2020年甘肃省天水市中考数学试卷【含答案】

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2020年甘肃省天水市中考数学试卷【含答案】

1 / 11 2020 年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的,请把正确的选项选出来) 1. 下列四个实数中,是负数的是( ) A.−(−3) B.(−2)2 C.| − 4| D.−√5 2. 天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元,将数341000用科学记数 法表示为( ) A.3.41 × 105 B.3.41 × 106 C.341 × 103 D.0.341 × 106 3. 某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种表面展开图,那么在原正方 体中,与“伏”字所在面相对面上的汉字是( ) A.文 B.羲 C.弘 D.化 4. 某小组8名学生的中考体育分数如下:39,42,44,40,42,43,40,42.该 组数据的众数、中位数分别为( ) A.40,42 B.42,43 C.42,42 D.42,41 5. 如图所示,푃퐴、푃퐵分别与⊙ 푂相切于퐴、퐵两点,点퐶为⊙ 푂上一点,连接퐴퐶、 퐵퐶,若∠푃=70∘,则∠퐴퐶퐵的度数为( ) A.50∘ B.55∘ C.60∘ D.65∘ 6. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 7. 若函数푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象如图所示,则函数푦=푎푥 + 푏和푦 = 푐 푥 在同一 平面直角坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 8. 如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆퐵퐸测量建筑物的高度,已知标杆퐵퐸高 1.5푚,测得퐴퐵=1.2푚,퐵퐶=12.8푚,则建筑物퐶퐷的高是( ) A.17.5푚 B.17푚 C.16.5푚 D.18푚 9. 若关于푥的不等式3푥 + 푎 ≤ 2只有2个正整数解,则푎的取值范围为( ) A.−7 < 푎 < −4 B.−7 ≤ 푎 ≤ −4 C.−7 ≤ 푎 < −4 D.−7 < 푎 ≤ −4 2 / 11 10. 观察等式:2 + 22=23 − 2;2 + 22 + 23=24 − 2;2 + 22 + 23 + 24=25 − 2;…已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199,2200,若2100=푆, 用含푆的式子表示这组数据的和是( ) A.2푆2 − 푆 B.2푆2 + 푆 C.2푆2 − 2푆 D.2푆2 − 2푆 − 2 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.只要求填写最后结果) 11. 分解因式:푚3푛 − 푚푛=________. 12. 一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程푥2 − 8푥 + 12=0的根,则该 三角形的周长为________. 13. 已知函数푦 = √푥+2 푥−3 ,则自变量푥的取值范围是________. 14. 已知푎 + 2푏 = 10 3 ,3푎 + 4푏 = 16 3 ,则푎 + 푏的值为________. 15. 如图所示,∠퐴푂퐵是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠퐴푂퐵的值是________. 16. 如图所示,若用半径为8,圆心角为120∘的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略 不计),则这个圆锥的底面半径是________. 17. 如图,将正方形푂퐸퐹퐺放在平面直角坐标系中,푂是坐标原点,点퐸的坐标为 (2,  3),则点퐹的坐标为________. 18. 如图,在边长为6的正方形퐴퐵퐶퐷内作∠퐸퐴퐹=45∘,퐴퐸交퐵퐶于点퐸,퐴퐹交퐶퐷于 点퐹,连接퐸퐹,将△ 퐴퐷퐹绕点퐴顺时针旋转90∘得到△ 퐴퐵퐺.若퐷퐹=3,则퐵퐸的长为 ________. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 28 分.解答时写出必要的文字说明及演算过程) 19. (1)计算:4sin60∘ − |√3 − 2| + 20200 − √12 + (1 4)−1. 19. (2)先化简,再求值: 1 푎−1 − 푎−1 푎2+2푎+1 ÷ 푎−1 푎+1 ,其中푎 = √3. 3 / 11 20. 为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度,某中学数学兴趣小组 在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意,一般,满意,非常满意四类, 回收、整理好全部问卷后,得到下列不完整的统计图. 请结合图中的信息,解决下列问题: (1)此次调查中接受调查的人数为________人; (2)请你补全条形统计图; (3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为________度; (4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访, 已知这4位市民中有2位男性,2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为 “一男一女”的概率. 21. 如图所示,一次函数푦=푚푥 + 푛(푚 ≠ 0)的图象与反比例函数푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)的图象 交于第二、四象限的点퐴(−2,  푎)和点퐵(푏, −1),过퐴点作푥轴的垂线,垂足为点퐶,△ 퐴푂퐶的面积为4. (1)分别求出푎和푏的值; (2)结合图象直接写出푚푥 + 푛 > 푘 푥 中푥的取值范围; (3)在푦轴上取点푃,使푃퐵 − 푃퐴取得最大值时,求出点푃的坐标. 四、解答题(本大题共 50 分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程) 22. 为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如 图所示,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行,在퐴处 4 / 11 测得灯塔푃在北偏东60∘方向上,继续航行30分钟后到达퐵处,此时测得灯塔푃在北偏 东45∘方向上. (1)求∠퐴푃퐵的度数; (2)已知在灯塔푃的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全? (参考数据:√2 ≈ 1.414,√3 ≈ 1.732) 23. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,∠퐶=90∘,퐴퐷平分∠퐵퐴퐶交퐵퐶于点퐷,点푂在퐴퐵上,以点푂 为圆心,푂퐴为半径的圆恰好经过点퐷,分别交퐴퐶、퐴퐵于点퐸、퐹. (1)试判断直线퐵퐶与⊙ 푂的位置关系,并说明理由; (2)若퐵퐷=2√3,퐴퐵=6,求阴影部分的面积(结果保留휋). 24. 性质探究 如图(1),在等腰三角形퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=120∘,则底边퐴퐵与腰퐴퐶的长度之比为 √3: 5 / 11 1 . 理解运用 (1)若顶角为120∘的等腰三角形的周长为4 + 2√3,则它的面积为________; (2)如图(2),在四边形퐸퐹퐺퐻中,퐸퐹=퐸퐺=퐸퐻,在边퐹퐺,퐺퐻上分别取中点푀,푁, 连接푀푁.若∠퐹퐺퐻=120∘,퐸퐹=20,求线段푀푁的长. 类比拓展 顶角为2훼的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________.(用含훼的式子表示) 25. 天水市某商店准备购进퐴、퐵两种商品,퐴种商品每件的进价比퐵种商品每件的进 价多20元,用2000元购进퐴种商品和用1200元购进퐵种商品的数量相同.商店将퐴种 商品每件的售价定为80元,퐵种商品每件的售价定为45元. (1)퐴种商品每件的进价和퐵种商品每件的进价各是多少元? (2)商店计划用不超过1560元的资金购进퐴、퐵两种商品共40件,其中퐴种商品的数 量不低于퐵种商品数量的一半,该商店有几种进货方案? (3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件퐴种商品售价优惠푚(10 < 푚 < 20)元,퐵种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出푚的不同取值范围内, 销售这40件商品获得总利润最大的进货方案. 6 / 11 26. 如图所示,拋物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)与푥轴交于퐴、퐵两点,与푦轴交于点퐶, 且点퐴的坐标为퐴(−2,  0),点퐶的坐标为퐶(0,  6),对称轴为直线푥=1.点퐷是抛物线上 一个动点,设点퐷的横坐标为푚(1 < 푚 < 4),连接퐴퐶,퐵퐶,퐷퐶,퐷퐵. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当△ 퐵퐶퐷的面积等于△ 퐴푂퐶的面积的3 4 时,求푚的值; (3)在(2)的条件下,若点푀是푥轴上一动点,点푁是抛物线上一动点,试判断是否 存在这样的点푀,使得以点퐵,퐷,푀,푁为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请 直接写出点푀的坐标;若不存在,请说明理由. 7 / 11 参考答案与试题解析 2020 年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的,请把正确的选项选出来) 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.只要求填写最后结果) 11.푚푛(푚 − 1)(푚 + 1) 12.13 13.푥 ≥ −2且푥 ≠ 3 14.1 15.√2 2 16.8 3 17.(−1,  5) 18.2 三、解答题(本大题共 3 小题,共 28 分.解答时写出必要的文字说明及演算过程) 19.原式=4 × √3 2 − (2 − √3) + 1 − 2√3 + 4 =2√3 − 2 + √3 + 1 − 2√3 + 4 =3 + √3; 原式= 1 푎−1 − 푎−1 (푎+1)2 ⋅ 푎+1 푎−1 = 1 푎 − 1 − 1 푎 + 1 = 푎 + 1 (푎 + 1)(푎 − 1) − 푎 − 1 (푎 + 1)(푎 − 1) = 2 (푎 + 1)(푎 − 1) = 2 푎2−1 , 当푎 = √3时, 原式= 2 (√3)2−1 = 2 3 − 1 = 2 2 =1. 20.50 此次调查中结果为满意的人数为:50 − 4 − 8 − 18=20(人); 144 画树状图得: 8 / 11 ∵ 共有12种等可能的结果,选择回访市民为“一男一女”的有8种情况, ∴ 选择回访的市民为“一男一女”的概率为: 8 12 = 2 3 . 21.∵ △ 퐴푂퐶的面积为4, ∴ 1 2 |푘|=4, 解得,푘=−8,或푘=8(不符合题意舍去), ∴ 反比例函数的关系式为푦 = − 8 푥 , 把点퐴(−2,  푎)和点퐵(푏, −1)代入푦 = − 8 푥 得, 푎=4,푏=8; 答:푎=4,푏=8; 根据一次函数与反比例函数的图象可知,不等式푚푥 + 푛 > 푘 푥 的解集为푥 < −2或0 < 푥 < 8; ∵ 点퐴(−2,  4)关于푦轴的对称点퐴′(2,  4), 又퐵(8, −1),则直线퐴′퐵与푦轴的交点即为所求的点푃, 设直线퐴′퐵的关系式为푦=푐푥 + 푑, 则有{ 2푐 + 푑 = 4 8푐 + 푑 = −1 , 解得,{ 푐 = − 5 6 푑 = 17 3 , ∴ 直线퐴′퐵的关系式为푦 = − 5 6 푥 + 17 3 , ∴ 直线푦 = − 5 6 푥 + 17 3 与푦轴的交点坐标为(0, 17 3 ), 即点푃的坐标为(0, 17 3 ). 四、解答题(本大题共 50 分,解答时写出必要的演算步骤及推理过程) 22.由题意得,∠푃퐴퐵=90∘ − 60∘=30∘,∠퐴푃퐵=90∘ + 45∘=135∘, ∴ ∠퐴푃퐵=180∘ − ∠푃퐴퐵 − ∠퐴푃퐵=180∘ − 30∘ − 135∘=15∘; 作푃퐻 ⊥ 퐴퐵于퐻,如图: 则△ 푃퐵퐻是等腰直角三角形, ∴ 퐵퐻=푃퐻, 设퐵퐻=푃퐻=푥海里, 由题意得:퐴퐵=40 × 30 60 = 20(海里), 在푅푡 △ 퐴푃퐻中,tan∠푃퐴퐵=tan30∘ = 푃퐻 퐴퐻 = √3 3 , 即 푥 20+푥 = √3 3 , 解得:푥=10√3 + 10 ≈ 27.32 > 25,且符合题意, ∴ 海监船继续向正东方向航行安全. 23.证明:连接푂퐷,如图: ∵ 푂퐴=푂퐷, ∴ ∠푂퐴퐷=∠푂퐷퐴, ∵ 퐴퐷平分∠퐶퐴퐵, ∴ ∠푂퐴퐷=∠퐶퐴퐷, ∴ ∠퐶퐴퐷=∠푂퐷퐴, ∴ 퐴퐶 // 푂퐷, ∴ ∠푂퐷퐵=∠퐶=90∘, 即퐵퐶 ⊥ 푂퐷, 又∵ 푂퐷为⊙ 푂的半径, 9 / 11 ∴ 直线퐵퐶是⊙ 푂的切线; 设푂퐴=푂퐷=푟,则푂퐵=6 − 푟, 在푅푡 △ 푂퐷퐵中,由勾股定理得:푂퐷2 + 퐵퐷2=푂퐵2, ∴ 푟2 + (2√3)2=(6 − 푟)2, 解得:푟=2, ∴ 푂퐵=4, ∴ 푂퐷 = √푂퐵2 − 퐵퐷2 = √42 − (2√3)2 = 2, ∴ 푂퐷 = 1 2 푂퐵, ∴ ∠퐵=30∘, ∴ ∠퐷푂퐵=180∘ − ∠퐵 − ∠푂퐷퐵=60∘, ∴ 阴影部分的面积푆=푆△푂퐷퐵 − 푆扇形퐷푂퐹 = 1 2 × 2 √3 × 2 − 60휋×22 360 = 2√3 − 2휋 3 . 24.√3 2sin훼: 1 25.设퐴种商品每件的进价是푥元,则퐵种商品每件的进价是(푥 − 20)元, 由题意得:2000 푥 = 1200 푥−20 , 解得:푥=50, 经检验,푥=50是原方程的解,且符合题意, 50 − 20=30, 答:퐴种商品每件的进价是50元,퐵种商品每件的进价是30元; 设购买퐴种商品푎件,则购买퐵商品(40 − 푎)件, 由题意得:{ 50푎 + 30(40 − 푎) ≤ 1560 푎 ≥ 1 2 (40 − 푎) , 解得40 3 ≤ 푎 ≤ 18, ∵ 푎为正整数, ∴ 푎=14、15、16、17、18, ∴ 商店共有5种进货方案; 设销售퐴、퐵两种商品共获利푦元, 由题意得:푦=(80 − 50 − 푚)푎 + (45 − 30)(40 − 푎)=(15 − 푚)푎 + 600, ①当10 < 푚 < 15时,15 − 푚 > 0,푦随푎的增大而增大, ∴ 当푎=18时,获利最大,即买18件퐴商品,22件퐵商品, ②当푚=15时,15 − 푚=0, 푦与푎的值无关,即(2)问中所有进货方案获利相同, ③当15 < 푚 < 20时,15 − 푚 < 0,푦随푎的增大而减小, ∴ 当푎=14时,获利最大,即买14件퐴商品,26件퐵商品. 26.由题意得:{ − 푏 2푎 = 1 4푎 − 2푏 + 푐 = 0 푐 = 6 , 解得:{ 푎 = − 3 4 푏 = 3 2 푐 = 6 , ∴ 抛物线的函数表达式为:푦 = − 3 4 푥2 + 3 2 푥 + 6; 过点퐷作퐷퐸 ⊥ 푥轴于퐸,交퐵퐶于퐺,过点퐶作퐶퐹 ⊥ 퐸퐷交퐸퐷的延长线于퐹,如图1所示: ∵ 点퐴的坐标为(−2,  0),点퐶的坐标为(0,  6), ∴ 푂퐴=2,푂퐶=6, ∴ 푆△퐴푂퐶 = 1 2 푂퐴 ⋅ 푂퐶 = 1 2 × 2 × 6=6, ∴ 푆△퐵퐶퐷 = 3 4 푆△퐴푂퐶 = 3 4 × 6 = 9 2 , 10 / 11 当푦=0时,− 3 4 푥2 + 3 2 푥 + 6=0, 解得:푥1=−2,푥2=4, ∴ 点퐵的坐标为(4,  0), 设直线퐵퐶的函数表达式为:푦=푘푥 + 푛, 则{0 = 4푘 + 푛 6 = 푛 , 解得:{푘 = − 3 2 푛 = 6 , ∴ 直线퐵퐶的函数表达式为:푦 = − 3 2 푥 + 6, ∵ 点퐷的横坐标为푚(1 < 푚 < 4), ∴ 点퐷的坐标为:(푚, − 3 4 푚2 + 3 2 푚 + 6), 点퐺的坐标为:(푚, − 3 2 푚 + 6), ∴ 퐷퐺 = − 3 4 푚2 + 3 2 푚 + 6 − (− 3 2 푚 + 6) = − 3 4 푚2 + 3푚,퐶퐹=푚,퐵퐸=4 − 푚, ∴ 푆△퐵퐶퐷=푆△퐶퐷퐺 + 푆△퐵퐷퐺 = 1 2 퐷퐺 ⋅ 퐶퐹 + 1 2 퐷퐺 ⋅ 퐵퐸 = 1 2 퐷퐺 × (퐶퐹 + 퐵퐸) = 1 2 × (− 3 4 푚2 + 3푚) × (푚 + 4 − 푚) = − 3 2 푚2 + 6푚, ∴ − 3 2 푚2 + 6푚 = 9 2 , 解得:푚1=1(不合题意舍去),푚2=3, ∴ 푚的值为3; 由(2)得:푚=3,− 3 4 푚2 + 3 2 푚 + 6 = − 3 4 × 32 + 3 2 × 3 + 6 = 15 4 , ∴ 点퐷的坐标为:(3, 15 4 ), 分三种情况讨论: ①当퐷퐵为对角线时,如图2所示: ∵ 四边形퐵푁퐷푀是平行四边形, ∴ 퐷푁 // 퐵푀, ∴ 퐷푁 // 푥轴, ∴ 点퐷与点푁关于直线푥=1对称, ∴ 푁(−1, 15 4 ), ∴ 퐷푁=3 − (−1)=4, ∴ 퐵푀=4, ∵ 퐵(4,  0), ∴ 푀(8,  0); ②当퐷푀为对角线时,如图3所示: 由①得:푁(−1, 15 4 ),퐷푁=4, ∵ 四边形퐵푁퐷푀是平行四边形, ∴ 퐷푁=퐵푀=4, ∵ 퐵(4,  0), ∴ 푀(0,  0); ③当퐷푁为对角线时, ∵ 四边形퐵푁퐷푀是平行四边形, ∴ 퐷푀=퐵푁,퐷푀 // 퐵푁, ∴ ∠퐷푀퐵=∠푀퐵푁, ∴ 点퐷与点푁的纵坐标相等, ∵ 点퐷(3, 15 4 ), ∴ 点푁的纵坐标为:− 15 4 , 将푦 = − 15 4 代入푦 = − 3 4 푥2 + 3 2 푥 + 6中, 得:− 3 4 푥2 + 3 2 푥 + 6 = − 15 4 , 解得:푥1=1 + √14,푥2=1 − √14, 当푥=1 + √14时,如图4所示: 则푁(1 + √14, − 15 4 ), 分别过点퐷、푁作푥轴的垂线,垂足分别为퐸、푄, 11 / 11 在푅푡 △ 퐷퐸푀和푅푡 △ 푁푄퐵中,{퐷푀 = 퐵푁 퐷퐸 = 푁푄 , ∴ 푅푡 △ 퐷퐸푀 ≅ 푅푡 △ 푁푄퐵(퐻퐿), ∴ 퐵푄=퐸푀, ∵ 퐵푄=1 + √14 − 4 = √14 − 3, ∴ 퐸푀 = √14 − 3, ∵ 퐸(3,  0), ∴ 푀(√14, 0); 当푥=1 − √14时,如图5所示: 则푁(1 − √14, − 15 4 ), 同理得点푀(−√14,  0); 综上所述,点푀的坐标为(8,  0)或(0,  0)或(√14,  0)或(−√14,  0).
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