江苏省南京秦淮区2020年中考数学一模试卷 解析版

江苏省南京秦淮区2020年中考数学一模试卷 解析版

‎2020年江苏省南京秦淮区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）‎ ‎1．（2分）计算（﹣a）3÷（﹣a2）的结果是（　　）‎ A．a B．﹣a C．1 D．﹣1‎ ‎2．（2分）请“宁”郊游！继餐饮、体育、图书、信息四大类消费券之后，南京再出重拳，发放13000000元乡村旅游消费券．用科学记数法表示13000000是（　　）‎ A．0.13×108 B．1.3×106 C．1.3×107 D．1.3×108‎ ‎3．（2分）在某市2019年青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示：‎ 年龄组 ‎13岁 ‎14岁 ‎15岁 ‎16岁 参赛人数 ‎5‎ ‎19‎ ‎12‎ ‎14‎ 若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的38%，则小明所在的年龄组是（　　）‎ A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁 ‎4．（2分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（　　）‎ A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b ‎5．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（　　）‎ A．15° B．20° C．30° D．45°‎ ‎6．（2分）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）‎ ‎7．（2分）﹣3的倒数是　 　，﹣3的绝对值是　 　．‎ ‎8．（2分）不等式﹣x﹣1＞0的解集是　 　．‎ ‎9．（2分）计算﹣的结果是　 　．‎ ‎10．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝　 　．‎ ‎11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1•x2+2x1+2x2＝　 　．‎ ‎12．（2分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为　 　．‎ ‎13．（2分）如图，▱BCDE的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径AB上，连接AD，若∠CDE＝68°，则∠ADE的度数为　 　°．‎ ‎14．（2分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为　 　．‎ ‎15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的腰AB经过原点，底边BC与x轴平行，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），则点C的坐标为　 　．‎ ‎16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为　 　．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算：20202﹣2019×2022．‎ ‎18．（7分）先化简，再求值：÷，其中x＝6．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，D是AC的中点．作BE∥AC，且使BE＝AC，连接DE，DE与AB交于点F．‎ ‎（1）求证DE＝BC；‎ ‎（2）连接AE、BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．‎ ‎20．（7分）面对今年的新冠疫情，某区所有中学开展了“停课不停学”活动．该区教育主管部门随机调查了一些家长对该活动的态度（A：无所谓；B：赞成；C：反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在图①中，C部分所占扇形的圆心角度数为　 　°；‎ ‎（2）将图②补充完整；‎ ‎（3）根据抽样调查结果，估计该区30000名中学生家长中有多少人持赞成态度？‎ ‎21．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市．以下四个是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽．‎ ‎（1）从中任意抽取一个会徽，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为　 　；‎ ‎（2）从中任意抽取两个会徽，求恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．‎ ‎22．（8分）如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°）．‎ ‎（1）用直尺和圆规作点O（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，求证：△OAA′∽△OBB′．‎ ‎23．（8分）已知二次函数y＝（x﹣k）2+2（x﹣k）（k为常数）．‎ ‎（1）该函数的图象与x轴有　 　个公共点；‎ ‎（2）在该函数的图象上任取两点A（2k，y1），B（2k+1，y2），试比较y1与y2的大小．‎ ‎24．（10分）从“数”与“形”两个角度解决问题1和问题2．‎ ‎（1）问题1两数之和为14，其中一个数比另一个数大4，求这两个数．‎ ‎【“数”的角度】‎ 解：设较大数为x，较小数为y．‎ 根据题意，得，解这个方程组，得①　 　．‎ ‎【“形”的角度】‎ 解：设较大数为x，较小数为y．‎ 根据题意，得y与x的函数关系为y＝﹣x+14，y＝x﹣4．‎ 在同一直角坐标系中画出它们的函数图象，得②；‎ 两个函数图象的交点坐标为③　 　．‎ 所以问题1的答案是④　 　．‎ ‎（2）问题2一根长16cm的铁丝能否围成面积为12cm2的矩形？‎ ‎25．（7分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．‎ ‎26．（8分）如图，O是△ABC的边AB上一点，⊙O经过点A、C，交AB于点D．过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接CD，CD恰好平分∠BCE．‎ ‎（1）求证：直线BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，CD＝2，求BC的长．‎ ‎27．（11分）【问题提出】‎ 对于给定三角形，如何求它的外接圆直径呢？‎ ‎【初步思考】‎ 对于任意三角形，可以分三类进行研究：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形．由于直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，故我们将研究的重点放在锐角三角形和钝角三角形上．下列研究以钝角三角形作为对象（可用类似方法研究锐角三角形）．‎ ‎【深入研究】‎ 规定△ABC是钝角三角形，∠A是钝角，⊙O是△ABC的外接圆，下面分4种情况求⊙O的直径（结果需用含有各情况中表示线段或角的字母的式子表示）．‎ ‎（1）如图①，AB＝m，∠ABC＝α，∠ACB＝β．‎ 思路：连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．易得△ABD是直角三角形，AB＝m，∠D＝∠C＝β，此时可求出⊙O的直径AD的长．根据上述思路，直接写出⊙O直径的长．‎ ‎（2）如图②，BC＝m，∠ABC＝α，∠ACB＝β．‎ 类比（1）的思路，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD，则⊙O的直径为　 　．‎ ‎（3）如图③，BC＝m，AB＝n，∠ABC＝α．‎ ‎（4）如图④，BC＝a，AC＝b，AB＝c．‎ ‎2020年江苏省南京秦淮区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）‎ ‎1．（2分）计算（﹣a）3÷（﹣a2）的结果是（　　）‎ A．a B．﹣a C．1 D．﹣1‎ ‎【分析】根据同底数幂的除法法则进行计算．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣a3÷（﹣a2）＝a3÷a2＝a，‎ 故选：A．‎ ‎2．（2分）请“宁”郊游！继餐饮、体育、图书、信息四大类消费券之后，南京再出重拳，发放13000000元乡村旅游消费券．用科学记数法表示13000000是（　　）‎ A．0.13×108 B．1.3×106 C．1.3×107 D．1.3×108‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：13000000＝1.3×107．‎ 故选：C．‎ ‎3．（2分）在某市2019年青少年航空航天模型锦标赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示：‎ 年龄组 ‎13岁 ‎14岁 ‎15岁 ‎16岁 参赛人数 ‎5‎ ‎19‎ ‎12‎ ‎14‎ 若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的38%，则小明所在的年龄组是（　　）‎ A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁 ‎【分析】根据各年龄组的参赛人数情况表进行计算即可．‎ ‎【解答】解：根据各年龄组的参赛人数情况表可知：‎ 总参赛人数为：5+19+12+14＝50，‎ ‎19÷50＝38%，‎ 则小明所在的年龄组是14岁．‎ 故选：B．‎ ‎4．（2分）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（　　）‎ A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b ‎【分析】根据有理数的运算结果进行判断．‎ ‎【解答】解：方法一：‎ 由数轴可得：b＜0＜a，‎ 取a＝0.2，b＝﹣0.8，则 ‎＝＝﹣0.25，a+b＝0.2+（﹣0.8）＝0.6，a+b2＝0.2+（﹣0.8）2＝0.2+0.64＝0.84，a﹣b＝0.2﹣（﹣0.8）＝0.2+0.8＝1，‎ 最大的是1，故选项D正确，‎ 方法二：‎ 由数轴可得：b＜0＜a，‎ 因为＜0，a+b＜0，a+b2＞0，a﹣b＞0，而a﹣b＞a+b2，‎ 所以a﹣b最大，‎ 故选：D．‎ ‎5．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（　　）‎ A．15° B．20° C．30° D．45°‎ ‎【分析】由旋转的性质可得∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，由等腰三角形的性质可求∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，‎ ‎∴∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝，‎ ‎∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，‎ ‎∵∠CAD＜90°，‎ ‎∴∠CDE不可能为45°，‎ 故选：D．‎ ‎6．（2分）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】证明△AEF∽△DCE，得出＝＝，设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，DE＝AD﹣AE＝3xcm，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎△CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1，‎ ‎∴∠AEF+∠CED＝90°，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD，‎ ‎∴∠DCE+∠CED＝90°，‎ ‎∴∠AEF＝∠DCE，‎ ‎∴△AEF∽△DCE，‎ ‎∴＝＝，‎ 设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，‎ ‎∴DE＝AD﹣AE＝3xcm，‎ 在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42，‎ 解得：x＝，‎ ‎∴AD＝4×＝．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）‎ ‎7．（2分）﹣3的倒数是　﹣　，﹣3的绝对值是　3　．‎ ‎【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．‎ ‎【解答】解：﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是 3，‎ 故答案为：，3．‎ ‎8．（2分）不等式﹣x﹣1＞0的解集是　x＜﹣1　．‎ ‎【分析】先移项，再把x的系数化为1即可．‎ ‎【解答】解：移项得，﹣x＞1，‎ x的系数化为1得，x＜﹣1．‎ 故答案为：x＜﹣1．‎ ‎9．（2分）计算﹣的结果是　0　．‎ ‎【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．‎ ‎【解答】解：原式＝2﹣2＝0．‎ 故答案为0．‎ ‎10．（2分）分解因式：（a+b）2﹣4ab＝　（a﹣b）2　．‎ ‎【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．‎ ‎【解答】解：（a+b）2﹣4ab ‎＝a2+2ab+b2﹣4ab ‎＝a2+b2﹣2ab ‎＝（a﹣b）2．‎ 故答案为：（a﹣b）2．‎ ‎11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1•x2+2x1+2x2＝　1　．‎ ‎【分析】由韦达定理可知x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，代入计算即可；‎ ‎【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，‎ ‎∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，‎ ‎∴x1•x2+2x1+2x2＝﹣5+2×3＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎12．（2分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为　y＝2（x﹣1）2+5　．‎ ‎【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．‎ ‎【解答】解：由“左加右减”的原则可知，‎ 抛物线y＝2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝2（x﹣1）2；‎ 由“上加下减”的原则可知，‎ 抛物线y＝2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝2（x﹣1）2+5．‎ 故答案为y＝2（x﹣1）2+5．‎ ‎13．（2分）如图，▱BCDE的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径AB上，连接AD，若∠CDE＝68°，则∠ADE的度数为　44　°．‎ ‎【分析】先利用平行四边形的性质得到∠B＝∠CDE＝68°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠ADC＝112°，然后计算∠ADC﹣∠CDE即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形BCDE为平行四边形，‎ ‎∴∠B＝∠CDE＝68°，‎ ‎∵四边形ABCD为圆的内接四边形，‎ ‎∴∠B+∠ADC＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝180°﹣68°＝112°，‎ ‎∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝112°﹣68°＝44°．‎ 故答案为44．‎ ‎14．（2分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为　　．‎ ‎【分析】过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，依据BG∥CH，即可得到＝，进而得出BE的长．‎ ‎【解答】解：如图所示，过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，‎ 则AD＝GE＝HF＝2，CH＝6﹣2＝4，‎ ‎∵BG∥CH，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴BG＝，‎ ‎∴BE＝BG+GE＝+2＝，‎ 故答案为：．‎ ‎15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的腰AB经过原点，底边BC与x轴平行，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），则点C的坐标为　（3，﹣4）　．‎ ‎【分析】根据反比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据等腰三角形的性质求得D的坐标，进而求得C的坐标．‎ ‎【解答】解：作AD⊥BC于D，‎ ‎∵BC等腰三角形ABC的底边，‎ ‎∴CD＝BD，‎ ‎∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），‎ ‎∴B（﹣1，﹣4），‎ ‎∴D（1，﹣4），‎ ‎∴BD＝2，‎ ‎∴CD＝BD＝2，‎ ‎∴C（3，﹣4），‎ 故答案为（3，﹣4）．‎ ‎16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为　　．‎ ‎【分析】过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DF＝DE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长．‎ ‎【解答】解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，‎ ‎∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠EAG＝∠AGD＝90°，‎ ‎∵BC＝1，‎ ‎∴Rt△ABC中，AC＝，AB＝2，‎ 又∵△ABD和△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AE＝，DG＝，‎ ‎∴DG＝AE，‎ 又∵∠DFG＝∠EAF，‎ ‎∴△AEF≌△GDF（AAS），‎ ‎∴DF＝DE，‎ 又∵Rt△AEH中，∠EAH＝30°，‎ ‎∴HE＝AE＝，AH＝，‎ ‎∴DH＝DA+AH＝2+＝，‎ ‎∴Rt△DEH中，DE＝＝＝，‎ ‎∴DF的长为，‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算：20202﹣2019×2022．‎ ‎【分析】先变形，再根据平方差公式进行变形，最后求出即可．‎ ‎【解答】解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+2）‎ ‎＝20202﹣（20202+2020×2﹣2020﹣2）‎ ‎＝﹣2018．‎ ‎18．（7分）先化简，再求值：÷，其中x＝6．‎ ‎【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝[﹣]•‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当x＝6时，‎ 原式＝﹣．‎ ‎19．（8分）如图，在△ABC中，D是AC的中点．作BE∥AC，且使BE＝AC，连接DE，DE与AB交于点F．‎ ‎（1）求证DE＝BC；‎ ‎（2）连接AE、BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）证明四边形BCDE是平行四边形，即可得出结论；‎ ‎（2）证明四边形AEBD是平行四边形，由（1）得四边形BCDE是平行四边形，得出DE∥CB，当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，由平行线的性质得出∠AFD＝∠ABC＝90°，即AB⊥DE，即可得出四边形AEBD是菱形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵D是AC的中点，‎ ‎∴CD＝AC，‎ ‎∵BE＝AC，‎ ‎∴CD＝BE，‎ ‎∵BE∥AC，‎ ‎∴四边形BCDE是平行四边形，‎ ‎∴DE＝BC；‎ ‎（2）解：当AB⊥BC（或∠ABC＝90°）时，四边形AEBD是菱形；理由如下：‎ 如图2所示：‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴AD＝AC，‎ ‎∵BE＝AC，‎ ‎∴AD＝BE，‎ ‎∵BE∥AD，‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形，‎ 由（1）得，四边形BCDE是平行四边形，‎ ‎∴DE∥CB，‎ 当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠AFD＝∠ABC＝90°，即AB⊥DE，‎ ‎∴四边形AEBD是菱形．‎ ‎20．（7分）面对今年的新冠疫情，某区所有中学开展了“停课不停学”活动．该区教育主管部门随机调查了一些家长对该活动的态度（A：无所谓；B：赞成；C：反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在图①中，C部分所占扇形的圆心角度数为　18　°；‎ ‎（2）将图②补充完整；‎ ‎（3）根据抽样调查结果，估计该区30000名中学生家长中有多少人持赞成态度？‎ ‎【分析】（1）由家长赞成的人数除以所占的百分比求出调查的总人数，求出家长反对占得百分比，乘以360即可求出C部分占得度数；‎ ‎（2）求出家长无所谓的人数，补全统计图即可；‎ ‎（3）由样本中家长赞成的百分比乘以30000即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：C部分所占扇形的圆心角度数为12÷（204÷85%）×360°＝18°；‎ 故答案为：18；‎ ‎（2）A：无所谓有204÷85%﹣204﹣12＝24人，将图②补充完整如图所示，‎ ‎（3）30000×85%＝25500（人）．‎ 答：估计该区30000名中学生家长中有25500人持赞成态度．‎ ‎21．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市．以下四个是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽．‎ ‎（1）从中任意抽取一个会徽，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为　　；‎ ‎（2）从中任意抽取两个会徽，求恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；‎ ‎（2）列举出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）从中任意抽取一个会徽，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎（2）任意抽取两个会徽，所有可能出现的结果有：（中国印•舞动的北京，天地人）、（中国印•舞动的北京，冬梦）、（中国印•舞动的北京，飞跃）、（天地人，冬梦）、（天地人，飞跃）、（冬梦，飞跃）共有6种，‎ 它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是‘冬梦’和‘飞跃’”（记为事件A）的结果有1种，‎ 所以P（A）＝．‎ ‎22．（8分）如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180‎ ‎°）．‎ ‎（1）用直尺和圆规作点O（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，求证：△OAA′∽△OBB′．‎ ‎【分析】（1）找旋转中心的方法：分别作两条线段A′B′、线段AB的垂直平分线，交点即为所求；‎ ‎（2）结合（1）根据相似三角形的判定方法即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）如图，点O即为所求．‎ ‎（2）证明：连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，‎ ‎∵线段A′B′为线段AB绕点O逆时针旋转后的图形，‎ ‎∴OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOA′＝∠BOB′．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴△OAA′∽△OBB′．‎ ‎23．（8分）已知二次函数y＝（x﹣k）2+2（x﹣k）（k为常数）．‎ ‎（1）该函数的图象与x轴有　2　个公共点；‎ ‎（2）在该函数的图象上任取两点A（2k，y1），B（2k+1，y2），试比较y1与y2的大小．‎ ‎【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；‎ ‎（2）根据二次函数图象上点的坐标特征求得y1＝k2+2k，y2＝k2+4k+3，得到y2﹣y1＝2k+3，然后分三种情况讨论即可比较y1与y2的大小．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数y＝（x﹣k）2+2（x﹣k）＝x2+（2﹣2k）x+k2﹣2k（k为常数），‎ ‎∴△＝（2﹣2k）2﹣4（k2﹣2k）＝4＞0，‎ ‎∴该函数的图象与x轴有2个交点，‎ 故答案为2；‎ ‎（2）因为点A（2k，y1）、B（2k+1，y2）在y＝（x﹣k）2+2（x﹣k）的函数图象上，‎ 所以y1＝k2+2k，y2＝（k+1）2+2（k+1）＝k2+4k+3．‎ 所以y2﹣y1＝k2+4k+3﹣（k2+2k）＝2k+3．‎ 当k＜﹣时，y2﹣y1＜0，y1＞y2．‎ 当k＝﹣时，y2﹣y1＝0，y1＝y2．‎ 当k＞﹣时，y2﹣y1＞0，y1＜y2．‎ ‎24．（10分）从“数”与“形”两个角度解决问题1和问题2．‎ ‎（1）问题1两数之和为14，其中一个数比另一个数大4，求这两个数．‎ ‎【“数”的角度】‎ 解：设较大数为x，较小数为y．‎ 根据题意，得，解这个方程组，得①　　．‎ ‎【“形”的角度】‎ 解：设较大数为x，较小数为y．‎ 根据题意，得y与x的函数关系为y＝﹣x+14，y＝x﹣4．‎ 在同一直角坐标系中画出它们的函数图象，得②；‎ 两个函数图象的交点坐标为③　（9，5）　．‎ 所以问题1的答案是④　9和5　．‎ ‎（2）问题2一根长16cm的铁丝能否围成面积为12cm2的矩形？‎ ‎【分析】根据题意，从“数”“形”两个角度分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）①解方程组得：，‎ ‎②画出函数大致图象如下：‎ ‎③从图象看，两个函数的交点为（9，5）；‎ ‎④故：这两个数分别为9和5；‎ 故答案为：，（9，5），9和5；‎ ‎（2）【“数”的角度】‎ 方法一：设这根铁丝围成的矩形的一边长为xcm．‎ 根据题意，得x（8﹣x）＝12．‎ 解这个方程，得x1＝6，x2＝2．‎ 当x1＝6时，8﹣x1＝2；当x2＝2时，8﹣x2＝6．‎ 答：一根长16cm的铁丝能围成面积为12cm2的矩形．‎ 方法二：设铁丝围成的矩形一边长为xcm，相邻的另一边为ycm．‎ 根据题意，得，解得或，‎ 答：一根长16cm的铁丝能围成面积为12cm2的矩形．‎ ‎【“形”的角度】‎ 方法一：设铁丝围成的矩形面积为ycm2，一边长为xcm．‎ 根据题意，得y与x的函数关系为y＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x（0＜x＜8）．‎ 在同一直角坐标系中画出它的函数图象和直线y＝12，如下图：‎ 从图象看，直线与该二次函数图象的交点坐标为（2，12），（6，12）．‎ 答：一根长16cm的铁丝能围成面积为12cm2的矩形．‎ 方法二：设铁丝围成的矩形一边长为xcm，相邻的另一边为ycm．‎ 根据题意，得y与x的函数关系为y＝﹣x+8（0＜x＜8），y＝（x＞0）．‎ 在同一直角坐标系中画出它们的函数图象如下：‎ 两个函数图象的交点坐标为（6，2），（2，6）．‎ 答：一根长16cm的铁丝能围成面积为12cm2的矩形．‎ ‎25．（7分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．‎ ‎【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200．‎ 解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10．‎ 所以x的值为10．‎ ‎26．（8分）如图，O是△ABC的边AB上一点，⊙O经过点A、C，交AB于点D．过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接CD，CD恰好平分∠BCE．‎ ‎（1）求证：直线BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，CD＝2，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）证明∠OCD+∠DCB＝90°，得出∠OCB＝90°，则结论得证；‎ ‎（2）证明△CDB∽△ACB，得出，设BC＝x，则AB＝2x，DB＝2x﹣6，由BC2＝AB•DB得出方程，解方程则可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AB，‎ ‎∴∠CED＝90°，‎ ‎∴∠ECD+∠CDE＝90°，‎ ‎∵OC＝DO，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD，‎ ‎∵CD平分∠BCE，‎ ‎∴∠ECD＝∠DCB，‎ ‎∴∠OCD+∠DCB＝90°，‎ ‎∴∠OCB＝90°，‎ ‎∴直线BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠CAD+∠CDA＝90°，‎ ‎∵∠DCB+∠ODC＝90°，‎ ‎∴∠DCB＝∠CAD，‎ ‎∵∠CBD＝∠ABC，‎ ‎∴△CDB∽△ACB，‎ ‎∴，‎ ‎∴BC2＝AB•DB ‎∵⊙O的半径为3，CD＝2，‎ ‎∴AC＝＝＝4，‎ ‎∴＝，‎ 设BC＝x，则AB＝2x，DB＝2x﹣6，‎ ‎∴x2＝2，‎ 解得x＝，‎ ‎∴BC＝．‎ ‎27．（11分）【问题提出】‎ 对于给定三角形，如何求它的外接圆直径呢？‎ ‎【初步思考】‎ 对于任意三角形，可以分三类进行研究：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形．由于直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，故我们将研究的重点放在锐角三角形和钝角三角形上．下列研究以钝角三角形作为对象（可用类似方法研究锐角三角形）．‎ ‎【深入研究】‎ 规定△ABC是钝角三角形，∠A是钝角，⊙O是△ABC的外接圆，下面分4种情况求⊙O的直径（结果需用含有各情况中表示线段或角的字母的式子表示）．‎ ‎（1）如图①，AB＝m，∠ABC＝α，∠ACB＝β．‎ 思路：连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．易得△ABD是直角三角形，AB＝m，∠D＝∠C＝β，此时可求出⊙O的直径AD的长．根据上述思路，直接写出⊙O直径的长．‎ ‎（2）如图②，BC＝m，∠ABC＝α，∠ACB＝β．‎ 类比（1）的思路，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD，则⊙O的直径为　　．‎ ‎（3）如图③，BC＝m，AB＝n，∠ABC＝α．‎ ‎（4）如图④，BC＝a，AC＝b，AB＝c．‎ ‎【分析】（1）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，则AD是⊙O的直径，得出∠ABD＝90°，由圆周角定理得出∠ADB＝∠ACB＝β，则sinβ＝，即可得出结果；‎ ‎（2）连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD、AD，则CD是⊙O的直径，得出∠CBD＝90°，由圆周角定理得出∠ADB＝∠ACB＝β，∠ADC＝∠ABC＝α，得出∠CDB＝α+β，由sin∠CDB＝即可得出结果；‎ ‎（3）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE，则CE是⊙O的直径，由三角函数定义得出AD＝AB•sinα＝nsinα，BD＝AB•cosα＝ncosα，则CD＝m﹣ncosα，由勾股定理得出AC＝，由EC＝即可得出结果；‎ ‎（4）如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE，则AE是⊙O的直径，得出∠ACE＝90°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设BD＝x，DC＝a﹣x，由AD⊥BC，得出AB2﹣‎ BD2＝AC2﹣CD2，求出x＝，由勾股定理得出AD＝＝，证明△ABD∽△AEC，得出＝，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：（1）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，如图①所示：‎ 则AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABD＝90°，‎ ‎∴△ABD是直角三角形，‎ ‎∵∠ADB＝∠ACB＝β，‎ ‎∴sinβ＝，‎ ‎∴AD＝＝，‎ ‎∴⊙O的直径的长为：；‎ ‎（2）连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD、AD，如图②所示：‎ 则CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠CBD＝90°，‎ ‎∴△CBD是直角三角形，‎ ‎∵∠ADB＝∠ACB＝β，∠ADC＝∠ABC＝α，‎ ‎∴∠CDB＝∠ADC+∠ADB＝α+β，‎ ‎∴sin∠CDB＝，‎ ‎∴CD＝＝，‎ 故答案为：；‎ ‎（3）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE，如图③所示：‎ 则CE是⊙O的直径，‎ 在Rt△ADB中，AD＝AB•sinα＝nsinα，BD＝AB•cosα＝ncosα，‎ ‎∴CD＝BC﹣BD＝m﹣ncosα，‎ 在Rt△ADC中，AC＝＝，‎ ‎∵CE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠EAC＝90°，且∠AEC＝∠B＝α．‎ ‎∴EC＝＝＝，‎ ‎∴⊙O的直径为：；‎ ‎（4）如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE，如图④所示：‎ 则AE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACE＝90°，‎ 过点A作AD⊥BC，垂足为D，‎ 设BD＝x，‎ ‎∴DC＝BC﹣BD＝a﹣x，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，‎ 即：c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∵AD2＝AB2﹣BD2，‎ ‎∴AD＝＝＝，‎ ‎∵∠ADB＝∠ACE＝90°，∠ABC＝∠CEA，‎ ‎∴△ABD∽△AEC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AE＝＝＝，‎ ‎∴⊙O的直径为：．‎