初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第22讲 园幂定理

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第22讲 园幂定理

1 第二十二讲 园幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相 交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关． 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在： 1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两 条相交弦使其交点在圆外的情况； 2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式． 熟悉以下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例 1】 如图，PT 切⊙O 于点 T，PA 交⊙O 于 A、B 两点，且与直径 CT 交于点 D，CD=2， AD=3，BD=6，则 PB= ． 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求 PB 长． 注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的 过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例 2】 如图，在平行四边形 ABCD 中，过 A、B、C 三点的圆交 AD 于点 E，且与 CD 相 切，若 AB=4，BE=5，则 DE 的长为( ) A．3 B．4 C． 4 15 D． 5 16 思路点拨 连 AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 2 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化 获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例 3】 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是∠O 的直径，PA 是过 A 点的直线，∠PAC=∠ B． (1)求证：PA 是⊙O 的切线； (2)如果弦 CD 交 AB 于 E，CD 的延长线交 PA 于 F，AC=8，CE：ED=6：5，， AE：BE=2： 3，求 AB 的长和∠ECB 的正切值． 思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创 造了条件；引入参数 x、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找 x 与 k 的关系，建立 x 或 k 的方程． 【例 4】 如图，P 是平行四边形 AB 的边 AB 的延长线上一点，DP 与 AC、BC 分别交于点 E、E，EG 是过 B、F、P 三点圆的切线，G 为切点，求证：EG=DE 思路点拨 由切割线定理得 EG2=EF·EP，要证明 EG=DE，只需证明 DE2=EF·EP，这样 通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段 等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何 各种类型的问题中． 【例 5】 如图，以正方形 ABCD 的 AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，DF 切 半圆于点 E，交 AB 的延长线于点 F，BF＝4． 求：(1)cos∠F 的值；(2)BE 的长． 思路点拨 解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连 OE，AE)；熟悉圆中重要性 质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出 EF，FO 值；对于(2)，从△BE F∽△EAF， Rt△AEB 入手． 3 注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键， 分析图形可从以下方面入手： (1)多视点观察图形．如本例从 D 点看可用切线长定理，从 F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三 角形、相似三角形． (3)将以上分析组合，寻找联系． 学力训练 1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于 A、B 两点，交弦 CD 于点 M，已知 CM=10，MD=2，PA=MB=4，则 PT 的长为 ． 2．如图，PAB、PCD 为⊙O 的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，则 AC：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过 点 B 作⊙O 的切线交 CD 于点 F，若 AB=CD=2，则 CE= ． 4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P， 则 BP 的长为( ) A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．8 5．如图，⊙O 的弦 AB 平分半径 OC，交 OC 于 P 点，已知 PA、PB 的长分别为方程 024122  xx 的两根，则此圆的直径为( ) A． 28 B． 26 C． 24 D． 22 4 6．如图，⊙O 的直径 Ab 垂直于弦 CD，垂足为 H，点 P 是 AC 上一点(点 P 不与 A、C 两点 重合)，连结 PC、PD、PA、AD，点 E 在 AP 的延长线上，PD 与 AB 交于点 F，给出下列四 个结论：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的 个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是 BC 延长线上一点，PA 切半圆于点 A，AD⊥ BC 于点 D． (1)若∠B=30°，问 AB 与 AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD·PO=PC·PB； (3)若 BD：DC=4：l，且 BC＝10，求 PC 的长． 8．如图，已知 PA 切⊙O 于点 A，割线 PBC 交⊙O 于点 B、C，PD⊥AB 于点 D，PD、AO 的延长线相交于点 E，连 CE 并延长交⊙O 于点 F，连 AF． (1)求证：△PBD∽△PEC； (2)若 AB=12，tan∠EAF= 3 2 ，求⊙O 的半径的长． 9．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点 B，PA 交⊙O 于点 C，PF 分别交 AB、 BC 于 E、D，交⊙O 于 F、G，且 BE、BD 恰哈好是关于 x 的方程 0)134(6 22  mmxx (其中 m 为实数)的两根． (1)求证：BE=BD；(2)若 GE·EF= 36 ，求∠A 的度数． 10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 相交于点 E，与 AC 相切于点 D，已知 AD=2，AE=1，那么 BC= ． ⌒ ⌒ ⌒ 5 11．如图，已知 A、B、C、D 在同一个圆上，BC=CD，AC 与 BD 交于 E，若 AC=8，CD=4， 且线段 BE、ED 为正整数，则 BD= ． 12．如图，P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点，PA 切半圆于点 A，AH⊥BC 于 H，若 PA=1， PB+PC= a ( a >2)，则 PH=( ) A． a 2 B． a 1 C． 2 a D． 3 a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 的中点 D，且 EF∥AB，若 AB=2， 则 DE 的长为( ) A． 2 1 B． 2 15  C． 2 3 D．1 14．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长 BC 至 D，使 CD=BC，CE⊥AD 于 E，B E 交⊙O 于 F，AF 交 CE 于 P，求证：PE=PC． 15．已知：如图，ABCD 为正方形，以 D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以 BC 为直径的⊙ O 相交于 P、C 两点，连结 AC、AP、CP，并延长 CP、AP 分别交 AB、BC、⊙O 于 E、H、 F 三点，连结 OF． (1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段 AB 与 OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求 BH:HC 16．如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是 AB 与 PC 的交点，若 PE=2， CD=1，求 DE 的长． 6 17．如图，⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 0)2(22  kxkx ( k 是整数)的最大整数 根，P 是⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B、C 是直 线 PBC 与⊙O 的交点，若 PA、PB、PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA+PB+PC 的值． 参考答案 7 8