2018年江西省中考数学试题含答案

2018年江西省中考数学试题含答案

机密★2018年6月19日 江西省2018年中等学校招生考试 数学试题卷 ‎【解析】‎ 说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟。‎ ‎ 2.请将答案写在答题卡上，否则不给分。‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）‎ ‎1. ﹣2的绝对值是 ‎ A. ‎-2‎ B.‎2‎ C.‎ ﹣‎‎1‎‎2‎ D. ‎‎1‎‎2‎ ‎【解析】 本题考察有理数中的绝对值的概念，容易，但注意与倒数，相反数的区别.‎ ‎【答案】 B ★‎ ‎2.计算‎(-a)‎‎2‎‎▪‎ba‎2‎ 的结果为 ‎ A. b B.‎-b C.‎ ab D. ‎ba ‎【解析】 本题考察代数式的乘法运算，容易，注意‎(-a)‎‎2‎‎=‎a‎2‎ ,约分后值为b.‎ ‎【答案】 A★‎ ‎3.如图所示的几何体的左视图为 ‎ A B C D ‎ ‎【解析】 本题考察三视图，容易，但注意错误的选项B和C.‎ ‎【答案】 D ★‎ ‎4.某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”‎ ‎ 的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结 ‎ 论正确的是 ‎ A.最喜欢篮球的人数最多 ‎ B.最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 ‎ C.全班共有50名学生 ‎ D.最喜欢田径的人数占总人数的10 %‎ ‎【解析】 本题考察条形统计图，容易，对相关概念要理解清楚.‎ ‎【答案】 C ★‎ ‎5.小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移 ‎ 前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，‎ ‎ 现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，‎ ‎ 平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个 ‎ 正方形组成轴对称图形的平移方向有 ‎ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 无数个 ‎【解析】 本题考察图形变换，平移的方向只有5个，向上，下，右，右上45°，右下45°方向， ‎ ‎ 否则两个图形不轴对称.‎ ‎【答案】 C ★★‎ ‎6.在平面直角坐标系中，分别过点A(m,0)‎,B(m﹢2, 0)‎作x轴的垂线l‎1‎和l‎2‎‎ ‎ ,探究直线l‎1‎和l‎2‎与双曲 ‎ 线 y=‎‎3‎x 的关系，下列结论中错误的是 ‎ A.两直线中总有一条与双曲线相交 ‎ B.当m=1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等 ‎ C.当‎-2﹤m﹤0‎ 时，两条直线与双曲线的交点在y轴两侧 ‎ D.当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2‎ ‎【解析】 本题考察直线与双曲线的关系,当m=0时，l‎2‎与双曲线有交点，当m=-2时，l‎1‎与双曲线有交点，当m≠0,m≠﹣2‎时，l‎1‎与l‎2‎和双曲线都有交点，所以A正确；当m=1‎时，两交点分别是(1,3),(3,1),到原点的距离都是‎10‎，所以B正确；当‎-2﹤m﹤0‎ 时，l‎1‎在y轴 ‎ 的左侧，l‎2‎在y轴的右侧，所以C正确；两交点分别是m,‎‎3‎m和(m+2,‎‎3‎m+2‎),两交点的距离是‎4+‎‎36‎‎[mm+2‎]‎‎2‎ ,当m无限大时，两交点的距离趋近于2，所以D不正确；注意是错误的选项.‎ ‎【答案】 D ★★★‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） ‎ ‎7.若分式 ‎1‎x-1‎ 有意义，则x的取值范围是 . ‎ ‎【解析】 本题考察分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义，所以x-1≠0‎.‎ ‎【答案】 x≠1‎ ★‎ ‎ ‎ ‎8.2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航 ‎ 任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应 ‎ 为 . ‎ ‎【解析】 本题考察科学记数法，把60000写成a×‎‎10‎b的形式，注意‎1≤a＜10‎ ‎【答案】 ‎6×‎‎10‎‎4‎ ★‎ ‎9.中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十 ‎ 两。牛二，羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程为 . ‎ ‎【解析】 本题考察列二元一次方程组，抓住题中的等量关系，较为容易列出方程组.‎ ‎【答案】 ‎ 5x+2y=10‎‎2x+5y=8 ‎ ★★ ‎ ‎10.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 ‎ 得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，‎则 ‎ AB ‎的长为 .‎ ‎【解析】 本题考察矩形的性质和旋转的对应线段，利用勾股定理 ‎ 计算AB的长.DE=EF=BC=AD=3, ‎∠D=90°,所以AB=AE=3‎2‎[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎【答案】 AB=3‎‎2‎ ★★‎ ‎11.一元二次方程x‎2‎‎-4x+2=0‎的两根为x‎1‎,x‎2‎ ,则x‎1‎‎2‎‎-4x‎1‎+2‎x‎1‎x‎2‎的值为 .‎ ‎【解析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系，因为x‎1‎‎2‎‎-4x‎1‎+2=0‎，所以x‎1‎‎2‎‎-4x‎1‎=-2‎，‎ ‎ 因为x‎1‎x‎2‎‎=2‎，所以原式值为2，有一定的技巧性.‎ ‎【答案】 2 ★★‎ ‎12.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长 ‎ 为 .‎ ‎【解析】 本题考察动点问题，涉及直角三角形，辅助线，勾股定理，方程思想，综合性较强。‎ ‎ ‎ ‎ 首先，要能判断符合条件的P点共有3个：如图1，PA=2 ；如图2，因为△APD是直角三角形，PD=2PA ,所以∠PDA=30°，所以PA =‎ ‎6‎‎3‎=2‎‎3‎ ；如图3，设PH=x ,则PA=‎ ‎2‎x,‎ ‎ PD=‎2‎2‎x ,所以‎(6-x)‎‎2‎‎+x‎2‎=‎‎(2‎2‎x)‎‎2‎ ,所以x=‎7‎-1‎ ,所以PA=‎‎14‎‎-‎‎2‎ ‎【答案】 2，‎2‎‎3‎ ，‎14‎‎-‎‎2‎ ★★★‎ ‎ ‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13.（本题共2小题，每小题3分）‎ ‎（1）计算：a+1‎a-1‎‎-‎(a-2)‎‎2‎ ‎；‎ ‎【解析】 原式 = ‎a‎2‎‎-1-‎a‎2‎‎-4a+4‎ ‎ = ‎a‎2‎‎-1-a‎2‎+4a-4‎ ‎ = ‎4a-5‎ ★‎ ‎（2）解不等式：‎x-1≥x-2‎‎2‎+3‎ ‎ ‎ ‎【解析】 去分母： ‎2x-2≥x-2+6‎. ‎ ‎ 移项，合并： x≥6‎ ★‎ ‎ ‎ ‎14. 如图，在‎△ABC中，AB=8，BC=4,AC=6,CD∥AB,BD是‎∠ABC的平分线，BD交AD于点E,求AE的 ‎ 长.‎ ‎【解析】 ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD ‎ ∵CD∥AB ∴∠ABD=∠D ‎ ∴∠CBD=∠D ∴CD=BC=4‎ ‎ 又∵CD∥AB ∴△ABE∽△CDE ‎ ∴CEAE‎=‎CDAB=‎4‎‎8‎‎=‎‎1‎‎2‎ ∵CE+AE=AC=6 ∴AE=4 ★★‎ ‎15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列 ‎ 要求画图(保留作图痕迹)‎ ‎ （1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；‎ ‎ （2）在图1中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .‎ ‎【解析】 （1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；‎ ‎ （2）如图AH是△ABD的AD边上的高.‎ ‎★★ ★★★‎ ‎16. 今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决 ‎ 定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.‎ ‎ 抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗 ‎ 匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡 ‎ 片中随机抽取第二张，记下姓名.‎ ‎ （1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填 ‎ “不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；‎ ‎ （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.‎ ‎【解析】 （1）不可能 随机 ‎1‎‎4‎ ‎ ‎ （2） 共12种可能，“小惠被抽中”的概率是: P=‎6‎‎12‎=‎‎1‎‎2‎ ‎ ‎★★‎ ‎17. 如图，反比例函数y=kx (k≠0)‎ 的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于A(1,a),B两点，‎ ‎ 点C在第四象限，CA∥y 轴，‎∠ABC=90°‎.‎ ‎ (1)求k的值及点B的坐标；‎ ‎ (2)求tanC的值.‎ ‎【解析】 （1）∵点A(1,a)在y=2x上， ∴a=2 ∴A(1,‎2‎)‎ ‎ 把A(1,‎2‎)代入 y=‎kx 得‎ k=2‎ ‎ ‎ ∵A、B 两点关于原点O中心对称，‎ ‎ ∴B(-1,-2)‎ ★★‎ ‎ ‎ ‎ （2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D ‎ ∵‎∠ABC=90°‎ ‎∠BHC=90°‎ ∴‎‎∠C=∠ABH ‎ ∵CA∥y 轴 ， ∴BH∥x轴 ， ∴‎∠AOD=∠ABH ∴‎‎∠C=∠AOD ‎ ∴‎tanC=tan∠AOD=ADOD=‎2‎‎1‎=2‎ ‎★★‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，‎ ‎ 让人滋养浩然之气。”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生 ‎ 课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：‎ ‎ 收集数据 从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：‎ ‎ min):‎ ‎ 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100‎ ‎ 60 81 120 140 70 81 10 20 100 81‎ ‎ 整理数据 按如下分段整理样本数据并补全表格：‎ ‎ ‎ 课外阅读时间x(min)‎ ‎0≤x<40‎ ‎40≤x<80‎ ‎80≤x<120‎ ‎120≤x<160‎ 等级 D C B A 人数 ‎3‎ ‎8‎ ‎ 分析数据 补全下列表格中的统计量：‎ 平均数 中位数 众数 ‎80‎ ‎ 得出结论 ‎ ‎ (1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 ；‎ ‎ (2)如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？‎ ‎ (3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年 ‎ ‎ (按52周计算)平均阅读多少本课外书？‎ ‎【解析】 （1） ‎ 课外阅读时间x(min)‎ ‎0≤x<40‎ ‎40≤x<80‎ ‎80≤x<120‎ ‎120≤x<160‎ 等级 D C B A 人数 ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎4‎ 平均数 中位数 众数 ‎80‎ ‎81‎ ‎81‎ ‎    ★‎ ‎（2） 8÷20×400=160 ∴该校等级为“B”的学生有160名； ★‎ ‎（3） 选统计量：平均数 ‎ 80×52÷160=26 ∴该校学生每人一年平均阅读26本课外书      ★★‎ ‎19. 图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 ‎ ‎ 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB=120cm ,两扇活页 ‎ ‎ 门的宽OC=OB=60cm ,点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变(所有结果 ‎ 保留小数点后一位). (1)若‎∠OBC=50°‎,求AC的长；‎ ‎ (2)当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长.‎ ‎ 参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【解析】 （1）如图，作OH⊥AB于H ‎ ∵OC=OB=60 ∴CH=BH ‎ 在Rt△OBH中 ‎ ∵ cos∠OBC=BHOB ‎ ‎ ∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4 ‎ ‎ ∴AC=AB－2BH≈120－2×38.4=43.2‎ ‎ ∴AC的长约为43.2cm. ★★‎ ‎ ‎ ‎ （2）∵AC=60 ∴BC=60 ∵OC=OB=60‎ ‎ ∴OC=OB=BC=60 ‎ ‎ ∴△OBC是等边三角形[来源:学科网]‎ ‎ ∴OC弧长=‎‎60‎‎360‎‎2rπ=‎1‎‎6‎×2×60×3.14‎ ‎ =62.8 ‎ ‎ ∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm. ★★★‎ ‎20. 如图，在‎△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作 ‎ AD⊥BO交BO的延长线于点D,且‎∠AOD=∠BAD.‎ ‎ （1）求证：AB为‎⊙O的切线；‎ ‎ （2）若BC=6‎，tan∠ABC=‎‎4‎‎3‎ ,求AD的长.‎ ‎ ‎ ‎【解析】 （1）作OE⊥AB于点E ‎ ∵‎⊙O切BC于点C ‎ ∴OC⊥BC ∠ACB=90°‎ ‎ ∵ AD⊥BD ∴∠D=90°‎ ‎ ∴∠ABD＋∠BAD =90° ‎ ‎ ∠CBD＋∠BOC=90°‎ ‎ ∵∠BOC=∠AOD ∠AOD=∠BAD ‎ ∴∠BOC=∠BAD ‎ ∴∠ABD=∠CBD ‎ 在△OBC和△OBE中‎∠OEA=∠OCB‎∠ABD=∠CBDOB=OB ‎ ‎ ∴△OBC≌△OBE ‎ ‎ ∴OE=OC ∴OE是⊙O的半径 ‎ ‎.   ∵OE⊥AB ∴AB为⊙O的切线. ★★★‎ ‎ （2） ∵tan∠ABC=ACBC‎=‎‎4‎‎3‎，BC=6‎ ‎ ∴AC=8 ∴AB=‎6‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎‎=10‎ ‎ ‎ ∵BE=BC=6 ∴AE=4‎ ‎ ∵∠AOE=∠ABC ∴tan∠AOE=AEEO‎=‎‎4‎‎3‎ ∴EO=3‎ ‎ ∴AO=5 OC=3 ∴BO=‎‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=3‎‎5‎ ‎ 在△AOD和△BOC中‎∠AOD=∠BOC‎∠ADOE=∠BCO ‎ ∴△AOD∽△BOC ∴AOBO‎=‎ADBC ‎ ‎ 即 ‎5‎‎3‎‎5‎‎=‎AD‎6‎ ∴AD=‎2‎‎5‎ ★★★‎ ‎ ‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成 ‎ 本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 ‎ y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.‎ ‎ (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎ (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎ (3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润 ‎ 的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.‎ ‎【解析】 （1）设 ‎y=kx+b ‎ 则‎10k+b=200‎‎15k+b=150‎ 解得k=-10‎b=300‎ ‎ ‎ ∴‎y=-10x+300‎ ‎ ∵蜜柚销售不会亏本， ∴‎x≥8‎ ‎ 又y>0‎ ∴‎-10x+300>0‎ ∴‎x<30‎ ‎ ∴ ‎8≤x<30‎ ★★★ ‎ ‎ （2） 设利润为w元 ‎ 则 ‎w=x-8‎(-10x+300)‎ ‎ ‎‎=-10x‎2‎+380x-2400‎ ‎ ‎‎=-10‎(x-19)‎‎2‎x‎2‎+1210‎ ‎ ∴ 当x=19‎ 时， w最大为1210‎ ‎ ∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元. ★★★‎ ‎ (3) 当x=19‎ 时，‎y=110‎ ‎ 110×40=4400＜4800‎ ‎ ∴不能销售完这批蜜柚. ★★‎ ‎22. 在菱形ABCD中，‎∠ABC=60°‎,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边‎△APE，‎ ‎ 点E的位置随点P的位置变化而变化.‎ ‎ （1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，‎ ‎ ‎ CE与AD的位置关系是 ；‎ ‎ （2）当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， ‎ ‎ 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).‎ ‎ (3) 如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2‎‎3‎ ,BE=2‎‎19‎ ,求四边形 ‎ ADPE的面积. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】 （1）① BP=CE 理由如下：‎ ‎ 连接AC ‎ ∵菱形ABCD，∠ABC=60°‎ ‎ ∴△ABC是等边三角形 ‎ ∴AB=AC ∠BAC=60°‎ ‎ ∵△APE是等边三角形 ‎ ∴AP=AE ∠PAE=60° ‎ ‎ ∴∠BAP=∠CAE ‎ ∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE ★★‎ ‎ ② CE⊥AD ‎ ‎ ∵菱形对角线平分对角 ‎ ∴‎‎∠ABD=30°‎ ‎ ∵△ABP≌△ACE ‎ ∴‎‎∠ACF=∠ABD=30°‎ ‎ ∵‎‎∠ACD=∠ADC=60°[来源:学§科§网]‎ ‎ ∴‎‎∠DCF=30°‎ ‎ ∴‎‎∠DCF＋∠ADC=90°‎ ‎ ∴‎∠CFD=90°‎ ‎ ‎ ∴CF⊥AD 即CE⊥AD ★★‎ ‎ ‎ ‎ （2）(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立，理由如下：‎ ‎ ‎ ‎ 连接AC ‎ ∵菱形ABCD，∠ABC=60°[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎ ∴△ABC和△ACD都是等边三角形 ‎ ∴AB=AC ∠BAD=120° ‎ ‎ ∠BAP=120°＋∠DAP ‎ ∵△APE是等边三角形 ‎ ∴AP=AE ∠PAE=60° ‎ ‎ ∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP ‎ ∴∠BAP=∠CAE ‎ ∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE ‎∠ACE=∠ABD=30°‎ ‎ ‎ ∴∠DCE=30° ∵∠ADC=60°‎ ‎ ∴∠DCE＋∠ADC=90° ∴∠CHD=90° ∴CE⊥AD ‎ ∴(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立. ★★★‎ ‎ (3) 连接AC交BD于点O , CE, 作EH⊥AP于H ‎ ∵四边形ABCD是菱形 ‎ ‎ ∴AC⊥BD BD平分∠ABC ‎ ‎ ∵∠ABC=60°，‎AB=2‎‎3‎ ‎ ∴∠ABO=30° ∴AO=‎‎3‎ BO=DO=3‎ ‎ ∴BD=6‎ ‎ 由(2)知CE⊥AD ‎ ∵AD∥BC ∴CE⊥BC ‎ ∵BE=2‎‎19‎ ‎BC=AB=2‎‎3‎ ‎ ∴‎CE=‎(2‎19‎)‎‎2‎‎－‎‎(2‎3‎)‎‎2‎=8‎ ‎ 由(2)知BP=CE=8 ∴DP=2 ∴OP=5‎ ‎ ∴‎AP=‎5‎‎2‎‎＋‎‎(‎3‎)‎‎2‎=2‎‎7‎ ‎ ∵△APE是等边三角形， ∴‎ PH=‎‎7‎ ‎EH=‎‎21‎ ‎ ∵‎S四ADPE‎=S‎△ADP+‎S‎△APE ‎ ∴‎S四ADPE‎=‎1‎‎2‎DP·AO+‎1‎‎2‎AP·EH=‎1‎‎2‎×2×‎3‎ +‎1‎‎2‎×2‎7‎×‎‎21‎ ‎ ‎‎=‎3‎+7‎‎3‎ ‎ ‎‎=8‎‎3‎ ‎ ∴四边形ADPE的面积是‎8‎‎3‎ .‎ 六、（本大题共12分）‎ ‎23. 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：‎ ‎ 求解体验 ‎ (1)已知抛物线y=-x‎2‎+bx-3‎经过点(-1,0),则b= ，顶点坐标为 ，‎ ‎ 该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .‎ ‎ 抽象感悟 ‎ 我们定义：对于抛物线y=ax‎2‎+bx+c(a≠0)‎,以y轴上的点M(0,m)‎为中心，作该抛物线关于 ‎ ‎ 点M对称的抛物线y'‎ ,则我们又称抛物线y'‎为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”.‎ ‎ (2)已知抛物线y=-x‎2‎-2x+5‎关于点‎(0,m)‎的衍生抛物线为y'‎，若这两条抛物线有交点，求 m的取值范围.‎ ‎ 问题解决 ‎ (3) 已知抛物线y=ax‎2‎+2ax-b(a≠0)‎ ‎ ①若抛物线y的衍生抛物线为y‎'‎‎=bx‎2‎-2bx+a‎2‎(b≠0)‎,两抛物线有两个交点，且恰好是 ‎ 它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；‎ ‎ ②若抛物线y关于点‎(0,k+‎1‎‎2‎)‎的衍生抛物线为y‎1‎ ,其顶点为A‎1‎；关于点‎(0,k+‎2‎‎2‎)‎的衍生抛 ‎ 物线为y‎2‎，其顶点为A‎2‎；…；关于点‎(0,k+n‎2‎)‎的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…(n为 ‎ ‎ 正整数).求AnAn+1‎的长(用含n的式子表示).‎ ‎【解析】 求解体验 ‎ ‎ (1)把(-1,0)代入‎ y=-x‎2‎+bx-3‎ 得‎ b=-4‎ ‎ ∴y=-x‎2‎-4x-3=－‎(x+2)‎‎2‎+1‎ ‎ ‎ ∴顶点坐标是(-2,1)‎ ‎ ∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1)‎ ‎ ∴成中心对称的抛物线表达式是：‎ ‎ ‎y=x-2‎‎2‎+1‎ ‎ 即 y=x‎2‎‎-4x+5‎ (如右图) ★★‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抽象感悟 ‎ (2) ∵ ‎y=-x‎2‎-2x+5‎ ‎ ‎ =-‎(x+1)‎‎2‎+6‎ ‎ ‎ ∴ 顶点是（-1,6）‎ ‎ ∵ (-1,6)关于‎(0,m)‎的对称点是‎(1,2m-6)‎ ‎ ∴ ‎y'=‎(x-1)‎‎2‎+2m-6‎ ‎ ∵ 两抛物线有交点 ‎ ∴ ‎-‎(x+1)‎‎2‎+6=‎(x-1)‎‎2‎+2m-6‎有解 ‎ ∴ x‎2‎‎=5-m 有解 ‎ ∴ ‎‎5-m≥0‎ ‎ ∴ m≤5‎ (如右图) ★★★‎ 问题解决 ‎(3) ① ∵‎ y=ax‎2‎+2ax-b=‎a‎(x+1)‎‎2‎-a-b ‎ ∴ 顶点（-1，‎-a-b）‎ ‎ 代入 y‎'‎‎=bx‎2‎-2bx+‎a‎2‎ 得：‎ ‎ b+2b+a‎2‎=-a-b ①‎ ‎ ∵ ‎y‎'‎‎=bx‎2‎-2bx+a‎2‎=b‎(x-1)‎‎2‎+a‎2‎-b ‎ ∴ 顶点（1，a‎2‎‎-b）‎ ‎ 代入 y=ax‎2‎+2ax-b 得：‎ ‎ a+2a-b=a‎2‎-b ②‎ ‎ 由① ② 得 ‎a‎2‎‎+a+4b=0‎a‎2‎‎-3a=0 ‎ ‎ ∵ a≠0‎ ,‎‎ b≠0‎ ‎ ∴ ‎a=3 ‎‎ b=-3‎ ‎ ∴ 两顶点坐标分别是（-1,0），（1,12）‎ ‎ 由中点坐标公式得 ‎ “衍生中心”的坐标是（0,6） ★★★‎ ‎ ② 如图，设AA‎1‎ ,‎ AA‎2‎ … ‎ AAn ,‎ AAn+1‎ 与y轴分别相于B‎1‎ ,‎ ‎B‎2‎ … ‎ ‎Bn ,‎ ‎Bn+1‎ .‎ ‎ 则A与A‎1‎ ,A与A‎2‎,… A与An，A与An+1‎ 分别关于B‎1‎ ,‎ ‎B‎2‎ …‎ ‎Bn ,‎ ‎Bn+1‎ 中心对称.‎ ‎ ∴B‎1‎‎ ‎B‎2‎ ,‎ B‎2‎ ‎B‎3‎ … ‎ Bn ‎Bn+1‎ 分别是△AA‎1‎A‎2‎ ,‎ AA‎2‎A‎3‎ …AAnAn+1‎ 的中位线，‎ ‎ ∴A‎1‎A‎2‎‎=2B‎1‎ ‎B‎2‎ ，A‎2‎A‎3‎‎=‎2B‎2‎ ‎B‎3‎ … AnAn+1‎‎=2Bn ‎Bn+1‎ ‎ ‎ ∵Bn‎(‎0,k+n‎2‎)‎ , ‎Bn+1‎‎(0 , k+n+1‎‎2‎)‎ ‎ ∴AnAn+1‎‎=2Bn ‎Bn+1‎ ‎= 2[k+n+1‎‎2‎-‎(k+n‎2‎)‎]‎=4n+2‎ ★★★★‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎