2020年秋九年级数学上册 第3章图形的相似

2020年秋九年级数学上册 第3章图形的相似

第3章 　图形的相似 ‎3.1　比例线段 ‎3.1.2‎‎ 成比例线段 知识点 1　两条线段的比 ‎1．已知线段a＝‎5 cm，b＝‎2 cm，则等于(　　)‎ A. B．‎4 C. D. ‎2．已知M是线段AB延长线上一点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM为(　　)‎ A．3∶2 B．2∶‎3 C．3∶5 D．5∶2‎ ‎3．2017·娄底湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1∶6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图．若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是________千米．(结果精确到‎1千米)‎ 知识点 2　成比例线段 ‎4．2016·常德月考下列各组中的四条线段成比例的是(　　)‎ A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4‎ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10‎ C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6‎ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1‎ ‎5．已知四条线段a，b，c，d成比例，并且a＝2，b＝，c＝，则d＝________．‎ ‎6．已知线段a，b，c，d的长度分别如下，则a，b，c，d是比例线段吗？‎ ‎(1)‎4 cm，‎6 cm，‎2 cm，‎8 cm；‎ ‎(2)‎1.5 cm，‎4.5 cm，‎2.5 cm，‎7.5 cm；‎ ‎(3)‎3 cm，‎5 cm，‎6 cm，‎10 cm.‎ ‎7．已知a，b，c，d是比例线段．‎ ‎(1)若a＝‎2 cm，b＝‎5 cm，c＝‎4 cm，求d；‎ ‎(2)若a＝‎1.9 cm，b＝‎2.7 cm，d＝‎8.1 cm，求c；‎ ‎(3)若b＝‎5 cm，c＝‎12 cm，d＝‎15 cm，求a.‎ 6‎ 知识点 3　黄金分割比 图3－1－1‎ ‎8．如图3－1－1所示，C为线段AB的黄金分割点(AC＜BC)，下列比例式正确的是(　　)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎9．2017·湖南祁阳哈佛期中长度为a的线段AB上有一点C，并且满足AC2＝AB·BC，则AC的长为(　　)‎ A.a B.a C．(＋1)a D．(－1)a 图3－1－2‎ ‎10．如图3－1－2所示，已知C为线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，且线段AB＝1，则线段AC的长为________．(结果保留根号)‎ ‎11．教材习题3.1第4题变式一般认为，如果一个人肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，那么这个人好看．如图3－1－3是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才好看？(精确到‎1 cm，参考数据：黄金分割比为，≈2.236)‎ 图3－1－3‎ ‎12．据有关实验测定，当气温与人体正常体温(‎37 ℃‎)的比是黄金分割比时，人体感到最舒适．这个气温约为(精确到‎1 ℃‎)(　　)‎ A．‎20 ℃‎ B．‎21 ℃‎ C．‎22 ℃‎ D．‎‎23 ℃‎ ‎13．已知四条成比例线段的长度分别为‎6 cm，‎12 cm，x cm，‎8 cm，又△ABC的三边长分别为x cm，‎3 cm，‎5 cm，则△ABC是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定 ‎14．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图3－1－4，线段AB＝1，P1是线段AB的黄金分割点(AP1＜BP1)，P2‎ 6‎ 是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)……依此类推，则APn的长度是________．‎ 图3－1－4‎ ‎15．已知m，n，p，q是比例线段，其中m＝‎4 cm，n＝(x－1)cm，p＝‎10 cm，q＝(x＋2)cm，求x的值．‎ ‎16．已知三条线段的长分别为‎3 cm，‎6 cm，‎8 cm，如果再增加一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长为多少？‎ ‎17. 在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D 在AB上，若AE＝6，EC＝4，且＝.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)试问＝成立吗？请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．宽与长的比是 6‎ 的矩形叫黄金矩形．黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图3－1－5所示)：‎ 第一步：作一个正方形ABCD；‎ 第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；‎ 第三步：以点N为圆心，ND的长为半径画弧，交BC的延长线于点E；‎ 第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.‎ 请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．‎ 图3－1－5‎ ‎　　　　‎ ‎ ‎ ‎1．C　2.A ‎3．5500　[解析] 我国南北的实际距离大约是82.09×6700000＝550003000(cm)≈5500(km)．‎ ‎4．C 6‎ ‎5.　[解析] ∵四条线段a，b，c，d成比例，并且a＝2，b＝，c＝，∴a∶b＝c∶d，即2∶＝∶d，解得d＝.‎ ‎6．解：(1)∵＝＝，＝＝，∴≠，即a，b，c，d不是比例线段．‎ ‎(2)∵＝＝，＝＝，∴＝，即a，b，c，d是比例线段．‎ ‎(3)∵＝，＝＝，∴＝，即a，b，c，d是比例线段．‎ ‎7．解：(1)∵a，b，c，d是比例线段，∴＝.‎ ‎∵a＝‎2 cm，b＝‎5 cm，c＝‎4 cm，‎ ‎∴＝，∴2d＝4×5，∴d＝10(cm)．‎ ‎(2)∵a，b，c，d是比例线段，∴＝.‎ ‎∵a＝‎1.9 cm，b＝‎2.7 cm，d＝‎8.1 cm，‎ ‎∴＝，∴‎2.7c＝1.9×8.1，‎ ‎∴c＝5.7(cm)．‎ ‎(3)∵a，b，c，d是比例线段，∴＝.‎ ‎∵b＝‎5 cm，c＝‎12 cm，d＝‎15 cm，‎ ‎∴＝，∴‎15a＝5×12，∴a＝4(cm)．‎ ‎8．C ‎9．B　[解析] ∵AC2＝AB·BC，∴C为AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝a.‎ ‎10. ‎11．解：设她应穿约x cm高的鞋子才好看，‎ 根据题意，得＝，‎ 解得x≈10.‎ 答：她应穿10 cm高的鞋子才好看．‎ ‎12．D ‎13． C　[解析] 依题意有：＝，解得x＝4.因为32＋42＝52，所以△ABC是直角三角形．‎ ‎14 ()n ‎[解析] ∵线段AB＝1，P1是线段AB的黄金分割点(AP1＜BP1)，∴＝，∴AP1‎ 6‎ ‎＝1－BP1＝1－＝.∵P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，∴AP2＝×＝()2，∴AP3＝()3，∴APn＝()n.‎ ‎15．解：∵m，n，p，q是比例线段，∴＝.‎ ‎∵m＝‎4 cm，n＝(x－1)cm，p＝‎10 cm，q＝(x＋2)cm，‎ ‎∴＝，解得x＝3.‎ ‎16．解：设这条线段的长为x cm，若3，x，6，8成比例，则＝，解得x＝4；若3，6，8，x成比例，则＝，解得x＝16；若x，3，6，8成比例，则＝，解得x＝.综上可知，这条线段的长为‎4 cm，‎16 cm或 cm.‎ ‎17．[解析] (2)中根据比例线段的定义，先分别求出，的值，再判断＝是否成立．‎ 解：(1)∵＝，∴＝，‎ 即＝，∴AD＝.‎ ‎(2)成立．‎ 理由：由AB＝12，AD＝，得DB＝.‎ 于是＝.又＝＝，故＝.‎ ‎18．证明：在正方形ABCD中，取AB＝‎2a.‎ ‎∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a.‎ 在Rt△DNC中，ND＝＝＝a.‎ 又∵NE＝ND，∴CE＝NE－NC＝(－1)a，‎ ‎∴＝＝，‎ 故矩形DCEF为黄金矩形． ‎ 6‎