中考数学第一轮复习导学案二元一次方程组及其应用

中考数学第一轮复习导学案二元一次方程组及其应用

- 1 - 二元一次方程组及其应用 ◆【课前热身】 1．若 2xm+n－1－3ym－n－3+5=0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m=_____，n=_____． 2．在式子 3m+5n－k 中，当 m=－2，n=1 时，它的值为 1；当 m=2，n=－3 时，它的值是_____． 3．若方程组 0 26 ax y x by    的解是 1 2 x y    ，则 a+b=_______． 4．已知 x，y，t 满足方程组 2 3 5 32 xt y t x    ，则 x 和 y 之间应满足的关系式是_______． 5．若方程组 2xyb x by a    的解是 1 0 x y    ，那么│a－b│=_____． 【参考答案】 1．3；－1 2．－7 3．8 4.15y－x=6 5．1 ◆【考点聚焦】 了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组. 重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际 问题. 难点：是图象法解二元一次方程组，数形结合思想. ◆【备考兵法】 思想方法： ①消元思想--加减和代入两种消元方法 ②数学建模思想--列二元一次方程组解决实际问题的方法 ③数形结合思想--图象法解二元一次方程组 二元一次方程组的解法 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知 数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知 - 2 - 数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两 边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组 的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得 多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程 组的解； （4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解． 易错知识辨析： （1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值； （2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. ◆【考点链接】 （对重点知识点的概括，主要以填空题形式考查） 1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 2. 二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程 的一个解，一个二元一次方程有 个解. 4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组 方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. ◆【典例精析】 例 1 已知 2 1 x y    是方程组 2 ( 1) 2 1 x m y nx y      的解，求（m+n）的值． 消元 转化 - 3 - ① ② 【分析】由方程组的解的定义可知 2 1 x y    ，同时满足方程组中的两个方程，将 代 入两个方程，分别解二元一次方程，即得 m 和 n 的值，从而求出代数式的值． 【答案】解：把 x=2，y=1 代入方程组 2 ( 1) 2 1 x m y nx y      中，得 2 2 ( 1) 1 2 2 1 1 m n        由①得 m=－1，由②得 n=0． 所以当 m=－1，n=0 时，（m+n）=（－1+0）=－1． 【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例 2 （湖南郴州）李大叔今年五月份购买了一台彩电和一台洗衣机，根据“家电下乡”的 补贴标准：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的 13%补贴给农户． 因此，李大 叔从乡政府领到了 390 元补贴款． 若彩电的售价比洗衣机的售价高 1000 元，求彩电和洗衣 机的售价各是多少元． 【分析】本题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力． 【答案】解：设一台彩电的售价为 x 元，一台洗衣机的售价为 y 元 根据题意得： 1000 13 ( ) 390 xy % x y ì -=ïïíï +=ïî 解得 2000 1000 x y ì =ïïíï =ïî 答：一台彩电的售价为 2000 元，一台洗衣机的售价为 1000 元 例 3（广西钦州）小王购买了一套经济适用房，他准备 将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单 位： m ），解答下列问题： （1）写出用含 x、y 的代数式表示的地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多 21 2，且地面总面积 是卫生间面积的 15 倍，铺 1 2 地砖的平均费用为 80 元， 求铺地砖的总费用为多少元？ 【分析】本题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力 【答案】解：（1）地面总面积为：（6x＋2y＋18） 2； 6 3 y 2 2 x客厅 卧室 厨房 卫 生 间 - 4 - （2）由题意，得 6 2 21, 6 2 18 15 2 . xy x y y       解之，得 4, 3 .2 x y   ∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2× 3 2 ＋18＝45（ m 2）． ∵铺 1 2 地砖的平均费用为 80 元， ∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． ◆【迎考精练】 一、选择题 1. （台湾）若二元一次联立方程式        03 51515 46 32 yx yx 的解为 x =a，y =b，则 a b=？ （ ） A． 3 5 B． 5 9 C． 3 29 D． 3 139 2. (四川绵阳)小明在解关于 x、y 的二元一次方程组      13 3, yx yx 时得到了正确结果      .1 , y x 后来发现“”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出、 处的值分别是( ) A． = 1， = 1 B． = 2， = 1 C． = 1， = 2 D． = 2， = 2 3. （广西桂林）已知 2 1 x y    是二元一次方程组 7 1 ax by ax by    的解，则 ab 的值（ ）． A．1 B．－1 C． 2 D．3 4. （福建福州）二元一次方程组 2, 0 xy xy    的解是（ ） A． 0, 2. x y    B． 2, 0. x y    C． 1, 1. x y    D． 1, 1. x y    5. （山东日照）若关于 x，y 的二元一次方程组      kyx ,kyx 9 5 的解也是二元一次方程 - 5 - 632  yx 的解，则 k 的值为（ ） A． 4 3 B． 4 3 C． 3 4 D． 3 4 6. （黑龙江齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住， 某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ） A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种 二、填空题 1.（湖南株洲）孔明同学在解方程组 2 y kx b yx    的过程中，错把b 看成了 6，他其余的解题 过程没有出错，解得此方程组的解为 1 2    x y ，又已知直线 y kx b 过点（3，1），则b 的 正确值应该是 ． 2．（湖南怀化）方程组 3 2 10 26 xy xy    ， 的解为 ． 3.(甘肃定西)方程组 25 2 11 xy xy      ， 的解是 ． 4.(四川达州)将一种浓度为 15℅的溶液 30 ㎏，配制成浓度不低于 20℅的同种溶液，则至少 需要浓度为 35℅的该种溶液____________㎏. 5.(河北)如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根 露出水面的长度是它的 1 3 ，另一根露出水面的长度是它的 1 5 ．两根铁棒长度 之和为 55 cm， 此时木桶中水的深度是 cm． 6.（山东济宁）请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去 处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？” 诗句中谈到的鸦为 只、 树为 棵. 三、解答题 1.（北京市）列方程或方程组解应用题： 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，10 月 11 日到 2 月 28 日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，地面公交日 均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次.在此期间，地面公交和轨道交通日均客 运量各为多少万人次？ 第 5 题 - 6 - 2.（江苏省）一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 1 3 路段为普通公路，其余路段为高速公路．已 知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h． 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决 的问题，并写出解答过程． 3.（湖北襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A 、 B 两类薄弱学校全部进行 改造．根据预算，共需资金 1575 万元．改造一所 A 类学校和两所 B 类学校共需资金 230 万 元；改造两所 A 类学校和一所 B 类学校共需资金 205 万元． （1）改造一所 A 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的 类学校不超过 5 所，则 类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县 、 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方 财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金 不少于 70 万元，其中地方财政投入到 、 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元．请你通过计算求出有几种改造方案？ 4.（山东淄博）如图，在 3×3 的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表 示一个数），使得每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等． - 7 - （1）求 x，y 的值； （2）在备用图中完成此方阵图． 5.(广东肇庆) 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第 一． 其中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚，银牌比铜牌少 7 枚．问金、银、铜牌各多少枚？ 6．（湖南邵阳）为迎接“建国 60 周年”国庆，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用 A、B 两种不同类型的灯笼 200 个，且 B 灯笼的个数是 A 灯笼的 3 2 。 （1）求 A、B 两种灯笼各需多少个？ （2）已知 A、B 两种灯笼的单价分别为 40 元、60 元，则这次美化工程购置灯笼需多少 费用？ 7.（新疆乌鲁木齐市）某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对 A 、 B 两种商品实行 打折出售．打折前，购买 5 件 商品和 1 件 商品需用 84 元；购买 6 件 商品和 3 件 商 品需用 108 元．而店庆期间，购买 50 件 商品和 50 件 商品仅需 960 元，这比不打折少 –2 3 4 （备用图） 2y–x –2 3 4 x y （第 4 题） a b c - 8 - 花多少钱？ 8.(福建宁德)某刊物报道：“12 月 15 日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三 通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省 4 小时，海运平均每航次可节省 22 小时，以两岸每年往来合计 500 万人次计算，则共可为 民众节省 2900 万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多 少万人次． 9.（湖南益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢 笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本 共 48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有 多少种购买方案？请你一一写出. 10. (浙江湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计， 某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1） 若该小区 2006 年底到底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到底家庭 - 9 - 轿车将达到多少辆？ （2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费 用分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天 车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可 建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 11.（山东泰安）某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。 （1） 求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？ （2） 若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该 商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候 总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 【参考答案】 选择题 1. C - 10 - 2. B 3. B 4. C 5. B 6. C 填空题 1. 11 2.      2 2 y x 3. 3 4 x y    4. 10 5. 20 6. 20，5 解答题 1. 解法一：设轨道交通日均客运量为 x 万人次，则地面公交日均客运量为(4 69)x  万 人次，依题意，得 (4 69) 1696xx 解得 353x  4 69 4 353 69 1343x     答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次. 解法二：轨道交通日均客运量为 x 万人次，地面公交日均客运量为 y 万人次. 依题意，得 1696 4 69 xy yx    解得 353 1343 x y    答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次. 2. 本题答案不惟一，下列解法供参考． 解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米？ 解：设普通公路长为 x km，高度公路长为 y km． - 11 - 根据题意，得 2 2.2.60 100 xy xy   ， 解得 60 120 x y    ， ． 答：普通公路长为 60km，高速公路长为 120km． 解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 解：设汽车在普通公路上行驶了 x h，高速公路上行驶了 y h． 根据题意，得 2.2 60 2 100 . xy xy    ， 解得 1 1.2. x y    ， 答：汽车在普通公路上行驶了 1h，高速公路上行驶了 1.2h． 3. 解：（1）设改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的改造资金分别为 a 万元和b 万元．依 题意得： 2 230 2 205 ab ab    解之得 60 85 a b    答：改造一所 类学校和一所 类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元． （2）设该县有 、 两类学校分别为 m 所和 n 所．则 60 85 1575mn 17 315 12 12mn   ∵ 类学校不超过 5 所 ∴ 17 315 512 15n≤ ∴ 15n≥ 即： 类学校至少有 15 所． （3）设今年改造 A 类学校 x 所，则改造 类学校为 6 x 所，依题意得：     50 70 6 400 10 15 6 70 xx xx   ≤ ≥ 解之得14x≤ ≤ ∵ x 取整数 ∴ 1 2 3 4x  ，，， 即：共有 4 种方案． - 12 - 4. 解：（1）由题意，得 3 4 2 3 2 2 3 4 . x x y y x y x x              ， 解得 1 2. x y    ， （2）如图 5. 解：设金、银牌分别为 x 枚、y 枚，则铜牌为( 7)y  枚，依题意，得 ( 7) 100 ( 7) 2. x y y x y y          ， 解以上方程组，得 51 21xy， ， 所以 7 21 7 28y     ． 答：金、银、铜牌分别为 51 枚、21 枚、28 枚． 6. （1）设需 A 种灯笼 x 个， B 种灯笼 y 个，根据题意得： 200 2 3 xy yx   ， ， 解得 120 80 x y    ， ； （2）120×40+80×60=9600（元）． 7. 解：设打折前 A 商品的单价为 x 元，B 商品的单价为 y 元，根据题意有 5 84 6 3 108 xy xy    解之，得 16 4 x y    打折前购买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品共需16 50 4 50 1000    元． ∴打折后少花(1000 960) 40元． 8. 解：设每年采用空运往来的有 x 万人次，海运往来的有 y 万人次，依题意得   x+y＝500 4x+22y＝2900 解得   x＝450 y＝50 –2 3 4 –1 6 1 0 5 2 - 13 - 答：每年采用空运往来的有 450 万人次，海运往来的有 50 万人次． 9. 解：(1)设每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元 依题意得：      3152 183 yx yx 解得：      5 3 y x 答：每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元 (2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48－a)本 依题意得：      aa aa 48 200)48(53 解得： 2420  a 所以，一共有５种方案． 即购买钢笔、笔记本的数量分别为： 20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 10. 解：(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x ，则：  264 1 100x， 解得： 1 1 254x  %， 2 9 4x  （不合题意，舍去），  100 1 25% 125   . 答：该小区到底家庭轿车将达到 125 辆． (2)设该小区可建室内车位 a 个，露天车位b 个，则： 0.5 0.1 15 2 2.5 ab a b a    ① ≤ ≤ ② 由①得： =150-5 代入②得： 20 a 150≤ ≤ 7 ， a 是正整数， a =20 或 21， 当 20a  时 50b  ，当 21a  时 45b  . 方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个. 11. 解：（1）设 A、B 两种纪念品的进价分别为 x 元、y 元。 - 14 - 由题意， 得 解之，得 答：A、B 两种纪念品的进价分别为 20 元、30 元 （2）设上点准备购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品（40-x）件， 由题意，得 解之，得： 3230  a ∵总获利 2802)40(75  aaaw 是 a 的一次函数，且 w 随 a 的增大而减小 ∴当 a=30 时，w 最大，最大值 w=-2×30+280=220. ∴40-a=10 ∴应进 A 种纪念品 30 件，B 种纪念品 10 件，在能是获得利润最大，最大值是 220 元.