初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第1讲 走进追问求根公式

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第1讲 走进追问求根公式

1 第一讲 走进追问求根公式 形如 02  cbxax （ 0a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式 a acbbx 2 42 2,1  内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元 二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解 可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问 题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例 1】满足 1)1( 22  nnn 的整数 n 有 个。 思路点拨：从指数运算律、±1 的特征人手，将问题转化为解方程。 【例 2】设 1x 、 2x 是二次方程 032  xx 的两个根，那么 194 2 2 3 1  xx 的值等于（ ） A、一 4 B、8 C、6 D、0 思路点拨：求出 、 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式 降次，如 1 2 1 3 xx  ， 2 2 2 3 xx  。 【例 3】 解关于 x 的方程 02)1( 2  aaxxa 。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分 01a 及 01a 两种情况讨论。 【例4】 设方程 04122  xx ，求满足该方程的所有根之和。 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例 5】 已知实数 a 、 b 、 c 、 d 互不相等，且 xaddccbba  1111 ， 试求 x 的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换； (2)把方程 （ ）变形为 cbxax 2 ，代换后降次； (3)把方程 （ ）变形为 cbxax 2 或 bxcax 2 ，代换后使之转化关系或整体 地消去 x 。 解合字母系数方程 时，在未指明方程类型时，应分 0a 及 0a 两种情况讨论；解绝 对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 222 xxx  。 2 走进追问求根公式学历训练 1 、 已知 a 、 b 是 实 数 ， 且 0262  ba ， 那 么 关 于 x 的 方 程 1)2( 22  axbxa 的根 为 。 2、已知 0232  xx ，那么代数式 1 1)1( 23   x xx 的值是 。 3、若 142  yxyx ， 282  xxyy ，则 yx  的值为 。 4、若两个方程 02  baxx 和 02  abxx 只有一个公共根，则( ) A、 ba  B、 0ba C、 1ba D、 1ba 5、当分式 43 1 2  xx 有意义时， x 的取值范围是( ) A、 1x B、 4x C、 41  x D、 1x 且 4x 6、方程 011)1(  xxxx 的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 7、解下列关于 的方程： (1) 03)12()1( 2  mxmxm ； (2) 012  xx ； (3) xxx 26542  。 8、已知 0222  xx ，求代数式 )1)(3()3)(3()1( 2  xxxxx 的值。 9、是否存在某个实数 m，使得方程 022  mxx 和 022  mxx 有且只有一个公共的实根?如果存在， 求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的基本策略是： 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而 不求，通过消去二次项寻找解题突破口。 10、若 0152  xx ，则 1 5392 2 2   x xx ＝ 。 11、已知 m 、 n 是有理数，方程 02  nmxx 有一个根是 25  ，则 nm 的值为 。 3 12、已知 a 是方程 020002  xx 的一个正根。则代数式 a 20001 20001 20003    的值为 。 13、对于方程 mxx  222 ，如果方程实根的个数恰为 3 个，则 m 值等于( ) A、1 B、2 C、 3 D、2．5 14、自然数 n 满足 16162472 )22()22( 2   nn nnnn ，这样的 n 的个数是( ) A、2 B、1 C、3 D、4 15、已知 a 、 b 都是负实数，且 0 111  baba ，那么 a b 的值是( ) A、 2 15  B、 2 51 C、 2 51 D、 2 51 16、已知 3819 x ，求 158 231826 2 234   xx xxxx 的值。 17、已知 m、n 是一元二次方程 0720012  xx 的两个根，求 )82002)(62000( 22  nmmm 的值。 18、在一个面积为 l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边 等分，然后将每个顶点和 它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为 3281 1 ，求 的值。 19、已知方程 0132  xx 的两根 、  也是方程 024  qpxx 的根，求 p 、 q 的值。 20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且 S△ABC= S 矩形 PQRS，其中 为不小于 3 的自 然数．求证： AB BS 需为无理数。 4 5 参考答案 6