2017湖北省宜昌市中考数学试卷解析

2017湖北省宜昌市中考数学试卷解析

‎2017年湖北省宜昌市中考数学试卷 满分：120分 版本：人教版 一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（2017湖北宜昌）有理数的倒数为（ ）‎ ‎ A．5 B． C． D．-5‎ ‎ 答案：D，解析：根据“乘积为1的两个数互为倒数”,得的倒数为-5．‎ ‎2．（2017湖北宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 答案：A，解析：根据轴对称图形的概念逐一进行判断，即轴对称图形就是把一个图形沿着某条直线进行折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，选项A既是轴对称图形，其余都不是轴对称图形，故选择A .‎ ‎3．（2017湖北宜昌）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对面上的字是（ ）‎ ‎ A．美 B．丽 C．宜 D．昌 ‎ 答案：C，解析：根据正方体展开图的相对面求解，如果以“爱”为底，则“我”和“美”分别为前侧面和后侧面，“丽”为右面，“宜”在上面，“昌在左面，故选择C ．‎ ‎4．（2017湖北宜昌）谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转.打一数学学习用具，谜底为（ ）‎ ‎ A．量角器 B．直尺 C．三角板 D．圆规 ‎ 答案：D，解析：根据选项实物形象与谜语相对照，只有选项D符合．‎ ‎5．（2017湖北宜昌）5月18 日，新平社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实观了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采.据介绍，“蓝鲸1号”拥有27354台设备，约40000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米.其中准确数是（ ）‎ ‎ A．27354 B．40000 C．50000 D．1200‎ ‎ 答案：A，解析：根据准确数与近似数的概念分别进行排除，符合准确数的只有选项A．‎ ‎6．（2017湖北宜昌）九一（1）班在参加学校接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎ 答案：D，解析：根据概率公式法：P(A)=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数；甲跑第一棒的概率为．‎ ‎7．（2017湖北宜昌）下列计算正确的是（ ）‎ ‎ A．a2+a3 =a5 B．a3·a2=a5 C．（a2）3=a5 D．a6÷a2=a3‎ ‎ 答案：B，解析：根据幂的有关运算性质和整式的有关运算法则．分别从“同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则”逐个验证各选项的正确性.选项A中 a2、a3不是同类项，不能进行计算，选项B中a2·a3=a2+3=a5；选项C中（a2） 3=a2×3=a6；选项D中a6÷a2=a6－2=a4.故选择B . 8．（2017湖北宜昌）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O,连接AO，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF ‎ C．GH垂直平分EF D． GH平分AF ‎ 答案：C，解析：根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线，故选C．‎ ‎9．（2017湖北宜昌）如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离.可以在AB外选一点C,连接AC，BC，并分别找出它们的中点D、E, 连接DE.现测得AC=30 m，BC=40 m，DE=24 m,则（ ）‎ ‎ A．50m B．48m C．45m D．35m ‎ 答案：B，解析：由题意可知线段DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得AB=2 DE=48 m．‎ ‎10．（2017湖北宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）‎ ‎ ‎ A．①② B．①③ C． ②④ D．③④‎ 答案：B，解析：根据剪开所得图形的内角和进行识别与判断，都是四边形，符合要求，第2个剪开所得两个图形分别是五边形和三角形，不符合，第3个剪开所得两个图形分别是三角形，符合要求，第4个剪开所得两个图形分别是三角形和四边形，不符合．‎ ‎11．（2017湖北宜昌）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．AB=AD B．BC=CD C． = D．∠BCA=∠ACD ‎ 答案：B，解析：根据圆心距、弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．‎ ‎12．（2017湖北宜昌）今年5月21日是全国第27个助残日，某地开展“心手相连，共浴阳光”为主题的手工制品义卖销售活动.长江特殊教育学校将同学们手工制作的手串、中国结、手提包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表，其中销售率最高的是（ ）‎ 手式制品 手串 中国结 手提包 木雕笔筒 总数量（个）‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎70‎ 销售数量（个）‎ ‎190‎ ‎100‎ ‎76‎ ‎68‎ ‎ ‎ A．手串 B．中国结 C．手提包 D．木雕笔筒 ‎ 答案：B，解析：根据销售率=销售数量除以总数量，可知中国结的销售率最高是100%．‎ ‎13．（2017湖北宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方体边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（ ）‎ ‎ A．sin=cos B．tanC=2 C．sin=cos D．tan=1 ‎ ‎ 答案：C，解析：先构建直角三角形再根据三角函数的定义， sin=cos=，tanC= =2，sin=cos（90-），故选C．‎ ‎14．（2017湖北宜昌）计算的结果为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．0‎ ‎ 答案：A，解析：根据整式的运算法则及分式的基本性质化简，原式==1．‎ ‎15．（2017湖北宜昌）某学校要种植一块面积为100的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C，解析：由题意得y=，因两边长均不小于5，可得y≥20,符合题意的选项只有C．‎ 二、解答题 （本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎16．（2017湖北宜昌）（本小题满分6分）计算：‎ ‎ 思路分析：根据有理数运算顺序及法则计算，先括号，再乘方，最后乘法．‎ 解：原式=8=3．‎ ‎17．（2017湖北宜昌）（本小题满分6分）解不等式组 思路分析：根据不等式基本性质．先解两个一元一次不等式，再求两个解集的公共部分．‎ ‎，‎ 解：由①得 x≥－2；由②得x<2，所以，不等式组的解集为-2≤x＜2．‎ ‎ ‎ ‎18．（2017湖北宜昌）（本小题满分7分）YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够， 导致出现需要租用却未租到车的现象，现随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格.‎ 请回答下列问题:‎ 时间 第一天 ‎7：00-8：00‎ 第二天 ‎7：00-8：00‎ 第三天 ‎7：00-8：00‎ 第四天 ‎7：00-8：00‎ 第五天 ‎7：00-8：00‎ 需要租车却未租到车的人数 ‎1500‎ ‎1200‎ ‎1300‎ ‎1300‎ ‎1200‎ ‎（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？‎ ‎（2）由随机抽样估计，平均每天在7:00-8:00 :需要租用公共自行车的人数是多少？‎ ‎ 思路分析：（1）把一组数据从小到大排列后，处在最中间的数据(数据有奇数个)或中间两个数据(有偶数个数据)的平均数就是这组数据的中位数；（2）把一组数据先求和，再除以数据的总个数就可以得到该组数据的平均数；，‎ 解：（1）由表可知，中位数是1300．‎ ‎（2）平均每天需要租车却未租到车的人数：（1500+1200+1300+1300+1200）5=1300‎ 平均每天在7:00-8:00 :需要租用公共自行车的人数：1300+700=2000‎ ‎19．（2017湖北宜昌）（本小题满分7分）“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度 (单位： m/s)与时间x (单位：s)的关系如图所示，其中线段BC∥ x轴.‎ ‎（1）当0≤x≤10，求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）求C点的坐标.‎ ‎ 思路分析：（1）根据函数图象用待定系数法求解 ‎；（2）先求直线BC的解析式，借助横坐标求解点B的纵坐标，最后结合BC∥x轴求解点C的坐标.‎ 解：(1)当0≤x≤10, y关于x的图象呈直线且过原点，故设函数解析式为y=kx,将（10，50）代入上式，得k=5,故解析式为y=5x．‎ ‎（2）当10≤x≤30, y关于x的图象呈直线，故设函数解析式为y=kx+b,将（10，50）（25，80）代入上式，得，解得k=5,b=30,故解析式为y=2x+30．‎ 将x=30代入y=2x+30，得y=90,所以C点的坐标为（60，90）．‎ ‎20．（2017湖北宜昌）（本小题满分8分）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：‎ 其中m>n>0，m，n是互质的奇数.‎ 应用，当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.‎ ‎ 思路分析：当n=1时，将三边用含有m,n的代数式表示勾股数，进而分类考虑其中一边为5时分别求解三边是否符合题意分析与判断，‎ 解：当n=1时，a= (m2-1) ①，b=m②,c=(m2+1) ③‎ 因为直角三角形有一边长为5，分情况如下： ‎ 情况1：当a=5时，即(m2-1)=5，解得m=(舍去)；‎ 情况2：当b=5时，即m=5，再将它分别代入①③得 a=×(52-1)=12，c=×(52-1)=13；‎ 情况3：当c=5时，即(m2+1)=5，m=±3，因m>0，所以m=3，把m=3分别代入①②得a=×(32-1)=4，b=3.‎ 综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4．‎ ‎21．（2017湖北宜昌）（本小题满分8分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，ED=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于D, B点在⊙O上，连接OB.‎ ‎（1）求证：DE=OE； ‎ ‎（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形.‎ ‎ 思路分析：（1）利用切线的性质构建直角三角形，进而运用等角的余角相等求证相等的边；‎ ‎（2）先证一组对边相等，借助平行得到平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证.‎ 解：（1）证明：连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD ‎∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°‎ 又∵DE=EC，∴∠2=∠1，‎ ‎∴∠3=∠COD，∴DE=EO ‎（2）∵OD=OE,‎ ‎∴OD=ED=OE,‎ ‎∴∠3=∠COD=∠DEO=60°‎ ‎∴∠2=∠1=30°,‎ ‎∵OA=OB=OE，而OE=DE=EC,‎ ‎∴OA=OB=DE=EC,‎ 又∵AB∥CD,‎ ‎∴∠4=∠1‎ ‎∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°‎ ‎∴△ABO≌△CDE ‎∴AB=CD 四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎∴∠DAE= ∠DOE=30°‎ ‎∴∠1=∠DAE ‎∴CD=AD ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎22．（2017湖北宜昌）（本小题满分10分）某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.‎ ‎2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2. ‎ ‎（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？‎ ‎（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？‎ ‎（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.‎ ‎ 思路分析：（1）根据三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2求解； ‎ ‎（2）根据辅助配套投资、线路敷设投资每年都增加亿元列方程组求解；‎ ‎（3）根据搬迁安置投资逐年递减列方程求解.‎ 解：（1）三年用于辅助配套的投资为54×=36（亿元）‎ ‎（2）设2015年年初，对辅助配套投资为x亿元，则线路敷设、搬迁安置投资分别是2x亿元、4x亿元，由题意得，解得 所以市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元.‎ ‎（3）由x=5得2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y,由题意得20（1-y）2=5‎ 解得y1=0.5,y2=1.5(舍去)‎ 所以搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%.‎ ‎23．（2017湖北宜昌）（本小题满分11分）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°. ‎ ‎(1)当MO经过点A时， ‎ ‎①请直接填空：ON （可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）‎ ‎②如图2,在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F，EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形.‎ 当OM不过点A时，设OM交边AB于G,且OG=1.在NO上存在点P,过P点作PK垂直于直线BC,垂足为点K，使得S△POK=4S△OGB，连接GP，求四边形PKBG的最大面积.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎ 思路分析：(1) ②根据三角为直角证矩形，再证邻边相等可证出正方形；‎ ‎（2）将四边形的面积转化为三个三角形面积的计算.‎ 解：（1）①不可能 ‎②∵∠MON=90°,‎ ‎∴∠EOF=90°-∠AOB,‎ 在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB ‎∴∠EOF = ∠BAO 又∵EH⊥CD, EF⊥CB,‎ ‎,∴∠EHC=∠EFC=90°,而∠HCF=90°‎ ‎∴四边形EFCH为矩形 又∠EOF = ∠BAO，∠EFO =∠B，OE=OA,‎ ‎∴△EOF≌△BAO ‎ ‎∴EF=BO,OF=AB 有OF=OC+CF=AB=BC=BO+CO=FE+CO ‎∴CF=EF,‎ ‎∴四边形EFCH为正方形 ‎（2） 由∠POK=∠OGB, ∠PKO=∠OBG,‎ 得△POK∽△OGB，‎ ‎∵S△POK=4S△OGB ‎ 有S△POK：S△OGB ==4,‎ ‎∴OP=2,可得OG=1,‎ 方法一：因为OG=1为定值，如图，Rt△OGB内接于⊙Q（设OB=a,BG=b）,‎ 过B作BT⊥OG，垂足为T,则ab=BT·OG,‎ 当BT为半径时，ab最大，即为，这时△OGB最大面积为.‎ 方法二：由完全平方公式，（a-b）2=a2-2ab+b2≥0,‎ 此题中ab≤(a2+b2)‎ 又因a2+b2=1，‎ 所以ab≤，‎ 所以ab的最大值为 所以△OGB最大面积为.‎ 方法三：△OGB的面积为ab=a==‎ 这时当a2=时，△OGB的最大面积为，‎ 所以四边形PKBG的最大面积为1++1=‎ ‎24．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b>0>c，且a+b+c=0.‎ ‎（1）直接写出关于的一元二次方程ax2+bx+c =0的一个根；‎ ‎（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限； ‎ ‎（3）直线y= x+m与轴轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与轴相交于E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得△ADF与△OCB相似.并且，求此时抛物线的表达式.‎ ‎ 思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.‎ 解：（1）ax2+bx+c =0的一个根为1（或者-3）‎ ‎（2）证明：∵ b =2a，∴对称轴x==-1,将b=2a代入a+b+c=0.得c=-3a.‎ 方法一：∵a=b>0>c，∴b2-4ac>0,‎ ‎∴<0,‎ 所以顶点A（-1，）在第三象限.‎ 方法二：∵b =2a， c=-3a ，‎ ‎∴==-4a <0,‎ 所以顶点A（-1，）在第三象限.‎ ‎（3）∵b =2a， c=-3a ‎∴x==‎ ‎∴x1=-3，x2=1,‎ 所以函数表达式为y=ax2+2ax-3a，‎ ‎∵直线y= x+m与x轴、y轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=‎ 所以△BOC是以∠BOC为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.‎ 又因点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC与△ADF相似，顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x=-1，设对称轴x=-1与OF交于点G.‎ ‎∵直线y=x+m过顶点A，所以m=1-4a，‎ ‎∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组，解得，，‎ 这里的（-1，4a）即为顶点A，点（-1，-4a）即为顶点D的坐标（-1，-4a）‎ D点到对称轴x=-1的距离为-1-（-1）=，AE==4a,‎ S△ADE=××4a=2,即它的面积为定值.‎ 这时等腰直角△ADF的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C重合且在y轴上，由-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x2+2x-3‎