‎ ‎(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.‎ ‎22.(本题10分)如图,过抛物线上一点A作轴的平行线,交抛物线于另一点B,交轴于点C,已知点A的横坐标为.‎ ‎(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;‎ ‎(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;‎ ‎①连结BD,求BD的最小值;‎ ‎②当点D落在抛物线的对称轴上,且在轴上方时,求直线PD的函数表达式.‎ ‎(第22题)‎ ‎23.(本题12分)小黄准备给长8m,宽6m的长方形客厅铺设瓷砖,现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ(阴影部分)和一个环形区域Ⅱ(空白部分),其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设,且满足PQ∥AD,如图所示.‎ ‎(1)若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/,面积为(),区域Ⅱ的瓷砖均价为200/,且两区域的瓷砖总价为不超过12000元,求的最大值;‎ ‎(2)若区域Ⅰ满足AB:BC=2:3,区域Ⅱ四周宽度相等 ‎①求AB,BC的长;‎ ‎(第23题)‎ ‎②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/,乙、丙瓷砖单价之比为5:3,且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元,求两瓷砖单价的取值范围.‎ ‎24.(本题14分)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.‎ ‎(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;‎ ‎(2)求证:AC=AB。‎ ‎(3)在点P的运动过程中 ‎①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;‎ ‎②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.‎ ‎2017年浙江省温州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分):‎ ‎1.(4分)﹣6的相反数是(  )‎ A.6 B.1 C.0 D.﹣6‎ ‎【分析】根据相反数的定义求解即可.‎ ‎【解答】解:﹣6的相反数是6,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.‎ ‎2.(4分)某校学生到校方式情况的统计图如图所示,若该校步行到校的学生有100人,则乘公共汽车到校的学生有(  )‎ A.75人 B.100人 C.125人 D.200人 ‎【分析】由扇形统计图可知,步行人数所占比例,再根据统计表中步行人数是100人,即可求出总人数以及乘公共汽车的人数;‎ ‎【解答】解:所有学生人数为 100÷20%=500(人);‎ 所以乘公共汽车的学生人数为 500×40%=200(人). ‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎3.(4分)某运动会颁奖台如图所示,它的主视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从正面看,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.‎ ‎4.(4分)下列选项中的整数,与最接近的是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【分析】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行解答即可.‎ ‎【解答】解:∵16<17<20.25,‎ ‎∴4<<4.5,‎ ‎∴与最接近的是4.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小,掌握算术平方根的性质是解题的关键.‎ ‎5.(4分)温州某企业车间有50名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如下表:‎ 零件个数(个)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数(人)‎ ‎3‎ ‎15‎ ‎22‎ ‎10‎ 表中表示零件个数的数据中,众数是(  )‎ A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 ‎【分析】根据众数的定义,找数据中出现最多的数即可.‎ ‎【解答】解:数字7出现了22次,为出现次数最多的数,故众数为7个,‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了众数的概念.众数是数据中出现次数最多的数.众数不唯一.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)已知点(﹣1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x﹣2的图象上,则y1,y2,0的大小关系是(  )‎ A.0<y1<y2 B.y1<0<y2 C.y1<y2<0 D.y2<0<y1‎ ‎【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出y1、y2的值,将其与0‎ 比较大小后即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵点(﹣1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x﹣2的图象上,‎ ‎∴y1=﹣5,y2=10,‎ ‎∵10>0>﹣5,‎ ‎∴y1<0<y2.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是(  )‎ A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 ‎【分析】在Rt△ABC中,先求出AB,再利用勾股定理求出BC即可.‎ ‎【解答】解:如图AC=13,作CB⊥AB,‎ ‎∵cosα==,‎ ‎∴AB=12,‎ ‎∴BC==132﹣122=5,‎ ‎∴小车上升的高度是5m.‎ 故选A.‎ ‎【点评】此题主要考查解直角三角形,锐角三角函数,勾股定理等知识,解题的关键是学会构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0‎ ‎,它的解是(  )‎ A.x1=1,x2=3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=﹣1,x2=3 D.x1=﹣1,x2=﹣3‎ ‎【分析】先把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3,然后解两个一元一次方程即可.‎ ‎【解答】解:把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,‎ 所以2x+3=1或2x+3=﹣3,‎ 所以x1=﹣1,x2=﹣3.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为(  )‎ A.12S B.10S C.9S D.8S ‎【分析】设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2,由题意可知EF=(2a﹣b)﹣2(a﹣b)=2a﹣b﹣2a+2b=b,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2‎ 由题意可知EF=(2a﹣b)﹣2(a﹣b)=2a﹣b﹣2a+2b=b,‎ ‎∵AM=2EF,‎ ‎∴2a=2b,‎ ‎∴a=b,‎ ‎∵正方形EFGH的面积为S,‎ ‎∴b2=S,‎ ‎∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S,‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列,为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧,,,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连结P1P2,P2P3,P3P4,…得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(﹣1,0),P3(0,﹣1),则该折线上的点P9的坐标为(  )‎ A.(﹣6,24) B.(﹣6,25) C.(﹣5,24) D.(﹣5,25)‎ ‎【分析】观察图象,推出P9的位置,即可解决问题.‎ ‎【解答】解:由题意,P5在P2的正上方,推出P9在P6的正上方,且到P6的距离=21+5=26,‎ 所以P9的坐标为(﹣6,25),‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查规律型:点的坐标等知识,解题的关键是理解题意,确定P9的位置.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分):‎ ‎11.(5分)分解因式:m2+4m= m(m+4) .‎ ‎【分析】直接提提取公因式m,进而分解因式得出答案.‎ ‎【解答】解:m2+4m=m(m+4).‎ 故答案为:m(m+4).‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)数据1,3,5,12,a,其中整数a是这组数据的中位数,则该组数据的平均数是 4.8或5或5.2 .‎ ‎【分析】根据中位数的定义确定整数a的值,由平均数的定义即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵数据1,3,5,12,a的中位数是整数a,‎ ‎∴a=3或a=4或a=5,‎ 当a=3时,这组数据的平均数为=4.8,‎ 当a=4时,这组数据的平均数为=5,‎ 当a=5时,这组数据的平均数为=5.2,‎ 故答案为:4.8或5或5.2.‎ ‎【点评】本题主要考查了中位数和平均数,解题的关键是根据中位数的定义确定a的值.‎ ‎13.(5分)已知扇形的面积为3π,圆心角为120°,则它的半径为 3 .‎ ‎【分析】根据扇形的面积公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:设半径为r,由题意,得 πr2×=3π,‎ 解得r=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查了扇形面积公式,利用扇形面积公式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米?设甲每天铺设x米,根据题意可列出方程: ‎ ‎= .‎ ‎【分析】设甲每天铺设x米,则乙每天铺设(x+5)米,根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可.‎ ‎【解答】解:设甲工程队每天铺设x米,则乙工程队每天铺设(x+5)米,由题意得:=.‎ 故答案是:=.‎ ‎【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,再列出方程.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应).若AB=1,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A′,B,则k的值为  .‎ ‎【分析】设B(m,1),得到OA=BC=m,根据轴对称的性质得到OA′=OA=m,∠A′OD=∠AOD=30°,求得∠A′OA=60°,过A′作A′E⊥OA于E,解直角三角形得到A′(m,m),列方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCO是矩形,AB=1,‎ ‎∴设B(m,1),‎ ‎∴OA=BC=m,‎ ‎∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称,‎ ‎∴OA′=OA=m,∠A′OD=∠AOD=30°,‎ ‎∴∠A′OA=60°,‎ 过A′作A′E⊥OA于E,‎ ‎∴OE=m,A′E=m,‎ ‎∴A′(m,m),‎ ‎∵反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A′,B,‎ ‎∴m•m=m,‎ ‎∴m=,‎ ‎∴k=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,轴对称的性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A至出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为 24﹣8 cm.‎ ‎【分析】先建立直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,根据△ABQ∽△ACG,求得C(20,0),再根据水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),可设抛物线为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得抛物线为y=﹣x2+x+24,最后根据点E的纵坐标为10.2,得出点E的横坐标为6+8,据此可得点E到洗手盆内侧的距离.‎ ‎【解答】解:如图所示,建立直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,‎ 由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,‎ ‎∴Rt△APM中,MP=8,故DQ=8=OG,‎ ‎∴BQ=12﹣8=4,‎ 由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴CG=12,OC=12+8=20,‎ ‎∴C(20,0),‎ 又∵水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),‎ ‎∴可设抛物线为y=ax2+bx+24,‎ 把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得 ‎,解得,‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2+x+24,‎ 又∵点E的纵坐标为10.2,‎ ‎∴令y=10.2,则10.2=﹣x2+x+24,‎ 解得x1=6+8,x2=6﹣8(舍去),‎ ‎∴点E的横坐标为6+8,‎ 又∵ON=30,‎ ‎∴EH=30﹣(6+8)=24﹣8.‎ 故答案为:24﹣8.‎ ‎【点评】本题以水龙头接水为载体,考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用,在运用数学知识解决问题过程中,关注核心内容,经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程,突出考查数学的应用意识和解决问题的能力,蕴含数学建模,引导学生关注生活,利用数学方法解决实际问题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,共80分):‎ ‎17.(10分)(1)计算:2×(﹣3)+(﹣1)2+;‎ ‎(2)化简:(1+a)(1﹣a)+a(a﹣2).‎ ‎【分析】(1)原式先计算乘方运算,化简二次根式,再计算乘法运算,最后算加减运算即可得到结果.‎ ‎(2)运用平方差公式即可解答.‎ ‎【解答】解:(1)原式=﹣6+1+2=﹣5+2;‎ ‎(2)原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a.‎ ‎【点评】本题考查了平方差公式,实数的运算以及单项式乘多项式.熟记实数运算法则即可解题,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.‎ ‎(1)求证:△ABC≌△AED;‎ ‎(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.‎ ‎【分析】(1)根据∠ACD=∠ADC,∠BCD=∠EDC=90°,可得∠ACB=∠ADE,进而运用SAS即可判定全等三角形;‎ ‎(2)根据全等三角形对应角相等,运用五边形内角和,即可得到∠BAE的度数.‎ ‎【解答】(1)证明:‎ ‎∵AC=AD,‎ ‎∴∠ACD=∠ADC,‎ 又∵∠BCD=∠EDC=90°,‎ ‎∴∠ACB=∠ADE,‎ 在△ABC和△AED中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△AED(SAS);‎ ‎(2)解:当∠B=140°时,∠E=140°,‎ 又∵∠BCD=∠EDC=90°,‎ ‎∴五边形ABCDE中,∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°.‎ ‎【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用,解题时注意:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)为培养学生数学学习兴趣,某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课(每位学生必须且只选其中一门).‎ ‎(1)学校对七年级部分学生进行选课调查,得到如图所示的统计图.根据该统计图,请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数.‎ ‎(2)学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A,B,C三个班,小聪、小慧都选择了“数学故事”,已知小聪不在A班,求他和小慧被分到同一个班的概率.(要求列表或画树状图)‎ ‎【分析】(1)利用样本估计总体,用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数;‎ ‎(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出他和小慧被分到同一个班的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:(1)480×=90,‎ 估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人;‎ ‎(2)画树状图为:‎ 共有6种等可能的结果数,其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2,‎ 所以他和小慧被分到同一个班的概率==.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.‎ ‎(1)在图1中画一个△PAB,使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;‎ ‎(2)在图2中画一个△PAB,使点P,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.‎ ‎【分析】(1)设P(x,y),由题意x+y=2,求出整数解即可解决问题;‎ ‎(2)设P(x,y),由题意x2+42=4(4+y),求出整数解即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)设P(x,y),由题意x+y=2,‎ ‎∴P(2,0)或(1,1)或(0,2)不合题意舍弃,‎ ‎△PAB如图所示.‎ ‎(2)设P(x,y),由题意x2+42=4(4+y),‎ 整数解为(2,1)或(0,0)等,△PAB如图所示.‎ ‎【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.‎ ‎21.(10分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点,交AB于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G,作ED∥AC交CG于点D ‎ ‎(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;‎ ‎(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.‎ ‎【分析】(1)连接CE,根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°,根据切线的性质得到∠FEO=90°,得到EF∥OD,于是得到结论;‎ ‎(2)过G作GN⊥BC于N,得到△GMB是等腰直角三角形,得到MB=GM,根据平行四边形的性质得到∠‎ FCD=∠FED,根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD,等量代换得到∠CGM=∠DEF,根据三角函数的定义得到CM=2GM,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)连接CE,‎ ‎∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠B=45°,‎ ‎∴∠COE=2∠B=90°,‎ ‎∵EF是⊙O的切线,‎ ‎∴∠FEO=90°,‎ ‎∴EF∥OC,‎ ‎∵DE∥CF,‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形;‎ ‎(2)过G作GN⊥BC于N,‎ ‎∴△GMB是等腰直角三角形,‎ ‎∴MB=GM,‎ ‎∵四边形CDEF是平行四边形,‎ ‎∴∠FCD=∠FED,‎ ‎∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°,‎ ‎∴∠CGM=∠ACD,‎ ‎∴∠CGM=∠DEF,‎ ‎∵tan∠DEF=2,‎ ‎∴tan∠CGM==2,‎ ‎∴CM=2GM,‎ ‎∴CM+BM=2GM+GM=3,‎ ‎∴GM=1,‎ ‎∴BG=GM=.‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质,平行四边形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)如图,过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.‎ ‎(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;‎ ‎(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;‎ ‎①连结BD,求BD的最小值;‎ ‎②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.‎ ‎【分析】(1)首先确定点A的坐标,利用对称轴公式求出对称轴,再根据对称性可得点B坐标;‎ ‎(2)①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,推出当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD;‎ ‎②当点D在对称轴上时,在Rt△OD=OC=5,OE=4,可得DE===3,求出P、D的坐标即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)由题意A(﹣2,5),对称轴x=﹣=4,‎ ‎∵A、B关于对称轴对称,‎ ‎∴B(10,5).‎ ‎(2)①如图1中,‎ 由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,‎ ‎∴当O、D、B共线时,BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5.‎ ‎②如图2中,‎ ‎ 图2‎ 当点D在对称轴上时,在Rt△ODE中,OD=OC=5,OE=4,‎ ‎∴DE===3,‎ ‎∴点D的坐标为(4,3).‎ 设PC=PD=x,在Rt△PDK中,x2=(4﹣x)2+22,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴P(,5),‎ ‎∴直线PD的解析式为y=﹣x+.‎ ‎【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,学会利用辅助圆解决最短问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)小黄准备给长8m,宽6m的长方形客厅铺设瓷砖,现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ(阴影部分)和一个环形区域Ⅱ(空白部分),其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设,且满足PQ∥AD,如图所示.‎ ‎(1)若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2,面积为S(m2),区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2,且两区域的瓷砖总价为不超过12000元,求S的最大值;‎ ‎(2)若区域Ⅰ满足AB:BC=2:3,区域Ⅱ四周宽度相等 ‎①求AB,BC的长;‎ ‎②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2,乙、丙瓷砖单价之比为5:3,且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元,求丙瓷砖单价的取值范围.‎ ‎【分析】(1)根据题意可得300S+(48﹣S)200≤12000,解不等式即可;‎ ‎(2)①设区域Ⅱ四周宽度为a,则由题意(6﹣2a):(8﹣2a)=2:3,解得a=1,由此即可解决问题;‎ ‎②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2,则甲的单价为(300﹣3x)元/m2,由PQ∥AD,可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12,设乙的面积为s,则丙的面积为(12﹣s),由题意12(300﹣3x)+5x•s+3x•(12﹣s)=4800,解得s=,由0<s<12,可得0<<12,解不等式即可;‎ ‎【解答】解:(1)由题意300S+(48﹣S)200≤12000,‎ 解得S≤24.‎ ‎∴S的最大值为24.‎ ‎(2)①设区域Ⅱ四周宽度为a,则由题意(6﹣2a):(8﹣2a)=2:3,解得a=1,‎ ‎∴AB=6﹣2a=4,CB=8﹣2a=6.‎ ‎②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2,则甲的单价为(300﹣3x)元/m2,‎ ‎∵PQ∥AD,‎ ‎∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12,设乙的面积为s,则丙的面积为(12﹣s),‎ 由题意12(300﹣3x)+5x•s+3x•(12﹣s)=4800,‎ 解得s=,‎ ‎∵0<s<12,‎ ‎∴0<<12,又∵300﹣3x>0,‎ 综上所述,50<x<100,150<3x<300,‎ ‎∴丙瓷砖单价3x的范围为150<3x<300元/m2.‎ ‎【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程或不等式解决实际问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎24.(14分)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.‎ ‎(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;‎ ‎(2)求证:AC=AB.‎ ‎(3)在点P的运动过程中 ‎①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;‎ ‎②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.‎ ‎【分析】(1)根据三角形ABP是等腰三角形,可得∠B的度数,再连接MD,根据MD为△PAB的中位线,可得∠MDB=∠APB=28°,进而得到=2∠MDB=56°;‎ ‎(2)根据∠BAP=∠ACB,∠BAP=∠B,即可得到∠ACB=∠B,进而得出AC=AB;‎ ‎(3)①记MP与圆的另一个交点为R,根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,即可得到PR=,MR=,再根据Q为直角三角形锐角顶点,分四种情况进行讨论:当∠ACQ=90°时,当∠QCD=90°时,当∠QDC=90°时,当∠AEQ=90°时,即可求得MQ的值为或或;‎ ‎②先判定△DEG是等边三角形,再根据GMD=∠GDM,得到GM=GD=1,过C作CH⊥AB于H,由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG,即可得到CG=MH=﹣1,进而得出S△ACG=CG×CH=,再根据S△DEG=,即可得到△ACG和△DEG的面积之比.‎ ‎【解答】解:(1)∵MN⊥AB,AM=BM,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∴∠PAB=∠B,‎ ‎∵∠APB=28°,‎ ‎∴∠B=76°,‎ 如图1,连接MD,‎ ‎∵MD为△PAB的中位线,‎ ‎∴MD∥AP,‎ ‎∴∠MDB=∠APB=28°,‎ ‎∴=2∠MDB=56°;‎ ‎(2)∵∠BAC=∠MDC=∠APB,‎ 又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B,‎ ‎∴∠BAP=∠ACB,‎ ‎∵∠BAP=∠B,‎ ‎∴∠ACB=∠B,‎ ‎∴AC=AB;‎ ‎(3)①如图2,记MP与圆的另一个交点为R,‎ ‎∵MD是Rt△MBP的中线,‎ ‎∴DM=DP,‎ ‎∴∠DPM=∠DMP=∠RCD,‎ ‎∴RC=RP,‎ ‎∵∠ACR=∠AMR=90°,‎ ‎∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2,‎ ‎∴12+MR2=22+PR2,‎ ‎∴12+(4﹣PR)2=22+PR2,‎ ‎∴PR=,‎ ‎∴MR=,‎ Ⅰ.当∠ACQ=90°时,AQ为圆的直径,‎ ‎∴Q与R重合,‎ ‎∴MQ=MR=;‎ Ⅱ.如图3,当∠QCD=90°时,‎ 在Rt△QCP中,PQ=2PR=,‎ ‎∴MQ=;‎ Ⅲ.如图4,当∠QDC=90°时,‎ ‎∵BM=1,MP=4,‎ ‎∴BP=,‎ ‎∴DP=BP=,‎ ‎∵cos∠MPB==,‎ ‎∴PQ=,‎ ‎∴MQ=;‎ Ⅳ.如图5,当∠AEQ=90°时,‎ 由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°,‎ ‎∴MQ=;‎ 综上所述,MQ的值为或或;‎ ‎②△ACG和△DEG的面积之比为.‎ 理由:如图6,∵DM∥AF,‎ ‎∴DF=AM=DE=1,‎ 又由对称性可得GE=GD,‎ ‎∴△DEG是等边三角形,‎ ‎∴∠EDF=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴∠DEF=75°=∠MDE,‎ ‎∴∠GDM=75°﹣60°=15°,‎ ‎∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°,‎ ‎∴GMD=∠GDM,‎ ‎∴GM=GD=1,‎ 过C作CH⊥AB于H,‎ 由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG,AH=,‎ ‎∴CG=MH=﹣1,‎ ‎∴S△ACG=CG×CH=,‎ ‎∵S△DEG=,‎ ‎∴S△ACG:S△DEG=.‎ ‎【点评】本题属于圆的综合题,主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,三角形中位线定理,勾股定理,圆周角定理以及解直角三角形的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形,运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解,解题时注意分类思想的运用.‎
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