2010年广西钦州市中考数学试卷

2010年广西钦州市中考数学试卷

一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）‎ ‎1、（2010•钦州）计算：|﹣2010|= ．‎ 考点：绝对值。‎ 分析：负数的绝对值是它本身的相反数．‎ 解答：解：|﹣2010|=2010．‎ 点评：主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中数的正负，再去绝对值符号．‎ ‎2、（2010•钦州）一个承重架的结构如图所示，如果∠1=155°，那么∠2= 度．‎ 考点：三角形的外角性质。‎ 分析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．‎ 解答：解：∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，‎ ‎∴∠2=155°﹣90°=65°．‎ 点评：本题主要利用三角形的外角性质求解．‎ ‎3、（2010•钦州）上海世博会主题馆安装有目前世界上最大的太阳能板，其面积达30 000平方米，这个数据用科学记数法表示为 平方米．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：30 000=3×104平方米．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．‎ ‎（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎4、（2010•钦州）要使二次根式a+1‎在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 分析：根据二次根式的性质可直接解答．‎ 解答：解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，‎ 可知：a+1≥0，即a≥﹣1．‎ 点评：主要考查了二次根式的概念和性质：‎ 概念：式子a（a≥0）叫二次根式；‎ 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎5、（2010•钦州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD=4cm，则OE的长为 cm．‎ 考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质。‎ 分析：先说明OE是△ACD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．‎ 解答：解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵点E是CD的中点，‎ ‎∴CE=DE，‎ ‎∴OE是△ACD的中位线，‎ ‎∵AD=4cm，‎ ‎∴OE=‎1‎‎2‎AD=‎1‎‎2‎×4=2cm．‎ 故答案为2．‎ 点评：本题运用了平行四边形的对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．‎ ‎6、（2010•钦州）反比例函数y=‎kx（k＞0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 ．‎ 考点：反比例函数图象的对称性。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．‎ 解答：解：∵A点的坐标为（2，1），‎ ‎∴B点的坐标为（﹣2，﹣1）．‎ 故答案为：（﹣2，﹣1）．‎ 点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．‎ ‎7、（2010•钦州）已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ．‎ 考点：根的判别式。‎ 分析：满足△=b2﹣4ac=0，求出k的值．‎ 解答：解：∵一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，‎ 且△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×1=k2﹣4‎ ‎∴k2﹣4=0．‎ 即k=±2．‎ 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．‎ ‎8、（2010•钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，要使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．‎ 考点：全等三角形的判定。‎ 专题：开放型。‎ 分析：根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．‎ 解答：解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，‎ 所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；‎ 补充AC=BD便可以根据SSS证明．‎ 故补充的条件是AC=BD或∠CBA=∠DAB．‎ 点评：本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．‎ ‎9、（2010•钦州）根据如图所示的计算程序，若输入的值x=﹣1，则输出的值 y= ．‎ 考点：代数式求值。‎ 专题：图表型。‎ 分析：根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数即可求得y的值．‎ 解答：解：∵x=﹣1，‎ ‎∴对应y=x2+1，‎ 故输出的值y=x2+1=（﹣1）2+1=1+1=2．‎ 点评：能够根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．‎ ‎10、（2010•钦州）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．‎ 过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB ‎，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段Dn﹣1Dn的长为 （n为正整数）．‎ 考点：等边三角形的性质；解直角三角形。‎ 专题：规律型。‎ 分析：易证△AD0D1，△D0D1D2…都相似，它们的相似比都相同．据此来找本题的规律．‎ 解答：解：Rt△BD0D1中，BD0=1，∠B=60°，则D0D1=‎3‎‎2‎；‎ ‎△AD1D0中，∠D1D0D2=60°，则D1D2=‎3‎‎2‎D0D1=（‎3‎‎2‎）2；‎ 依次类推，D2D3=（‎3‎‎2‎）3；‎ ‎…‎ Dn﹣1Dn=（‎3‎‎2‎）n．‎ 点评：此题主要考查了等边三角形、直角三角形及相似三角形的性质．‎ 从简单的条件入手来发现一般化规律，是解答此类题的基本出发点．‎ 二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11、（2010•钦州）下列各数中，无理数是（　　）‎ ‎ A、0.101001 B、0‎ ‎ C、‎5‎ D、‎‎﹣‎‎2‎‎3‎ 考点：无理数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：A、B、C、D分别根据无理数、有理数的定义来求解即可判定．‎ 解答：解：A、B、D中0.101001，0，﹣‎2‎‎3‎是有理数，‎ C中‎5‎开方开不尽是无理数．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，‎6‎，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．‎ ‎12、（2010•钦州）如图所示的三视图表示的几何体是（　　）‎ ‎ A、长方体 B、正方体 ‎ C、圆柱体 D、三棱柱 考点：由三视图判断几何体。‎ 专题：图表型。‎ 分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．‎ 解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是矩形可判断出这个几何体应该是长方体，故选A．‎ 点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．‎ ‎13、（2010•钦州）不等式组‎&x+1＞0‎‎&2x﹣4＜0‎的解集是（　　）‎ ‎ A、x＞﹣1 B、﹣1＜x＜2‎ ‎ C、x＜2 D、x＜﹣1或x＞2‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ 解答：解：由①得，x＞﹣1，‎ 由②得，x＜2，‎ ‎∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．‎ 故选B．‎ 点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．‎ ‎14、（2010•钦州）下列各式运算正确的是（　　）‎ ‎ A、3a2+2a2=5a4 B、（a+3）2=a2+9‎ ‎ C、（a2）3=a5 D、3a2•2a=6a3‎ 考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 专题：计算题。‎ 分析：分别根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可判断正误．‎ 解答：解：A、应为3a2+2a2=5a2，故本选项错误；‎ B、应为（a+3）2=a2+6a+9，故本选项错误；‎ C、应为（a2）3=a6，故本选项错误；‎ D、3a2•2a=6a3，正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方的性质，完全平方公式，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．‎ ‎15、（2010•钦州）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（　　）‎ ‎ A、4cm B、5cm ‎ C、6cm D、10cm 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。‎ 分析：由勾股定理求得AB的长，由题意知BE是AB的一半．‎ 解答：解：∵两直角边AC=6cm、BC=8cm，‎ ‎∴AB=AC‎2‎‎+‎BC‎2‎=10cm，‎ 由题意知，点B是AB的中点，故BE=‎1‎‎2‎AB=5cm．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对应边相等．‎ ‎16、（2010•钦州）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点20m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为（结果保留3个有效数字）（　　）‎ ‎ A、42.8m B、42.80m ‎ C、42.9m D、42.90m 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：Rt△ABO中，知道了已知角的邻边求对边，利用正切函数求解即可．‎ 解答：解：Rt△ABO中，OA=20，∠BAO=65°，‎ ‎∴OB=OA•tan65°≈42.9（米）．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎17、（2010•钦州）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（　　）‎ ‎ A、6πm2 B、5πm2‎ ‎ C、4πm2 D、3πm2‎ 考点：扇形面积的计算；多边形内角与外角。‎ 分析：因为5个扇形的半径相等，所以5个扇形的面积和即为圆心角是540°，半径是2m的扇形的面积．‎ 解答：解：根据题意，得 扇形的总面积=‎540π×4‎‎360‎=6π（m2）．‎ 故选A．‎ 点评：当扇形的半径相等的时候，注意运用提公因式法，不需要知道每个扇形的圆心角，只需要知道所有的扇形的圆心角的和．‎ ‎18、（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：‎ ‎①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；‎ ‎④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．‎ 其中错误的结论有（　　）‎ ‎ A、②③ B、②④‎ ‎ C、①③ D、①④‎ 考点：二次函数图象与系数的关系。‎ 分析：①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；‎ ‎②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c的符号；‎ ‎③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，由此即可判定此结论是否正确；‎ ‎④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．‎ 解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵与y轴交点在x轴上方，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴ac＜0；‎ ‎②∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c，‎ 而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，‎ ‎∴a﹣b+c＜0；‎ ‎③根据图象知道当x＜﹣1时抛物线在x轴的下方，‎ ‎∴当x＜﹣1，y＜0；‎ ‎④从图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标都大于﹣1，‎ ‎∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．‎ 故错误的有①③．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．‎ 三、解答题（共9小题，满分76分）‎ ‎19、（2010•钦州）（1）计算：‎‎（﹣1‎）‎‎4‎+‎3‎‎﹣2‎﹣‎2‎×cos45°‎ ‎（2）解方程组：‎‎&2x+y=2（1）‎‎&4x﹣y=1（2）‎ 考点：特殊角的三角函数值；负整数指数幂；解二元一次方程组。‎ 分析：（1）涉及到乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值三个知识点，在计算时，要针对各知识点分别进行计算，然后按实数的运算规则依次计算即可．‎ ‎（2）方程组的两个方程中，y的系数互为相反数，可用加减消元法进行求解．‎ 解答：解：（1）原式=1+‎1‎‎9‎﹣‎2‎‎×‎‎2‎‎2‎（3分）‎ ‎=1+‎1‎‎9‎﹣1 （4分）‎ ‎=‎1‎‎9‎；（5分）‎ ‎（2）（1）+（2）得：6x=3，（7分）‎ ‎∴x=‎1‎‎2‎． （8分）‎ 把x=‎1‎‎2‎代入（1），得：2×‎1‎‎2‎+y=2，‎ ‎∴y=1． （9分）‎ ‎∴方程组的解是‎&x=‎‎1‎‎2‎‎&y=1‎． （10分）‎ 点评：此题主要考查实数的运算及二元一次方程组的解法；涉及的知识点有：乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等．‎ ‎20、（2010•钦州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．‎ 考点：菱形的判定；梯形。‎ 专题：证明题。‎ 分析：首先证明四边形AECD是平行四边形，再由AB∥CD，得∠EAC=∠DCA，AC平分∠BAD，得∠DAC=∠CAE，从而得到∠ACD=∠DAC，即AD=DC，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．‎ 解答：证明：‎ ‎∵AB∥CD，CE∥AD，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形．（3分）‎ ‎∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，（4分）‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ACD=∠BAC=∠DAC，（5分）‎ ‎∴AD=DC，（6分）‎ ‎∴四边形AECD是菱形．（8分）‎ 点评：考查了平行四边形和菱形的判定，比较简单．‎ ‎21、（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？‎ 考点：分式方程的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：设原计划参加植树的团员有x人，则实际参加植树的团员有1.5x人，人均植树棵树=‎300‎人数，用原人均植树棵树﹣实际人均植树棵树=2，列分式方程求解，结果要检验．‎ 解答：解：设原计划参加植树的团员有x人，‎ 根据题意，得‎300‎x‎﹣‎300‎‎1.5x=2‎，‎ 解这个方程，得x=50，‎ 经检验，x=50是原方程的根，‎ 答：原计划参加植树的团员有50人．‎ 点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．‎ ‎22、（2010•钦州）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，先画出△OAB关于y轴对称的图形，再画出△OAB绕点O旋转180°后得到的图形．‎ ‎（2）先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：‎ ‎（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明．‎ ‎①根据图2写出一个等式 ；‎ ‎②已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．‎ 考点：作图-旋转变换；整式的混合运算。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：（1）从A、B两点向y轴引垂线，并延长相同单位得到对应点，顺次连接即可．‎ 把三角形的三顶点分别旋转180度得到新的对应点，顺次连接即可．‎ ‎（2）①利用长方形的面积公式即可证明．‎ ‎②画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可．‎ 解答：（1）解：画出的△OA1B1是△OAB关于y轴对称的图形；‎ ‎△OA2B2是△OAB绕点O旋转180°后的图形．‎ ‎（只要学生画对图形就可各得（3分），共6分）‎ ‎（2）①（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；（9分）‎ ‎②画出的图形如下：（12分）‎ ‎（答案不唯一，只要画图正确即得分）‎ 点评：本题主要考查了轴对称图形和旋转变换作图及公式的图形解释．‎ ‎23、（2010•钦州）袋子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定一次游戏规则是：小英先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小明再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．‎ ‎（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；‎ ‎（2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．‎ 考点：游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：（1）2次实验，每次实验都有3种情况，列举出所有情况即可；‎ ‎（2）看两人摸到的球的颜色相同的情况占所有情况的多少即可求得小明赢的概率，进而求得小英赢的概率，比较即可．‎ 解答：解：（1）根据题意，画出树状图如下：‎ 或列表格如下：‎ ‎，‎ 所以，游戏中所有可能出现的结果有以下9种：红1红1，红1红2，红1黄，红2红1，‎ 红2红2，红2黄，黄红1，黄红2，黄黄，这些结果出现的可能性是相等的；‎ ‎（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：‎ 由（1）可知，一次游戏有9种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色相同的结果有5种，两人摸到的球颜色不同的结果有4种．‎ ‎∴P（小英赢）=‎5‎‎9‎，P（小明赢）=‎4‎‎9‎，‎ ‎∵P（小英赢）≠P（小明赢），‎ ‎∴这个游戏对双方不公平．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎24、（2010•钦州）为了解某住宅区的家庭用水量情况，从该住宅区中随机抽样调查了50户家庭去年每个月的用水量，统计得到的数据绘制了下面的两幅统计图．图1是去年这50户家庭月总用水量的折线统计图，图2是去年这50户家庭月总用水量的不完整的频数分布直方图．‎ ‎（1）根据图1提供的信息，补全图2中的频数分布直方图；‎ ‎（2）在抽查的50户家庭去年月总用水量这12个数据中，极差是 米3，众数是 米3，中位数是 米3；‎ ‎（3）请你根据上述提供的统计数据，估计该住宅区今年每户家庭平均每月的用水量是多少米3？‎ 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数；众数；极差。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）根据折线统计图的数据可以将频数直方图补充完整；‎ ‎（2）极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数；‎ ‎（3）现计算出去年50户家庭年总用水量，再用去年50户家庭年总用水量除以户数再除以月数即可求得该住宅区今年每户家庭平均每月的用水量．‎ 解答：解：（1）补全的频数分布图如下图所示：‎ ‎（2）极差=800﹣550=250（米3）；‎ 众数为750（米3）；‎ 中位数=（700+750）÷2=725（米3）；‎ ‎（3）∵去年50户家庭年总用水量为：‎ ‎550+600×2+650+700×2+750×4+800×2‎ ‎=8400（米3）‎ ‎8400÷50÷12=14（米3）‎ ‎∴估计该住宅区今年每户家庭平均每月的用水量是14米3．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．‎ ‎25、（2010•钦州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．‎ ‎（1）若∠B=30°，AB=2，求CD的长；‎ ‎（2）求证：AE2=EB•EC．‎ 考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）由于AB是直径，所以有∠ACB=90°，在Rt△ABC中，利用∠B的余弦值可求出BC，再在Rt△BMC中，利用∠B的正弦值，可求CM，利用垂径定理可知CD=2CM，即可求CD；‎ ‎（2）由于AE是切线，利用弦切角定理可知∠EAC=∠EBA，再加上一对公共角，容易证出△EAC∽△EBA，那么可得比例线段，即可证．‎ 解答：解：（1）解法一：‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°． （1分）‎ 在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2，‎ ‎∴BC=AB•cos30°=2×‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎． （2分）‎ ‎∵CD⊥AB，∠B=30°，‎ ‎∴CM=‎1‎‎2‎，BC=‎3‎‎2‎，（4分）‎ CD=2CM=‎2×‎3‎‎2‎=‎‎3‎；（5分）（其它解法请酌情给分）‎ 解法二：‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∠B=30°，‎ ‎∴AC=‎1‎‎2‎AB=1，BC=AB•cos30°=‎3‎． （2分）‎ ‎∵CD⊥AB于点M，‎ ‎∴CD=2CM，AB×CM=AC×BC，（4分）‎ ‎∴CD=2CM=2×AC×BCAB=2×‎1×‎‎3‎‎2‎=‎3‎；（5分）‎ 证明：（2）‎ ‎∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°，（6分）‎ ‎∴∠ACE=∠BAE=90°． （7分）‎ 又∵∠E=∠E，‎ ‎∴Rt△ECA∽Rt△EAB，（8分）‎ ‎∴ECAE‎=‎AEEB，（9分）‎ ‎∴AE2=EB•EC． （10分）‎ 点评：本题利用了直角三角形中三角函数值、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识．‎ ‎26、（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．‎ ‎（1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；‎ ‎（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？‎ ‎（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的‎1‎‎3‎？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数的最值；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4﹣NP，NP的值可根据相似比求得；‎ ‎（2）由（1）的结论易得△OMP的高为‎2‎‎3‎t，而OM=6﹣AM=6﹣t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；‎ ‎（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S△OCN=‎1‎‎2‎×4×3=6，∴S△ORT=‎1‎‎3‎S△OCN=2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标．‎ 解答：解：（1）∵OA=6，AB=4，‎ ‎∴点B的坐标为（6，4）；‎ 由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4﹣NP，‎ ‎∵NP⊥BC，‎ ‎∴NP∥OC，‎ ‎∴NP：OC=BN：CN，‎ 即NP：4=（6﹣t）：t，‎ ‎∴NP=4﹣‎2‎‎3‎t，‎ ‎∴点P的纵坐标=4﹣NP=‎2‎‎3‎t，‎ 则点P的坐标为（t，‎2‎‎3‎t）；‎ ‎（其中写对B点得1分）（3分）‎ ‎（2）∵S△OMP=‎1‎‎2‎×OM×‎2‎‎3‎t，（4分）‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎×（6﹣t）×‎2‎‎3‎t=‎﹣‎‎1‎‎3‎t‎2‎+2t．‎ ‎=‎﹣‎1‎‎3‎（t﹣3‎）‎‎2‎+3‎（0＜t＜6）．（6分）‎ ‎∴当t=3时，S有最大值．（7分）‎ ‎（3）存在．‎ 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），‎ 则直线ON的函数关系式为：y=‎4‎‎3‎x．‎ 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y=﹣b‎3‎x+b，‎ 解方程组‎&y=‎4‎‎3‎x‎&y=﹣b‎3‎x+b得‎&x=‎‎3b‎4+b‎&y=‎‎4b‎4+b ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为‎（‎3b‎4+b，‎4b‎4+b）‎．‎ ‎∵S△OCN=‎1‎‎2‎×4×3=6，∴S△ORT=‎1‎‎3‎S△OCN=2．（8分）‎ ‎①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1=‎1‎‎2‎…RD1•OT=‎1‎‎2‎•‎3b‎4+b•b=2．‎ ‎∴3b2﹣4b﹣16=0，b=‎2±2‎‎13‎‎3‎．‎ ‎∴b1=‎2+2‎‎13‎‎3‎，b2=‎2﹣2‎‎13‎‎3‎（不合题意，舍去）‎ 此时点T1的坐标为（0，‎2+2‎‎13‎‎3‎）．（9分）‎ ‎②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为‎3b﹣12‎b，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE=‎1‎‎2‎•EN•R2D2=‎1‎‎2‎•‎（3﹣‎3b﹣12‎b）‎•‎（4﹣‎4b‎4+b）‎=‎96‎b（4+b）‎=2．‎ ‎∴b2+4b﹣48=0，b=‎﹣4±‎‎16+4×48‎‎2‎‎=±2‎13‎﹣2‎．‎ ‎∴b1=‎2‎13‎﹣2‎，b2=‎﹣2‎13‎﹣2‎（不合题意，舍去）．‎ ‎∴此时点T2的坐标为（0，‎2‎13‎﹣2‎）．‎ 综上所述，在y轴上存在点T1（0，‎2+2‎‎13‎‎3‎），T2（0，‎2‎13‎﹣2‎）符合条件．（10分）‎ 点评：此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点．‎ ‎27、（2010•钦州）附加题：‎ ‎（1）计算﹣2+3的结果是 ；‎ ‎（2）如图，点C在⊙O上，∠ACB=50°，则∠AOB= °‎ 考点：圆周角定理；有理数的加法。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）题按照有理数的加法法则进行计算即可；‎ ‎（2）欲求∠AOB，已知了同弧所对的圆周角，可根据圆周角和圆心角的关系进行求解．‎ 解答：解：（1）1；（5分）‎ ‎（2）∵∠ACB、∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=100°．（10分）‎ 点评：此题主要考查的是有理数的加法运算及圆周角定理的应用．‎ 有理数加法运算的一般步骤为：先确定和的符号，然后再进行绝对值的加减运算；‎ 圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；lanyuemeng；lanchong；张伟东；wangcen；haoyujun；shenzigang；mama258；kuaile；HJJ；MMCH；bjy；zhehe；huangling；nhx600；CJX；esly；路斐斐；hbxglhl；zhangCF。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日