2020-2021九年级数学上册二次函数单元同步练习1（新人教版pdf格式）
2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：二次函数（一）
1．如图，抛物线 y=﹣2x2+4x 与 x 轴的另一个交点为 A，现将抛物线向右平移 m（m＞2）个单位长度，所
得抛物线与 x 轴交于 C，D，与原抛物线交于点 P，设△ PCD 的面积为 S，则用 m 表示 S 正确的是（ ）
A．
2
m （m2﹣4） B． 1
2 m2﹣2 C． （4﹣m2） D．2﹣ m2
【答案】B
【解析】【分析】先求出 A 的坐标，设 P 关于 x=1 的对称点为 Q，且设 P 的横坐标为 x1，Q 的横坐标为 x2，
根据题意可知 x1+x2=2，x1﹣x2=m，从而求出 x1 与 x2 的表达式．
【详解】∵y=﹣2x2+4x=y=﹣2（x-1）2+2，∴抛物线的对称轴为：x=1，令 y=0 代入 y=﹣2x2+4x，∴0=﹣2x2+4x，
∴x=0 或 x=2，∴A（2，0）， ∴OA=2，设 P 关于 x=1 的对称点为 Q，且设 P 的横坐标为 x1，Q 的横坐标为
x2，∴ 1212
xx ．
∵抛物线向右平移 m（m＞2）个单位长度，∴PQ=m，∴x1﹣x2=m，∴ 12
12
2xx
x x m
，解得：x1= 2
2
m ，x2=
2
2
m ．
把 x1= 代入 y=﹣2x2+4x，∴y=2﹣
2
2
m ＜0，∴在△ PCD 中，CD 边上的高为： ﹣2．
∵OA=CD=2，∴S△ PCD= 1
2 ×2×（
2
22
m ）= ﹣2．
故选 B．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是求出 P 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求
出△ PCD 的面积，本题属于中等题型．
2．已知抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，对应的函数值分别为 y1、y2．若 y1≠y2，取 y1、
y2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1．例如：当 x=1 时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时 M=0．下列判断：
①当 x＞0 时，y1＞y2；②当 x＜0 时，x 值越大，M 值越大；③使得 M 大于 2 的 x 值不存在；④使得 M=1
的 x 值是﹣ 1
2
或 2
2
．其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【分析】关键函数的增减性，以及 M 的定义，逐一判断即可．
【详解】解：∵x＞0 时，函数 y2 的图象在上面，
∴y2＞y1，故①错误．
当 x＜0 时，M 的值=y1 或 y2，
∵x＜0，y 随 x 增大而增大，
∴x 值越大，M 值越大，故②正确．
刚才图象可知 M 的最大值为 2，
∴使得 M 大于 2 的 x 值不存在，故③正确，
y2=1 时，x=- 1
2
，
y1=1 时，x=± 2
2
，
观察图象可知：x=- 或 时，M=1，故④正确．
故选 D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用函数的性质解决问题
3．将一元二次方程 23 1 6xx 化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，-6 B．3，6 C．3，1 D． 23 , 6xx
【答案】A
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．这
是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c
分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解 化成一元二次方程一般形式是 23-610xx ，则它的二次项系数是 3，一次项系数
是-6．
故选 A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般
形式．
4．如图，抛物线 2y x b x c 与 x 轴交于点 A 、 B ，与 y 轴交于点C ， 45OBC ，则下列各式成立
的是（ ）.
A． 10bc B． 10bc
C． 10bc D． 10bc
【答案】B
【解析】【分析】根据 ，有 OBOC ，可设点 C、B 的坐标为 0,,0cc、 ，代入解析式，
即可解得答案.
【详解】 ,
OB=OC，
可设点 C、B 的坐标为(0,c)、(c,0)，
把 B(c,0)代入 ，得 2 0,cbcc
即 ( 1) 0c c b
0c
故选：B
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴有交点，根据题意得到点 C、B 的坐标是解题的关键.
5．将抛物线 y=3x2+2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+5
C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+5
【答案】C
【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线 y=3x2+2 向左平移 2 个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；
再向下平移 3 个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即 y=3（x+2）2﹣1．
故选 C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a<0）过 A（－3，0）， B（1，0）， C（－5，y 1）， D（5，y 2）四点，则 y1
与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1
y2，
故选 A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．
7．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线 x＝1 B．当 x＜0 时，函数 y 随 x 增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与 x 轴的另一个交点是（4，0）
【答案】D
【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】由函数图像可知，对称轴是直线 x＝1 故选项 A 正确；当 x＜0 时，函数 y 随 x 增大而增大，故选
项 B 正确；
图象的顶点坐标是（1，4），故选项 C 正确；图象与 x 轴的另一个交点是（3，0），故选项 D 错误.
故选 D
【点评】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
8．抛物线 y＝﹣ 1
3
（x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【解析】【分析】通过解方程﹣ 1
3
（x﹣4）2+1＝0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点，通过计算自变量为 0
对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点，从而可判断抛物线 y＝﹣ （x﹣4）2+1 与坐标轴的交点个数．
【详解】解：当 y＝0 时，﹣ （x﹣4）2+1＝0，解得 x1＝4+ 3 ，x2＝4﹣ ，则抛物线与 x 轴的交点
坐标为（4+ 3 ，0），（4﹣ ，0）；
当 x＝0 时，y＝﹣ 1
3
（ x﹣4）2+1＝﹣ 13
3
，则抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，﹣ ）．
故选 D．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴
的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．
9．在下列 4 个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为 x 面积为 y，则 y 与 x 有函数关系；
②x 个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数 y 与 x 之间有函数关系；
③设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 与 x 有函数关系；
④若一辆汽车以 120km/h 的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程 y（km）与行驶时间 x（h）有函数关系．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
【详解】①依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；
②依题意得：y=x（x-1）=x2-x，属于二次函数关系，故正确；
③依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；
④依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故错误；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有 3 个．
故选 C．
【点评】本题考查二次函数的定义：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．其中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y═ax2+bx+c（a、
b、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
10．二次函数 y=x2+bx+1 的对称轴是直线 x=﹣3，则 b 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴，结合条件可得到关于 b 的方程，可求得 b 的值．
【详解】∵y=x2+bx+1，
∴对称轴为 x=-
2
b ，
∵y=x2+bx+1 的对称轴是直线 x=-3，
∴- =-3，解得 b=6，
故选 C．
【点评】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x=-
2
b
a
．
11．抛物线 y＝3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（ 2，5） D．（ 2，﹣5）
【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的性质 y＝a(x﹣h)2+k 的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】∵抛物线解析式为 y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，
故选 C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，
最大(最小)值，增减性等．
12．抛物线 y＝x2+x﹣1 的对称轴是（ ）
A．直线 x＝﹣1 B．直线 x＝1 C．直线 x＝﹣ 1
2 D．直线 x＝
【答案】C
【解析】【分析】由对称轴公式 x＝﹣ b
2a
可得对称轴．
【详解】∵对称轴 x＝﹣﹣ ＝﹣ 1
21
＝﹣ 1
2
，
∴对称轴是直线 x＝﹣ ．
故选 C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．
13．如图，抛物线 y＝ 1
4 x2＋x＋3 的顶点为 P，与 y 轴交于点 A，若向右平移 4 个单位，向下平移 4 个单位，
则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．
【答案】12
【解析】【分析】根据题意求得 A，P 的坐标，再根据平移的性质得到四边形 A PP′A′为平行四边形，以及 A′，
P 的坐标，然后求得 AD，PP′的长，再求出面积即可.
【详解】如图，连接 AP，AP′，过点 A 作 AD⊥PP′于 D 点，
由题意可得，四边形 APP′A′为平行四边形，
将 x=0 代入函数得 y=3，
∴点 A 的坐标为（0，3），
又∵抛物线 y＝ 1
4 x2＋x＋3= (x2+4x+4)+2= (x+2)2+2，
∴顶点 P 的坐标为（﹣2，2），
∵将抛物线向右平移 4 个单位，向下平移 4 个单位，
∴点 A′(4，﹣1)，点 P′（2，﹣2），
∴PP′= 2244 =4 2 ，A0=3，∠AOP＝45°，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
∴AD=OD，
在 Rt△ AOD 中，AD2+OD2=9，即 2AD2=9，
∴AD= 32
2
，
则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为 4 × =12.
故答案为 12.
14．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是_____．
【答案】直线 x＝2
【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性，即可得到答案．
【详解】∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于(﹣1，0)和(5，0)两点，
∴其对称轴为：直线 x＝ 15 22
-+ = ．
故答案为：直线 x＝2．
【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性，掌握二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点关于抛物线的
对称轴对称，是解题的关键．
15．抛物线 22 ( 5 ) 3yx 的顶点坐标是__________.
【答案】(-5，-3)
【解析】【分析】由于抛物线 y=a（x-h）2+k 的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【详解】∵抛物线 y=-2（x+5）2-3，
∴顶点坐标为：（-5，-3）．
故答案为（-5，-3）.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题．
16．拋物线的顶点为（2，﹣3），与 y 轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为_____．
【答案】y=﹣（x﹣2）2﹣3
【解析】【分析】因知道了顶点坐标，所以可设顶点式求解，即设 y=a(x-2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入即可
求出 a 的值.
【详解】设 y=a(x-2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入，得
-7=a(0-2)2 -3，
解之得，
a=-1.
∴y=-(x-2)2 -3.
故答案为 y=-(x-2)2 -3.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键.
17．空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，已知木栏总长为
100 米．
（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平方米．如
图 1，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）已知 0＜α＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的
矩形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙 AD 的长为 10 米．（2）见解析.
【解析】【分析】（1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关系．
【详解】（1）设 AD=x 米，则 AB=100
2
x- 米
依题意得， (100)
2
xx ＝450
解得 x1=10，x2=90
∵a=20，且 x≤a
∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．
（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S= 2(100)1 (50)125022
xx x ＝ ，0＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大
当 x=a 时，S 最大=50a- 1
2 a2
②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得
S= 22(100 2 ) [ (25 )] (25 )2 4 4
x a x a ax ＝ ，a≤x＜50+
2
a
当 a＜25+
4
a ＜50 时，即 0＜a＜ 100
3
时，
则 x=25+ 时，S 最大=（25+ ）2=
210000 200
16
aa，
当 25+ ≤a，即 ≤a＜50 时，S 随 x 的增大而减小
∴x=a 时，S 最大= (1002)
2
aaa = 2150 2aa ，
综合①②，当 0＜a＜ 100
3
时，
210000200
16
aa-（ 2150 2aa ）=
2( 3 100)
16
a ＞0
＞ ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为
平方米
当 ≤a＜50 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当 0＜a＜ 时，围成长和宽均为（25+
4
a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平
方米；
当 ≤a＜50 时，围成长为 a 米，宽为（50-
2
a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（ ）平方
米．
【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量
大小关系．
18．已知 2 43(3)5 mmymx 是关于 x 的二次函数.
（1）求 m 的值.
（2）当 m 为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当 m 为何值时，该函数有最大值？
【答案】（1） 5m 或 1m .（2）当 时，该函数图象的开口向上.（3）当 时，该函数有最大
值.
【解析】【分析】根据题意可知，本题考查是二次函数的基础性质，（1）根据 x 的次数为 2 且二次项系数不
为 0，判断 m 的值；（2）通过二次项系数的正负判断开口方向，为正开口向上，为负开口向下；
（3）对任意的 x 值，函数有最大值，在函数开口向下时，函数才有最高点，即二次项系数小于 0。
【详解】解：（1）根据题意，得
2 432,
30,
mm
m
解得
5 1 ,
3.
mm
m
或
∴ 5m 或 1m .
（2）∵函数图象的开口向上，
∴ 30m，∴ 3m ∴ .
∴当 时，该函数图象的开口向上.
（3）∵函数有最大值，∴ 30m .
∴ 3m ，∴ .
∴当 时，该函数有最大值.
【点评】本题关键点：二次函数 2yaxbxc 中， 0a ； 0a 时开口向下，函数有最高点，即有最
大值， 0a 时开口向上，函数有最低点，即有最小值。
19．如图，抛物线 y=2（x-2）2 与平行于 x 轴的直线交于点 A，B，抛物线顶点为 C，△ ABC 为等边三角形，
求 S△ ABC;
【答案】 33
4
【解析】【分析】过 B 作 BP⊥x 轴交于点 P，连接 AC，BC，由抛物线 y= 222x（ ）得 C（2，0），
于是得到对称轴为直线 x=2，设 B（m，n），根据△ ABC 是等边三角形，得到 BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
求出 PB= 3 PC= （m-2），由于 PB=n= 222m（ ），于是得到
3 （m-2）= 222m （ ），解方程得到 m 的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】解：过 B 作 BP⊥x 轴交于点 P，连接 AC，BC，
由抛物线 y= 222x（ ）得 C（2，0），
∴对称轴为直线 x=2，
设 B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x 轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB= PC= （m-2），
∵PB=n= ，
∴ （m-2）= ，
解得 m= 43
2
，m=2（不合题意，舍去），
∴AB= ，BP= 3
2
，
∴S△ ABC= 13333224 ．
【点评】本题考查二次函数的性质.
20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围
成．已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米．
(1)若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；
(2)设这个苗圃园的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系．
【答案】（1）y＝30﹣2x，（ 6≤x＜15）；（2）S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5．
【解析】【分析】（1）由总长度−垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出
x 的取值范围；
（2）由长方形的面积公式建立二次函数即可.
【详解】解：（1）y＝30﹣2x，（ 6≤x＜15）；
（2）设矩形苗圃的面积为 S
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型.
21．已知二次函数 y=x2+3x+m 的图象与 x 轴交于点 A（﹣4，0）．
（1）求 m 的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
【答案】（1）m=-4；（ 2）（ 0，﹣4），（ 1，0）．
【解析】【分析】（1）将 A 点坐标（﹣4，0）代入 y=x2+3x+m，即可求解；
（2）令 x=0 时，则：y=﹣4，令 y=0，则 x2+3x﹣4=0，即可求解．
【详解】（1）将 A 点坐标（﹣4，0）代入 y=x2+3x+m 得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4；
（2）当 x=0 时，则：y=﹣4，∴函数图象与 y 轴的交点为（0，﹣4）．
令 y=0，则 x2+3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=﹣4，∴函数图象与 x 轴的另一个交点为（1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，是二次函数基础类题目．
22．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，建立如图所示的平面直角坐标系：
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面下降 1m 时，则水面的宽度为多少？
【答案】（1）y=﹣ 1
2 x2+2;（2） 26
【解析】【分析】（1）设出抛物线解析式，由已知条件求出点 B、点 C 的坐标，将 B、C 的坐标代入抛物线
解析式，列方程组求出未知参数即可；（2）令 y=﹣1，解出 x，即可求出水面的宽度.
【详解】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0），
∵当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，
∴点 C（0，2），点 B（2，0），
代入得：
2
40
b
ab
，
解得：
1
2
2
a
b
，
∴拱桥所在抛物线的解析式为 y=﹣ 1
2 x2+2；
（2）当水位下降 1m 时，水位纵坐标为﹣1，
令 y=﹣1，
则﹣1=﹣ x2+2，
解得 x=± 6 ，
∴水面宽度为 2 米.
【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式是解题的关键.
23．如图，在△ ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以每秒 2 个单
位长度的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 C 移动，如果点 P、Q
分别从点 A、B 同时出发，那么△ PBQ 的面积 S 随出发时间 t（s）如何变化？写出函数关系式及 t 的取值范
围．
【答案】y=﹣4t2+24t（0＜t＜6）
【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出 BP 以及 BQ 的长；然后根据所求三角形的面积与
时间的关系，得出 S 与 t 的函数关系式；最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间，求出 t 的取值
范围即可.
【详解】△ PBQ 的面积 S 随出发时间 t（s）成二次函数关系变化，
∵在△ ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以每秒 2 个单位长度的
速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 C 移动，
∴BP=12﹣2t，BQ=4t，
∴△PBQ 的面积 S 随出发时间 t（s）的解析式为：y= (12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（ 0＜t＜6）．
【点评】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题，用含 t 的代数式表示出 BP 以及 BQ 的长是解答本
题的关键.
24．在平面直角坐标系中，平行四边形퐴퐵푂퐶如图放置，点퐴、퐶的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0)，将此平行四
边形绕点푂顺时针旋转90∘，得到平行四边形퐴′퐵′푂퐶′．
(1)如抛物线经过点퐶、퐴、퐴′，求此抛物线的解析式；
(2)在(1)情况下，点푀是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点푀在何处时，△ 퐴푀퐴′的面积最大？最大
面积是多少？并求出此时푀的坐标；
(3)在(1)的情况下，若푃为抛物线上一动点，푁为푥轴上的一动点，点푄坐标为(1, 0)，当푃、푁、퐵、푄构成以
퐵푄作为一边的平行四边形时，求点푃的坐标．
【答案】(1) 抛物线的解析式为：푦 = −푥2 + 3푥 + 4；(2) 当푥 = 2时，△ 퐴푀퐴′的面积最大，最大值푆△퐴푀퐴′ = 8，
푀的坐标为：(2, 6)；(3) 点푃的坐标为：푃1(0, 4)，푃2(3, 4)，푃3(3+√41
2 , −4)，푃4(3−√41
2 , −4)
【解析】【分析】（1）由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′，且点 A 的坐
标是（0，4），可求得点 A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接 AA′，设直线 AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线 AA′的解析式，再设
点 M 的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△ AMA′的面积，继而求得答案；
（3）分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案．
【详解】解：(1)∵平行四边形퐴퐵푂퐶绕点푂顺时针旋转90∘，得 到平行四边形퐴′퐵′푂퐶′，且点퐴的坐标是(0, 4)，
∴点퐴′的坐标为：(4, 0)，
∵点퐴、퐶的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0)，抛物线经过点퐶、퐴、퐴′，
设抛物线的解析式为：푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐，
∴{
푎 − 푏 + 푐 = 0
푐 = 4
16푎 + 4푏 + 푐 = 0
，
解得：{
푎 = −1
푏 = 3
푐 = 4
，
∴此抛物线的解析式为：푦 = −푥2 + 3푥 + 4；
(2)连接퐴퐴′，设直线퐴퐴′的解析式为：푦 = 푘푥 + 푏，
∴{ 푏 = 4
4푘 + 푏 = 0
，
解得：{푘 = −1
푏 = 4
，
∴直线퐴퐴′的解析式为：푦 = −푥 + 4，
设点푀的坐标为：(푥, −푥2 + 3푥 + 4)，
则푆△퐴푀퐴′ = 1
2 × 4 × [−푥2 + 3푥 + 4 − (−푥 + 4)] = −2푥2 + 8푥 = −2(푥 − 2)2 + 8，
∴当푥 = 2时，△ 퐴푀퐴′的面积最大，最大值푆△퐴푀퐴′ = 8，
∴푀的坐标为：(2, 6)；
(3)设点푃的坐标为(푥, −푥2 + 3푥 + 4)，当푃，푁，퐵，푄构成平行四边形时，
∵平行四边形퐴퐵푂퐶中，点퐴、퐶的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0)，
∴点퐵的坐标为(1, 4)，
∵点푄坐标为(1, 0)，푃为抛物线上一动点，푁为푥轴上的一动点，
①当퐵푄为边时，푃푁 // 퐵푄，푃푁 = 퐵푄，
∵퐵푄 = 4，
∴−푥2 + 3푥 + 4 = ±4，
当−푥2 + 3푥 + 4 = 4时，解得：푥1 = 0，푥2 = 3，
∴푃1(0, 4)，푃2(3, 4)；
当−푥2 + 3푥 + 4 = −4时，解得：푥3 = 3+√41
2
，푥4 = 3−√41
2
，
∴푃3(3+√41
2 , −4)，푃4(3−√41
2 , −4)；
②当퐵푄为对角线时，퐵푃 // 푄푁，퐵푃 = 푄푁，此时푃与푃1，푃2重合；
综上可得：点푃的坐标为：푃1(0, 4)，푃2(3, 4)，푃3(3+√41
2 , −4)，푃4(3−√41
2 , −4)
【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三
角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
