2012年白云区初中毕业班综合测试(一)数学试题

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2012年白云区初中毕业班综合测试(一)数学试题

‎ 2012年白云区初中毕业班综合测试(一)数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题25小题,满分150分.考试时间为120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号,再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑.‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,涉及作图的题目,用2B铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需要改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分 选择题(共30分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.数据3,1,5,2,7,2的极差是(*)‎ ‎(A)2   (B)7   (C)6   (D)5‎ ‎2.单项式-的系数为(*)‎ ‎(A)2   (B)-2   (C)3   (D)-3‎ ‎3.不等式组的解集是(*)‎ ‎(A)3  (B)-2≤<3  (C)≥-2  (D)-2<≤3‎ ‎4.一个多边形的内角和与它的外角和相等,则这个多边形的边数为(*)‎ ‎(A)4   (B)5   (C)6   (D)7‎ ‎5.如图1,△ABC中,∠C=90°,∠A的正切是(*)‎ ‎(A)  (B)  (C)   (D)‎ ‎6.已知两条线段的长度分别为‎2cm、‎8cm,下列能与它们构成三角形的线段长度为(*)‎ ‎(A)‎4cm   (B)‎6cm   (C)‎8cm   (D)‎‎10cm ‎7.64的算术平方根与64的立方根的差是(*)‎ ‎(A)-12 (B)±8 (C)±4 (D)4‎ ‎8.如图2,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=50°,则∠OBC的度数等于(*)‎ ‎(A)50°   (B)40°   (C)45°   (D)100°‎ ‎9.如图3,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于点O,AD=1,BC=3,‎ 则S△AOD︰S△BOC等于(*)‎ ‎(A)1︰2   (B)1︰3   (C)4︰9   (D)1︰9‎ ‎10.若一次函数=+,当的值增大1时,值减小3,则当的值减小3时,值(*)‎ ‎(A)增大3  (B)减小3  (C)增大9 ( D)减小9‎ 图3‎ 图1‎ C B A 图2‎ 第二部分 非选择题(共120分)‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎11.已知∠α=50°,则∠α的余角的度数为   *   °.‎ ‎12.不等式-的解集为   *   .‎ ‎13.点(-2,1)关于原点对称的点的坐标为   *   .‎ ‎14.在一次数学测验中,某学习小组的六位同学的分数分别是54,85,92,73,61,85.这组数据的平均数是  *  ,众数是  *  ,中位数是  *  .‎ 图4‎ B C P D A ‎·‎ ‎15.计算并化简式子的结果为   *   .‎ ‎16.如图4,是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周,P为上一动点.当BP经过弦AD的中点E时,四边形ACBE的周长为  *  (结果用根号表示).‎ 三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分9分)‎ A B C D E F 图5‎ 解方程组:.‎ ‎18.(本小题满分9分)‎ 已知,如图5,E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点,AE=CF.‎ 求证:BE=DF.‎ ‎19.(本小题满分10分)‎ 先化简,再求值:,其中=-.‎ y ‎1‎ x ‎1‎ O 图6‎ B A ‎20.(本小题满分10分)‎ 如图6,等腰△OAB的顶角∠AOB=30°,点B在轴上,腰OA=4.‎ ‎(1)B点的坐标为:      ;‎ ‎(2)画出△OAB关于轴对称的图形△OA1B1(不写画法,保留画图痕迹),求出A1与B1的坐标;‎ ‎(3)求出经过A1点的反比例函数解析式.‎ ‎(注:若涉及无理数,请用根号表示)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 在-2,-3,4这三个数中任选2个数分别作为点P的横坐标和纵坐标.‎ ‎(1)可得到的点的个数为     ;‎ ‎(2)求过P点的正比例函数图象经过第二、四象限的概率(用树形图或列表法求解);‎ ‎(3)过点P的正比例函数中,函数随自变量的增大而增大的概率为     .‎ ‎22.(本小题满分11分)‎ 图7‎ 在同一间中学就读的李浩与王真是两邻居,平时他们一起骑自行车上学.清明节后的一天,李浩因有事,比王真迟了10分钟出发,为了能赶上王真,李浩用了王真速度的1.2倍骑车追赶,结果他们在学校大门处相遇.已知他们家离学校大门处的骑车距离为1‎5千米.求王真的速度.‎ ‎23.(本小题满分13分)‎ 如图7,已知⊙O的弦AB等于半径,连结OB并延长使BC=OB.‎ ‎(1)∠ABC=     °;‎ ‎(2)AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论;‎ ‎(3)在⊙O上,是否存在点D,使得AD=AC?若存在,请画出图形,并给出证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎24A B C D E 图8‎ .(本小题满分14分)‎ 如图8,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,点P、Q分别是边AD和AE上的动点(两动点都不与端点重合).‎ ‎(1)PQ+DQ的最小值是       ;‎ ‎(2)说出PQ+DQ取得最小值时,点P、点Q的位置,并在图8中画出;‎ ‎(3)请对(2)中你所给的结论进行证明.‎ ‎25.(本小题满分14分)‎ 已知抛物线=++-4.‎ ‎(1)当=2时,求出此抛物线的顶点坐标;‎ ‎(2)求证:无论为什么实数,抛物线都与轴有交点,且经过轴上的一定点;‎ ‎(3)已知抛物线与轴交于A(1,0)、B(2,0)两点(A在B的左边),|1|<|2|,与轴交于C点,且S△ABC=15.问:过A,B,C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点?试说明理由.如果有,求出其坐标.‎ O y x ‎1‎ 备用图 参考答案及评分建议(2012一模)‎ 一、选择题 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答 案 C B B A[来源:学科网]‎ B C D B D C 二、填空题 题 号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答 案 ‎40‎ ‎<-3‎ ‎(2,-1)‎ ‎75,85,79‎ ‎-‎ ‎12+6‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分9分)‎ 解:‎ 解法一(加减法):①-②×3,………………………………………………3分 得 ‎………………………………………………………5分 ‎…………………………………………………………………………6分 ‎=-1,…………………………………………………………………………7分 代入②式,得=2,……………………………………………………………8分 ‎∴原方程组的解为:.…………………………………………………9分 解法二(代入法):‎ 由②得:,……………………………………………………3分 把③代入①式,……………………………………………………………………5分 得3()+=4,………………………………………………………6分 解得=-1,……………………………………………………………………7分 代入③式,得=2,……………………………………………………………8分 ‎∴原方程组的解为:.…………………………………………………9分 ‎18.(本小题满分9分)‎ 证法一:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AB=CD,∠A=∠C=90°.…………………………………………4分 在△ABE和△CDF中,……………………………………………………5分 ‎∵, ∴△ABE≌△CDF(SAS),……………………8分 ‎∴BE=DF(全等三角形对应边相等).…………………………………9分 证法二:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AD∥BC,AD=BC,…………………………………………………3分 又∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,……………………………5分 即ED=BF,…………………………………………………………………6分 而ED∥BF, ‎ ‎∴四边形BFDE为平行四边形………………………………………………8分 ‎∴BE=DF(平行四边形对边相等).……………………………………9分 ‎19.(本小题满分10分)‎ 解:‎ ‎=………………………………………………………5分 ‎=…………………………………………………………6分 ‎=………………………………………………………………………7分 当=-时,………………………………………………………………8分 原式=4×(-)+13‎ ‎=-6+13……………………………………………………………9分 ‎=7………………………………………………………………………10分 ‎20.(本小题满分10分)‎ 解:(1)(4,0);…………………………………………………………1分 ‎(2)如图1,过点A作AC⊥轴于C点.………………………………2分 在Rt△OAC中,∵斜边OA=4,∠AOB=30°,‎ ‎∴AC=2,OC=OA·cos30°=2,……………………………4分 ‎∴点A的坐标为(2,2).………………………………………………5分 由轴对称性,得A点关于轴的对称点 A1的坐标为(-2,2),………………………………………………6分 B点关于轴的对称点B1的坐标为(-4,0);…………………………7分 ‎(3)设过A1点的反比例函数解析式=,……………………………8分 把点A1的坐标(-2,2)代入解析式, ‎ 得2=,∴=-4,………………………………………………9分 y ‎1‎ x ‎1‎ O 图1‎ B A A1‎ B1‎ C 从而该反比例函数的解析式为=-.…………………………………10分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(1) 6 ;……………………………………………………………………3分 ‎(2)树形图如下:‎ 点P的横坐标 点P的纵坐标 ‎-2‎ ‎-3‎ ‎4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎-3‎ ‎……………6分 所经过的6个点分别为 P1(-2,-3)、P2(-2,4)、P3(-3,-2)、‎ P4(-3,4)、P5(4,-2)、P6(4,-3),……………………………8分 其中经过第二、四象限的共有4个点,………………………………………………9分 ‎∴P(经过第二、四象限)==;……………………………………………10分 列表法:‎ ‎(-2,-3)‎ ‎(-2,4)‎ ‎(-3,-2)‎ ‎(-3,4)‎ ‎(4,-2)‎ ‎(4,-3)‎ ‎……………………………………………………………………………………………6分 所经过的6个点分别为 P1(-2,-3)、P2(-2,4)、P3(-3,-2)、‎ P4(-3,4)、P5(4,-2)、P6(4,-3),……………………………8分 其中经过第二、四象限的共有4个点,………………………………………………9分 ‎∴P(经过第二、四象限)==;……………………………………………10分 ‎(3).……………………………………………………………………………12分 ‎22.(本小题满分11分)‎ 解:设王真骑自行车的速度为千米/时,……………………………………1分 则李浩的速度为1.2千米/时.‎ 根据题意,得.…………………………………………………6分 即,两边同乘以去分母,‎ 得75+=90,………………………………………………………………8分 解得=15.……………………………………………………………………9分 经检验,=15是该分式方程的根.………………………………………10分[来源:Zxxk.Com]‎ 答:王真的速度为‎15km/时.………………………………………………11分 ‎23.(本小题满分13分)‎ 解:(1)120°;……………………………………………………………1分 ‎(2)AC是⊙O的切线.……………………………………………………3分 证法一 ‎∵AB=OB=OA,∴△OAB为等边三角形,…………………………4分 ‎∴∠OBA=∠AOB=60°.……………………………………………5分 ‎∵BC=BO,∴BC=BA,‎ ‎∴∠C=∠CAB,……………………………………………………………6分 又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C,‎ 即2∠C=60°,∴∠C=30°,………………………………………7分 在△OAC中,∵∠O+∠C=60°+30°=90°,‎ ‎∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分 ‎∴AC是⊙O的切线;‎ 证法二:‎ ‎∵BC=OB,∴点B为边OC的中点,……………………………………4分 即AB为△OAC的中位线,…………………………………………………5分 ‎∵AB=OB=BC,即AB是边OC的一半,……………………………6分 ‎∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形,…………………………………7分 ‎∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分 ‎∴AC是⊙O的切线;‎ ‎(3)存在.……………………………………………………………………9分 方法一:‎ 如图2,延长BO交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………10分 证明如下:‎ 连结AD,∵BD为直径,∴∠DAB=90°.…………………………11分 在△CAO和△DAB中,‎ ‎∵,∴△CAO≌△DAB(ASA),………………12分 ‎∴AC=AD.…………………………………………………………………13分 ‎(也可由OC=BD,根据AAS证明;或HL证得,或证△ABC≌△AOD)‎ 方法二:‎ 如图3,画∠AOD=120°,……………………………………………10分 OD交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………………………11分 ‎∵∠OBA=60°,‎ ‎∴∠ABC=180°-60°=120°.‎ 在△AOD和△ABC中,‎ ‎∵,∴△AOD≌△ABC(SAS),………………12分 图2‎ 图3‎ ‎∴AD=AC.…………………………………………………………………13分 ‎24.(本小题满分14分)‎ 解:(1) ;…………………………………………………………2分 ‎(2)如图4,过点D作DF⊥AC,垂足为F,………………………3分 DF与AE的交点即为点Q;………………………………………………4分 过点Q作QP⊥AD,垂足即为点P;……………………………………5分 ‎(3)由(2)知,DF为等腰Rt△ADC底边上的高,‎ ‎∴DF=AD·sin45°=4×=.…………………………6分 ‎∵AE平分∠DAC,Q为AE上的点,‎ 且QF⊥AC于点F,QP⊥AD于点P,‎ ‎∴QP=QF(角平分线性质定理),……………………………………7分 ‎∴PQ+DQ=FQ+DQ=DF=.‎ 下面证明此时的PQ+DQ为最小值:‎ 在AE上取异于Q的另一点Q1(图5).…………………………………9分 ‎①过Q1点作Q1F1⊥AC于点F1,………………………………………10分 过Q1点作Q1P1⊥AD于点P1,…………………………………………11分 则P1Q1+DQ1=F1Q1+DQ1, ‎ 由“一点到一条直线的距离”,可知,垂线段最短,‎ ‎∴得F1Q1+DQ1>FQ+DQ,‎ 即P1Q1+DQ1>PQ+DQ.…………………………………………12分 ‎②若P2是AD上异于P1的任一点,………………………………………13分 可知斜线段P2Q1>垂线段P1Q1,………………………………………14分 ‎∴P2Q1+DQ1>P1Q1+DQ1>PQ+DQ.‎ 从而可得此处PQ+DQ的值最小.‎ P Q A B C D E 图5‎ F P2‎ Q1‎ F1‎ P1‎ P Q A B C D E 图4‎ F ‎25.(本小题满分14分)‎ 解:(1)当=2时,抛物线为=+,…………………………1分 配方:=+=++1-1‎ 得=-1,‎ ‎∴顶点坐标为(-1,-1);………………………………………………3分 ‎(也可由顶点公式求得)‎ ‎(2)令=0,有++-4=0,………………………………4分 此一元二次方程根的判别式 ‎⊿=-4·(-4)=-+16=,…………………5分 ‎∵无论为什么实数,≥0,‎ 方程++-4=0都有解,…………………………………………6分 即抛物线总与轴有交点.‎ 由求根公式得=,………………………………………………7分 当≥4时,=,‎ ‎1==-2,2==-+2; ‎ 当<4时,=, ‎ ‎1==-+2,2==-2.‎ 即抛物线与轴的交点分别为(-2,0)和(-+2,0),‎ 而点(-2,0)是轴上的定点;…………………………………………8分 ‎(3)过A,B,C三点的圆与该抛物线有第四个交点.…………………9分 设此点为D.∵|1|<|2|,C点在y轴上,‎ 由抛物线的对称,可知点C不是抛物线的顶点.……………………………10分 由于圆和抛物线都是轴对称图形,‎ 过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形.……………………11分 ‎∵轴上的两点A、B关于抛物线对称轴对称,‎ ‎∴过A、B、C三点的圆与抛物线的第四个 交点D应与C点关于抛物线对称轴对称.……………………………………12分 由抛物线与轴的交点分别为(-2,0)和(-+2,0):‎ 当-2<-+2,即<4时,……………………………………………13分 A点坐标为(-2,0),B为(-+2,0).‎ 即1=-2,2=-+2.‎ 由|1|<|2|得-+2>2,解得<0.‎ 根据S△ABC=15,得AB·OC=15.‎ AB=-+2-(-2)=4-,‎ OC=|2-4|=4-2,‎ ‎∴(4-)(4-2)=15,‎ 化简整理得=0,‎ 解得=7(舍去)或=-1.‎ 此时抛物线解析式为=,‎ 其对称轴为=,C点坐标为(0,-6),‎ 它关于=的对称点D坐标为(1,-6);………………………………14分[来源:学科网]‎ 当-2>-+2,由A点在B点左边,‎ 知A点坐标为(-+2,0),B为(-2,0).‎ O y x C ‎1‎ D B A 图6‎ 即1=-+2,2=-2.‎ 但此时|1|>|2|,这与已知条件|1|<|2|不相符,‎ ‎∴不存在此种情况.‎ 故第四个交点的坐标为(1,-6).‎ ‎(如图6)‎ ‎[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎
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