2019-2020学年广西百色中考数学模拟试卷附答案解析

2019-2020学年广西百色中考数学模拟试卷附答案解析

‎2020年广西百色初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试 数学模拟试卷一 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．三角形的外角和等于（　　）‎ A．90° B．180° C．360° D．540°‎ ‎2．如图，已知DE∥BC，若∠1＝65°，则∠B的度数为（　　）‎ A．135° B．115° C．105° D．65°‎ ‎3．某班全体同学“运动与健康”评价等级的扇形统计图如图所示，则A等级所在扇形的圆心角度数为（　　）‎ A．72° B．105° C．108° D．126°‎ ‎4．方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.5×108 B．1.5×107 C．1.5×109 D．1.5×106‎ ‎7．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．已知a＜b，下列不等式中，变形正确的是（　　）‎ A．a﹣3＞b﹣3 B．3a﹣1＞3b﹣1 C．﹣3a＞﹣3b D．＞‎ ‎9．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（　　）‎ A．（0，2） B．（0，﹣5） C．（0，7） D．（0，3）‎ ‎10．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．8，9 B．8，8 C．8，10 D．9，8‎ ‎11．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）‎ A．两直线平行，同位角相等 ‎ B．等边三角形是锐角三角形 ‎ C．如果两个实数是正数，那么它们的积是正数 ‎ D．全等三角形的对应角相等 ‎12．在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝‎ ‎，例如：点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d＝＝，根据以上材料，求点P1（3，4）到直线y＝﹣x+的距离为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．化简：|﹣20|＝　 　．‎ ‎14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎15．“石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次游戏中乙获胜的概率是　 　．‎ ‎16．观察下列等式：1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，…，根据你发现的规律，则第20个等式为　 　．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，＝，若AB＝1.5，则DE＝　 　．‎ ‎18．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是　 　．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．计算：（﹣1）2020+（π﹣）0﹣tan30°+（）﹣1．‎ ‎20．已知x是方程x2+3x＝0的根，求代数式（+1）÷的值．‎ ‎21．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．‎ ‎22．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．‎ ‎（1）求证：BD∥EF．‎ ‎（2）若BE＝4，EC＝6，△DGF的面积为8，求▱ABCD的面积．‎ ‎23．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．‎ 分数段 频数 频率 ‎74.5～79.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎79.5～84.5‎ m ‎0.2‎ ‎84.5～89.5‎ ‎12‎ ‎0.3‎ ‎89.5～94.5‎ ‎14‎ n ‎94.5～99.5‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎（1）表中m＝　 　，n＝　 　；‎ ‎（2）请在图中补全频数直方图；‎ ‎（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　 　分数段内；‎ ‎（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎24．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．‎ ‎（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？‎ ‎（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？‎ ‎25．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．‎ ‎（1）求证：DG是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．‎ ‎26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．‎ ‎（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．三角形的外角和等于（　　）‎ A．90° B．180° C．360° D．540°‎ ‎【分析】根据任何一个多边形的外角和均为360°解答．‎ ‎【解答】解：三角形的外角和为360°，‎ 故选：C．‎ ‎2．如图，已知DE∥BC，若∠1＝65°，则∠B的度数为（　　）‎ A．135° B．115° C．105° D．65°‎ ‎【分析】先根据对顶角相等求出∠2，再根据平行线的性质得出∠2+∠B＝180°，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵∠1＝65°，‎ ‎∴∠2＝∠1＝65°，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠2+∠B＝180°，‎ ‎∴∠B＝115°，‎ 故选：B．‎ ‎3．某班全体同学“运动与健康”评价等级的扇形统计图如图所示，则A等级所在扇形的圆心角度数为（　　）‎ A．72° B．105° C．108° D．126°‎ ‎【分析】根据扇形统计图中的数据可以求得A等级所在扇形的圆心角度数．‎ ‎【解答】解：由扇形统计图可得，‎ A等级所在扇形的圆心角度数为：360°×（1﹣35%﹣20%﹣15%）＝108°，‎ 故选：C．‎ ‎4．方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：5x＝5，‎ 解得：x＝1，‎ 把x＝1代入②得：y＝2，‎ 则方程组的解为，‎ 故选：C．‎ ‎5．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．‎ 故选：A．‎ ‎6．地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.5×108 B．1.5×107 C．1.5×109 D．1.5×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：150 000 000＝1.5×108，‎ 故选：A．‎ ‎7．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形；‎ B、不是轴对称图形；‎ C、是轴对称图形；‎ D、是轴对称图形．‎ 故选：B．‎ ‎8．已知a＜b，下列不等式中，变形正确的是（　　）‎ A．a﹣3＞b﹣3 B．3a﹣1＞3b﹣1 C．﹣3a＞﹣3b D．＞‎ ‎【分析】根据不等式的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：A、不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＜b﹣‎ ‎3，故本选项错误；‎ B、不等式a＜b的两边同时乘以3再减去1，不等式仍成立，即3a﹣1＜3b﹣1，故本选项错误；‎ C、不等式a＜b的两边同时乘以﹣3，不等式的符号方向改变，即﹣3a＞﹣3b，故本选项正确；‎ D、不等式a＜b的两边同时除以3，不等式仍成立，即＜，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎9．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（　　）‎ A．（0，2） B．（0，﹣5） C．（0，7） D．（0，3）‎ ‎【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．‎ ‎【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2﹣5‎ ‎∴当x＝0时，y＝7，‎ 即二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（0，7），‎ 故选：C．‎ ‎10．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．8，9 B．8，8 C．8，10 D．9，8‎ ‎【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．‎ ‎【解答】解：由条形统计图知8环的人数最多，‎ 所以众数为8环，‎ 由于共有11个数据，‎ 所以中位数为第6个数据，即中位数为8环，‎ 故选：B．‎ ‎11．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）‎ A．两直线平行，同位角相等 ‎ B．等边三角形是锐角三角形 ‎ C．如果两个实数是正数，那么它们的积是正数 ‎ D．全等三角形的对应角相等 ‎【分析】分别写出各个选项的逆命题后再判断其正确或错误，即确定它是真命题还是假命题．‎ ‎【解答】解：A、逆命题是“同位角相等两直线平行”正确，故是真命题；‎ B、逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，锐角三角形不一定是等边三角形，所以逆命题错误，故是假命题；‎ C、逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么它们是正数”，逆命题错误，故是假命题；‎ D、逆命题是“对应角相等的三角形全等”，逆命题错误，故是假命题．‎ 故选：A．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，例如：点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d＝＝，根据以上材料，求点P1（3，4）到直线y＝﹣x+的距离为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】根据题目中的距离，可以求得点P1（3，4）到直线y＝﹣x+的距离，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵y＝﹣x+，‎ ‎∴x+y﹣＝0，‎ ‎∴点P1（3，4）到直线y＝﹣x+的距离为：＝4，‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．化简：|﹣20|＝　20　．‎ ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．‎ ‎【解答】解：|﹣20|＝20，‎ 故答案为：20．‎ ‎14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞2　．‎ ‎【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，‎ 解得x＞2．‎ 故答案为：x＞2．‎ ‎15．“石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次游戏中乙获胜的概率是　　．‎ ‎【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．‎ ‎【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果有：‎ 共有9种情况，其中乙获胜的有3中，‎ P乙获胜＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．观察下列等式：1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，…，根据你发现的规律，则第20个等式为　20﹣＝　．‎ ‎【分析】根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第n个等式，然后令n＝20，即可写出第20个等式．‎ ‎【解答】解：一列等式为1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，…，‎ ‎∴第n个等式为：n﹣＝，‎ 当n＝20时，这个等式为：20﹣，即20﹣＝，‎ 故答案为：20﹣＝．‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，＝，若AB＝1.5，则DE＝　4.5　．‎ ‎【分析】利用位似的性质得＝，然后利用比例的性质计算DE的长．‎ ‎【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DE＝3×1.5＝4.5．‎ 故答案为4.5．‎ ‎18．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是　8　．‎ ‎【分析】由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，所以∠1＝∠2，再证明AF＝BE ‎，则可判断四边形AFEB为平行四边形，于是利用AB＝AF可判断四边形ABEF是菱形；根据菱形的性质得AG＝EG，BF⊥AE，求出BF和AG的长，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，‎ 则∠1＝∠2，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，‎ ‎∴∠2＝∠BEA，‎ ‎∴∠1＝∠BEA＝30°，‎ ‎∴BA＝BE，‎ ‎∴AF＝BE，‎ ‎∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，‎ 而AB＝AF，‎ ‎∴四边形ABEF是菱形；‎ ‎∴BF⊥AE，AG＝EG，‎ ‎∵四边形ABEF的周长为16，‎ ‎∴AF＝BF＝AB＝4，‎ 在Rt△ABG中，∠1＝30°，‎ ‎∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，‎ ‎∴AE＝2AG＝4，‎ ‎∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×4×4＝8；‎ 故答案为：8．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎19．计算：（﹣1）2020+（π﹣）0﹣tan30°+（）﹣1．‎ ‎【分析】直接利用负整数指数的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝1+1﹣×+2‎ ‎＝1+1﹣1+2‎ ‎＝3．‎ ‎20．已知x是方程x2+3x＝0的根，求代数式（+1）÷的值．‎ ‎【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程x2+3x＝0，得到x的值，再将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（+1）÷‎ ‎＝•‎ ‎＝•‎ ‎＝x+1，‎ 由x2+3x＝0可得x1＝0，x2＝﹣3，‎ ‎∵当x＝0时，原式无意义，‎ ‎∴x＝﹣3，‎ 当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．‎ ‎21．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；‎ ‎（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，‎ ‎∴A（1，2）‎ 把A（1，2）代入反比例函数y＝，‎ ‎∴k＝1×2＝2；‎ ‎∴反比例函数的表达式为y＝；‎ ‎（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，‎ ‎∴C（3，0），‎ 设P（x，0），‎ ‎∴PC＝|3﹣x|，‎ ‎∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，‎ ‎∴x＝﹣2或x＝8，‎ ‎∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．‎ ‎22．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．‎ ‎（1）求证：BD∥EF．‎ ‎（2）若BE＝4，EC＝6，△DGF的面积为8，求▱ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∵DF＝BE，‎ ‎∴四边形BEFD是平行四边形，‎ ‎∴BD∥EF；‎ ‎（2）∵四边形BEFD是平行四边形，‎ ‎∴DF＝BE＝4．AD＝BC＝BE+EC＝4+6＝10，‎ ‎∵DB∥EF，AB∥CD，‎ ‎∴∠F＝∠ADB，∠A＝∠FDC，‎ ‎∴△DFG∽△ADB，‎ ‎∴，‎ ‎∵S△DFG＝8，‎ ‎∴S△ADB＝50，‎ ‎∴▱ABCD的面积＝2S△ADB＝2×50＝100．‎ ‎23．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．‎ 分数段 频数 频率 ‎74.5～79.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎79.5～84.5‎ m ‎0.2‎ ‎84.5～89.5‎ ‎12‎ ‎0.3‎ ‎89.5～94.5‎ ‎14‎ n ‎94.5～99.5‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎（1）表中m＝　8　，n＝　0.35　；‎ ‎（2）请在图中补全频数直方图；‎ ‎（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　84.5～89.5　分数段内；‎ ‎（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；‎ ‎（2）根据所求结果即可补全图形；‎ ‎（3）根据中位数的概念求解可得；‎ ‎（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，‎ 故答案为：8，0.35；‎ ‎（2）补全图形如下：‎ ‎（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，‎ ‎∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，‎ 故答案为：84.5～89.5．‎ ‎（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．‎ ‎，‎ 恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．‎ ‎24．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．‎ ‎（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？‎ ‎（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？‎ ‎【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量＝总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；‎ ‎（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润＝每件的利润×销售数量，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，‎ 根据题意得：＝﹣30，‎ 解得：x＝40，‎ 经检验，x＝40是原分式方程的解．‎ 答：该商店3月份这种商品的售价是40元．‎ ‎（2）设该商品的进价为y元，‎ 根据题意得：（40﹣y）×＝900，‎ 解得：y＝25，‎ ‎∴（40×0.9﹣25）×＝990（元）．‎ 答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．‎ ‎25．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．‎ ‎（1）求证：DG是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则＝，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH＝CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；‎ ‎（2）连接BD、OB，如图，先证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE＝6，再利用正弦定义求出∠BDH＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，则∠BOC＝120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，‎ ‎∵点E是△ABC的内心，‎ ‎∴AD平分∠BAC，‎ 即∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OD⊥BC，BH＝CH，‎ ‎∵DG∥BC，‎ ‎∴OD⊥DG，‎ ‎∴DG是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接BD、OB，如图，‎ ‎∵点E是△ABC的内心，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，‎ ‎∵∠DBC＝∠BAD，‎ ‎∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，‎ ‎∴DB＝DE＝6，‎ ‎∵BH＝BC＝3，‎ 在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，‎ ‎∴∠BDH＝60°，‎ 而OB＝OD，‎ ‎∴△OBD为等边三角形，‎ ‎∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，‎ ‎∴∠BOC＝120°，‎ ‎∴优弧的长＝＝8π．‎ ‎26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．‎ ‎（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；‎ ‎（2）S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；‎ ‎（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．‎ ‎【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：‎ a＝1，‎ 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；‎ ‎（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），‎ 将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：‎ 直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，‎ S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，‎ ‎∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；‎ ‎（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，‎ ‎∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：‎ ‎①当∠ACB＝∠BOQ时，‎ AB＝4，BC＝3，AC＝，‎ 过点A作AH⊥BC于点H，‎ S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，‎ 则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，‎ 则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，‎ 联立①②并解得：x＝，‎ 故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），‎ ‎②∠BAC＝∠BOQ时，‎ tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，‎ 则点Q（n，﹣3n），‎ 则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，‎ 联立①③并解得：x＝，‎ 故点Q3（，），Q4（，）；‎ 综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．‎