2020-2021九年级数学上册二次函数单元同步练习1(新人教版pdf格式)

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2020-2021九年级数学上册二次函数单元同步练习1(新人教版pdf格式)

2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习:二次函数(一) 1.如图,抛物线 y=﹣2x2+4x 与 x 轴的另一个交点为 A,现将抛物线向右平移 m(m>2)个单位长度,所 得抛物线与 x 轴交于 C,D,与原抛物线交于点 P,设△ PCD 的面积为 S,则用 m 表示 S 正确的是( ) A. 2 m (m2﹣4) B. 1 2 m2﹣2 C. (4﹣m2) D.2﹣ m2 【答案】B 【解析】【分析】先求出 A 的坐标,设 P 关于 x=1 的对称点为 Q,且设 P 的横坐标为 x1,Q 的横坐标为 x2, 根据题意可知 x1+x2=2,x1﹣x2=m,从而求出 x1 与 x2 的表达式. 【详解】∵y=﹣2x2+4x=y=﹣2(x-1)2+2,∴抛物线的对称轴为:x=1,令 y=0 代入 y=﹣2x2+4x,∴0=﹣2x2+4x, ∴x=0 或 x=2,∴A(2,0), ∴OA=2,设 P 关于 x=1 的对称点为 Q,且设 P 的横坐标为 x1,Q 的横坐标为 x2,∴ 1212 xx  . ∵抛物线向右平移 m(m>2)个单位长度,∴PQ=m,∴x1﹣x2=m,∴ 12 12 2xx x x m    ,解得:x1= 2 2 m  ,x2= 2 2 m . 把 x1= 代入 y=﹣2x2+4x,∴y=2﹣ 2 2 m <0,∴在△ PCD 中,CD 边上的高为: ﹣2. ∵OA=CD=2,∴S△ PCD= 1 2 ×2×( 2 22 m  )= ﹣2. 故选 B. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点,解题的关键是求出 P 的坐标,然后根据三角形面积公式即可求 出△ PCD 的面积,本题属于中等题型. 2.已知抛物线 y1=﹣2x2+2,直线 y2=2x+2,当 x 任取一值时,对应的函数值分别为 y1、y2.若 y1≠y2,取 y1、 y2 中的较小值记为 M;若 y1=y2,记 M=y1.例如:当 x=1 时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时 M=0.下列判断: ①当 x>0 时,y1>y2;②当 x<0 时,x 值越大,M 值越大;③使得 M 大于 2 的 x 值不存在;④使得 M=1 的 x 值是﹣ 1 2 或 2 2 .其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】【分析】关键函数的增减性,以及 M 的定义,逐一判断即可. 【详解】解:∵x>0 时,函数 y2 的图象在上面, ∴y2>y1,故①错误. 当 x<0 时,M 的值=y1 或 y2, ∵x<0,y 随 x 增大而增大, ∴x 值越大,M 值越大,故②正确. 刚才图象可知 M 的最大值为 2, ∴使得 M 大于 2 的 x 值不存在,故③正确, y2=1 时,x=- 1 2 , y1=1 时,x=± 2 2 , 观察图象可知:x=- 或 时,M=1,故④正确. 故选 D. 【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用函数的性质解决问题 3.将一元二次方程 23 1 6xx 化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A.3,-6 B.3,6 C.3,1 D. 23 , 6xx 【答案】A 【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c 是常数且 a≠0)特别要注意 a≠0 的条件.这 是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中 ax2 叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项.其中 a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项. 【详解】解 化成一元二次方程一般形式是 23-610xx ,则它的二次项系数是 3,一次项系数 是-6. 故选 A. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般 形式. 4.如图,抛物线 2y x b x c   与 x 轴交于点 A 、 B ,与 y 轴交于点C , 45OBC  ,则下列各式成立 的是( ). A. 10bc   B. 10bc   C. 10bc   D. 10bc   【答案】B 【解析】【分析】根据 ,有 OBOC ,可设点 C、B 的坐标为    0,,0cc、 ,代入解析式, 即可解得答案. 【详解】 ,  OB=OC, 可设点 C、B 的坐标为(0,c)、(c,0), 把 B(c,0)代入 ,得 2 0,cbcc 即 ( 1) 0c c b   0c  故选:B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴有交点,根据题意得到点 C、B 的坐标是解题的关键. 5.将抛物线 y=3x2+2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,则得到的抛物线的解析式为( ) A.y=3(x﹣2)2﹣1 B.y=3(x﹣2)2+5 C.y=3(x+2)2﹣1 D.y=3(x+2)2+5 【答案】C 【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可. 【详解】将抛物线 y=3x2+2 向左平移 2 个单位所得直线解析式为:y=3(x+2)2+2; 再向下平移 3 个单位为:y=3(x+2)2+2﹣3,即 y=3(x+2)2﹣1. 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减. 6.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)过 A(-3,0), B(1,0), C(-5,y 1), D(5,y 2)四点,则 y1 与 y2 的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1y2, 故选 A. 【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小,是解题的关键. 7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是( ) A.对称轴是直线 x=1 B.当 x<0 时,函数 y 随 x 增大而增大 C.图象的顶点坐标是(1,4) D.图象与 x 轴的另一个交点是(4,0) 【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可. 【详解】由函数图像可知,对称轴是直线 x=1 故选项 A 正确;当 x<0 时,函数 y 随 x 增大而增大,故选 项 B 正确; 图象的顶点坐标是(1,4),故选项 C 正确;图象与 x 轴的另一个交点是(3,0),故选项 D 错误. 故选 D 【点评】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键. 8.抛物线 y=﹣ 1 3 (x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】D 【解析】【分析】通过解方程﹣ 1 3 (x﹣4)2+1=0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点,通过计算自变量为 0 对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点,从而可判断抛物线 y=﹣ (x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数. 【详解】解:当 y=0 时,﹣ (x﹣4)2+1=0,解得 x1=4+ 3 ,x2=4﹣ ,则抛物线与 x 轴的交点 坐标为(4+ 3 ,0),(4﹣ ,0); 当 x=0 时,y=﹣ 1 3 ( x﹣4)2+1=﹣ 13 3 ,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,﹣ ). 故选 D. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程. 9.在下列 4 个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( ) ①设正方形的边长为 x 面积为 y,则 y 与 x 有函数关系; ②x 个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数 y 与 x 之间有函数关系; ③设正方体的棱长为 x,表面积为 y,则 y 与 x 有函数关系; ④若一辆汽车以 120km/h 的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程 y(km)与行驶时间 x(h)有函数关系. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出函数关系式,然后由二次函数的定义进行判断. 【详解】①依题意得:y=x2,属于二次函数关系,故正确; ②依题意得:y=x(x-1)=x2-x,属于二次函数关系,故正确; ③依题意得:y=6x2,属于二次函数关系,故正确; ④依题意得:y=120x,属于一次函数关系,故错误; 综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有 3 个. 故选 C. 【点评】本题考查二次函数的定义:一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次 函数.其中 x、y 是变量,a、b、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.y═ax2+bx+c(a、 b、c 是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式. 10.二次函数 y=x2+bx+1 的对称轴是直线 x=﹣3,则 b 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴,结合条件可得到关于 b 的方程,可求得 b 的值. 【详解】∵y=x2+bx+1, ∴对称轴为 x=- 2 b , ∵y=x2+bx+1 的对称轴是直线 x=-3, ∴- =-3,解得 b=6, 故选 C. 【点评】本题主要考查二次函数的对称轴,掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键,即二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=- 2 b a . 11.抛物线 y=3(x﹣2)2+5 的顶点坐标是( ) A.(﹣2,5) B.(﹣2,﹣5) C.( 2,5) D.( 2,﹣5) 【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质 y=a(x﹣h)2+k 的顶点坐标是(h,k)进行求解即可. 【详解】∵抛物线解析式为 y=3(x-2)2+5, ∴二次函数图象的顶点坐标是(2,5), 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴), 最大(最小)值,增减性等. 12.抛物线 y=x2+x﹣1 的对称轴是( ) A.直线 x=﹣1 B.直线 x=1 C.直线 x=﹣ 1 2 D.直线 x= 【答案】C 【解析】【分析】由对称轴公式 x=﹣ b 2a 可得对称轴. 【详解】∵对称轴 x=﹣﹣ =﹣ 1 21 =﹣ 1 2 , ∴对称轴是直线 x=﹣ . 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练运用对称轴公式.也可以运用配方法写成顶点式求对称轴. 13.如图,抛物线 y= 1 4 x2+x+3 的顶点为 P,与 y 轴交于点 A,若向右平移 4 个单位,向下平移 4 个单位, 则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________. 【答案】12 【解析】【分析】根据题意求得 A,P 的坐标,再根据平移的性质得到四边形 A PP′A′为平行四边形,以及 A′, P 的坐标,然后求得 AD,PP′的长,再求出面积即可. 【详解】如图,连接 AP,AP′,过点 A 作 AD⊥PP′于 D 点, 由题意可得,四边形 APP′A′为平行四边形, 将 x=0 代入函数得 y=3, ∴点 A 的坐标为(0,3), 又∵抛物线 y= 1 4 x2+x+3= (x2+4x+4)+2= (x+2)2+2, ∴顶点 P 的坐标为(﹣2,2), ∵将抛物线向右平移 4 个单位,向下平移 4 个单位, ∴点 A′(4,﹣1),点 P′(2,﹣2), ∴PP′=   2244 =4 2 ,A0=3,∠AOP=45°, ∴△AOD 为等腰直角三角形, ∴AD=OD, 在 Rt△ AOD 中,AD2+OD2=9,即 2AD2=9, ∴AD= 32 2 , 则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为 4 × =12. 故答案为 12. 14.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____. 【答案】直线 x=2 【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性,即可得到答案. 【详解】∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点, ∴其对称轴为:直线 x= 15 22 -+ = . 故答案为:直线 x=2. 【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性,掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点关于抛物线的 对称轴对称,是解题的关键. 15.抛物线 22 ( 5 ) 3yx    的顶点坐标是__________. 【答案】(-5,-3) 【解析】【分析】由于抛物线 y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为(h,k),由此即可求解. 【详解】∵抛物线 y=-2(x+5)2-3, ∴顶点坐标为:(-5,-3). 故答案为(-5,-3). 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题. 16.拋物线的顶点为(2,﹣3),与 y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____. 【答案】y=﹣(x﹣2)2﹣3 【解析】【分析】因知道了顶点坐标,所以可设顶点式求解,即设 y=a(x-2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入即可 求出 a 的值. 【详解】设 y=a(x-2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入,得 -7=a(0-2)2 -3, 解之得, a=-1. ∴y=-(x-2)2 -3. 故答案为 y=-(x-2)2 -3. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键. 17.空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD,已知木栏总长为 100 米. (1)已知 a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100 米木栏,且围成的矩形菜园面积为 450 平方米.如 图 1,求所利用旧墙 AD 的长; (2)已知 0<α<50,且空地足够大,如图 2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的 矩形菜园 ABCD 的面积最大,并求面积的最大值. 【答案】(1)利用旧墙 AD 的长为 10 米.(2)见解析. 【解析】【分析】(1)按题意设出 AD,表示 AB 构成方程; (2)根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关系. 【详解】(1)设 AD=x 米,则 AB=100 2 x- 米 依题意得, (100) 2 xx =450 解得 x1=10,x2=90 ∵a=20,且 x≤a ∴x=90 舍去 ∴利用旧墙 AD 的长为 10 米. (2)设 AD=x 米,矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意 得: S= 2(100)1 (50)125022 xx x = ,0<x<a ∵0<a<50 ∴x<a<50 时,S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时,S 最大=50a- 1 2 a2 ②如按图 2 方案围成矩形菜园,依题意得 S= 22(100 2 ) [ (25 )] (25 )2 4 4 x a x a ax     = ,a≤x<50+ 2 a 当 a<25+ 4 a <50 时,即 0<a< 100 3 时, 则 x=25+ 时,S 最大=(25+ )2= 210000 200 16 aa, 当 25+ ≤a,即 ≤a<50 时,S 随 x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大= (1002) 2 aaa  = 2150 2aa , 综合①②,当 0<a< 100 3 时, 210000200 16 aa-( 2150 2aa )= 2( 3 100) 16 a  >0 > ,此时,按图 2 方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为 平方米 当 ≤a<50 时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等. ∴当 0<a< 时,围成长和宽均为(25+ 4 a )米的矩形菜园面积最大,最大面积为 平 方米; 当 ≤a<50 时,围成长为 a 米,宽为(50- 2 a )米的矩形菜园面积最大,最大面积为( )平方 米. 【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量 大小关系. 18.已知 2 43(3)5 mmymx  是关于 x 的二次函数. (1)求 m 的值. (2)当 m 为何值时,该函数图象的开口向上? (3)当 m 为何值时,该函数有最大值? 【答案】(1) 5m  或 1m  .(2)当 时,该函数图象的开口向上.(3)当 时,该函数有最大 值. 【解析】【分析】根据题意可知,本题考查是二次函数的基础性质,(1)根据 x 的次数为 2 且二次项系数不 为 0,判断 m 的值;(2)通过二次项系数的正负判断开口方向,为正开口向上,为负开口向下; (3)对任意的 x 值,函数有最大值,在函数开口向下时,函数才有最高点,即二次项系数小于 0。 【详解】解:(1)根据题意,得 2 432, 30, mm m     解得 5 1 , 3. mm m      或 ∴ 5m  或 1m  . (2)∵函数图象的开口向上, ∴ 30m,∴ 3m  ∴ . ∴当 时,该函数图象的开口向上. (3)∵函数有最大值,∴ 30m  . ∴ 3m  ,∴ . ∴当 时,该函数有最大值. 【点评】本题关键点:二次函数 2yaxbxc 中, 0a  ; 0a  时开口向下,函数有最高点,即有最 大值, 0a  时开口向上,函数有最低点,即有最小值。 19.如图,抛物线 y=2(x-2)2 与平行于 x 轴的直线交于点 A,B,抛物线顶点为 C,△ ABC 为等边三角形, 求 S△ ABC; 【答案】 33 4 【解析】【分析】过 B 作 BP⊥x 轴交于点 P,连接 AC,BC,由抛物线 y= 222x( )得 C(2,0), 于是得到对称轴为直线 x=2,设 B(m,n),根据△ ABC 是等边三角形,得到 BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°, 求出 PB= 3 PC= (m-2),由于 PB=n= 222m( ),于是得到 3 (m-2)= 222m ( ),解方程得到 m 的值,然后根据三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】解:过 B 作 BP⊥x 轴交于点 P,连接 AC,BC, 由抛物线 y= 222x( )得 C(2,0), ∴对称轴为直线 x=2, 设 B(m,n), ∴CP=m-2, ∵AB∥x 轴, ∴AB=2m-4, ∵△ABC 是等边三角形, ∴BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°, ∴PB= PC= (m-2), ∵PB=n= , ∴ (m-2)= , 解得 m= 43 2  ,m=2(不合题意,舍去), ∴AB= ,BP= 3 2 , ∴S△ ABC= 13333224 . 【点评】本题考查二次函数的性质. 20.晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为 30 米的篱笆围 成.已知墙长为 18 米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米. (1)若平行于墙的一边长为 y 米,直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围; (2)设这个苗圃园的面积为 S,求 S 与 x 之间的函数关系. 【答案】(1)y=30﹣2x,( 6≤x<15);(2)S=﹣2(x﹣7.5)2+112.5. 【解析】【分析】(1)由总长度−垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度,根据墙的长度就可以求出 x 的取值范围; (2)由长方形的面积公式建立二次函数即可. 【详解】解:(1)y=30﹣2x,( 6≤x<15); (2)设矩形苗圃的面积为 S S=xy=x(30﹣2x)=﹣2(x﹣7.5)2+112.5. 【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型. 21.已知二次函数 y=x2+3x+m 的图象与 x 轴交于点 A(﹣4,0). (1)求 m 的值; (2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标. 【答案】(1)m=-4;( 2)( 0,﹣4),( 1,0). 【解析】【分析】(1)将 A 点坐标(﹣4,0)代入 y=x2+3x+m,即可求解; (2)令 x=0 时,则:y=﹣4,令 y=0,则 x2+3x﹣4=0,即可求解. 【详解】(1)将 A 点坐标(﹣4,0)代入 y=x2+3x+m 得:16﹣12+m=0,解得:m=﹣4; (2)当 x=0 时,则:y=﹣4,∴函数图象与 y 轴的交点为(0,﹣4). 令 y=0,则 x2+3x﹣4=0,解得:x1=1,x2=﹣4,∴函数图象与 x 轴的另一个交点为(1,0). 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点,是二次函数基础类题目. 22.图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m,建立如图所示的平面直角坐标系: (1)求拱桥所在抛物线的解析式; (2)当水面下降 1m 时,则水面的宽度为多少? 【答案】(1)y=﹣ 1 2 x2+2;(2) 26 【解析】【分析】(1)设出抛物线解析式,由已知条件求出点 B、点 C 的坐标,将 B、C 的坐标代入抛物线 解析式,列方程组求出未知参数即可;(2)令 y=﹣1,解出 x,即可求出水面的宽度. 【详解】解:(1)由题意设抛物线解析式为:y=ax2+b(a≠0), ∵当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m, ∴点 C(0,2),点 B(2,0), 代入得: 2 40 b ab    , 解得: 1 2 2 a b     , ∴拱桥所在抛物线的解析式为 y=﹣ 1 2 x2+2; (2)当水位下降 1m 时,水位纵坐标为﹣1, 令 y=﹣1, 则﹣1=﹣ x2+2, 解得 x=± 6 , ∴水面宽度为 2 米. 【点评】本题主要考查二次函数的应用,建立直角坐标系,求出抛物线的解析式是解题的关键. 23.如图,在△ ABC 中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以每秒 2 个单 位长度的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 C 移动,如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发,那么△ PBQ 的面积 S 随出发时间 t(s)如何变化?写出函数关系式及 t 的取值范 围. 【答案】y=﹣4t2+24t(0<t<6) 【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出 BP 以及 BQ 的长;然后根据所求三角形的面积与 时间的关系,得出 S 与 t 的函数关系式;最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间,求出 t 的取值 范围即可. 【详解】△ PBQ 的面积 S 随出发时间 t(s)成二次函数关系变化, ∵在△ ABC 中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以每秒 2 个单位长度的 速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 C 移动, ∴BP=12﹣2t,BQ=4t, ∴△PBQ 的面积 S 随出发时间 t(s)的解析式为:y= (12﹣2t)×4t=﹣4t2+24t,( 0<t<6). 【点评】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题,用含 t 的代数式表示出 BP 以及 BQ 的长是解答本 题的关键. 24.在平面直角坐标系中,平行四边形퐴퐵푂퐶如图放置,点퐴、퐶的坐标分别是(0,  4)、(−1,  0),将此平行四 边形绕点푂顺时针旋转90∘,得到平行四边形퐴′퐵′푂퐶′. (1)如抛物线经过点퐶、퐴、퐴′,求此抛物线的解析式; (2)在(1)情况下,点푀是第一象限内抛物线上的一动点,问:当点푀在何处时,△ 퐴푀퐴′的面积最大?最大 面积是多少?并求出此时푀的坐标; (3)在(1)的情况下,若푃为抛物线上一动点,푁为푥轴上的一动点,点푄坐标为(1, 0),当푃、푁、퐵、푄构成以 퐵푄作为一边的平行四边形时,求点푃的坐标. 【答案】(1) 抛物线的解析式为:푦 = −푥2 + 3푥 + 4;(2) 当푥 = 2时,△ 퐴푀퐴′的面积最大,最大值푆△퐴푀퐴′ = 8, 푀的坐标为:(2, 6);(3) 点푃的坐标为:푃1(0, 4),푃2(3, 4),푃3(3+√41 2 , −4),푃4(3−√41 2 , −4) 【解析】【分析】(1)由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°,得到平行四边形 A′B′OC′,且点 A 的坐 标是(0,4),可求得点 A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A′的抛物线的解析式; (2)首先连接 AA′,设直线 AA′的解析式为:y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线 AA′的解析式,再设 点 M 的坐标为:(x,-x2+3x+4),继而可得△ AMA′的面积,继而求得答案; (3)分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去分析求解即可求得答案. 【详解】解:(1)∵平行四边形퐴퐵푂퐶绕点푂顺时针旋转90∘,得 到平行四边形퐴′퐵′푂퐶′,且点퐴的坐标是(0, 4), ∴点퐴′的坐标为:(4,  0), ∵点퐴、퐶的坐标分别是(0, 4)、(−1,  0),抛物线经过点퐶、퐴、퐴′, 设抛物线的解析式为:푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐, ∴{ 푎 − 푏 + 푐 = 0 푐 = 4 16푎 + 4푏 + 푐 = 0 , 解得:{ 푎 = −1 푏 = 3 푐 = 4 , ∴此抛物线的解析式为:푦 = −푥2 + 3푥 + 4; (2)连接퐴퐴′,设直线퐴퐴′的解析式为:푦 = 푘푥 + 푏, ∴{ 푏 = 4 4푘 + 푏 = 0 , 解得:{푘 = −1 푏 = 4 , ∴直线퐴퐴′的解析式为:푦 = −푥 + 4, 设点푀的坐标为:(푥, −푥2 + 3푥 + 4), 则푆△퐴푀퐴′ = 1 2 × 4 × [−푥2 + 3푥 + 4 − (−푥 + 4)] = −2푥2 + 8푥 = −2(푥 − 2)2 + 8, ∴当푥 = 2时,△ 퐴푀퐴′的面积最大,最大值푆△퐴푀퐴′ = 8, ∴푀的坐标为:(2,  6); (3)设点푃的坐标为(푥, −푥2 + 3푥 + 4),当푃,푁,퐵,푄构成平行四边形时, ∵平行四边形퐴퐵푂퐶中,点퐴、퐶的坐标分别是(0,  4)、(−1, 0), ∴点퐵的坐标为(1, 4), ∵点푄坐标为(1,  0),푃为抛物线上一动点,푁为푥轴上的一动点, ①当퐵푄为边时,푃푁 // 퐵푄,푃푁 = 퐵푄, ∵퐵푄 = 4, ∴−푥2 + 3푥 + 4 = ±4, 当−푥2 + 3푥 + 4 = 4时,解得:푥1 = 0,푥2 = 3, ∴푃1(0, 4),푃2(3, 4); 当−푥2 + 3푥 + 4 = −4时,解得:푥3 = 3+√41 2 ,푥4 = 3−√41 2 , ∴푃3(3+√41 2 , −4),푃4(3−√41 2 , −4); ②当퐵푄为对角线时,퐵푃 // 푄푁,퐵푃 = 푄푁,此时푃与푃1,푃2重合; 综上可得:点푃的坐标为:푃1(0,  4),푃2(3,  4),푃3(3+√41 2 , −4),푃4(3−√41 2 , −4) 【点评】此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三 角形面积问题.掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.
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