2019-2020学年山东省济南市市中区九年级(上)期中数学试卷

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2019-2020学年山东省济南市市中区九年级(上)期中数学试卷

‎2019-2020学年山东省济南市市中区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)‎ ‎ ‎ ‎1. 用配方法解方程x‎2‎‎−2x−5=0‎时,原方程应变形为( ) ‎ A.‎(x+1‎)‎‎2‎=6‎ B.‎(x−1‎)‎‎2‎=6‎ C.‎(x+2‎)‎‎2‎=9‎ D.‎‎(x−2‎)‎‎2‎=9‎ ‎ ‎ ‎2. ‎ 根据下面表格中的对应值: ‎ x ‎3.23‎ ‎3.24‎ ‎3.25‎ ‎3.26‎ ax‎2‎+bx+c ‎−0.06‎ ‎−0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.09‎ 判断方程ax‎2‎+bx+c=‎‎0‎(a≠0‎,a,b,c为常数)的一个解x的范围是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎3y‎1‎>0‎ D.‎y‎1‎‎>y‎2‎>0‎ ‎ ‎ ‎10. (人教版)如图,直线y=x与双曲线y=kx(k>0)‎的一个交点为A,且OA=‎2‎,则k的值为( ) ‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ ‎ ‎11. 如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,‎∠ABO=‎90‎‎∘‎,OA与反比例函数y=‎kx的图象交于点D,且OD=‎2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=‎10‎,则k的值为( ) ‎ A.‎−16‎ B.‎16‎ C.‎−15‎ D.‎‎15‎ ‎ ‎ ‎12. 如图,在边长为‎2‎的正方形ABCD中,点E是边AD中点,点F在边CD上,且FE⊥BE,设BD与EF交于点G,则‎△DEG的面积是( ) ‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎1‎‎6‎ C.‎1‎‎7‎ D.‎‎1‎‎8‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎ ‎ ‎ 若yx‎=‎‎3‎‎4‎,则x+yx的值为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如果关于x的方程x‎2‎‎−6x+m=‎0‎有两个相等的实数根,那么m=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 点P既在反比例函数y=−‎3‎x(x>0)‎的图象上,又在一次函数y=‎−x−2‎的图象上,则P点的坐标是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 反比例函数y=‎m−2‎x的图象在第二、四象限,那么实数m的取值范围是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于O,E为OD的中点,连接AE并延长交CD于点F,则DF:FC等于________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,O是EG的中点,‎∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接OH,FH,EG与FH交于点M,对于下面四个结论: ①GH⊥BE;②BG=EG;③‎△MFG为等腰三角形;④DE:AB=‎1+‎‎2‎, 其中正确结论的序号为________. ‎ 二、解答题(本大题共66分)‎ ‎ ‎ ‎ 解方程 ‎ ‎(1)x‎2‎‎−4x−1‎=‎0‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)x‎2‎‎+3x−2‎=‎0‎;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎2x‎2‎+3x+3‎=‎‎0‎ ‎ ‎ ‎ 已知关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎,x‎2‎. ‎ ‎(1)‎求实数k的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若x‎1‎,x‎2‎满足x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=16+‎x‎1‎x‎2‎,求实数k的值.‎ ‎ ‎ ‎ 某服装店出售某品牌的棉衣,进价为‎100‎元/件,当售价为‎150‎元/件时,平均每天可卖‎30‎件;为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来,商店决定降价销售,增加利润,经调查每件降价‎5‎元,则每天可多卖‎10‎件,现要想平均每天获利‎2000‎元,且让顾客得到实惠,那么每件棉衣应降价多少元? ‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ 如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,‎∠EAF=‎∠GAC. ‎ ‎(1)‎求证:‎△ADE∼△ABC;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若AD=3‎,AB=5‎,求AFAG的值.‎ ‎ ‎ ‎ 如图,点A(3, 2)‎和点M(m, n)‎都在反比例函数y=kx(x>0)‎的图象上. ‎ ‎(1)k的值为________;‎ ‎ ‎ ‎(2)当m=‎4‎,求直线AM的解析式;‎ ‎ ‎ ‎(3)当m>3‎时,过点M作MP⊥x轴,垂足为P,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,直线AM交x轴与点Q,试说明四边形ABPQ是平行四边形. ‎ ‎ ‎ ‎ 以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和等腰三角形ADE. ‎ ‎(1)当四边形ABCD为正方形时(如图①),以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角‎△ABF和等腰直角‎△ADE,连接EF、FD,线段EB和FD的数量关系是________;‎ ‎ ‎ ‎(2)当四边形ABCD为矩形时(如图②),以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角‎△ABF和等腰直角‎△ADE,连接EF、BD,线段EF和BD具有怎样的数量关系?请说明理由;‎ ‎ ‎ ‎(3)当四边形ABCD为平行四边形时,以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰‎△ABF和等腰‎△ADE,且‎△EAD与‎△FBA的顶角都为α,连接EF、BD,交点为G.请用α表示出‎∠EGD,并说明理由.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 参考答案与试题解析 ‎2019-2020学年山东省济南市市中区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 解一元二次方程-配方法 ‎【解析】‎ 方程常数项移到右边,两边加上‎1‎变形即可得到结果.‎ ‎【解答】‎ 解:方程移项得x‎2‎‎−2x=5‎, 配方得x‎2‎‎−2x+1=6‎, 即‎(x−1‎)‎‎2‎=6‎. 故选B.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 估计一元二次方程的近似解 ‎【解析】‎ 根据表中数据得到x=‎3.24‎时,ax‎2‎+bx+c=‎−0.02‎;x=‎3.25‎时,ax‎2‎+bx+c=‎0.01‎,则x取‎2.24‎到‎2.25‎之间的某一个数时,使ax‎2‎+bx+c=‎0‎,于是可判断关于x的方程ax‎2‎+bx+c=‎0(a≠0)‎的一个解x的范围是‎3.240‎,函数图象位于第一,三象限. 故选A.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数的性质 ‎【解析】‎ 把两点P‎1‎‎(1, y‎1‎)‎和P‎2‎‎(2, y‎2‎)‎分别代入反比例函数y=−‎‎1‎x求出y2‎、y1‎的值即可.‎ ‎【解答】‎ 解:把点P‎1‎‎(1, y‎1‎)‎代入反比例函数y=‎‎1‎x得,y‎1‎‎=1‎; 点P‎2‎‎(2, y‎2‎)‎代入反比例函数y=‎‎1‎x得,y‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎; ∵ ‎1>‎1‎‎2‎>0‎, ∴ y‎1‎‎>y‎2‎>0‎. 故选D.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 反比例函数与一次函数的综合 ‎【解析】‎ A在直线y=x上,且OA=‎2‎,可求得A点坐标为‎(‎2‎, ‎2‎)‎把已知点的坐标代入解析式可得,k=‎2‎.‎ ‎【解答】‎ 设A(x, y)‎,则y=xy=‎kxx‎2‎‎+y‎2‎=4‎‎ ‎, 解得k=‎2‎.‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 反比例函数系数k的几何意义 ‎【解析】‎ 证‎△DCO∽△ABO,推出DCAB‎=OCOB=ODOA=‎‎2‎‎3‎,求出S‎△ODCS‎△OAB‎=(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎9‎,求出S‎△ODC=‎8‎,根据三角形面积公式得出‎1‎‎2‎OC×CD=‎8‎,求出OC×CD=‎16‎即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ OD=‎2AD, ∴ ODOA‎=‎‎2‎‎3‎, ∵ ‎∠ABO=‎90‎‎∘‎,DC⊥OB, ∴ AB // DC, ∴ ‎△DCO∽△ABO, ∴ DCAB‎=OCOB=ODOA=‎‎2‎‎3‎, ∴ S‎△ODCS‎△OAB‎=(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎9‎, ∵ S四边形ABCD=‎10‎, ∴ S‎△ODC=‎8‎, ∴ ‎1‎‎2‎OC×CD=‎8‎,‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ OC×CD=‎16‎, ∴ k=‎−16‎,‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 正方形的性质 ‎【解析】‎ 过点G作GM⊥AD于M,如图,先证明‎△ABE∽△DEF,利用相似比计算出DF=‎‎1‎‎2‎,再利用正方形的性质判断‎△DGM为等腰直角三角形得到DM=MG,设DM=x,则MG=x,EM=‎1−x,然后证明‎△EMG∽△EDF,则利用相似比可计算出GM,再利用三角形面积公式计算S‎△DEG即可.‎ ‎【解答】‎ 过点G作GM⊥AD于M,如图, ∵ FE⊥BE, ∴ ‎∠AEB+∠DEF=‎90‎‎∘‎, 而‎∠AEB+∠ABE=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠ABE=‎∠DEF, 而‎∠A=‎∠EDF, ∴ ‎△ABE∽△DEF, ∴ AB:DE=AE:DF,即‎2:1‎=‎1:DF, ∴ DF=‎‎1‎‎2‎, ∵ 四边形ABCD为正方形, ∴ ‎∠ADB=‎45‎‎∘‎, ∴ ‎△DGM为等腰直角三角形, ∴ DM=MG, 设DM=x,则MG=x,EM=‎1−x, ∵ MG // DF, ∴ ‎△EMG∽△EDF, ∴ MG:DF=EM:ED,即x:‎1‎‎2‎=(1−x)‎:‎1‎,解得x=‎‎1‎‎3‎, ∴ S‎△DEG‎=‎1‎‎2‎×1×‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎.‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎【答案】‎ ‎7‎‎4‎ ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ 根据合比性质,可得答案.‎ ‎【解答】‎ 解:由合比性质,得 x+yx‎=‎3+4‎‎4‎=‎‎7‎‎4‎. 故答案为:‎7‎‎4‎.‎ ‎【答案】‎ ‎9‎ ‎【考点】‎ 根的判别式 ‎【解析】‎ 因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以‎△‎=b‎2‎‎−4ac=‎0‎,根据判别式列出方程求解即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎−6x+m=‎0‎有两个相等的实数根, ∴ ‎△‎=b‎2‎‎−4ac=‎0‎, 即‎(−6‎)‎‎2‎−4×1×m=‎0‎, 解得m=‎‎9‎ ‎【答案】‎ ‎(1, −3)‎ ‎【考点】‎ 一次函数图象上点的坐标特点 反比例函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 点P既在反比例函数y=−‎3‎x(x>0)‎的图象上,又在一次函数y=‎−x−2‎的图象上,则点P的坐标是这两个函数的解.两个函数组成方程组,解这个方程组即可.‎ ‎【解答】‎ 根据题意可得:‎−‎3‎x=−x−2‎,则x‎2‎‎+2x−3‎=‎0‎, 即‎(x−1)(x+3)‎=‎0‎, 解得:x=‎1‎或x=‎−3‎, 因为x>0‎,所以x=‎1‎,此时y=‎−3‎, 所以P点的坐标是‎(1, −3)‎.‎ ‎【答案】‎ m<2‎ ‎【考点】‎ 反比例函数的性质 ‎【解析】‎ 由于反比例函数y=‎m−2‎x的图象在二、四限内,则m−2<0‎,解得m的取值范围即可.‎ ‎【解答】‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 由题意得,反比例函数y=‎m−2‎x的图象在二、四象限内, 则m−2<0‎, 解得m<2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎1:2‎ ‎【考点】‎ 平行四边形的性质 相似三角形的性质与判定 相似三角形的性质 ‎【解析】‎ 先证明‎△DEF∽△BEA,得出DFAB‎=‎‎1‎‎3‎,即可得出结论.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB // CD,AB=CD,OD=OB, ∴ ‎△DEF∽△BEA, ∴ DFBA‎=‎DEBE, ∵ E为OD的中点, ∴ BE=‎3DE, ∴ DFBA‎=‎‎1‎‎3‎, ∴ AB=‎3DF, ∴ DF:CD=‎1:3‎, ∴ DF:FC=‎1:2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎①②③‎ ‎【考点】‎ 三角形中位线定理 四边形综合题 等腰三角形的判定 全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形 ‎【解析】‎ 证明‎△BCE≅△DCG,即可证得‎∠BEC=‎∠DGC,然后根据三角形的内角和定理证得‎∠EHG=‎90‎‎∘‎,则HG⊥BE,然后证明‎△BGH≅△EGH,则H是BE的中点,则OH是‎△BGE的中位线,根据三角形的中位线定理即可得到HO=‎1‎‎2‎BG,HO // BG,以及‎∠MOH=‎∠EGC=‎45‎‎∘‎,再根据等腰直角三角形的性质,得出OF=‎1‎‎2‎EG,‎∠OFG=‎45‎‎∘‎,以及OH=OF,根据‎∠MHO+∠HOM=‎∠OFH+∠OFG,即可得出‎∠FMG=‎∠MFG,最后根据等腰直角三角形的边角关系,得出DB:AB=‎2‎:1‎,即可得到DE:AB=‎2‎:1‎.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, ∴ ‎∠BCE=‎∠DCG=‎90‎‎∘‎,BC=DC,EC=GC, ∴ ‎△BCE≅△DCG(SAS)‎, ∴ ‎∠CGD=‎∠CEB, 又∵ ‎∠CDG=‎∠HDE, ∴ ‎∠EHD=‎∠GCD=‎90‎‎∘‎, ∴ GH⊥BE,故①正确; ∵ ‎∠EGC的平分线GH过点D, ∴ ‎∠BGH=‎∠EGH, ∵ GH⊥BE, ∴ ‎∠BHG=‎∠EHG=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎△BGH≅△EGH(ASA)‎, ∴ BG=EG,故②正确; ∵ BG=EG,GH⊥BE, ∴ H为BE的中点, 又∵ O是EG的中点, ∴ HO是‎△BEG的中位线, ∴ HO=‎1‎‎2‎BG,HO // BG, ∴ ‎∠MOH=‎∠EGC=‎45‎‎∘‎, 如图,连接FO, ∵ O是EG的中点, ∴ 等腰Rt△EFG中,OF=‎1‎‎2‎EG,‎∠OFG=‎45‎‎∘‎, ∴ OH=OF, ∴ ‎∠OHF=‎∠OFH, ∴ ‎∠MHO+∠HOM=‎∠OFH+∠OFG,即‎∠FMG=‎∠MFG, ∴ FG=MG,即‎△MFG是等腰三角形,故③正确; 如图,连接BD, ∵ HG垂直平分BE, ∴ DE=DB, ∵ Rt△ABD中,DB:AB=‎2‎:1‎, ∴ DE:AB=‎2‎:1‎,故④错误;‎ 二、解答题(本大题共66分)‎ ‎【答案】‎ ‎∵ x‎2‎‎−4x−1‎=‎0‎, ∴ x‎2‎‎−4x=‎1‎, ∴ x‎2‎‎−4x+4‎=‎5‎, ∴ ‎(x−2‎‎)‎‎2‎=‎5‎, ∴ x=‎2±‎‎5‎;‎ ‎∵ x‎2‎‎+3x−2‎=‎0‎, ∴ a=‎1‎,b=‎3‎,c=‎−2‎, ∴ ‎△‎=‎9+8‎=‎17‎, ∴ x=‎‎−3±‎‎17‎‎2‎;‎ ‎∵ ‎2x‎2‎+3x+3‎=‎0‎, ∴ a=‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎2‎‎,b=‎3‎,c=‎3‎, ∴ ‎△‎=‎9−24‎=‎−15<0‎, 故原方程无解 ‎【考点】‎ 解一元二次方程-配方法 解一元二次方程-公式法 解一元二次方程-因式分解法 ‎【解析】‎ ‎(1)根据配方法即可求出答案; (2)根据公式法即可求出答案; (3)根据公式法即可求出答案.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ x‎2‎‎−4x−1‎=‎0‎, ∴ x‎2‎‎−4x=‎1‎, ∴ x‎2‎‎−4x+4‎=‎5‎, ∴ ‎(x−2‎‎)‎‎2‎=‎5‎, ∴ x=‎2±‎‎5‎;‎ ‎∵ x‎2‎‎+3x−2‎=‎0‎, ∴ a=‎1‎,b=‎3‎,c=‎−2‎, ∴ ‎△‎=‎9+8‎=‎17‎, ∴ x=‎‎−3±‎‎17‎‎2‎;‎ ‎∵ ‎2x‎2‎+3x+3‎=‎0‎, ∴ a=‎2‎,b=‎3‎,c=‎3‎, ∴ ‎△‎=‎9−24‎=‎−15<0‎, 故原方程无解 ‎【答案】‎ 解:‎(1)‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎,x‎2‎, ∴ Δ=(2k−1‎)‎‎2‎−4(k‎2‎−1)=−4k+5≥0‎, 解得:k≤‎‎5‎‎4‎, ∴ 实数k的取值范围为k≤‎‎5‎‎4‎.‎ ‎(2)‎‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎,x‎2‎, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎=1−2k,x‎1‎‎⋅x‎2‎=k‎2‎−1‎. ∵ x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−2x‎1‎⋅x‎2‎=16+x‎1‎⋅‎x‎2‎, ∴ ‎(1−2k‎)‎‎2‎−2×(k‎2‎−1)=16+(k‎2‎−1)‎,即k‎2‎‎−4k−12=0‎, 解得:k=−2‎或k=6‎(不符合题意,舍去). ∴ 实数k的值为‎−2‎.‎ ‎【考点】‎ 根与系数的关系 根的判别式 ‎【解析】‎ ‎(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出‎△=−4k+5≥0‎,解之即可得出实数k的取值范围; (2)由根与系数的关系可得x‎1‎‎+x‎2‎=1−2k、x‎1‎‎⋅x‎2‎=k‎2‎−1‎,将其代入x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−2x‎1‎⋅x‎2‎=16+x‎1‎⋅‎x‎2‎中,解之即可得出k的值.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎,x‎2‎, ∴ Δ=(2k−1‎)‎‎2‎−4(k‎2‎−1)=−4k+5≥0‎, 解得:k≤‎‎5‎‎4‎, ∴ 实数k的取值范围为k≤‎‎5‎‎4‎.‎ ‎(2)‎‎∵ 关于x的方程x‎2‎‎+(2k−1)x+k‎2‎−1=0‎有两个实数根x‎1‎,x‎2‎, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎=1−2k,x‎1‎‎⋅x‎2‎=k‎2‎−1‎. ∵ x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎=(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎−2x‎1‎⋅x‎2‎=16+x‎1‎⋅‎x‎2‎, ∴ ‎(1−2k‎)‎‎2‎−2×(k‎2‎−1)=16+(k‎2‎−1)‎,即k‎2‎‎−4k−12=0‎, 解得:k=−2‎或k=6‎(不符合题意,舍去). ∴ 实数k的值为‎−2‎.‎ ‎【答案】‎ 每件棉衣应降价‎25‎元 ‎【考点】‎ 一元二次方程的应用 ‎【解析】‎ 设每件棉衣应降价x元,根据平均每天获利‎2000‎元,即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可得出x的值,取其中较大的值,此题得解.‎ ‎【解答】‎ 设每件棉衣应降价x元,由题意得:‎(150−x−100)(30+10×x‎5‎)‎=‎2000‎, 整理得:x‎2‎‎−35x+250‎=‎0‎, 解得:x‎1‎=‎10‎,x‎2‎=‎25‎, ∵ ‎25>10‎, ∴ x的值选‎25‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎证明:∵ AG⊥BC,AF⊥DE, ∴ ‎∠AFE=‎‎∠AGC=‎90‎‎∘‎, ∵ ‎∠EAF‎=∠GAC, ∴ ‎∠AED‎=∠ACB, ∵ ‎∠EAD‎=∠BAC, ∴ ‎△ADE∼△ABC.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎(2)‎解:方法一:由‎(1)‎可知:‎△ADE∼△ABC, ∴ ADAB‎=AEAC=‎‎3‎‎5‎ 由‎(1)‎可知:‎∠AFE‎=∠AGC=‎‎90‎‎∘‎, 又‎∵‎‎∠EAF‎=∠GAC, ∴ ‎△EAF∼△CAG, ∴ AFAG‎=AEAC=‎3‎‎5‎.‎ 方法二:∵ AG⊥BC,AF⊥DE, ‎△ADE∼△ABC, ∴ AFAG‎=ADAB=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎(1)由于AG⊥BC,AF⊥DE,所以‎∠AFE=‎∠AGC=‎90‎‎∘‎,从而可证明‎∠AED=‎∠ACB,进而可证明‎△ADE∽△ABC; ‎(2)△ADE∽△ABC,ADAB‎=‎AEAC,又易证‎△EAF∽△CAG,所以AFAG‎=‎AEAC,从而可知AFAG‎=‎ADAB.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:∵ AG⊥BC,AF⊥DE, ∴ ‎∠AFE=‎‎∠AGC=‎90‎‎∘‎, ∵ ‎∠EAF‎=∠GAC, ∴ ‎∠AED‎=∠ACB, ∵ ‎∠EAD‎=∠BAC, ∴ ‎△ADE∼△ABC.‎ ‎(2)‎解:方法一:由‎(1)‎可知:‎△ADE∼△ABC, ∴ ADAB‎=AEAC=‎‎3‎‎5‎ 由‎(1)‎可知:‎∠AFE‎=∠AGC=‎‎90‎‎∘‎, 又‎∵‎‎∠EAF‎=∠GAC, ∴ ‎△EAF∼△CAG, ∴ AFAG‎=AEAC=‎3‎‎5‎.‎ 方法二:∵ AG⊥BC,AF⊥DE, ‎△ADE∼△ABC, ∴ AFAG‎=ADAB=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎【答案】‎ ‎6‎ 将x=‎4‎代入反比例解析式y=‎‎6‎x得:y=‎‎3‎‎2‎,即M(4, ‎3‎‎2‎)‎, 设直线AM解析式为y=ax+b, 把A与M代入得:‎3a+b=2‎‎4a+b=‎‎3‎‎2‎‎ ‎, 解得:a=−‎‎1‎‎2‎,b=‎‎7‎‎2‎, ∴ 直线AM解析式为y=−‎1‎‎2‎x+‎‎7‎‎2‎;‎ 把M(m, n)‎代入y=‎‎6‎x得m=‎‎6‎n, ∴ M(‎6‎n, n)‎ 把M,A点坐标代入y=kx+b得 k=−‎n‎3‎,b=‎2+n, ∴ 直线AM解析式为y=−n‎3‎x+2+n, ∴ Q(‎6‎n+3‎, 0)‎, ∵ MP⊥x轴, ∴ P(‎6‎n, 0)‎ ∴ PQ=OQ−OP=‎3‎, ∵ AB⊥y轴, ∴ AB // PQ,AB=‎3‎, ∴ AB=PQ, ∴ 四边形ABPQ是平行四边形.‎ ‎【考点】‎ 反比例函数与一次函数的综合 ‎【解析】‎ ‎(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可; (2)由k的值确定出反比例解析式,将x=‎3‎代入反比例解析式求出y的值,确定出M坐标,设直线AM解析式为y=ax+b,将A与M坐标代入求出a与b的值,即可确定出直线AM解析式; (3)由MP垂直于x轴,AB垂直于y轴,得到M与P横坐标相同,P与Q纵坐标相同,表示出P与Q坐标于是得到结论.‎ ‎【解答】‎ 将A(3, 2)‎代入反比例解析式得:k=‎6‎; 故答案为:‎6‎;‎ 将x=‎4‎代入反比例解析式y=‎‎6‎x得:y=‎‎3‎‎2‎,即M(4, ‎3‎‎2‎)‎, 设直线AM解析式为y=ax+b, 把A与M代入得:‎3a+b=2‎‎4a+b=‎‎3‎‎2‎‎ ‎, 解得:a=−‎‎1‎‎2‎,b=‎‎7‎‎2‎, ∴ 直线AM解析式为y=−‎1‎‎2‎x+‎‎7‎‎2‎;‎ 把M(m, n)‎代入y=‎‎6‎x得m=‎‎6‎n, ∴ M(‎6‎n, n)‎ 把M,A点坐标代入y=kx+b得 k=−‎n‎3‎,b=‎2+n, ∴ 直线AM解析式为y=−n‎3‎x+2+n, ∴ Q(‎6‎n+3‎, 0)‎, ∵ MP⊥x轴, ∴ P(‎6‎n, 0)‎ ∴ PQ=OQ−OP=‎3‎, ∵ AB⊥y轴, ∴ AB // PQ,‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 AB‎=‎3‎, ∴ AB=PQ, ∴ 四边形ABPQ是平行四边形.‎ ‎【答案】‎ BE‎=‎DF 结论:BD=‎2‎EF. 证明:如图②中, ∵ ‎△ABF和‎△ADE是等腰直角三角形, ∴ ADAE‎=ABAF=‎‎2‎,‎∠EAD=‎45‎‎∘‎,‎∠BAF=‎45‎‎∘‎, ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ‎∠BAD=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠FAD=‎∠BAD−∠BAF=‎45‎‎∘‎, ∴ ‎∠EAF=‎∠FAD+∠EAD=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠EAF=‎∠BAD=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎△EAF∼△DAB, ∴ BDEF‎=ADAE=‎‎2‎; ∴ BD=‎2‎EF.‎ 如图③,设EF与AD的交点为P点, ∵ 等腰三角形ABF和ADE的顶角‎∠AED=‎∠AFB=α, ∴ ‎∠EAD=‎∠EDA=‎∠FAB=‎∠FBA=‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α, ∴ ‎△EAD∼△FAB, ∴ EAAF‎=‎ADAB, ∴ EAAD‎=‎AFAB, ∵ ‎∠EAD+∠DAF=‎∠FAB+∠DAF, 即:‎∠EAF=‎∠DAB, ∴ ‎△EAF∼△DAB, ∴ ‎∠AEF=‎∠ADB, 又∵ ‎∠APE=‎∠GPD, ∴ ‎△PAE∼△PGD, ∴ ‎∠EGD=‎∠EAD=‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α.‎ ‎【考点】‎ 四边形综合题 ‎【解析】‎ ‎(1)先证明‎△ABF≅△ADE,再证明F、A、E共线,得四边形BFED是矩形,根据矩形的对角线相等得:BE=DF可得结论; (2)证明‎△EAF∼△DAB,列比例式,根据等腰直角三角形斜边与直角边的比可得结论; (3)设EF与AD的交点为P点,证明‎△EAD∽△FAB,再证明‎△EAF∼△DAB,最后证明‎△PAE∼△PGD,得‎∠EGD=‎∠EAD=‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α.‎ ‎【解答】‎ 如图①,连接BD, ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AB=AD,‎∠BAD=‎90‎‎∘‎, ∵ 等腰直角三角形ABF和ADE, ∴ ‎∠BAF=‎∠ABF=‎∠DAE=‎∠ADE=‎45‎‎∘‎, ∴ ‎∠FAB+∠BAD+∠DAE=‎180‎‎∘‎,‎△ABF≅△ADE(ASA)‎, ∴ F、A、E共线,BF=DE, ∵ ‎∠AFB+∠AED=‎90‎‎∘‎‎+‎‎90‎‎∘‎=‎180‎‎∘‎, ∴ DE // BF, ∴ 四边形BFED是矩形, ∴ BE=DF. 故答案为BE=DF.‎ 结论:BD=‎2‎EF. 证明:如图②中, ∵ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎ ‎△ABF和‎△ADE是等腰直角三角形, ∴ ADAE‎=ABAF=‎‎2‎,‎∠EAD=‎45‎‎∘‎,‎∠BAF=‎45‎‎∘‎, ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ‎∠BAD=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠FAD=‎∠BAD−∠BAF=‎45‎‎∘‎, ∴ ‎∠EAF=‎∠FAD+∠EAD=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠EAF=‎∠BAD=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎△EAF∼△DAB, ∴ BDEF‎=ADAE=‎‎2‎; ∴ BD=‎2‎EF.‎ 如图③,设EF与AD的交点为P点, ∵ 等腰三角形ABF和ADE的顶角‎∠AED=‎∠AFB=α, ∴ ‎∠EAD=‎∠EDA=‎∠FAB=‎∠FBA=‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α, ∴ ‎△EAD∼△FAB, ∴ EAAF‎=‎ADAB, ∴ EAAD‎=‎AFAB, ∵ ‎∠EAD+∠DAF=‎∠FAB+∠DAF, 即:‎∠EAF=‎∠DAB, ∴ ‎△EAF∼△DAB, ∴ ‎∠AEF=‎∠ADB, 又∵ ‎∠APE=‎∠GPD, ∴ ‎△PAE∼△PGD, ∴ ‎∠EGD=‎∠EAD=‎90‎‎∘‎‎−‎1‎‎2‎α.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页
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