2020九年级数学下册 第一章1 锐角三角函数

2020九年级数学下册 第一章1 锐角三角函数

课时作业(一)‎ ‎[第一章　1　第1课时　正切]‎ 一、选择题 ‎1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝‎2AC，则∠A的正切值是(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎2．为测量山坡的倾斜度，小明测得数据如图K－1－1所示(单位：米)，则该山坡的倾斜角α的正切值是(　　)‎ 图K－1－1‎ A. B．‎4 C. D. ‎3.如图K－1－2所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为(　　)‎ ‎　‎ 图K－1－2‎ A. B. C. D. ‎4．如图K－1－3，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　)‎ A．1 B．‎1.5 C．2 D．3‎ 9‎ 图K－1－3‎ ‎5.2017·河北模拟如图K－1－4，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为(　　)‎ ‎　‎ 图K－1－4‎ A. B. C. D. ‎6．如图K－1－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则AC的长是(　　)‎ 图K－1－5‎ A．3　　　　　　　 B．4‎ C．6　　　　　　　　D．8‎ ‎7．2017·湘潭期末如图K－1－6，已知山坡AB的坡度为1∶2，坡高BC＝1，则坡长AB为(　　)‎ 图K－1－6‎ A. B. C．2 D．4‎ ‎8．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图K－1－7中所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是(　　)‎ 图K－1－7‎ A. B. C. D. ‎9．如图K－1－8，斜坡AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝‎3 ‎米，坡顶上有一旗杆BC，旗杆顶端点B与点A之间有一条彩带相连．若AB＝‎10米，则旗杆BC的高度为(　　)‎ 9‎ 图K－1－8‎ A．‎5米 　　B．‎‎6米 C．‎8米 　　D．(3＋)米 二、填空题 ‎10．如图K－1－9为甲、乙两个自动扶梯，______自动扶梯比较陡．(填“甲”或“乙”)‎ 图K－1－9‎ 图K－1－10‎ ‎11．如图K－1－10所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为‎18 cm，宽为‎30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5，则AC的长度是________ cm.‎ 三、解答题 ‎12．如图K－1－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求tan∠BCD的值.‎ 图K－1－11‎ 9‎ ‎13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，周长为30，求△ABC的面积．‎ ‎14．如图K－1－12是某广场台阶(结合轮椅专用坡道)景观设计的模型第一层的截面示意图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为‎0.15米，宽为‎0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽‎2米的水平面BC.《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合下表中的规定：‎ 坡度 ‎1∶20‎ ‎1∶16‎ ‎1∶12‎ 最大高度(米)‎ ‎1.50‎ ‎1.00‎ ‎0.75‎ ‎(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？请说明理由；‎ ‎(2)求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD.‎ 图K－1－12‎ ‎1．2018·眉山如图K－1－13，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．‎ 图K－1－13‎ 9‎ ‎2．探究题数学老师布置了这样一个问题：‎ 如果α，β都为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．‎ 甲、乙两名同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图K－1－14①和②.‎ ‎(1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数，并说明理由；‎ ‎(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：‎ 如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，并求出α－β的度数．‎ 图K－1－14‎ 9‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] D　设AC＝x，则BC＝2x，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴tanA＝＝＝2.‎ 故选D.‎ ‎2．[解析] A　tanα＝＝.‎ ‎3．[解析] C　∵CD是斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10.‎ 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝8，∴tanB＝＝＝.故选C.‎ ‎4．[解析] C　过点A作AB⊥x轴于点B.‎ ‎∵点A(t，3)在第一象限，∴AB＝3，OB＝t.‎ 又∵tanα＝＝，∴t＝2.‎ ‎5．[答案] A ‎6．[解析] D　因为tanA＝＝，‎ 所以设BC＝3x，AC＝4x(x>0)．由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，即(3x)2＋(4x)2＝100，解得x＝2，所以AC＝4x＝4×2＝8.故选D.‎ ‎7．[解析] B　∵山坡AB的坡度为i＝1∶2，坡高BC＝1，∴＝，∴AC＝2.根据勾股定理，得AB＝＝＝.故选B.‎ ‎8．[解析] C　设CE＝x，根据折叠的性质，得BE＝AE＝8－x，在Rt△BCE中，根据勾股定理列出关于x的方程，得x2＋62＝(8－x)2，解得x＝(负值已舍去)，即可计算出tan∠CBE＝.‎ ‎9．[解析] A　设CD＝x米，则AD＝2x米，‎ 由勾股定理可得AC＝＝x(米)．‎ ‎∵AC＝3 ，∴x＝3 ，解得x＝3，‎ ‎∴CD＝3米，AD＝2×3＝6(米)．‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝8(米)，‎ ‎∴BC＝8－3＝5(米)．故选A.‎ ‎10．[答案] 乙 ‎11．[答案] 210‎ ‎[解析] 如图，过点B作BD⊥AC于点D，依题意可求得AD＝‎60 cm，BD＝‎54 cm.由斜坡BC的坡度i＝1∶5可求得CD＝‎270 cm，故AC＝CD－AD＝270－60＝210(cm)．‎ 9‎ ‎12．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，‎ ‎∴AC＝＝4.‎ 又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，‎ ‎∴∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠BCD，‎ ‎∴tan∠BCD＝tanA＝＝.‎ ‎13．[解析] 画出示意图如图所示，因为S△ABC＝ab，所以只需求出a，b的值即可．‎ 解：∵tanA＝＝，‎ 可设a＝5k(k>0)，则b＝12k，‎ ‎∴c＝＝＝13k.‎ ‎∵△ABC的周长为30，即a＋b＋c＝30，‎ ‎∴5k＋12k＋13k＝30，解得k＝1，‎ ‎∴a＝5k＝5，b＝12k＝12，‎ ‎∴S△ABC＝ab＝×5×12＝30，‎ 即△ABC的面积为30.‎ ‎[点评] 当题目中出现三角函数值时，一般要先利用直角三角形把三角函数值转化为线段的比值．‎ ‎14．解：(1)符合要求的坡度是1∶20.理由如下：‎ 过点C作CF⊥AD，垂足为F，‎ ‎∵每级台阶的高为0.15米，‎ ‎∴CF＝0.15×10＝1.5(米)．‎ ‎∵坡道高度为1.5米，‎ ‎∴应选择坡度1∶20建设轮椅专用坡道AB.‎ ‎(2)过点B作BE⊥AD，垂足为E.‎ 根据题意可得EF＝BC＝2米，BE＝CF＝1.5米，‎ ‎∵每级台阶的宽为0.4米，‎ ‎∴DF＝0.4×9＝3.6(米)．‎ 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°.‎ 9‎ ‎∵AB的坡度是1∶20，∴＝.‎ ‎∵BE＝1.5米，∴AE＝30米，∴AD＝AE＋EF＋DF＝30＋2＋3.6＝35.6(米)．‎ 答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为35.6米．‎ ‎[素养提升]‎ ‎1．[答案] 2‎ ‎[解析] 如图，连接BE.‎ ‎∵四边形BCEK是正方形，‎ ‎∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，‎ ‎∴BF＝CF.根据题意得AC∥BK，‎ ‎∴△ACO∽△BKO，‎ ‎∴KO∶CO＝BK∶AC＝1∶3，‎ ‎∴KO∶KF＝1∶2，‎ ‎∴KO＝OF＝CF＝BF.‎ 在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2.‎ ‎∵∠AOD＝∠BOF，‎ ‎∴tan∠AOD＝2.故答案为2.‎ ‎2．解：(1)如图①，‎ 在△AMC和△CNB中，AM＝CN，∠AMC＝∠CNB＝90°，MC＝NB，‎ ‎∴△AMC≌△CNB，‎ ‎∴AC＝BC，∠ACM＝∠CBN.‎ ‎∵∠BCN＋∠CBN＝90°，‎ ‎∴∠ACM＋∠BCN＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，‎ ‎∴α＋β＝45°.‎ 如图②，设每个小正方形的边长均为1，‎ 则CE＝1，AE＝2，BE＝，‎ ‎∴＝＝，＝，∴＝.‎ 9‎ 又∵∠CEB＝∠BEA，‎ ‎∴△CEB∽△BEA，‎ ‎∴∠CBE＝∠EAB＝α，‎ ‎∴∠BED＝∠ECB＋∠CBE＝α＋β.‎ ‎∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，‎ ‎∴α＋β＝45°.‎ ‎(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.‎ 在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO，FN＝HO，‎ ‎∴△MFN≌△NHO，‎ ‎∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.‎ ‎∵∠NOH＋∠ONH＝90°，‎ ‎∴∠ONH＋∠MNF＝90°，‎ ‎∴∠MNO＝90°，‎ ‎∴∠MON＝∠NMO＝45°，‎ 即α－β＝45°.‎ 9‎