2014中考数学总复习导学案

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中考数学总复习导学案 1 B A 0 1 －1 第 1 课时 实数 【课前展练】 1.(－1)2010 的值是（ ） A．1 B．－1 C．2010 D．－2010 2.如图，数轴上点 A、B 分别表示实数 a、b，则下列四个数中最大的数是（ ） A．a B．b C． 1 a D． 1 b 3. 2 的倒数是（ ） A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 4. 某种细胞的直径是 45 10 毫米，这个数是（ ） A.0.05毫米 B. 0.005毫米 C. 0.0005毫米 D. 0.00005毫米 5.-5 的绝对值是（ ） A .5 B.-5 C. 1 5 D. 1 5 6.我国平均每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧 130000 吨煤所产生的 能量，130000 用科学计数法表示为（ ） A. 413 10 B. 51.3 10 C. 60.13 10 D. 81.3 10 【要点提示】 理解有理数、无理数、实数、数轴、相反数、倒数、绝对值等概念，利用非负数的性质 及实数与数轴上的点的对应关系解决有关问题. 【考点梳理】 考点一：实数的分类                     正整数 整数 负整数有理数 实数 正分数分数 负分数 正无理数无理数 负无理数 0 考点二：实数的有关概念 1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数一一对应. 2.相反数：在数轴上，在原点两旁且与原点距离相等的两个点的表示的数叫做互为相反 数. 实数 a 的相反数是是 a a 、 b 互为相反数 0 ba 3.倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数. 4.绝对值：        )0( )0(0 )0( || aa a aa a 考点三：科学计数法、近似数、有效数字 5.科学记数法 中考数学总复习导学案 2 把一个整数或有限小数记成 na 10 的形式 10||1  a ， n 为整数 6.近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个 不是 0 的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字. 【典型例题】 例1.下列实数中是无理数的是（ ） A. 4 B. 3 8 C. 0 D. 2 例2. 2012 年5 月25 日有700 多位来自全国各地的知名企业家聚首湖北共签约项目投 资总额为909 260 000 000 元，将909 260 000000 用科学记数法表示(保留3 个有效数字)，正 确的是（ ） A.909×1010 B.9.09×1011 C.9.09×1010 D.9.0926×1011 例 3. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个 正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为 半径弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是 例 4. 实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化 简 ba  - 2a 的结果正确的是（ ） A． 2ab B．b C． b D． 2ab 例 5. 用四舍五入法，对 200626 取近似值，保留四个有效数字，200626≈ . 例 6. 若 ,ab互 为 相 反 数 ， ,cd 互为倒数，m 的绝对值是 2 ，求 )21()( 2122 mmcdba   的值. 【小结】本节主要考查有理数、无理数、实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似值及有 效数字等概念，并会用科学记数法表示数，能按四舍五入的方法求近似数，利用实数的非负 性解决有关事项.历年中考中，本节考点多以填空题、选择题形式出现，结合考查数的结合 思想，考查收集处理信息的能力. 210 A b a0 中考数学总复习导学案 3 第 2 课时 实数的运算与大小比较 【课前展练】 1. 下列等式成立是（ ） A. 22  B. 1)1(  C.1÷ 3 1)3(  D. 632  2. 定义一种运算☆，其规则为 a☆b= 1 a ＋ 1 b ，根据这个规则计算 2☆3 的值是（ ） A． 5 6 B． 1 5 C．5 D．6 3. 若 x，y 为实数，且 011  yx ，则 2011)( y x 的值是（ ） A.0 B.1 C.－1 D.－2011 4. 有一个数值转换器，原理如下： 当输入的 x=64 时，输出的 y 等于（ ） A.2 B.8 C.3 2 D.2 2 5. (－2)2 的算术平方根是（ ）. A．2 B．±2 C．－2 D． 2 6． 0 0 11( 3) 18 2sin 45 ( )8     【考点梳理】 1. 数的乘方 na _______________，其中 a 叫做_______，n 叫做_______，结果叫做_____. 2. 0a ______（其中 ____0），  pa __________（其中 ____ 0，且 p 是___________） 3. 实数运算 先算_________________，再算________，最后算________；若有括号，先算 ____________里面的，同一级运算按照从________到________的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较 ⑴数轴上两个点表示的数，________的点表示的数总比________的点表示的数大. ⑵正数______0，负数______0，正数______负数；两个负数比较大小，绝对值大的______ 绝对值小的． (3)实数大小比较的方法：作差法和作商法。 5．易错知识辨析 ⑴在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误. 如 5÷ 5 1 ×5. 很容易错误计算成 5÷1=5. ⑵在乘方运算中要注意区别－22，(－2)2，(－2)3. 【典型例题】 输入 取算术平方根 输出 是无理数 是有理数 中考数学总复习导学案 4 例 1 计算：⑴ 0312010 | 1| 3 cos30 ( )2    ； ⑵ 23 2 ( 2) 2sin 60    例 2．计算： 1 3 01( ) 2 0.125 ( 3.14) | 3|2       例 3 已知 a 、b 互为相反数，c 、 d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求 2 ||4321 ab m cdm   的 值． 例 4．（ 1）设 19 1,a  a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A. 1 和 2 B. 2 和 3 C. 3 和 4 D. 4 和 5 （2）若 01x，则 21,,xxx 的大小关系是（ ） A. 21 xxx  B. 21xxx C. 2 1xxx D. 21 xxx  例 5．（ 1）我们规定运算符号“※”的意义是：当 a>b 时，a※b=a +b；当 a≤b 时，a※b=a－b， 其它运算符号意义不变. 按上述规定，计算：(4※3)－(3※4)的结果. （2）已知： 2 3 2 3 3 5 5 63 2 6, 5 4 3 60, 5 4 3 2 120, 6 5 4 3 360A A A A                 , ,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 2 7A  （直接写出计算结果）， 并比较 5 9A 3 10A （填“ ”或“ ”或“=”） （3）对实数 a 、b ，定义运算☆如下： a ☆b  ( , 0 ( , 0 b b a a a a a b a    ＞b ） ）， 例如 2☆3= 3 12 8   .计算[2☆( 4 )][( 4 )☆( 2 )]=___________. 【小结】本节主要考查实数的运算及大小比较，要注意运算顺序及运算技巧和大小比较的方 法。在历年中考中，本节考点多以填空题、选择题形式出现，结合考查数的结合思想，考查 收集处理信息的能力. 第三节 整式 【课前展练】 中考数学总复习导学案 5 1. 计算 32 )2( x 的结果是（ ） A. 52x B. 68x C. 62x D. 58x 2. 下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A. nm 2 B. 12  mm C. nm 2 D. 122  mm 3．下列计算正确的是（ ） A．a＋a＝2a B．b3·b3＝2b3 C．a3÷a＝a3 D．(a5)2＝a7 4．因式分解： 3 9aa --- 5．（中考变试题）如果单项式－3x4a－by2 与1 3x3ya＋b 的差也是单项式，那么这两个单项式的积是( ) A．x6y4 B．－x3y2 C．－8 3x3y2 D．－x6y4 6．某企业今年 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10％，5 月份比 4 月份增加了 15％，则 5 月 份的产值是（ ） A.（ a －10％）（ +15％）万元 B. （1－10％）（1+15％）万元 C.（ －10％+15％）万元 D. （1－10％+15％）万元 【要点提示】 1．理解整式的有关概念，熟练掌握整式加减乘除的运算规律，利用代数式准确表示有关实际问题和 规律题；2。在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式！ 【考点梳理】 考点一 整式的有关概念 1. 代数式 2 2 , ____ ____ 2 ( 1) 1()3 ab ab b x x                       2 2单项式:- 系数是 次数是3 整式 (单独一个数或字母也是单项式) 有理式 多项式:a 是_____次_____项式 1分式:x-1 无理式: 3x-1 2. 所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项 考点二 整式的运算 1． 整式加减 （1）去括号添括号法则： a+（b-c）=a+b-c， a-（b+c）=a-b-c， a+b-c=+（ ）， a-b+c= -（ ）。 （2）整式加减的实质是合并同类项——系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 2．幂的运算法则： nmnm aaa  （m、n 为正整数）； （am）n=____ ___（m，n 都是正整数）； nnn baab )( （n 为正整数）； nmnm aaa  （a≠0，m、n 为正整数，m>n）； 10 a （a≠0）； n n aa 1 （a≠0，n 为正整数）。 3．整式的乘除： (1)几个单项式相乘除 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式。 (5) 乘法公式： 平方差公式： 22))(( bababa  ； 完全平方公式： 中考数学总复习导学案 6 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2a b a ab b a b a b ab      ，应用： 考点三：分解因式 1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式。 2．分解因式的方法： （1）提公因式法；找系数的最大公约数与相同字母（因式）指数最低的积作为公因式。 （2）运用公式法： 22( )( )a b a b a b    ； 2 2 22 ( )a ab b a b    （3）分组分解法； （4）十字相乘法。 3．因式分解的一般步骤： （1）提取公因式法（首先考虑的方法），若是二项式则考虑平方差；若是三项式考虑完全平方公式和十字 相乘法；若是三项以上则考虑分组分解法！ 注：提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉； 因式分解时要分解到不能再分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解。 考点四：化简求值 【典型例题】 例 1 先化简，再求值： ( 3)( 3) ( 2)x x x x    ，其中 x=4． 例 2 因式分解： 228( 2 ) (7 )x y x x y xy    例 3．观察下列算式： ① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1 ④ __________________________…… (1)请你按以上规律写出第 4 个算式； 2)把这个规律用含字母的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 例 4．用如图所示的正方形和长方形卡片，拼成一个长为 3a＋b，宽为 a＋2b 的矩形，需要 A 类卡片________ 张，B 类卡片________张，C 类卡片________张． 例 5 已知 P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当 x≠0 时，3P-2Q=7 恒成立，则 y 的值为 . 【小结】本节主要考察整式的有关概念，幂的有关运算及整式加减乘除运算，其间穿插了因式分解，合理 解释和推断含有较多数字的信息，分析简单问题的数量关系并用代数式表示，解释简单代数式的实际背景 或几何意义，根据问题会用公式，并会代入具体的值进行计算。本节考点多以填空题、选择题形式出现， 也常会在计算题中考察化简求值运算及用代数式表示规律的开放运用！ 第 4 课时 分式 【课前展练】 中考数学总复习导学案 7 1．代数式 21, , ,13 x x axxx 中，分式的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 当 x______时，分式 1 1 x x   有意义；当 x＝______时，分式 2xx x  的值为 0． 3．化简 2 16 3 12 m m   得 ；当 1m  时，原式的值为 。 4. 若分式 2ab ab 的 a,b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则此分式的值（） A .是原来的 20 倍 B. 是原来的 10 倍 C.是原来的 1 10 倍 D .不变 5.计算  21111 m mm    的结果是 . 【要点提示】 理解分式的概念，会运用分式的基本性质进行分式的加、减、乘、除、乘方运算。 【考点梳理】 1. 分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 A B 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 A B 为分式．若 B≠0，则 A B 有意义；若 B=0，则 A B 无意义；若 A=0 且 B≠0，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质： , ( 0 )A A M A A M MB B M B B M  其中 是不等于 的整式 3. 约分：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程叫做分式的 通分. 5．分式的运算 （1） 乘法法则： a c ac b d bd （2） 除法法则： a c a d ad b d b c bc    （3） 分式的乘方：   n n n aanbb  为正整数 （4） 加减法法则：① 同分母的分式相加减 ② 异分母的分式相加减 （5） 分式的混合运算 【典型例题】 中考数学总复习导学案 8 例 1 （1） 当 x 时，分式 x1 3 无意义； （2）当 x 时，分式 3 92   x x 的值为零 例 2 已知分式 2 3 5 x x x a   ，当 2x  时，分式无意义，则 a  ;当 6a  时，使分 式无意义的 x 的值共有 个。 例 3 先化简，再求值： (1)（ 2 1 2xx － 2 1 44xx）÷ 2 2 2xx ，其中 x＝1． ⑵     22 22 , 2, 1.y x y x x y xy xyx y x y        其中 例 4 已知 2 2 3 4 46 0, 1 11 xxx x x x xx       满足方程 求 的值。 例 5 若 2 3 1 0xx   ，则 2 421 x xx 的值为 。 【小结】本节主要考查分式的运算，分式的运算应运用分式的基本性质进行化简，运算时尽 量将分子、分母分解因式，便于约分或通分，结果要化成最简分式。 第 5 课时 二次根式 【课前展练】 1.使 12n是整数的最小正整数 n＝ ． 2.下列计算正确的是 （ ） 中考数学总复习导学案 9 A. 8 2= 2 B. 2 3= 5 C. 2 3=6 D. 8 2=4 3．下列运算正确的是（ ） A. 3 2 63 2 6a a a B. 224 2 2a a a C. 32a a a D. a b a b   4. 函数 2 xy 中自变量x 的 取 值 范 围 是 A.x≥0. B.x≥-2. C.x≥2. D.x≤-2. 5.若 3x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A. x＜3 B. x≤3 C. x＞3 D. x≥3 【要点提示】平方根、算数平方根、立方根、二次根式的定义、性质与运算、同类二次根 式、最简二次根式 【考点梳理】 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子 ( 0)aa 叫做二次根式．注意被开方数 a 只能是 ．并且根式. ⑵ 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最 简二次根式． (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵   2 a （ a ≥0） ⑶ 2a ； ⑶ ab （ 0,0  ba ）； ⑷ b a （ 0,0  ba ）. 3．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ； ②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. 【典型例题】 例 1 ⑴ 二次根式 1 a 中，字母 a 的取值范围是（ ） A． 1a  B．a≤1 C．a≥1 D． 1a  ⑵若 y= 5x + x5 +2009，则 x+y= ⑶若式子 x x   1 1 有意义，则 x 的取值范围是_______． 中考数学总复习导学案 10 ⑷写一个比 3大的整数是 ． ⑸将 1a a 根号外的 a 移到根号内，得 ( ) A. a ； B. a； C. a ； D. a ⑹下列各式 1） 2 2 211,2) 5,3) 2,4) 4,5) ( ) ,6) 1 ,7) 2 153x a a a       ， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例 2（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A． 3 和 18 B． 和 1 3 C． 22 . 1 1a b ab D a a和和 （2）已知最简二次根式 3 2 2ba b b a 和 是同类二次根式，则 a=______，b=____ 例 3（1）已知实数 yx, 满足 084  yx ，则以 yx, 的值为两边长的等腰三角形的周 长是（ ） A. 20 或 16 B.20 C.16 D.以上答案均不对 例 4 实数 a，b，c，如图所示，化简 2a －│a－b│+ 2()bc =______． 例 5（1）化简： 24122 1348  ． （2）已知： 31x ， 31y ，求 22 22 2x xy y xy   的值． 【课堂小结】 二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义是我们辨别它们的依据、是进行二次 根式化简等其它相关问题的立足点和出发点； 第 6 课时 一次方程及其应用 【课前展练】 1．如果方程 21 30mx  是一元一次方程，则 m  . 2．关于 x 的方程 xkx 21 的解为正实数，则 k 的取值范围是 oc 1-1 ba 中考数学总复习导学案 11 3．关于 x 的方程 0)1(2  ax 的解是 3，则 a 的值为__ 4. 某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25%，求这种服装的成本价.设这种服装 的成本价为 x 元，则得到方程( ) A. 150 25%x  B. 25% 150x C. %25150  x x D. 150 25%x 5. 在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时，y=___；若 x、y 都是正整数，这个方程的解为_____． 6. 如果 xyyx baba 24277 73  和 是同类项，则 x 、 y 的值是 . 【考点梳理】 考点一：等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果 ba  ，那么  ca ； ② 如果 ，那么 ac ；如果  0c ，那么 c a . 考点二：方程、一次方程（组）的有关概念 1. ⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的 解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. （2） 一元一次方程：只含有 个未知数，并且未知数的次数是 的整式方程叫做一元 一次方程；它的一般形式为  0a . （3）二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 二元一 次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个 解，一个二元一次方程有 个解. （4）二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 2. 解一元一次方程的步骤： ①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为 1. 3．解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组 方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 考点三：一次方程（组）的实际应用 会列方程(组)解实际应用题, 熟悉列方程(组)解实际问题的六个步骤(审、设、列、解、验、 答), 对不同问题情景, 要熟知其知识构成所涵盖的公式方法： (1).工程问题：工作量=工作效率×工作时间； (2) 利息问题：利息=本金×利率×期数, 本息和=本金+利息； (3) 行程问题：路程=速度×时间, 顺水(风) 速度=静水(风) 速度+水(风)流速度, 逆水(风) 速度=静水(风) 速度－水(风)流速度； (4) 商品利润率题：商品利润=商品售价－商品进价,商品利润率 %100进价 进价-售价  ； 【典型例题】 消元 转化 中考数学总复习导学案 12 例 1 解方程（1） 4 1.5 5 0.8 1.2 0.5 0.2 0.1 x x x  ．（2） 4 14 3 3 1 4 3 12 xy xy    例 2 关于 x 的方程 143  xax 的解为非负整数，则正整数 a 的值是? 例 3 关于 x、y 的方程组      myx myx 9 32 的解是方程 3x+2y=34 的一组解，那么 m 的值为多少？ 例 4．孔明同学在解方程组 2 y kx b yx    的过程中，错把b 看成了 6，他其余的解题过程没有 出错，解得此方程组的解为 1 2    x y ，又已知直线 y kx b 过点（3，1），则b 的正确值应 该是 ． 例 5．如图，在 3×3 的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代 数式都表示一个数），使得每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等． （1）求 x，y 的值； （2）在备用图中完成此方阵图． 例 6（山东泰安）某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种 纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。 （1） 求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？ （2） 若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该 商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候 总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 【小结】本节主要考察理一次方程的概念，利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握一元 一次方程及二元一次方程组的解法和实际应用，本节常出现在填空题和选择题及应用题中。 第 7 课时 一元二次方程及其应用 –2 3 4 （备用图） 2y–x –2 3 4 x y （第 5 题） a b c 中考数学总复习导学案 13 【课前展练】 1．方程-3 ( 1) 0xx的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 2．关于 x 的一元二次方程 1( 3) ( 1) 3 0nn x n x n     中，则一次项系数是 . 3．下列方程中是一元二次方程的有（ ） ①9 x2=7 x ② 3 2y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0 ⑤ 2 ( x2+1)= 10 ⑥ 2 4 x -x-1=0 A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 4．某地 2010 年外贸收入为 2.5 亿元，2012 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的增长率 为 ，则可以列出方程为 . 5. 解方程： 2 4 2 0xx   6．关于 的一元二次方程 225 2 5 0x x p p     的一个根为 1，则实数 p =（ ） A． 4 B．0 或 2 C．1 D． 1 【考点梳理】 考点一：一元二次方程的辨别 一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做 一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次 项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 考点二：一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如 )0(2  aax 或 )0()( 2  aabx 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法，记得取正、负 （2）配方法，先移常数项，配方时二次项系数要化 1. （3）公式法：一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的求根公式是 2 2 1,2 4 ( 4 0)2 b b acx b aca      . （4）因式分解法，因式分解时一定要化成一般式。 考点三: 一元二次方程的实际应用 熟记增长率公式： 2(1 %)B A x (其中 A 是基量, %是平均增长率,B 是 2 年后得出量), 会解增长(下降) 率应用题；熟悉几何图形中所隐含的公式或等量关系(如：特殊平面图形面 积公式、立体图形体积公式、相似三角形对应边成比例、勾股定理等), 会解几何应用题.会 解商品销售中售价与销售量相关应用题。 注：判断一个方程是不是一元二次方程，应化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程 中考数学总复习导学案 14 一般形式中 0a ，有解时还需判别式必须大于或等于零！ 【典型例题】 例 1 选用合适的方法解下列方程： （1） )4(5)4( 2  xx ； （2） xx 4)1( 2  ； （3） 22 )21()3( xx  ； （4） 3102 2  xx . 例 2.（1）两圆的圆心距为 3，两圆的半径分别是方程 0342  xx 的两个根，则两圆的 位置关系是 （2）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 2 12 35 0xx   的根，则该三角形的 周长为 例 3 已知一元二次方程 04371 22  mmmxxm ）（ 有一个根为零，求 m 的值. 例 4.(山东潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD进行绿化和硬化． （1）设计方案如图①所示，矩形 P、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q 两块绿地周围 的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩 形 面积的 1 4 ，求 P、Q 两块绿地周围的硬化 路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的 两 等 圆 ， 圆 心 分 别 为 1O 和 2O ，且 到 AB BC AD、 、 的距离与 到 CD BC AD、 、 的 距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个 设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立， 说明理由． 【小结】本节主要考察一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式，会用配方 法、公式法、分解因式法解一元二次方程，能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 本节考点多以选择题、填空题和解答题的形式出现！ 第 8 课时 一元二次方程的根与系数的关系 中考数学总复习导学案 15 【课前展练】 1．一元二次方程 2 2 1 0xx   的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2. 若 x1 = 23  是二次方程 x2＋ax＋1＝0 的一个根,则 a＝ ，该方程的另一个根 x2 = . 3.若方程 kx2－6x＋1＝0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 . 4.设 x1，x2 是方程 2x2＋4x－3＝0 的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x1 2＋x2 2＝ _________， 12 11 xx ＝__________，(x1－x2)2＝_______. 5.已知， 为方程 2 4 2 0xx   的二实根，则  24732  ． 6．关于 x 的方程 2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当 m＝ 时，两根互为倒数;当 m＝ 时， 两根互为相反数. 【要点提示】 熟练掌握一元二次方程 )0(02  acbxax 根的判别式( acb 42  )与方程 根的关系，能正确判断所给方程的根的存在性。熟练掌握一元二次方 两实数根 21、 xx 与系数的关系，会求一元二次方程两根的对称 代数式的值, 会根据根的特点求字母系数的值, 能根椐两根构造一元二次方程。 【考点梳理】 考点一：一元二次方程根的判别式： 关于 x 的一元二次方程  002  acbxax 的根的判别式为 . （1） acb 42  >0  一元二次方程 有两个 实数根，即 2,1x . （2） acb 42  =0 一元二次方程有 相等的实数根，即  21 xx . （3） <0 一元二次方程 实数根. 考点二： 一元二次方程根与系数的关系 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 0( 0)ax bx c a    有 两 根 分 别 为 1x ， 2x ， 那 么  21 xx ，  21 xx . 【典型例题】 例 1: 下列命题： 对于一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    ① 若 0abc   ，则 2 40b ac； ② 若b a c，则一元二次方程 2 0ax bx c   有两个不相等的实数根； ③ 若 23b a c，则一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④ 若 2 40b ac，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3. 其中正确的是（ ） 中考数学总复习导学案 16 Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④． 例 2:当 k 为何值时，方程 2 6 1 0x x k    ，（ 1）两根相等； （2）有一根为 0； （3）两 根互为倒数. 例 3:菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是方程 01272  xx 的一个根，则 菱形 ABCD 的周长为 . 例 4:已知关于 x 的方程 222( 1) 0x k x k    有两个实数根 12,xx.（1）求 k 的取值范围； （2）若 1 2 1 2 1x x x x   ，求 k 的值； 例 5：（湖南怀化）如图，已知二次函数 22)( mkmxy  的图象与 x 轴相交于两个不 同的点 1( 0)Ax， 、 2( 0)Bx， ，与 y 轴的交点为C ．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P ． （1）求 P⊙ 与 轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果 AB 恰好为 的直径，且 ABC△ 的 面积等于 5 ，求 m 和 k 的值． 【小结】在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题. 在使用根的判 别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. 应 用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式 042  acb ；② 二次项系数 0a  。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题 的能力. 第 9 课时 分式方程及其应用 中考数学总复习导学案 17 【课前展练】 1．方程 22 1 2 3   xx x 的解是 x= ． 2. 已知 2x a 与 2x b 的和等于 4 4 2 x x ，则 a ， b . 3．解方程 1 2 1 1 2  xx 会出现的增根是（ ） A． 1x B. 1x C. 或 1x D. 2x 4．如果分式 1 2 x 与 3 3 x 的值相等,则 x 的值是( ) A．9 B．7 C．5 D．3 5．如果 3:2: yx ，则下列各式不成立的是（ ） A． 3 5 y yx B． 3 1 y xy C． 3 1 2 y x D． 4 3 1 1   y x 6．（湖北孝感）关于 x 的方程 2 1 1 xa x    的解是正数，则 a 的取值范围是（ ） A．a＞－1 B．a＞－1 且 a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1 且 a≠－2 【要点提示】 熟练掌握分式方程的解法及简单的实际应用，在去分母时，不要漏乘没有分母的项， 检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可 直接代入原方程验根.碰到由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变 形后的整式方程，继而求出参数的值. 【考点梳理】 考点一 分式方程 1．分式方程：分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为 零的根是原方程的增根，必须舍去. 3．掌握解分式方程的基本思想(化分式方程为整式方程), 及一般方法步骤(如下图) ： 考点二 分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（ 2）检验所求的解是否 . 【典型例题】 例 1 解分式方程：（1） 2131 x xx （2） 2 61 3 9 3 x x x x   例 2（黑龙江牡丹江）若关于 x 的分式方程 3 11 xa xx   无解，则 a  ． 分式方程 去分母 换元 整式方程 整式方程的解 验根 分式方程的根 解整式方程 中考数学总复习导学案 18 例 3 符号“ ab cd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ab ad bccd，请你根据上 述规定求出等式 21 111 11xx   中 x 的值是___________． 例4 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两个制 衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间 出现故障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每 天分别能加工多少件． 例 5 （山东青岛市）运动会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68000 元购进第二批这种运动服，所 购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全 部售完后总利润率不低于 20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率 100%利润 成本 ） 【小结】了解分式方程的定义, 理解增根的概念, 了解分式方程必须验根的原因。掌握解分式 方程的基本思想是化分式方程为整式方程！会列简单分式方程解实际问题，一定注意验根， 验是否是增根并要满足实际问题！中考中常以选择题、填空题、解答题和应用题的形式出现！ 第 10 课时 一元一次不等式(组) 中考数学总复习导学案 19 【课前展练】 1． a 的 3 倍与 2 的差不小于 5，用不等式表示为 . 2．已知 ab ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 33ab   B． 2ac ＞ 2bc C． ab   D． 0ab 3．不等式  3 1 4 2xx   的解集在数轴上表示为（ ） 4. 不等式组 10 3 6 0 x x    的解集为 ． 5.（湖北孝感）关于 x 的不等式组 1 2 xm xm    的解集是 1x  ，则m  ． 6．不等式组 2 1 5 11 x x      的整数解的个数为 ． 【考点梳理】 考点一 不等式的有关概念及性质 1. 用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的 解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的 过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若 a ＜b ，则 a +c cb ； （2）若 ＞ ， ＞0 则 ac bc（或 c a c b ）； （3）若 ＞ ， ＜0 则 （或 ）. 考点二 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式， 称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或 ax b ；解一元一次 不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为 1. 2. 一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 3. 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知 ab ） xa xb    的解集是 xb ，即“同大取大”； xa xb    的解集是 xa ，即“同小取小”； 中考数学总复习导学案 20 xa xb    的解集是 a x b，即“大小小大中间夹”； xa xb    的解集是空集，即“大大小 小无解答”. 注：解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式 ax b （或 ax b ）（ 0a  ）的形式的解集：需分 0a  ， 0a  【典型例题】 例 1 （1）解不等式组 3 1 2 15233 x xx    ，并在数轴上表示出来。 （2）解不等式组 2 3 3 , 3 1 1 ,3 6 2 xx xx    ＞ ≥ 并求出它的整数解的和. 例 2 若关于 x 、 y 的二元一次方程组      22 132 yx kyx 的解满足 yx  ﹥1，则 k 的取值范围 是 . 例 3（1）（山东烟台）如图，直线 y kx b经过点 ( 1 2)A ， 和点 ( 2 0)B  ， ， 直线 2yx 过点 A，则不等式 20x kx b   的解集为 ． (2) （湖南长沙）已知关于 x 的不等式组 0 5 2 1 xa x    ≥ ， 只有四个整数解， 则实数 a 的取值范围是 ． 例 4 化简代数式 2 2 11 2 xx x x x  ，并判断当 x 满足不等式组   21 2 1 6 x x     时该代数式的 符号。 【小结】了解不等式的概念, 能正确识别一元一次不等式（组），牢记求一元一次不等式组 解集法则或借数轴直观判断，防止出错；掌握一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法， 注意在数轴上的“空心圆”和“实心点”，本节常以选择题和填空题出现！ 第 11 课时 一元一次不等式(组)及其应用 【课前展练】 y O x B A 中考数学总复习导学案 21 1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤 x 元；下午，他又买了 20 斤，价 格为每斤 y 元．后来他以每斤 2 xy 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是 （ ） A. xy B. xy C. xy D. xy 2．某电脑用户计划使用不超过 530 元的资金购买单价为 70 元的单片软件和 80 元的盒装磁 盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，不相同的选购方式共存( ) A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.7 种 3．已知一个矩形的相邻两边长分别是 cm3 和 xcm ，若它的周长小于 cm14 ，面积大于 26cm ， 则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） 4． 若方程组      32 3 ayx yx 的解是负数，那么 a 的取值范围是 ． 【考点梳理】 考点一 求不等式（组）的特殊解： 不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非 负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 考点二 列不等式（组）解应用题 列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：②找：③设④列：根据这个不等关系列出 需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的 值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）. 【典型例题】 例 1 一次函数 y kx b（ kb， 是常 数， 0k  ）的图象如图 所示，则不等式 0kx b的解集是（ ） A． 2x  B． 0x  C． 2x  D． 0x  例 2（贵州黔东南）若不等式组      12 1 mx mx 无解，求 m 的取值范围. 例 3 绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨．现计划租用甲、 乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和 桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则果农 王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ x y y kx b 0 2 2 中考数学总复习导学案 22 例 4 健身运动已成为时尚，某公司计划组装 A、B 两种型号的健身器材共 40 套，捐给社区 健身中心.组装一套 A 型健身器材需甲种部件 7 个和乙种部件 4 个，组装一套 B 型健身器材 需甲种部件 3 个和乙种部件 6 个.公司现有甲种部件 240 个，乙种部件 196 个. （1）公司在组装 A、B 两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？ （2）组装一套 A 型健身器材需费用 20 元，组装一套 B 型健身器材需费用 18 元，求总组装 费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？ 例 5 某工厂生产 A、B 两种产品共 50 件，其生产成本与利润如下表： 若该工厂计划投入资金不超过 40 万元，且希望获利超过 16 万元，问工厂有哪几种生产 方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？ 例 6 (浙江义乌)据统计，底义乌市共有耕地 267000 亩，户籍人口 724000 人，2004 年底至底 户籍人口平均每两年．．．约增加 2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度。（本题计算结果 精确到个位）（1）预计 2012 年底义乌市户籍人口约多少人？（2）为确保 2012 年底义乌市 人均耕地面积不低于现有水平，预计底至 2012 年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少 亩？ 【小结】能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决实际问题尤其是方案设计问题，会 解一元一次不等式（组），其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，本节多以解答题， 形式出现。 第 12 课时 平面直角坐标系、函数及其图像 【课前展练】 1、（孝感 2008）下列曲线中，表示 y 不是 x 的函数是（ ） A 种产品 B 种产品 成本 （万元／件） 0.6 0.9 利润 （万元／件） 0.2 0.4 中考数学总复习导学案 23 O t S S tO S tO S tO 2.．（孝感 2010）均匀地向如图所示的容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，能大致反映水面高度 h 随时间 t 变化的图象是（ ） 3.（孝感 2011）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水 航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为 t （小时）， 航行的路程为 S （千米），则 S 与 t 的函数图象大致是 （ ） A B C D 4．（孝感 2012）如图，△ ABC 在平面直角坐标系中第二象限内，顶点 A 的坐标是（﹣2，3），先把△ ABC 向右平移 4 个单位得到△ A1B1C1，再作△ A1B1C1 关于 x 轴对称图形△ A2B2C2，则顶点 A2 的坐标是（ ） A（﹣3，2） B（2，﹣3） C（1，﹣2） D（3，﹣1） 5.（ 武 汉 2011） 函 数 2 xy 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 A.x≥0. B.x≥-2. C.x≥2. D.x≤-2. 6.（ 武 汉 2010）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x 轴或 y 轴平行．从内到外，它们的 边长依次为 2，4，6，8，…，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点 A55 的坐标是（ ） (A)（13，13） (B)（―13，―13） (C)（14，14） (D)（－14，－14） 7.（武汉 2012）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米，先到终点的人原地休 息。已知甲先出发 2 秒。在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与乙出发的时间 t（秒）之间的关系如 图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123.其中正确的是 A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③ 【要点提示】 1.了解平面直角坐标系以及平面内点的坐标、坐标轴上点、平行坐标轴、各象限角平分线的点的特征，对 称点的特征，点到坐标轴和原点的距离。 2.掌握平面直角坐标系中点的平移、对称、旋转以及位似坐标的关系。 h h h h t t t t O O O O 注水 A B C D 第 6 题 中考数学总复习导学案 24 3.了解函数的表示方法以及图像画法 【考点梳理】 1. 坐标平面内的点与 一一对应． 2. 根据点所在位置填表（图） 点的位置 横坐标符 号 纵坐标符 号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3. x 轴上的点______坐标为 0, y 轴上的点______坐标为 0. 4. P(x,y)关于 轴对称的点坐标为__________，关于 轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________. 5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________． 6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________． 7.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四 象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。 8.函数基础知识 (1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量 x、y，对于 x 的 ，y 都有 与之对应，此时 称 y 是 x 的 ，其中 x 是自变量，y 是因变量． (2) 自变量的取值范围：①函数关系式是整式，自变量取值是 ．②函数关系式是分式，自变量取 值应使得 不等于 0．③函数关系式是偶次根式，自变量取值为 为非负数．④实际问题的 函数式，使实际问题有意义。 (3)常量与变量：常量：在某变化过程中 的量。变量：在某变化过程中 的量。 【典型例题】 【例 1】 ⑴点 A(-2,1)所在象限为 ，关于 y 轴对称的点的坐标为___________；关于原点对称 的点的坐标为______ __. ⑵若点 P(2，k-1)在第一象限，则 k 的取值范围是 . ⑶5.如图,所示的象棋盘上，若 ○帅位于点（1，－2）上， ○相位于点（3，－2）上， 则 ○炮位于点（ ） A. （－1，1）B. （－1，2）C. （－2，1） D. （－2，2） 【例 2】函数 y= 2 1-x + 1 x 中，自变量 x 的取值范围是 . 【例 3】如图，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与 A，B 重合）.过 Q 作 QM⊥PA 于 M，QN⊥PB 于 N.设 AQ 的长度为 x，QM 与 QN 的长度和为 y.则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是 【例 4】在平面直 角坐 标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 A（-•2，1）， B（-3， -1）， C（1， -1）． （ 1 ） 若四边形 为平行四 边形，那么点 D 的坐标ABCD 是_______． 图3 相帅 炮 A A B A C A D A 中考数学总复习导学案 25 （2）将点 A（3，1）绕原点 O 顺时针旋转 90°到点 B，则点 B•的坐标是_____． 【例 5】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体 温基本正常,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫 了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0 时～24 时)体温的变化情况的是( ) ⑵ 汽车由长沙驶往相距 400km 的广州. 如果汽车的平均速度是 100km/h,那么汽车距广州的路程 s(km)与行驶时间 t(h)的函数关系用图象表示应为( ) 【例 6】（1） 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便， 他带了一些零钱 备用， 按市场价售出一些后，又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用 零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题: (1) 农民自带的零钱是多少? (2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少? (3) 降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是 26 元，问他一共带了多少千克土豆. （2）小强在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm 的等腰三角形,请你写出底边长 y(cm)与一腰长为 x(cm) 的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围. 【小结】 1.掌握自变量取值范围的求法； 2.能根据所给的实际问题，画出相应的函数图象，同时会根据函数的图象解读相关的信息； 3.一次函数、二次函数、反比例函数的图象是础，数形结合的思想是核心. 第 13 课时 一次函数 【课前展练】 中考数学总复习导学案 26 1. 已知函数：①y=－x，②y= 3 x ，③y=3x－1，④y=3x2，⑤y= x 3 ， ⑥y=7－3x 中，正比例函数有 ，一次函数有 2. 若正比例函数 kxy  （ k ≠ 0 ）经过点（ 1 ， 2 ），则该正比例函 数的解析式为 y ___________. 3.如图，一次函数 y ax b的图象经过 A、B 两点， 则关于 x 的不等式 0ax b的解集是 ． 4. 一次函数的图象经过点（1，2），且 y 随 x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以 是 .（任写出一个符合题意即可） 5.两个一次函数 y1=mx+n．y2=nx+n，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） 6. 生物学研究表明：某种蛇的长度 y(㎝)是其尾长 x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为 6cm 时， 蛇长为 45.5 ㎝；当蛇的尾长为 14cm 时，蛇长为 105.5 ㎝；当蛇的尾长为 10cm 时，蛇长为 _________㎝； 【要点提示】利用题设中所给条件：两组变量的值；图象上两个点的坐标；直线在坐标轴上 的截距；直线与坐标围成图形的面积；两直线的平行关系等求一次函数的解析式；根据一次 函数的图象特征、性质不画函数图象确定一次函数图象所经过的象限，增减性以及ｋ,b 的取 值范围;根据实际问题中的条件写出函数解析式，并能依据实际问题确定自变量的取值范围； 运用函数的相关知识优化设计、确定最佳方案 【考点梳理】 1．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________. 2. 一次函数 y kx b的图象是经过 和 两点的 . 3. 求一次函数的解析式的方法是 ，其基本步骤是：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；⑷ . 4.一次函数 的图象与性质 5.直线 11y k x b和直线 22y k x b平行，则有 ，垂直则有 【典型例题】 k、b 的符号 k＞0b＞0 k＞0 b＜0 k＜0 b＞0 k＜0b＜0 图像的大 致位置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 y 随 x 的增大 而 中考数学总复习导学案 27 【例 1】①已知关于 x 的函数 1 2 1my mx m   ，当 m  时， y 是 x 的一次函数。 此时的解析式为 ②一次函数 y kx b的自变量的取值范围 3 ≤ x ≤1，想应函数值范围是1≤ y ≤9 ，求该一 次函数的解析式. ③已知一次函数的图象过点 (3,0) ，且与坐标轴围成的三角形面积为 6.求次一次函数的解析 式. ④直线 32yx沿 y 轴平移后过点( 1,3) ，求平移后的直线解析式 ⑤已知直线 1yx,若直线 y kx b与已知直线关于 y 轴对称,求 ,kb的值 【例 2】已知一次函数物图象经过 A(-2,-3)，B(1,3)两点. ⑴ 求这个一次函数的解析式. ⑵ 试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上. ⑶ 求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 【例 3】在平面直角坐标系中，有    3 2 4 2AB， ， ， 两点，现另取一点  1Cn， ，当 n  时， AC BC 的值最小． （孝感 2009） 【小结】1.求一次函数的解析式 y=kx+b 的基本方法是待定系数法，通过题设中的条件转化 为①两组变量的值；②两个点的坐标，均可求出一次函数的解析式. 2.利用一次函数的相关知识解决实际问题是中考命题的趋势.而一次函数的定义、性质 是解决好实际问题的基础，依据实际问题中的相互关系正确写出函数关系式是解题的关键. 第 14 课时 反比例函数 中考数学总复习导学案 28 x y BA CDO 【课前展练】 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. 22yx ；B. 1 2y x ；C. 2 xy  ；D. 1 3y x  2. 反比例函数 12my x  中，当 x ＞0， y 随 的增大而增大，则 m 的范围是___________ 3. 已知函数 y=（m2－1） 2 1mmx ，当 m=_____时，它的图象是双曲线． 4.（孝感 2010）双曲线 y＝ 4 x 与 y＝ 2 x 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于 y 轴 的直线分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则△ AOB 的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（孝感 2011）如图，点 A 在双曲线 1y x 上，点 B 在双曲线 3y y 上，且 AB∥ x 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的 面积为___________. 6.若正比例函数 y=﹣2x 与反比例函数 y= 图象的一个交点坐标为（﹣1，2）， 则另一个交点的坐标为（ ） A （2，﹣1） B （1，﹣2） C （﹣2，﹣1） D （﹣2，1） 【要点提示】反比例函数 )0(  kx ky 中的比例系数 k 的几何意义，反比例函数图象特征的性 质，判断函数图象分布的象限和变化趋势 【考点梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 (k 为常数，k≠0） 的形式（或 y=kx-1，k≠0），那么称 y 是 x 的反比例函数． 2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k 为常数，k≠0；（ 2）k x 中分母 x 的指数为 1；例 如 y= x k 就不是反比例函数；(3)自变量 x 的取值范围是 x≠0 的一切实数；（4）因变量 y 的取值范围是 y≠0 的一切实数． 3. 反比例函数的图象和性质 4． k 的几何含义：反比例函数 y＝ k x (k≠0)中比例系数 k 的几何 k 的符号 k＞0 k＜0 图像的 大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的增大而 在每一象限内 y 随 x 的增大而 o y x y x o 中考数学总复习导学案 29 意义，即过双曲线 y＝ k x (k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴 垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积为 . 【典型例题】 【例 1】某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气 体的气压 P（kPa）是气体体积 V（m3）的反比例函数，其图象如图所 示，当气球内的气压大于 140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气 体体积应（ ）． A、不大于 24 35 m3 B、不小于 m3 C、不大于 24 37 m3 D、不小于 m3 【例 2】（青岛）点 A（x1，y1）， B（x2，y2）， C（x3，y3）都是反比例函数 的图象上， 若 x1＜x2＜0＜x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是___________ 【例 3】（潍坊）点 P 在反比例函数 y= （k≠0）的图象上，点 Q（2，4）与点 P 关于 y 轴对 称，则反比例函数的解析式为 ________ ． 例 4】（凉山州）如图，已知点 A 在反比例函数图象上，AM⊥x 轴于点 M，且△ AOM 的面 积为 1，则反比例函数的解析式为 _________ ． 【例 5】（荆州）已知：多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数 y= 的解析 式为 ． 【例 6】（黑龙江）如图所示，在 x 轴的正半轴上依次截取 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…， 过 A1、A2、A3、A4、A5…分别作 x 轴的垂线与反比例函数 y= 的图象交于点 P1、P2、P3、 P4、P5…，并设△ OA1P1、△ A1A2P2、△ A2A3P3…面积分别为 S1、S2、S3…，按此作法进行 下去，则 Sn 的值为 _________ （n 为正整数）． 【例 7】两个反比例函数 ky x 和 1y x 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 ky x 的象上， PC⊥x 轴于点 C，交 的图象于点 A，PD⊥y 轴于点 D，交 的图象于点 B，当点 P 在 的图象上运动时，以下结论①△ODB 与△ OCA 的面积相等； ②四边形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与 PB 始终相等；④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．其中一定正确的是 （把正确结论的序号都填上）． 第 15 课时 一次函数和反比例函数的综合应用 【课前展练】 第 2 题图 第 6 题图 中考数学总复习导学案 30 1．（随州）如图，直线 l 与反比例函数 y= 的图象在第一象限内交于 A，B 两 点，交 x 轴于点 C，若 AB：BC=（m﹣1）： 1（m＞1），则△ OAB 的面积（用 m 表示）为（ ） A． B． C． D． 2．（黔东南州）设函数 y=x﹣3 与 的图象的两个交点的横坐标为 a，b，则 = _________ ． 3．（连云港）如图，直线 y=k1x+b 与双曲线 y= 交于 A、B 两点，其横坐标分别为 1 和 5， 则不等式 k1x＜ +b 的解集是 _________ ． 4 如图，双曲线 y=2x （x＞0）经过四边形 OABC 的顶点 A、C，∠ABC=90°， OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴．将△ ABC 沿 AC 翻折后得 AB′C， B′点落在 OA 上，则四边形 OABC 的面积是 ． 5. 已知直线 y=kx（k〈0）与双曲线 xy 3 于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 3x1y2-8x2y1 的值为【 】 A．﹣5 B．﹣15 C．5 D．15 【典型例题】 【例 1】（孝感 2009）如图，点 P 是双曲线 1ky x （ 1 0kx， 0）上一动点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交双曲线  2 21 ky x k kx   于 E 、F 两点． （1）图 1 中，四边形 PEOF 的面积 1S  （用含 1k 、 2k 的式子表示）； （2）图 2 中，设 P 点坐标为 43 ， ． ①判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（4 分） ②记 22PEF DEFS S S S△ △ ， 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说 明理由．（5 分） y x O P A F B E 图 1 y x O o P A F B E 图 2 中考数学总复习导学案 31 【例 2】两个反比例函数 1ky x 和  2 120ky k kx   在第一象限内的图象如图所示，动点 P 在 1ky x 的图象上，PC x 轴于点C ，交 2ky x 的图象于点 A ， PD y 轴于点 D ，交 2ky x 的图象于点 B ． ⑴求证：四边形 PAOB 的面积是定值； ⑵当 2 3 PA PC  时，求 DB BP 的值； ⑶若点 P 的坐标为 52， ， OAB ABP， 的面积分别记 为 OABS 、 ABPS ，设 ABPOAB SSS   ．①求 1k 的值；②当 2k 为何值时，S 有最大值，最大 值为多少？ 第 16 课时 二次函数及其图象 【课前展练】 y= k2 x y= k1 x P D y xO C B A 中考数学总复习导学案 32 1．（ 孝感2008）把抛物线 2xy  向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物 线的解析式为 2. 如图 1 所示的抛物线是二次函数 2231y ax x a    的图象，那么 a 的值是 ． 3.二次函数 2( 1) 2yx   的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.1 4.二次函数 22( 1) 3yx   的图象的顶点坐标是（ ） A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3） 5.已知抛物线 y=ax2﹣2x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【要点提示】通过配方确定二次函数 cbxaxy  2 )0( a 的图象（抛物线）的对称轴方程、 顶点坐标、函数的最大或最小值；能根据二次函数的解析式说出抛物线的开口方向、对称轴 的位置，与 y 轴交点的坐标；会根据题设中已知的三组变量的值.抛物线上三个点的坐标、 顶点坐标，与 x 轴的交点等条件，利用待定系数法求了二次函数的解析式；能通过描点法或 四 点定位法 画出二 次函数 的图象； 能根据 二次函 数的图象 特征确 定抛物 线解析 式 cbxaxy  2 中 a、b、c 的符号（或取值范围） 【考点梳理】 1.二次函数解析式的几种表现形式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）交点式： ，其中 21, xx 是抛物线与 x 轴的两个交点 )0,(),0,( 21 xx 的横坐标，或是二次函数的解析式 对应的一元二次方程 的两个 根. 2.二次函数的 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线；a>0 时，抛物线开口向上，a<0 时，抛 物线开口向下. 3.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)配方原形式是 y=a(x+ 2 2a b )+ a bac 4 4 2 ,则抛物线对称轴方程是 x= a b 2 ;顶点坐标为 )4 4,2( 2 a bac a b  ；若 a>0，y 有最小值，当 x= a b 2 时，ymin= a bac 4 4 2 ; 若 a<0，y 有最小值，当 x= a b 2 时，ymax= a bac 4 4 2 . 4.若 a>0，当 x> a b 2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x< a b 2 时,y 随 x 的增大而减小；若 a<0， 当 x> a b 2 时,y 随 x 的增大而减小，当 x< a b 2 时，y 随 x 的增大而增大. 5.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的个数可由 b2－4ac 的取值来判断.当 b2－4ac>0 时，抛 物线与 x 轴有两个交点；当 b2－4ac=0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，当 b2－4ac<0 时，抛 物线与 x 轴没有交点. 中考数学总复习导学案 33 6. 二次函数 2()y a x h k   的图像和 2axy  图像的关系. 7. 二次函数 cbxaxy  2 中 cba ,, 的符号的确定. 【典型例题】 【例 1】求满足下列条件的抛物线的解析式 ①（1,2） （-1,6） （3,6） ②（-1,0） （3,0） （4,6） ③顶点（1，-2），且过点（2，-3） ④对称轴为 x=-1，且过点（0,3），（1,7） 【例 2】 已知二次函数 y=x2－6x+8，求： （1）抛物线与 x 轴 y 轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程 x2 －6x＋8=0 的解是什么？ ②x 取什么值时，函数值大于 0？ ③x 取什么值时，函数值小于 0？ ④x 取什么值时，函数值等于 3？ ⑤x 取什么值时，函数值大于 3 【例 3】. 已知抛物线 y＝x2－2x－8， （1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B，且它的顶点为 P，求△ ABP 的面积． 【例 4】已知：y 关于 x 的函数 y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1，x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1 2+2kx2+k+2=4x1x2． ①求 k 的值；②当 k≤x≤k+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值． 第 17 课时 二次函数的综合应用 【课前展练】 中考数学总复习导学案 34 A C B D E O x y 2 1（孝感 2009）．对于每个非零自然数 n ，抛物线     2 2 1 1 11 ny x xn n n n    与 x 轴交于 nA 、 nB 两点，以 nnAB表示这两点间的距离，则 1 1 2 2A B A B… 2009 2009AB 的值是（ ） A． 2009 2008 B． 2008 2009 C． 2010 2009 D． 2009 2010 2.（孝感 2011）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（﹣ 1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中 正确的有【 】 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 3. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x＝1，其图象的一部分如图所示．下 列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号)． ①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3 时，y＞0． 4. 对于二次函数 2y x 2mx 3   ，有下列说法： ①它的图象与 x 轴有两个公共点； ②如果当 x ≤1 时 y 随 的增大而减小，则 m1 ； ③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m1 ； ④如果当 x4 时的函数值与 x 2008 时的函数值相等，则当 x 2012 时的函数值为 3 ．其中正确的说法是 ▲ ．（把你认为正确说法的序号都 填上） 【典型例题】 【例 1】(孝感 201012 分)如图，已知二次函数的图象顶点坐标为(2，0)，直线 y＝x＋1 与二次函数的图象交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上． (1)二次函数的解析式为 y＝ ． (2)证明点(―m，2m―1)不在(1)中所求的二次函数的图象上． (3)C 为线段 AB 的中点，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，CE 与二次函数 的图象交于点 D． ①y 轴上存在点 K，使以 K、A、D、C 为顶点的四边形是平行四边形， 则点 K 的坐标是 ； ②二次函数的图象上是否存在点 P，使得 S△ POE＝2S△ ABD？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【例 2】如图（1），矩形 ABCD 的一边 BC 在直接坐标系中 x 轴上，折叠边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F 处，折痕为 AE，已知 AB=8，AD=10，并设点 B 坐标为（ ,0m ），其中 0m＞ . 中考数学总复习导学案 35 E F D CB A O y x M x y O A B C D E （1）求点 E、F 的坐标（用含的式子表示）；（5 分） （2）连接 OA，若△ OAF 是等腰三角形，求 m 的值；（4 分） （3）如图（2），设抛物线 2( 6)y a x m h    经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若∠OAM=90°，求 a 、 h 、 m 的值.（5 分） 图（1） 图（2） 【例 3】如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴 交于点 C，三个交点的坐标分别为 A（﹣1，0）， B（3，0）， C（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，求四边形 PMAC 面积的 最大值和此时 P 点的坐标； （3）若 P 为抛物线在第一象限上的一个动点，过点 P 作 PQ∥AC 交 x 轴于点 Q 当点 P 的 坐标为 _________ 时，四边形 PQAC 是平行四边形；当点 P 的坐标为 _________ 时， 四边形 PQAC 是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程） 第 18 课时 函数的综合应用 【课前展练】 1.油箱中存油 20 升，油从油箱中均匀流 出，流速为 0．2 升／分钟，则油箱中剩余油量 Q 中考数学总复习导学案 36 （升）与流出时间 t(分钟）的函数关系是（ ） A．Q＝0．2t； B．Q＝20－2t； C．t=0．2Q； D．t=20—0．2Q 2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量 C（件）关于时间 t（月）的函数图象 如图所示，则该工厂对这种产品来说（ ） A．1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月每月生产总量逐月减小 B．l 月至 3 月生产总量逐月增加，4、5 两月生产总量与 3 月持平 C．l 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4、5 两月均停止生产 D．l 月至 3 月每月生产总量不变，4、5 两月均停止生产 3.某商人将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，现在他采用提高 售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 2 元，其销量就要减少 10 件， 为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高 . 4.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方 米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧后 y 与 x 成反比例如图 所示．现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克，请根据 题中提供的信息填空： ⑴药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式为_______，自变量 x 的取值范围是_________； ⑵药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为___________ ⑶当室内空气中每立方米的含药量为 3 毫克时消毒才有效，有效时间为 分钟 【考点梳理】 1.解决函数应用性问题的思路 面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词 句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应 用性问题转化为纯数学问题。 2.解决函数应用性问题的步骤 （1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际 问题的本质抽象转化为数学问题。 （2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题， 最后检验所得的解，写出实际问题的结论。 （注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。） 3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最 值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值， 但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。 【典型例题】 【例 1】（孝感 2009）五月份，某品牌衬衣正式上市销售，5 月 1 日的销售量为 10 件，5 月 2 日的销售量为 35 件，以后每 天的销售量比前一天多 25 件，直到日销售量达到最大后，销 售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少 15 件， 直到 5 月 31 日销售量为 0.设该品牌衬衣的日销售量为 P（件）， 销售日期为 n(日)，P 与 n 之间的关系如图所示． （1）写出 P 关于 n 的函数关系式 P= （注明 n 的取 值范围）； （2）经研究表明，该品牌衬衣的日销售量超过 150 件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问： 该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？ （3）该品牌衬衣本月共销售了 件． n（日） P（件） 0 1 1 0 3 1 中考数学总复习导学案 37 【例 2】为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏水实验， 他们用于接水的量筒最大容量为 100 毫升． 实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔 10 秒观察量筒中水的体积，记录的数 据如下表(漏出的水量精确到 1 毫升)： 时间 t(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量 V(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 (1)在图 1 的坐标系中描出上表中数据对应的点； (2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到 1 秒)？ (3)按此漏水速度，一小时会漏水 千克(精确到 0.1 千克)． 实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图 2 所示，为什么图象中会出现与 横轴“平行”的 部分？ 【例 3】在一次数学活动课上，老师出了一道题： (1)解方程 x2－2x－3=0. 巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。 接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题： (2)解关于 x 的方程 mx2+(m－3)x－3=0(m 为常数，且 m≠0). 老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将 第二道题变式为第三道题： (3)已知关于 x 的函数 y=mx2+(m－3)x－3(m 为常数). ①求证：不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y 轴 上的两个定点(设 x 轴上的定点为 A，y 轴上的定点为 C)； ②若 m≠0 时，设此函数的图象与 x 轴的另一个交点为点 B，当 △ ABC 为锐角三角形时，求 m 的取值范围；当△ ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出 m 的取值范围. 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题. 第 19 课时 几何初步及平行线、相交线 【课前展练】 1. 下图能说明∠1＞∠2 的是( ) 中考数学总复习导学案 38 A B C O M D 2. 如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D′，C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于 （ ） A.70° B.65° C.50° D.25° 3. 如图，直线 mn∥ ， ∠1= 55 ， ∠2 = 45 ，则∠3的度数为（ ） A．80 B．90 C．100 D．110 4. 如图，延长线段 AB 到C ，使 4BC  ，若 8AB  ，则线段 AC 是 BC 的 倍． 5. 如图, 已知直线  25,115,//  ACCDAB , 则 E 6. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 45°方向，在 B 岛的北偏西 25° 方向，则从 C 岛看 A、B 两岛的视角∠ACB＝__________度． 【考点梳理】 1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1 周角＝__________平角＝_____________直角＝____________． 3. 如果两个角的和等于 90 度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果 _____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行. 6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 【典型例题】 例 1．(1) 如图，点 C 是线段 AB 上的点，点 D 是线段 BC 的中点，若 AB=12，AC=8，则 CD= . (2).如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，若∠BOD=76°,则∠BOM 等于 （ ） A.38° B.104° C.142° D.144° 例 2．（ 1）已知：如图，BD 平分∠ABC，点 E 在 BC 上，EF∥AB．若 ∠CEF=100°，则 ∠ABD 的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 1 2 ) A. 2 1 ) D. 1 2 ) ) B. 1 2 ) ) C. E D B C′ F C D′ A 第 2 题 （第 4 题) A B C 北 B A C 北 25° 45° 第 6 题 3 21 n m 中考数学总复习导学案 39 （2）如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是 _________ ． （3）如图， 1 50 2 110AB CD    ∥ ， °， °，则 3 ． 例 3．（ 1）小明同学把一个含有 450 角的直角三角板在如图所示的两条平行线 mn， 上，测 得 0120 ，则  的度数是（ ） A．450 B．550 C．650 D．750 （2）如图，a∥b，点 M，N 分别在 a，b 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ） A．180° B．270° C．360° D．540° 例 4．如图，AB∥CD，AE 交 CD 于点 C，DE⊥AE，垂足为 E，∠A=37º，求∠D 的度数． [小结]本节主要考查线段，角，相交线与平行线的概念，能运用方程思想解决互余、互补、 平行线的性质和一些有关计算线段、角的问题．本节考点多以选择题，填空题的形式出现。 第 20 课时 三角形与全等三角形 【课前展练】 1．如图，在△ ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 的长是___________ A B D C 1 2 3 A B C D E 3 2 1 P N M b a 中考数学总复习导学案 40 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30 ，∠2=50 ，则∠3= ． 3．如图，已知 AB AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC ADC   的是（ ） A．CB CD B． BAC DAC∠ ∠ C． BCA DCA∠ ∠ D． 90BD  ∠ ∠ 4．一个三角形的两边长分别为 3 和 7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是 ( ) A．14 B．15 C．16 D．17 5．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25°，则该三角形的一个底角为（ ） A．32.5° B．57.5° C．65°或 57.5° D．32.5°或57.5° 6．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB＝DC，AC、BD 交于点 O， 则图中全等三角形共有（ ） A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 【考点梳理】 考点一、三角形的分类： 1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 考点二、三角形的性质： 1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边 2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 考点三、三角形中的主要线段： 三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 考点四、全等三角形 1. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除 以上的方法还有________. 3. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 【典型例题】 例 1．（ 1）一个三角形的两边长分别为 3cm和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） C B A M N 3 2 1 A B C D A B C D O 中考数学总复习导学案 41 A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm （2）如图，在折纸活动中，小明制作了一张⊿ABC 纸片， 点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将⊿ABC 沿着 DE 折叠压 平，A 与 A’重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A．150° B．210° C．105° D．75° （3）现有 3 ㎝，4 ㎝，7 ㎝，9 ㎝长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以 组成的三角形的个数是（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D．4 个 例 2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形 有 个 ． 例 3．数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中 点． 90AEF，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易 证 AME ECF△ ≌△ ，所以 AE EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外） 的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如 果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变， 结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确， 请说明理由． 第 21 课时 等腰三角形与直角三角形 【课前展练】 1．等腰三角形的一个角为 50°，那么它的一个底角为______． 第1个 第2个 第3个 A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 中考数学总复习导学案 42 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30º，腰长为 4 cm，则其腰上的高为 cm． 3.如图，在边长为 1 的等边△ ABC 中，中线 AD 与中线 BE 相交于点 O，则 OA 长度 为 ． 4. 如图，等边△ ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP＝1，D 为 AC 上一点，若∠APD ＝60°，则 CD的长为（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 1 2 D． 3 4 5. 如图，已知△ ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高 AD＝8， 则边 BC 的长为（ ） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 【考点梳理】 考点一．等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________； 2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________． 考点二．等边三角形的性质与判定： 1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质； 2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于 60°的 _______三角形是等边三角形． 考点三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________． 2. 直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．； 4. 勾股定理：_________________________________________． 5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． 【典型例题】 例 1．如图 AB=AC，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O． （1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA，BC，试判断直线 OA，BC 的关系并说明理由． 例 2．（ 1）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， ，2．分别以每组数据中的三 个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ） A． ② B． ①② C． ①③ D． ②③ （2）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线 DE 交于 BC A D C P B 60° A C D B A B C E D O 中考数学总复习导学案 43 的延长线于 F，若∠F=30°，DE=1，则 EF 的长是（ ） A． 3 B． 2 C． D． 1 例 3．在 ABC△ 中， 12cm 6cmAB AC BC D  ， ， 为 BC 的中点，动点 P 从 B 点出 发，以每秒 1cm 的速度沿 B A C的方向运动．设运动时间为t ，那么当t  秒 时，过 D 、 P 两点的直线将 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的 2 倍． 例 4．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向C 运动（与 A 、 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点 同时．．以相同．．的 速 度 由 B 向 延长线方 向运动（ 不与 B重 合），过 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接 PQ 交 AB 于 D . （1）当∠ OBQD 30 时，求 AP 的长； （2）在运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果发生改 变，请说明理由． 第 22 课时 解直角三角形及其应用 【课前展练】 1．在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90º，则 sinA 等于（ ） 中考数学总复习导学案 44 α 5 米 A B 图 3 A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．1 2．在△ ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝ 2 3 ，则 AC 的长是（ ） A． 5 B．3 C． 4 5 D． 13 3．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且 AC=10，则 DE 的 长度是（ ） A．3 B．5 C． 25 D． 2 25 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 AB、CD 分别表示一楼、二 楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是（ ） A． 8 33 B．4 m C． 43 m D．8 m 5.如图3，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么 这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. cos5 B. cos 5 C. sin5 D. sin 5 【考点梳理】 1．sinα，cosα，tanα 定义 sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ． 2．特殊角三角函数值 3．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 4．解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________． 5．如上图，解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________． 30° 45° 60° sinα cosα tanα E A B C D 150° h α a b c 中考数学总复习导学案 45 （2）角关系：∠A+∠B＝_____， （3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 4．如图仰角是____________,俯角是____________． 5．如图方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________． 6．如图坡度：AB 的坡度 iAB＝_______，∠α 叫_____，tanα＝i＝____． 【典型例题】 例 1．先化简．再求代数式的值． 22 ()2111 aa aaa   其中 a＝tan60°－2sin30°． 例 2．矩形 ABCD 中 AB＝10，BC＝8， E 为 AD 边上一点，沿 BE 将△ BDE 对折，点 D 正 好落在 AB 边上，求 tan∠AFE． 例 3． 海中有一个小岛 P，它的周围 18 海里内有暗礁，渔船 跟踪鱼群由西向东航行，在点 A 测得小岛 P 在北偏东 60° 方向上，航行 12 海里到达 B 点，这时测得小岛 P 在北 偏东 45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁危险？请说明理由． 例 4．如图，在航线l 的两侧分别有观测点 A 和 B，点 A 到航线l 的距离为 2km，点 B 位于 点 A 北偏东 60°方向且与 A 相距 10km 处．现有一艘轮船从位于点 B 南偏西 76°方向的 C 处， 正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船 行至点 A 的正北方向的 D 处． （1）求观测点 B 到航线 的距离； （2）求该轮船航行的速度（结果精确到 0.1km/h ）．（参 考 数 据 ： 3 1.73≈ ， sin76 0.97°≈ ， cos76 0.24°≈ ， tan76 4.01°≈ ） 第 23 课时 多边形和平行四边形 课前展练 1．一个多边形每一个外角都等于 40，则这个多边形的边数是 。 F A B C D E  A CB O A B C 北 东 C D B E A l 60° 76° 45 南 北 西 东 60 A D C B 70 O 中考数学总复习导学案 46 2．如图，将平行四边形 ABCD 的一边 BC 延长至 E，若∠A=110°，则∠1=________． 3．如图所示，E 是平行四边形 ABCD 内任一点，若 S 四边形 ABCD=6，则图中阴影部分的 面积为（ ） A．2 B．3 C.4 D.5 1 A B C D 4．ABCD 中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形 ABCD 的面积是_____. 5.行四边形 ABCD 的周长是 18，三角形 ABC 的周长是 14，则对角线 AC 的长是 . ６．如图，在 ABCD 中， AE BC 于 E，AE EB EC a   ，且 a 是一元二次方程 2 2 3 0xx   的根，则 的周长为（ ） A． 4 2 2 B．12 6 2 C． 2 2 2 D． 2 2 12 6 2或 考点梳理 １.多边形的相关知识 （１）n 边形的内角和为 ．外角和为 ． （２） 过 n 边形每一个顶点的对角线有 条，n 边形的对角线有 条． （３）正多边形：各边 ，各角 的多边形。 ２．平行四边形的性质 （1）平行四边形对边______并且 ； （２）平行四边形的对角 ，邻角 ； （３）平行四边形的对角线 ； （４）平行四边形是 对称图形。 3．平行四边形的判定 （1）两组对边分别 的四边形是平行四边形； （２）两组对边分别 的四边形是平行四边形； （３）一组对边 的四边形是平行四边形； （４）两组对角分别 的四边形是平行四边形； （５）对角线 的四边形是平行四边形。 例 1.（1）已知一个多边形的内角和是外角和的 3 2 倍，则这个多边形的边数是 。 A D C E C B 中考数学总复习导学案 47 （2）某商店出售下列形状的地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边 形，若只能选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有 种。 例 2.如图，D、E、F 分别是△ ABC 各边的中点.求证：AE 与 DF 互相平分 例 3.如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，点 E 为 AB 中点，连结 CE，过点 E 作 ED⊥BC 于点 D，在 DE 的延长线上取一点 F，使 AF＝CE．求证：四边形 ACEF 是平行四边形． 例 4.如图，平行四边形 ABCD 中，分别以 AD、BC 为边向内作等边△ ADE 和等边△ BCF, 接 BE、DF．求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 例 5 如图，在 ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=CF. (1)指出图中所有的全等三角形；（2）求证： EBF FDE   第 24 课时 矩形、菱形、正方形 【课前热身】 1. 矩形的两条对角线的一个交角为 60 o，两条对角线的长度的和为 8cm，则这个矩形的一条 中考数学总复习导学案 48 较短边为 cm. 2.边长为５cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是 . 3. 若正方形的一条对角线的长为 2cm，则这个正方形的面积为 ． 4．在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 考点梳理 考点一 矩形的定义、性质和判定 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 性质： （1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线 ； (3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有 条对称轴；它的对称中心是 . 3.判定： （1）有 的平行四边形是矩形； （2）有 的四边形是矩形； （3）对角线 平行四边形是矩形。 考点二 菱形的定义、性质和判定 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 性质：（1）菱形的四边 ，对角线互相 ，并且每条对角线 （2）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 3.判定：（1）有 的平行四边形是菱形； （2） 四边形是菱形； （3）对角线 的平行四边形是菱形。 考点二 正方形的定义、性质和判定 1. 定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形。 2. 性质：（1）正方形四个角都是 ，四条边 ； （2）正方形两条对角线 ，并且每条对角线平分一组对角。 3.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 【典型例题】 例 1.如图，在△ ABC 中，AB=AC，D 为边 BC 上一点，以 AB,BD 为邻边作平行 四边形 ABDE，连接 AD，EC． （1）求证：△ ADC  △ ECD； （2）若 BD=CD,求证四边形 ADCE 是矩形． 例 2.如图，已知⊿ABC，按如下步骤作图：①分别以 A、C 为圆心，以大于1 2AC 的长为半径 中考数学总复习导学案 49 在 AC 两边作弧，交于两点 M、N；②连接 MN，分别交 AB、AC 于点 D、O；③过 C 作 CE//AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD。 （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）当∠ACB=90°，BC=6，⊿ADC 的周长为 18 时，求四边形 ADCE 的面积。 例 3.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 边上任意一点，DE⊥AG 于 E，BF∥DE， 交 AG 于 F． （1）求证：AF-BF=EF； （2）将△ ABF 绕点 A 逆时针旋转，使得 AB 与 AD 重合，记此时点 F 的对应点为点 F′，若 正方形边长为 3，求点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离． 第 25 课时 梯 形 课前展练 １．如图．在梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD=25°，则∠BAD 的大小是（ ） A．40° B．45° C．50° D．60° ２．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论不一 定正确的是（ ） A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD ３．如图，在等腰梯形 ABCD 中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB 交 BC 于点 E，且 EC=3， 中考数学总复习导学案 50 则梯形 ABCD 的周长是（ ） A．26 B．25 C．21 D．20 ４．如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=3,AB=4, BC=7.则∠B 的度数是 ． 考点梳理 考点一 梯形的定义：一组对边平行，另一组对边 的四边形叫做梯形．其中平行的 两边叫做 ，两底间的距离叫做梯形的 ．两腰相等的梯形叫 ， 一腰与底垂直的梯形叫 ． 考点二 等腰梯形的性质和判定 1．性质：（1）等腰梯形的两腰 ，两底 ； （2）等腰梯形在同一底边上的两个角 ； （3）等腰梯形的对角线 ； （4）等腰梯形是 对称图形，对称轴是 ． 2. 判定：（１）定义法 （２）同一底边上的两个角 的梯形是等腰梯形； （３）对角线 的梯形是等腰梯形． 考点三 梯形的中位线 １．定义：连接梯形 的线段叫做梯形的中位线 ２．性质：梯形的中位线 两底，并且等于 的一半． 考点四 梯形的面积：Ｓ梯形＝ 1 2 （ ＋ ） ＝  考点五 解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法： １．基本思路： 转化、分割、拼接梯形 三角形或平行四边形 ①“作高”：使两腰在两个直角三角形中． ②“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“延腰”：构造具有公共角的两个三角形． 典型例题 例１．在等腰梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，ＡＤ＝３，ＡＢ＝４， 60B   ，则下底ＢＣ ＝ ． 例２．在等腰梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，ＡＤ＝３，ＢＣ＝７， AC BD ，求对角线Ａ 中考数学总复习导学案 51 Ｃ的长． 例３．梯形ＡＢＣＤ中， ABC DCB、 的平分线交梯形中位线ＥＦ于Ｐ，若ＥＦ＝３， 则梯形ＡＢＣＤ的周长是 ． 例４．如图，四边形ＡＢＣＤ是矩形，把矩形沿直线ＡＣ折叠，点Ｂ落在点Ｅ处，连接ＤＥ． （１） 求证：四边形ＡＣＥＤ是等腰梯形． （２） 若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３， 求四边形ＡＣＥＤ的周长和面积． 第 26 课时 圆的有关概念和性质 【课前展练】 1.如图，已知 BD 是⊙O 直径，点 A、C 在⊙O 上， AB BC ，∠AOB=60，则∠BDC 的 度数是 A.20° B.25° C.30° D. 40° 2.如图，△ ABC 内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C 的大小为（ ） A．28° B．56° C．60° D．62° 中考数学总复习导学案 52 D C B A O 3.如图，△ ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠C=50°，∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，则∠BAD 的度数是( ) A．45° B．85° C．90° D．95° 4.如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP．若阴影部分的面积为 9 ， 则弦 AB 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 5.在⊙O 中，直径 AB⊥CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F,且 CF⊥AD.求∠D 的度数. 6.如图，圆内接四边形 ABCD，AB 是⊙O 的直径，OD⊥BC 于 E。 （1）请你写出四个不同类型的正确结论； （2）若 BE=4，AC=6，求 DE。 【要点提示】圆的基本性质应用要点：垂径定理，圆周角定理。垂径定理是圆中利用勾股定 理进行计算的基础，圆周角定理是圆中角度转换的基本依据。 【考点梳理】 1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是 ； 垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 ． 推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且 ． （2）圆是中心对称图形，对称中心为 ．圆是旋转对称图形，圆绕圆心旋转任意角 度，都能和原来的图形重合（这就是圆的旋转不变性）. 弧、弦、圆心角的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 直径所对的圆周角是 ；900 的圆周角所对的弦是 ． 3．三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心： （3）三角形的内心： 4. 圆周角定理 中考数学总复习导学案 53 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的 一半． 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【典型例题】 例 1 在半径为 5cm 的⊙O 中，弦 AB 的长等于 6cm，若弦 AB 的两个端点 A、B 在⊙O 上滑动（滑动过程中，AB 长度不变），则弦 AB 的中点 C 的运动后形成的图形是 . 例 2 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若  140BOD ，则 BCD 等于（ ） A． 140 B． 110 C． 70 D． 120 例 3 已知如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦， CDAE  ，垂 足是 E， CDBF  ，垂足是 F，求证 CE=DF. 小明同学是这样证明的. 证明： ,CDOM  MDCM  ？ ,//// BFOMAE ？ MDMFCMME  ， 即 CE=DF 横线及问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但证明 过程欠完整，相信你再思考一下，一定能写出完整的证明过程.”请你帮助小明订正此题，好 吗？ 例 4 ⊙O 的半径为13cm ，弦 AB //CD ，且 10 , 24AB cm CD cm，求 AB 与CD 之间 的距离. 例 5 如图，BC 为半圆 O 的直径， BCAD  ，垂足为 D，过点 B 作弦 BF 交 AD 于 E 点，交半圆 O 于点 F，弦 AC 与 BF 交于点 H，且 AE=BE. 求证：（1）AB=AF； （2） BEABBCAH  2 . 【课堂小结】 垂径定理、圆心角与弧关系定理、圆周角定理是证明和解决圆中线段之间、弧之间、圆 心角、圆周角这间和差倍分关系的基本理论依据. 第 27 课时 与圆有关的位置关系 【课前展练】 1.⊙O 的半径为5 ，圆心 O 到直线l 的距离为3 ，则直线 与⊙O 的位置关系是（ ） A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定 2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关 系有（ ） A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切 D C B A FE DC B A O O F E D CB A 中考数学总复习导学案 54 3. 已知⊙O1 半径为 3cm，⊙O2 半径为 4cm，并且⊙O1 与⊙O2 相切，则这两个圆的圆心距 为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或 7cm 5. 已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是 . 【要点提示】点、直线、圆与圆的位置关系可以由相关的数据关系来确定，反过来，由相关 的数据关系可以确定点、直线、圆与圆的位置关系。这是考查的重点所在。 【知识梳理】 1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到 圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r. 3. 圆与圆的位置关系共有五种：（两圆圆心距为 d，半径分别为 21,rr ） 相交  2121 rrdrr  ； 外切  21 rrd  ； 内切 21 rrd  ； 外离 21 rrd  ； 内含 210 rrd  【典型例题】 例 1. 如图，点 A，B 在直线 MN 上，AB＝11 厘米，⊙A，⊙B 的半径均为 1 厘米．⊙A 以每 秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径 r（厘米）与时 间 t（秒）之间的关系式为 1rt（t≥0）． （1）试写出点 A，B 之间的距离 d（厘米） 与时间 t（秒）之间的函数表达式； （2）问点 A 出发后多少秒两圆相切？ 例 2：如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4）， M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）点 E 是 x 轴上一点，且 CE= 31，求 BE 的长. 例 3：已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 15cm，20cm，公共弦 AB 的长为 24cm，则两圆的圆心距为（ ） A．25cm B．7cm C．25cm 或 7cm D．9cm 或 16cm 例 4：如图，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，P 是⊙O1 上一点，PB 的延长线交⊙O2 于 点 C，PA 交⊙O2 于点 D，CD 的延长线交⊙O1 于点 N. ①过点 A 作 AE//CN 交⊙O1 于点 E，求证：PA=PE； A B N M x y C M B A O 中考数学总复习导学案 55 ②（＊）连结 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长. O2O1 EN D C A BP O1 O2 BP C A D N 例 5：如图，⊙O 与⊙ 'O 相交于 A、B 两点，点 O 在⊙ 上，⊙ 的弦 OC 交 AB 于点 D. 求证： ODOCOA 2 A C O B O' C D B A O O' 【课堂小结】在解决相交两圆的有关问题时，连接公共弦是常作的辅助线；但在没有给出相 关图形时，一定要考虑两圆心与公共弦的位置关系，可能要分类讨论。 第 28 课时 切线的性质与判定 【课前展练】 1. 如图，两个同心圆的半径分别为 4cm 和 5cm，大圆的一条弦 AB 与小圆相切，则弦 AB 的 长为（ ） A． 3cm B． 4cm C． 6cm D．8cm 第 1 题图 第 3 题图 DEC F BA N M 第 4 题图 F E O D CB A 第 5 题图 中考数学总复习导学案 56 Q P A O 2. 如图，某航天飞机在地球表面点 P 的正上方 A 处，从 A 处观测到地球 上的最远点Q ，若∠QAP = ，地球半径为 R，则航天飞机距地球表面 的最近距离 AP，以及 P、Q 两点间的地面距离分别是（ ） A. ,sin 180 RR  B. (90 ),sin 180 RRR    C. (90 ),sin 180 RRR    D. (90 ),cos 180 RRR    3. 如图，AM、AN 分别切⊙O 于 M、N 两点，点 B 在⊙O 上，且∠MBN =70°， 则 A = ． 4. 如图，直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C，大半圆 M 的弦与小半圆 N 相切于点 F，且 AB∥CD，AB=4，设 CD 、CE 的长分别为 x 、 y ，线段 ED 的长为 z ，则 ()z x y 的 值为____________. 5. 如图，正方形 ABCD 中，半圆 O 以正方形 ABCD 的边 BC 为直径，AF 切半圆 O 于点 F，AF 的延长线交 CD 于点 E，则 DE：CE= 。 6. 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是直角梯形，BC∥OA，⊙P 分别与 OA、OC、BC 相切于点 E、D、B，与 AB 交于点 F．已知 A（2,0）， B（1，2），则 tan∠FDE= ． 7. 如图 1，⊙O 内切于 ABC△ ，切点分别为 D E F， ， ． 50B °， 60C °，连结OE OF DE DF， ， ， ， 则 EDF 等于（ ） A． 40° B．55° C．65° D．70° 【考点梳理】 考点 1：切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的判定常用方法有三种： （1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 （3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 辅助线的作法： 证明一条直线是圆的切线的常用方法有两种： （1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证 明直线垂直于这条半径，记为“点已知，连半径，证垂直。”应用的是切线的判定定理。 （2）当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离 （d）等于半径(r)，记为“点未知，作垂直，证半径”。应用的是切线的判定方法（2）。 考点 2：切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线的作法： 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。记为“见切线，连半径，得垂直。” 考点 3：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线 的夹角． 对于切线长定理，应明确： D O A F C B E 中考数学总复习导学案 57 M P CB A O A A B B C C D D O O E E 图 2 图 1 （1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形； （4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补； （5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 【要点提示】 切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，多以填空、选择、解答 题出现，在孝感市历年中考中，几何的考查基本集中在考查切 线的性质和判定定理。 【典型例题】 例 1：如图 15，以 Rt△ ABC 的直角边 AC 为直径作⊙O，交斜边 AB 于点 D，E 为 BC 边的中点，连 DE. ⑴请判断 DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论. ⑵当 AD：DB=9：16 时，DE=8cm 时，求⊙O 的半径 R. 例 2：如图， AB 为 O 的直径，PQ 切 O 于T ， AC PQ 于C ，交 O 于 D ． （1）求证： AT 平分 BAC ；（ 5 分） （2）若 2AD  ， 3TC  ，求 O 的半径．（5 分） 例 3：如图，等边△ ABC 内接于⊙O，P 是 AB 上任一点（点 P 不与点 A、B 重合），连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交的延长线于点 M. （1）填空：∠APC=______度，∠BPC=_______度； （2）求证：△ ACM  △ BCP； （3）若 PA=1，PB=2，求梯形 PBCM 的面积. 例 4：如图 1，⊙O 是边长为 6 的等边△ ABC 的外接圆，点 D 在BC⌒ 上运动(不与点 B、C 重 合)，过点 D 作DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E， 连接 AD、CD． (1)在图 1 中，当 AD＝2 10时，求 AE 的长． (2)如图 2，当点 D 为BC⌒ 的中点时： ①DE 与⊙O 的位置关系是 ； ②求△ ACD 的内切圆半径 r． 第 29 课时 圆的有关计算 【课前展练】 1. 在半径为6cm 的圆中，60 的扇形所对的弧长为 ，面积为 . 2. 圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A． 3 8 cm B． 3 16 cm C．3cm D． 3 4 cm 3. 圆锥侧面积为 28 cm ,侧面展开图圆心角为45,则圆锥母线长为（ ） A B C D O P T Q E O D C B A 中考数学总复习导学案 58 A.64cm B.8cm C. 22 ㎝ D. 4 2 ㎝ 4. Rt ABC△ 中， 90C ， 8AC  ， 6BC  ，两等圆 A ， B 外切，那么图中两 个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A． 25 4  B． 25 8  C． 25 16  D． 25 32  5. 如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以 AC 为直径的半 圆 O 交 AB 于点 D，点 E 是 AB 的中点，CE 交半圆 O 于点 F，则图中阴影部分的面积为 2cm ． 6. 如图，小正方形构成的网络中，半径为 1 的 O 在格点上，则图中阴影部分两个小扇形 的面积之和为 （结果保留 ）。 【要点提示】应掌握圆的周长、弧长、圆的面积、扇形、弓形面积及简单组合图形的周长与 面积的计算；了解圆柱、圆锥的侧面展开图，并会计算圆柱、圆锥的侧面展开图的面积以及 简单旋转体的表面积；理解正多边形、正多边形的半径、边心距、中心角等概念，会将正多 边形的边长、半径、边心距和中心角的计算问题转化为解直角三角形的问题. 【考点梳理】 1.圆与正多边形的关系 把圆分成 )3( n 等份： ①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形； ②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形. 性质：①任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是圆心圆；②正多 边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形还是中心对称图形；③正多边形的有关计算：正 n 边形的半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形 分成 2n 个全等的直角三角形（正 n 边形的边长 a，边心距 r，周长 p 和面积 S 的计算，归结 为直角三角形的计算） 2.圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c ，宽是圆柱的母线长 L， 如果圆柱的底面半径为 r，则 2S cl rl圆柱体 3.圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长 c，半径等于圆锥的母线 长 l ，若圆锥的底面半径为 r，这个扇形的圆心角为 ，则 rlclSl r 圆锥侧   2 1,360 4.圆的有关计算 （1）圆的周长：  DRc  2 ； （2）弧长： 180 RnL  ； （3）圆的面积： 2RS  ； A B C O 第 5 题 第 4 题 第 5 题 中考数学总复习导学案 59 40% （4）扇形面积： 21 2 360 nRS LR 扇形 ； （5）弓形面积： S S S弓形 扇形 【典型例题】 例 1：如图，正方形网格中，△ ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将 ABC△ 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°，得到 1 1 1ABC ． （1）在正方形网格中，作出 ； （2）设网格小正方形的边长为 1，求旋转过程中动点 B 所经过的路径长． 例 2：如图，在⊙O 中．弦 BC 垂直于半径 OA．垂足为 E．D 是优弧 BC 上一点．连接 BD、 AD、OC，∠ADB=30°． （1）求∠AOC 的度教； （2）若弦BC=6cm．求图中阴影部分的面积． D O E CB A 例 4：一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何 体的全面积(即表面积)为________ (结果保留 ) 【课堂小结】 1.解涉及正多边形的边长、半径、边心距、中心角等有关问题 关键是将其化为解直角三角形的问题，而求弧长、扇形面积、弓形 面积、圆柱、圆锥的侧面展开图的面积的计算掌握公式和运用公式 是很重要的. 2.圆与正多边形的关系是得到正多边形诸多性质和解正多边形的具体体现多边形的轴 对称和中心对称是多边形与圆的关系的引申. 3.本课有关求值和计算运用了化归思想. 第 30 课时 尺规作图 【课前热身】 1.我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接 各边中点得到中点四边形 EFGH． 8 4 3 H G F E D CB A 中考数学总复习导学案 60 (1)这个中点四边形 EFGH 的形状是 ； (2)证明你的结论． 2.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ABC△ ）空 地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花 坛． 【知识梳理】 1.五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知线段的垂 直平分线；④作已知角的角平分线；⑤过一点作已知直线的垂线。 2.尺规作图的常见应用：①在平面直角坐标系中（或正方形网格中）作出所需的图形；②利 用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹 边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；③根据条件作出所需的圆（及与圆有 关的线） 3.尺规作图的一般步骤是先画后写，边画边写，另对于尺规作图题，会写已知、求作和作法 （不要求证明）． 【典型例题】 例题 1．已知三条线段 a、b、c，用尺规作出△ ABC，使 BC = a, AC = b、AB = c, (不写作法， 保留作图痕迹). c b a 例 2. 如图,已知 O 是坐标原点，B、C 两点的坐标 分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将△ OBC 放大 到两倍(即新图与原图的相似比为 2，画出图形； (2)分别写出 B、C 两点的对应点 B′、C′的坐标； (3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为(x，y),写出 M 的对 应点 M′的坐标． 例 3.如图，在下面的方格图中，将△ ABC 先向右平移 四个单位得到△ A 1 B1C1，再将 A B1C1 绕点 A1 逆时 针旋转90° 得到△ A B2C2，请依次作出 A B1C1 和 A B2C2． 例 4.如图所示，网格中每个小正方形的边长为 1，请你 认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案， 解答下列问题： A B C A B C 中考数学总复习导学案 61 a c b 图 1 a c c b a b A B C D 图 2 图（1） 图（2） （1）这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是____对称图形. （2）请在图（2）中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图 （1）中所给出的图案相同. 【课后练习】 1.小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一 个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺 规作图,保留作图痕迹) 2.有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允 许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心. 要求在图上保留画图痕迹，写出画法. 3.『问题情境』勾股定理是一条古老的数学定理，它有多种证明方 法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著 名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作 为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． 『定理表述』请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)． 『尝试证明』以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底，以 a＋b 为高的直角 梯形(如图 2)，请你利用图 2，验证勾股定理． 『知识拓展』利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明a＋b c ＜ 2．其证明步骤如下： ∵BC＝a＋b，AD＝ ， 又在直角梯形 ABCD 中，BC AD(填大小关系)， 即 ． ∴a＋b c ＜ 2．