2013年4月徐汇中考数学二模试题

2013年4月徐汇中考数学二模试题

2012 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初三年级数学学科 2013.4 （时间 100 分钟 满分 150 分） 一．选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．下列二次根式中与 3 是同类二次根式的是（ ） Ａ． 6 ； Ｂ． 8 ； Ｃ． 12 ； Ｄ． 18 ． 2．将抛物线 2)2(  xy 向下平移 2 个单位后，所得抛物线解析式为（ ） Ａ． 2xy  ； Ｂ． 22  xy ；Ｃ． 2)2( 2  xy ； Ｄ． 2)2( 2  xy ． 3．如果关于 x 的一元二次方程 0122  mxx 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围 是（ ） Ａ． m ＞ 2 ； Ｂ． m ＜ 2 ； Ｃ． m ＞ 2 且 1m ；Ｄ． ＜ 且 1m ． 4．下列一组数据： 2 、 1 、0 、1、 2 的平均数和方差分别是（ ） Ａ．0 和 2 ； Ｂ． 和 2 ； Ｃ． 和1； Ｄ． 和0 ． 5．下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是（ ） Ａ．四边相等； Ｂ．对角线相等； Ｃ．对角线平分一组对角； Ｄ．对角线互相平分且垂直． 6．在 ABC 中， 2 ACAB ，  150A ，那么半径长为1的⊙ B 和直线 AC 的位置关系是 （ ） Ａ．相离； Ｂ．相切； Ｃ．相交； Ｄ．无法确定． 二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．化简：  11 1 x x x ． 8．计算：  )13(2 aa _______ _________． 9．方程 11  xx 的解是 ． 10．已知函数 xxf  2 2)( ，那么  )1(f . 11．如图 1，点 A 在反比例函数的图像上，那么该反比例函数的解析式是 ． 12．如图 2，在 中，中线 AD 和 BE 相交于点G ，如果 AB a ， AC = b  ，那么向量 AG  ． 13．如图 3， AB ∥CD ，CB 平分 ACD ，如果  120BAC ，那么 Bcos ． 14．在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三角形、等边 三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等 10 个图形，小杰随 机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是___ _____． 15．为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近 450 名九年级学生中，随机抽 取 50 名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下统计表（给出部分数据，除 [90,100]组外每组数据含最低值，不含最高值）： 分数段 [ 0, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90,100 ] 频 数 5 20 频 率 0.12 0.1 根据上表的信息，估计该校初三年级本次数学测试的优良率（80 分及 80 分以上）约 为 （填百分数）． 16．如图 4，⊙ O 半径为5， ABC 的顶点在⊙ 上， ACAB  ， BCAD  ，垂足是 D ， 2cot B ， 那么 AD 的长为 ． 17．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是 2, 4 x y    或 2, 4 x y    ， 试写出一个符合要求的方程组__________ _____________（只需写一个）． 18．在 ABCRt 中，  90C ， 5 4sin A ，将 ABC 绕点 A 旋转后，点 C 落在射线 BA 上，点 B 落到点 D 处，那么 ADBsin 的值等于 ． 三．解答题（本大题共 7 题，第 19—22 题每题 10 分；第 23、24 题每题 12 分；第 25 题 14 分；满分 78 分） 19． 计算： 20 )2 1( 23 130cot)2(    ． A B C D （图 3） （图 1） x O y A 3 1 A B C D E G （图 2） （图 4） A B C D O 20．（本题满分 10 分） 解不等式组：      3 11 23)4(2 xx xx  ；并将解集在数轴上表示出来． 21．（本题满分 10 分，每小题 5 分） 销售某种商品，根据经验，销售单价不少于 30 元∕件，但不超过 50 元∕件时，销售数 量 y （件）与商品单价 x （元∕件）的函数关系的图像如图 5 所示中的线段 AB . （1）求 关于 的函数关系式； （2）如果计划每天的销售额为 2400 元时，那么该商品的单价应该定多少元？ 22．（本题满分 10 分，每小题 5 分） 如图 6，梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和 BD 相交于点O ， ABBD  ， 3AB ， 4BD ， 2CD . 求：（1） CABtan 的值； （2） AOD 的面积. 5 1 4 3 2 0 1 2 3 4 5 x 数量（件） （图 5） x O y 100 20 30 50 单价（元／件） A B （图 6） A B C D O 23．（本题满分 12 分） 如图 7，四边形 ABCD 是平行四边形，在边 AB 的延长线上截取 ABBE  ，点 F 在 AE 的 延长线上，CE 和 DF 交于点 M ， BC 和 交于点 N . （1）求证：四边形 DBEC 是平行四边形； （4 分） （2）如果 AFABAD 2 ，求证： CNDMABCM  . （8 分） 24．（本题满分 12 分） 抛物线 bxaxy  2 （ 0a ）经过点 )4 91( ，A ，对称轴是直线 2x ，顶点是 D ，与 x 轴正 半轴的交点为点 B ． （1）求抛物线 （ ）的解析式和顶点 的坐标； （6 分） （2）过点 D 作 y 轴的垂线交 y 轴于点C ，点 M 在射线 BO 上，当以 DC 为直径的⊙ N 和 以 MB 为半径的⊙ M 相切时，求点 的坐标． （6 分） A B C D E F M （图 7） N 25．（本题满分 14 分） 如图 8，在 ABCRt 中，  90CAB ， 3AC ， 4AB ，点 P 是边 AB 上任意一点，过 点 作 ABPQ  交 BC 于点 E ，截取 APPQ  ，联结 AQ ，线段 交 BC 于点 D ，设 xAP  ， yDQ  ． （1）求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （4 分） （2）如图 9，联结CQ ，当 CDQ 和 ADB 相似时，求 的值； （5 分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点 B 为圆心， BQ 为半径的⊙ B 相交的另一个 交点在边 AB 上时，求 AP 的长． （5 分） （图 8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图 9） （备用图） C A B 2012 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初三年级数学学科参考答案和评分标准 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．B； 6．B． 二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分） 7． 1 ； 8． aa 26 2  ； 9． 11 x 或 22 x ； 10． 3 2 ； 11． xy 3 ； 12． ba  3 1 3 1  ； 13． 2 3 ；14． 5 2 ；15．38﹪；16． 2 ；17．不唯一，如      ;8 ,2 xy xy 等； 18． 5 52 或 5 5 ． 三、（本大题共 7 题，第 19、20、21、22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分） 19. 解：原式 42331  …………………………………………………（8 分） 32  ……………………………………………………………………（2 分） 20．解：由不等式（1）解得 x ＜ 2 ………………………………………………………（3 分） 由不等式（2）解得 x ≥1…………………………………………………………（3 分） ∴原不等式组的解集是 ≤ ＜ ……………………………………………（2 分） 图正确．……………………………………………………………………………（2 分） 21．解：（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 )0(  kbkxy ．…………………………（1 分） 由题意，得      ;2050 ,10030 bk bk ……………………………………………（2 分） 解得，      ;220 ,4 b k ……………………………………………………………（1 分） ∴ 关于 的函数关系式为 2204  xy ． …………………………（1 分） （2）设该商品的单价应该定 x 元．………………………………………………（1 分） 由题意，得 2400)2204(  xx …………………………………………（1 分） 化简整理，得 0600552  xx ．………………………………………（1 分） 解得， 401 x ， 152 x ． ………………………………………………（1 分） 经检验， 152 x 不合题意，舍去；………………………………………（1 分） 答：计划每天的销售额为 2400 元时，该商品的单价应该定 40 元． 22．解：（1）∵ AB ∥CD ，∴ 2 3 CD AB DO BO ． ……………………………………（2 分） ∵ 4BD ，∴ 5 1245 3 BO ．………………………………………（1 分） 在 ABORt 中，  90ABO ， ∴ 5 4tan  AB BOCAB ．…………………………………………………（2 分） （2）∵ 5 8 5 124  BOBDDO …………………………………………（2 分） ∴ 5 12 5 832 1 2 1  DOABS AOD ．…………………………………（3 分） 23．证明：（1） ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ DC ∥ AB ， ABDC  ；…………………………………………（2 分） ∵ ABBE  ，∴ BEDC  ；…………………………………………（1 分） 又 ∥ BE ， ∴四边形 DBEC 是平行四边形．………………………………………（1 分） （2） ∵ AFABAD 2 ，∴ AD AF AB AD  ，………………………………（1 分） 又 AA  ，∴ ADB ∽ AFD ，∴ DFAADB  ； ……（1 分） ∵ ∥ ，∴ DFACDF  ；………………………………（1 分） ∵四边形 是平行四边形，∴ BC ∥ AD ，∴ DBCADB  ；（ 1 分） ∵四边形 是平行四边形，∴CE ∥ DB，∴ DBCMCN  ；（ 1 分） ∴ CDFMCN  ；…………………………………………………（1 分） 又 DMCCMN  ，∴ CMN ∽ CMD ，∴ DC CN DM CM  ，…（1 分） ∵ ，∴ AB CN DM CM  ， ∴ CNDMABCM  ．………………………………………………（1 分） 24．解：（1）由题意，得        ;22 ,4 9 a b ba ，…………………………………………………（2 分） 解得      ;3 ,4 3 b a ……………………………………………………………（2 分） ∴ xxy 34 3 2  ………………………………………………………（1 分） ∴顶点 )3,2(D ． …………………………………………………………（1 分） （2）设⊙ M 的半径为 r ． 由题意，可得 )3,0(C ， )3,1(N ，∴⊙ N 的半径为1； )0,4(B ；……（2 分） 当⊙ 和⊙ 相切时，分下列两种情况： 1 当⊙ 和⊙ 外切时，此时点 在线段 BO 上， 可得 222 )1()14(3  rr ． 解得 8 17r ，∴ )0,8 15(M ．……………………………………………（2 分） 2 当⊙ 和⊙ 外切时，此时点 在线段 的延长线上， 可得 222 )1()21(3  rr ． 解得 4 17r ，∴ )0,4 1(M ．…………………………………………（2 分） 综合  21 、 ，当⊙ 和⊙ 相切时， 或 )0,4 1(M ． 25．解：（1）过点 D 作 ACDM  ，垂足为 M ． 由题意，可知 APQ 是等腰直角三角形，∴ xAQ 2 ；……………（1 分） 易得 CMD ∽ CAB ，∴ 4 3 AB CA DM CM ； 设 xCM 3 ， xDM 4 ，∴ xAM 4 ，∴ 7 3x ， 7 12 AMDM ∴ 27 12AD ……………………………………………………………（1 分） ∴ 27 122  xy ．………………………………………………………（1 分） 定义域是： 7 12 ≤ x ≤ 4 ．………………………………………………（1 分） （注：其它解法参照评分．） （2）∵ ADBCDQ  ，∴当 CDQ 和 ADB 相似时，分以下两种情况：（1 分） 1 当 BQCD  时，∴CQ ∥ AB ，易得四边形CAPQ 是正方形； ∴ 3 ACAPx ． …………………………………………………（2 分） 2 当 QABQCD  时，∴ BD QD AD CD  ， 由上述（1）的解法，可得 7 15CD ， 7 20BD ∴ 7 20 7 1527 12 y ，∴ 14 225y ； ∴ 14 22527 122 x ，解得 2 7x ．………………………………（2 分） 综合  21 、 ，当 CDQ 和 ADB 相似时， x 的值为3 或 2 7 ． （3）如图，设⊙C 与⊙ B 相交的另一个交点为 M ，联结QM 交 BC 于点 N ． ∴ QMBC  , MNQN  .易得 BMN ∽ CAB ， QPM ∽ ， ∴ 4 3 AB AC BN MN ，设 tMN 3 ， tBN 4 ，∴ tBM 5 ； …（1 分） ∴ tQM 6 ，∴ tPQ 5 24 ；∵ tBMBQ 5 ，∴ tBP 5 7 ； …（1 分） 又 tPQAP 5 24 ，∴ 45 7 5 24  tt ，解得 31 20t ； ……………（2 分） ∴ 31 96 31 20 5 24 AP ．…………………………………………………（1 分） P C A B M N Q