2019年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷（含答案解析）

2019年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷（含答案解析）

‎2019年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．3﹣＝2 D．x5﹣x2＝x3‎ ‎3．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）[来源:学#科#网]‎ A．35° B．25° C．65° D．50°‎ ‎5．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某车间20名工人每天加工零件数如表所示：‎ 每天加工零件数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（　　）‎ A．5，5 B．5，6 C．6，6 D．6，5‎ ‎7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　）‎ A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 ‎ C．2x（x﹣1）＝210 D． x（x﹣1）＝210‎ ‎8．某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（　　）（精确到1米，＝1.732）．‎ A．585米 B．1014米 C．805米 D．820米 ‎9．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（　　）‎ A．（4，5） B．（﹣5，4） C．（﹣4，6） D．（﹣4，5）‎ ‎10．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎11．﹣的绝对值是　 　，倒数是　 　．‎ ‎12．要使代数式有意义，x的取值范围是　 　．‎ ‎13．如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为　 　．‎ ‎14．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝　 　．‎ ‎15．已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为　 　．‎ ‎16．在直角坐标系内，设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t为实数），记N为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N的值可能为　 　．‎ 三．解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17．（9分）解方程组：．‎ ‎18．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．‎ ‎19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2），‎ ‎（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2‎ 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；‎ ‎（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．‎ ‎20．（10分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．‎ ‎（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　 　．‎ ‎（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．‎ ‎21．（12分）某工厂准备购买A、B两种零件，已知A种零件的单价比B种零件的单价多30元，而用900元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等．‎ ‎（1）求A、B两种零件的单价；‎ ‎（2）根据需要，工厂准备购买A、B两种零件共200件，工厂购买两种零件的总费用不超过14700元，求工厂最多购买A种零件多少件？‎ ‎22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，OC∥AD交⊙O于E，点F在CD延长线上，且∠BOC+∠ADF＝90°．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎23．（12分）如图，已知点A在反比函数y＝（k＜0）的图象上，点B在直线y＝x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4．‎ ‎（1）求点A的坐标和k的值；‎ ‎（2）若点P在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，点Q在直线y＝x﹣3的图象上，P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n），求+的值．‎ ‎24．（14分）已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．‎ ‎（1）如图1，若∠PCB＝∠A．‎ ‎①求证：直线PC是⊙O的切线；‎ ‎②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；‎ ‎（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．‎ ‎25．（14分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．‎ ‎（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；‎ ‎（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；‎ ‎（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．‎ ‎2019年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．‎ ‎【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，‎ ‎∴a＝±2，b＝±3，‎ ‎∵ab＜0，‎ ‎∴a＝2，则b＝﹣3，‎ a＝﹣2，b＝3，‎ 则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．‎ ‎2．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；‎ B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；‎ C、原式合并同类二次根式得到结果，即可做出判断；‎ D、原式不能合并，错误．‎ ‎【解答】解：A、原式＝x5，错误；‎ B、原式＝x6，错误；‎ C、原式＝2，正确；‎ D、原式不能合并，错误，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎3．【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．‎ ‎【解答】解：‎ 第一个不等式的解集为：x＞﹣3；‎ 第二个不等式的解集为：x≤2；‎ 所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎4．【分析】根据平行线的性质求出∠3，再求出∠BAC＝90°，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵直线a∥b，‎ ‎∴∠1＝∠3＝55°，‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝35°，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎5．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ ‎【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎6．【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．‎ ‎【解答】解：由表知数据5出现次数最多，所以众数为5；‎ 因为共有20个数据，‎ 所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎7．【分析】根据题意列出一元二次方程即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．‎ ‎8．【分析】过点D作DE⊥AC，可得到△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．可以设EC＝x，在直角△BDF中，根据勾股定理，可以用x表示出BF，根据AC＝BC就可以得到关于x的方程，就可以求出x，得到BC，求出山高．‎ ‎【解答】解：过点D作DF⊥AC于F．‎ 在直角△ADF中，AF＝AD•cos30°＝300米，DF＝AD＝300米．‎ 设FC＝x，则AC＝300+x．‎ 在直角△BDE中，BE＝DE＝x，则BC＝300+x．‎ 在直角△ACB中，∠BAC＝45°．‎ ‎∴这个三角形是等腰直角三角形．‎ ‎∴AC＝BC．‎ ‎∴300+x＝300+x．‎ 解得：x＝300．‎ ‎∴BC＝AC＝300+300．‎ ‎∴山高是300+300﹣15＝285+300≈805米．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题的难度较大，建立数学模型是关键．根据勾股定理，把问题转化为方程问题．‎ ‎9．【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM，设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA＝4，AB＝8，DM＝8﹣R，AM＝R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可．‎ ‎【解答】解：过点M作MD⊥AB于D，连接AM，设⊙M的半径为R，‎ ‎∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，点A的坐标为（0，8），‎ ‎∴DA＝4，AB＝8，DM＝8﹣R，AM＝R，‎ 又∵△ADM是直角三角形，‎ 根据勾股定理可得AM2＝DM2+AD2，‎ ‎∴R2＝（8﹣R）2+42，‎ 解得R＝5，‎ ‎∴M（﹣4，5）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题．[来源:学#科#网]‎ ‎10．【分析】由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，四条边相等，可得出AD与BC都与半圆相切，利用切线长定理得到FA＝FE，CB＝CE，设正方形的边长为4a，FA＝FE＝x，由FE+FC表示出EC，由AD﹣AF表示出FD，在直角三角形FDC 中，利用勾股定理列出关系式，用a表示出x，进而用a表示出FD与FC，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠FCD的值．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，‎ ‎∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切，‎ ‎∴AF＝EF，CB＝CE，‎ 设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，‎ ‎∴FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，‎ 在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2＝FD2+CD2，‎ ‎∴（4a+x）2＝（4a﹣x）2+（4a）2，‎ 整理得：x＝a，‎ ‎∴FC＝4a+x＝5a，FD＝4a﹣x＝3a，‎ ‎∴在Rt△DFC中，sin∠FCD＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了正方形的性质，切线的判定，切线长定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用切线长定理是解本题的关键．‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎11．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，乘积是1的两数互为倒数可得答案．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解答】解：﹣的绝对值是，倒数是﹣，‎ 故答案为：；﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了倒数和绝对值，关键是掌握绝对值的性质和倒数定义．‎ ‎12．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可 ‎【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，‎ 解得：x≥0且x≠1，‎ 故答案为：x≥0且x≠1．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎13．【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．‎ ‎【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，‎ ‎∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，‎ ‎∴旋转的角度为90°．‎ 故答案为：90°．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．‎ ‎14．【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整体代入计算可得．‎ ‎【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，‎ ‎∴a2﹣3a+1＝0，‎ 则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，‎ 所以原式＝﹣1+1＝0，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．‎ ‎15．【分析】首先作AB、CD的垂线EF，然后根据垂径定理求得CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm；再在直角三角形OED和直角三角形OBF中，利用勾股定理求得OE、OF的长度；最后根据图示的两种情况计算EF的长度即可．‎ ‎【解答】解：有两种情况．如图．过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E．‎ ‎∴EF就是AB、CD间的距离．‎ ‎∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm，‎ ‎∵OD＝OB＝26cm，‎ ‎∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中，‎ ‎∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理），‎ ‎∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm．‎ 故答案为：34或14cm．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理的综合运用．解答此题时，要分类讨论，以防漏解．‎ ‎16．【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数．‎ ‎【解答】解：当t＝0时，平行四边形ABCD内部的整点有：‎ ‎（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）（3，1）；（3，2）；（3，3）共9个点，‎ 所以N（0）＝9，此时平行四边形ABCD是矩形，‎ 当平行四边形ABCD是一般平行四边形时，‎ 将边AD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为11，12．‎ 综上所述：N的值可能为：9或11或12．‎ 故答案为：9或11或12．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质以及一次函数图形，此题画可行域、利用数形结合的数学思想方法得出是解题关键．‎ 三．解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②×3得：10x＝50，‎ 解得：x＝5，‎ 把x＝5代入②得：y＝3，‎ 则方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎18．【分析】求出∠AED＝∠EDC，∠DFE＝∠C，证△DFE≌△DCE，即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵DF⊥AE于F，‎ ‎∴∠DFE＝90°‎ 在矩形ABCD中，∠C＝90°，‎ ‎∴∠DFE＝∠C，‎ 在矩形ABCD中，AD∥BC ‎∴∠ADE＝∠DEC，‎ ‎∵AE＝AD，‎ ‎∴∠ADE＝∠AED，‎ ‎∴∠AED＝∠DEC，∠DFE＝∠C＝90°，‎ 又∵DE是公共边，‎ ‎∴△DFE≌△DCE（AAS），‎ ‎∴DF＝DC．‎ ‎【点评】本题考查了矩形性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．‎ ‎19．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；‎ ‎（2）根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．‎ ‎【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，‎ ‎△A2B2C2如图所示；‎ ‎（2）如图，对称中心为（2，﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．‎ ‎20．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；‎ ‎（2）画出树状图即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，‎ 故答案为：；‎ ‎（2）设两辆车为甲，乙，‎ 如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，‎ ‎∴选择不同通道通过的概率＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．‎ ‎21．【分析】（1）设B种零件的单价为x元，则A零件的单价为（x+30）元，根据用900元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等，列方程求解；‎ ‎（2）设购进A种零件m件，则购进B种零件（200﹣m）件，根据工厂购买两种零件的总费用不超过14700元，列不等式求出m的取值范围，然后求出工厂最多购买A种零件多少件．‎ ‎【解答】解：（1）设B种零件的单价为x元，则A零件的单价为（x+30）元．‎ ‎＝，‎ 解得x＝60，‎ 经检验：x＝60 是原分式方程的解，‎ x+30＝90．‎ 答：A种零件的单价为90元，B种零件的单价为60元．‎ ‎（2）设购进A种零件m件，则购进B种零件（200﹣m）件．‎ ‎90m+60（200﹣m）≤14700，‎ 解得：m≤90，‎ m在取值范围内，取最大正整数，‎ m＝90．‎ 答：最多购进A种零件90件．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．‎ ‎22．【分析】（1）证明弧相等可转化为证明弧所对的圆心角相等即证明∠BOC＝∠COD即可；‎ ‎（2）由（1）可得∠BOC＝∠OAD，∠OAD＝∠ODA，再由已知条件证明∠ODF＝90°即可．‎ ‎【解答】证明：（1）连接OD．‎ ‎∵AD∥OC，‎ ‎∴∠BOC＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA．‎ ‎∴∠BOC＝∠COD，‎ ‎∴＝；‎ ‎（2）由（1）∠BOC＝∠OAD，∠OAD＝∠ODA．‎ ‎∴∠BOC＝∠ODA．‎ ‎∵∠BOC+∠ADF＝90°．‎ ‎∴∠ODA+∠ADF＝90°，‎ 即∠ODF＝90°．‎ ‎∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎23．【分析】（1）想办法求出点A坐标即可解决问题；‎ ‎（2）设P（m，﹣），则Q（﹣m，﹣），想办法构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）由题意B（2，﹣1），‎ ‎∵×2×AB＝4，‎ ‎∴AB＝4，‎ ‎∵AB∥y轴，‎ ‎∴A（2，﹣5），‎ ‎∵A（2，﹣5）在y＝的图象上，‎ ‎∴k＝﹣10．‎ ‎（2）设P（m，﹣），则Q（﹣m，﹣），‎ ‎∵点Q在y＝x﹣3上，‎ ‎∴﹣＝﹣m﹣3，‎ 整理得：m2+3m﹣10＝0，‎ 解得m＝﹣5或2，‎ 当m＝﹣5，n＝2时， +＝﹣，‎ 当m＝2，n＝﹣5时， +＝﹣，‎ 故+＝﹣．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上的点的坐标等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎24．【分析】（1）①欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；‎ ‎②想办法证明∠P＝30°即可解决问题；‎ ‎（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得，由此即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）①证明：如图1中，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠A＝∠ACO，‎ ‎∵∠PCB＝∠A，[来源:学§科§网]‎ ‎∴∠ACO＝∠PCB，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACO+∠OCB＝90°，‎ ‎∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，‎ ‎∵OC是⊙O的半径，‎ ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎②∵CP＝CA，‎ ‎∴∠P＝∠A，‎ ‎∴∠COB＝2∠A＝2∠P，‎ ‎∵∠OCP＝90°，‎ ‎∴∠P＝30°，‎ ‎∵OC＝OA＝2，‎ ‎∴OP＝2OC＝4，‎ ‎∴．‎ ‎（2）解：如图2中，连接MA．‎ ‎∵点M是弧AB的中点，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠ACM＝∠BAM，‎ ‎∵∠AMC＝∠AMN，‎ ‎∴△AMC∽△NMA，‎ ‎∴，‎ ‎∴AM2＝MC•MN，[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∵MC•MN＝9，‎ ‎∴AM＝3，‎ ‎∴BM＝AM＝3．‎ ‎【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎25．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；‎ ‎（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；‎ ‎（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），‎ ‎∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，‎ ‎∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，‎ ‎∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；‎ ‎（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），‎ ‎∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，‎ ‎∴y＝2x﹣2，‎ 则，‎ 得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，‎ ‎∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，‎ 解得x＝1或x＝﹣2，‎ ‎∴N点坐标为（﹣2，﹣6），‎ ‎∵a＜b，即a＜﹣2a，‎ ‎∴a＜0，‎ 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，‎ ‎∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，‎ ‎∴E（﹣，﹣3），‎ ‎∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），‎ 设△DMN的面积为S，‎ ‎∴S＝S△DEN+S△DEM＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，‎ ‎（3）当a＝﹣1时，‎ 抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，‎ 有，‎ ‎﹣x2﹣x+2＝﹣2x，‎ 解得：x1＝2，x2＝﹣1，‎ ‎∴G（﹣1，2），‎ ‎∵点G、H关于原点对称，‎ ‎∴H（1，﹣2），‎ 设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，‎ ‎﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，‎ x2﹣x﹣2+t＝0，‎ ‎△＝1﹣4（t﹣2）＝0，‎ t＝，‎ 当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），‎ 把（1，0）代入y＝﹣2x+t，‎ t＝2，‎ ‎∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎