2013届上海市初三数学质量检测试卷（理科班用）

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上海市 2013 届初三数学质量检测试卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1. 本试卷含三个大题，共 25 题； 2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律 无效； 3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1. 下列计算正确的是 （A） 4 2 6x x x； （B） 4 2 2x x x； （C） 4 2 8x x x； （D） 4 2 8()xx ． 2. 将直线 2yx 向左平移两个单位后所得图象对应的函数解析式为 （A） 22yx； （B） 22yx； （C） 24yx； （D） 24yx． 3. 已知相交两圆的半径分别为 4 和 7，则它们的圆心距可能是 （A）2； （B）3； （C）6； （D）11． 4. 已知点 P（x，y）在函数 2 1yxx   的图象上，那么点 P 应在平面直角坐标系中的 （A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限． 5. 关于 x 的二次函数 2 (1 )y x m x m    ，其图象的对称轴在 y 轴的右侧，则实数 m 的取值 范围是 （A） 1m  ； （B） 10m   ； （C）01m； （D） 1m  ． 6. 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的 周长与直径之比称为图形的“周率”．图 1 中的四个平面图形（依次为正三角形、正方形、 正六边形、圆）的周率从左到右依次记为 1a ， 2a ， 3a ， 4a ，则下列关系中正确的是 （A） 4 2 1aaa； （B） 432a a a； （C） 1 2 3a a a； （D） 234a a a． 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算： 82 ▲ ． 8. 因式分解： 2 9x y y ▲ ． 图 1 9. 方程 2 7 3x 的根是 ▲ ． 10. 若关于 x 的一元二次方程 2 2 3 0x x k   有两个相等的实数根，则 k 的值为 ▲ ． 11. 已知一组数据 1x ， 2x ， ， nx 的方差是 2S ，则新的一组数据 1 1ax  ， 2 1ax  ， ， 1nax  （a 为常数， 0a  ）的方差是 ▲ （用含 a ， 的代数式表示）． 12. 函数 1 12 4 xy x x   的定义域是 ▲ ． 13. 如图 2，已知零件的外径为 25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等，OC = OD）量零件的内孔直径 AB．若 : 1: 2OC OA  ， 量得 CD = 10mm，则零件的厚度 x = ▲ mm． 14. 在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD = 3CD， AB a ， AC b ，那么 AD  ▲ （用 a 和b 表示）． 15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想数字， 把乙所猜数字记为 b，且 a，b 分别取 0，1，2，3，若 a，b 满足 1ab，则称甲、乙两 人“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为 ▲ ． 16. 在平面直角坐标系中，设点 P 到原点 O 的距离为  ，OP 与 x 轴的正方向的夹角为 ，则 用 [ ， ]表示点 P 的极坐标．显然，点 P 的坐标和它的极坐标存在一一对应关系，如 点 P 的坐标（1，1）的极坐标为 P [ 2 ，45 ]，则极坐标 Q [ 23，120]的坐标为 ▲ ． 17. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背 景的邮票（图 3）．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以 验证勾股定理．在如图 4 所示的勾股图中，已知∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，AB = 4．作 △PQR 使得∠R = 90°，点 H 在边 QR 上，点 D、E 在边 PR 上，点 G、F 在边 PQ 上，那 么△PQR 的周长等于 ▲ ． 18. 如图 5，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 10，在△DCE 中，∠DCE = 90°，DC = EC = 6，点 D在线段AC上，点E在线段BC的延长线上，将△DCE绕点C旋转60°得到△ D CE （点 D 的对应点为点 D，点 E 的对应点为点 E），联结 AD、BE ，过点 C 作CN BE ， 垂足为 N，直线 CN 交直线 于点 M，则 MN 的长为 ▲ ． x Ф25 图 2 O D C B A 图 3 A B C D E 图 5 C K 图 4 A B D E Q P R H G F 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.（本题满分 10 分） 计算： 1 2 0112cos60 ( ) ( 3 2) ( )2 33        ． 20.（本题满分 10 分） 解方程： 2 2 12 21 2 xx xx     ． 21.（本题满分 10 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分） 图 6、7 分别是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管 AB 与支 架 CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心 O，支架 CD 与水平面 AE 垂直，AB = 150cm， ∠BAC = 30°，另一根辅助支架 DE = 76cm，∠CED = 60°． （1）求垂直支架 CD 的长度（结果保留根号）； （2）求水箱半径 OD 的长度（结果保留三个有效数字，参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ）． 22.（本题满分 10 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分） 在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测． （1）图 8 是小芳家 2012 年全年月用电量的条形统计图． 根据图中提供的信息，回答下列问题： ①2012 年小芳家月用电量最小的是 ▲ 月，四个季度中用电量最大的是第 ▲ 季度； ②求 2012 年 5 月至 6 月用电量的月增长率； （2）今年小芳家添置了新电器．已知今年 5 月份的用电量是 120 千瓦时，根据 2012 年 5 月至 7 月用电量的增长趋势，预计今年 7 月份的用电量将达到 240 千瓦时．假设今年 5 月至 6 月用电量月增长率是 6 月至 7 月用电量月增长率的 1.5 倍，预计小芳家今年 6 月份的 用电量是多少千瓦时？ 图 6 图 7 D B A C O E 192 178 162 116 80 132 185 198 181 129 155 178 图 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 0 50 100 150 200 用电量（千瓦时） 23.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 7 分） 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余 下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若 第 n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n 阶准菱形．如图 9， ABCD中，若 AB = 1，BC = 2，则 为 1 阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 ▲ 阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图 10，把 沿 BE 折叠（点 E 在 AD 上），使点 A 落在 BC 边上的点 F，得到四边形 ABFE． 求证：四边形 ABFE 是菱形； （2）操作、探究与计算： ①已知 的邻边长分别为 1，a( 1)a  ，且是 3 阶准菱形，请画出 及裁 剪线的示意图，并在图形下方写出 a 的值； ②已知 的邻边长分别为 a，b ()ab ，满足 6a b r， 5br ，请写出 是几阶准菱形． 24.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 2 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 6 分） 如图 11，经过点 A（0，-4）的抛物线 21 2y x bx c   与 x 轴相交于 B（-2，0）、C 两点， O 为坐标原点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线 向上平移 7 2 个单位长度， 再向左平移 m ( 0)m  个单位长度得到新抛物线， 若新抛物线的顶点 P 在△ABC 内，求 m 的取值范 围； （3）设点 M 在 y 轴上，∠OMB + ∠OAB = ∠ACB，求 AM 的长． C 图 11 O A B x y 图 9 A B C D 图 10 E F A B C D 25.（本题满分 14 分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 7 分） 如图 12，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上，⊙M 交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于 C、D 两点，且 C 为 AE 的中点，AE 交 y 轴于点 G，若点 A 的坐标为（-2，0）， AE = 8． （1）求点 C 的坐标； （2）联结 MG、BC，求证：MG∥BC； （3）如图 13，过点 D 作⊙M 的切线，交 x 轴于点 P．请你探究：动点 F 在⊙M 的圆周上运动 时， OF PF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律． 上海市 2013 届初三数学质量检测试卷 答案要点与评分标准 说明： 1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分 M G B C A O D x y E 图 12 M G B C A O D x y E 图 13 P 标准相应评分； 2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分； 3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数； 4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果 考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度 决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位． 一、选择题:(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分) 1. D； 2. C； 3. C； 4. B； 5. D； 6. B． 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 2 ； 8. ( 3)( 3)y x x； 9. x = 8； 10. 3 ； 11. 22aS ； 12. 4x  且 3, 1xx   ； 13. 2.5； 14. 13 44ab ； 15. 5 8 ； 16.（ 3 ， 3 ）； 17. 27 13 3 ； 18. 15 37 7 或 15 37 7 ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19. 解：原式 12 ( 2) 3 2 12       ……………………………………………………（4 分） 1 ( 2) (2 3)     …………………………………………………………（3 分） 33．……………………………………………………………………（3 分） 20. 解：原方程整理为： 2 2 12212xxxx    ； 令 2 2y x x，则原方程化为 2 12 0yy   ；………………………………（3 分） 解得： 3y  或 4y  ；…………………………………………………………（2 分） 2 23xx，解得： 121, 3xx   ；…………………………………………（2 分） 2 24xx   ， 12 0    ，此方程无解；……………………………………（2 分） ∴原方程的解是 121, 3xx   .…………………………………………………（1 分） 21. 解：（1）∵DE=76cm，∠CED = 60°， ∴sin 60 76 CD CD DE   ，…………………………………………………………（2 分） ∴ 38 3CD cm ．………………………………………………………………（1 分） 答：垂直支架 CD 的长度是38 3cm ；…………………………………………（1 分） （2）设水箱半径 OD 的长度为 x cm ，则 (38 3 )CO x cm， (150 )AO x cm ； ∵∠BAC = 30°，∴ 1 2CO AO ，………………………………………………（1 分） ∴ 138 3 (150 )2xx   ；………………………………………………………（2 分） 解得： 150 76 3 150 131.48 18.5x cm     ．………………………………（2 分） 答：水箱半径 OD 的长度是18.5cm ．…………………………………………（1 分） 22. 解：（1）①5；三；（2 分）②132 80 100% 65%80  ；……………………………（2 分） （2）设今年 5 月至 6 月用电量月增长率为1.5x ，则 6 月至 7 月用电量月增长率为 x ； 根据题意列方程得：120(1 )(1 1.5 ) 240xx   ，………………………………（2 分） 化简得： 23 5 2 0xx   ，解得： 12 1,23xx   （不合题意舍去）；……（2 分） ∴6 月份的用电量是 1120(1 1.5 ) 1803   千瓦时．……………………………（1 分） 答：预计小芳家今年 6 月份的用电量是 180 千瓦时．…………………………（1 分） 23. 解：（1）①2；…………………………………………………………………………（1 分） ②证明：由折叠知：∠ABE =∠FBE，AB = BF；……………………………（1 分） ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥BF； ∴∠AEB =∠FBE； ∴∠AEB =∠ABE； ∴AE = AB； ∴AE = BF；………………………………………………………………………（1 分） ∴四边形 ABFE 是平行四边形；…………………………………………………（1 分） 又∵AB = BF， ∴四边形 ABFE 是菱形；…………………………………………………………（1 分） （2）①如图所示： 4a  5 2a  4 3a  5 3a  ……………………………………………………………………………………（5 分） （注：本小题满分 5 分，答对一种给 2 分，以后每画对一个逐个加 1 分） ②∵ 6a b r， 5br ； ∴ 6 5 31a r r r    ； 如图所示： 故 ABCD是 10 阶准菱形．…………………………………………………（2 分） 24. 解：（1）将 A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线 21 2y x bx c   中，得：  2 04 1 2 2 02 c bc        ，解得 1 4 b c    ；………………………………………（1 分） ∴抛物线的解析式： 21 42y x x   ；………………………………………（1 分） （2）由题意，新抛物线的解析式可表示为： 217( ) ( ) 422y x m x m      ， 即： 221 1 1( 1)2 2 2y x m x m m      ，顶点的坐标为 P（1 - m，- 1）；…（1 分） 由（1）的抛物线解析式可得：A（0，-4）， 那么直线 : 2 4AB y x   ，直线 :4AC y x； 当点 P 在直线 AB 上时， 2(1 ) 4 1m     ，解得： 5 2m  ； 当点 P 在直线 AC 上时，(1 ) 4 1m    ，解得： 2m  ； ∴当点 P 在△ABC 内时， 52 2m   ；………………………………………（2 分） 又∵ 0m  ，∴m 的取值范围是 50 2m；…………………………………（1 分） （3）解法一：如图，取 OA 中点 H，联结 BH，则 OB = OH = 2，……………（1 分） ∴△BOH 是等腰直角三角形，∠BHO = 45°， 180 45 135AHB       ； ∵OA = OC = 4，∠AOC = 90°， ∴∠ACO = 45°； ∴ 45OMB OAB ACB       ， 180 45 135ABM       ； ∴ 135ABM AHB     ；……………（1 分） 又∵∠BAO =∠OAB， ∴△ABM∽△AHB，……………………（1 分） AM AB AB AH ；…………………………（1 分） ∴ 25 225 AM  ，得 AM = 10；…………（1 分） 由对称性知 M 关于原点的对称点 M  也符合题意， 此时 2AM   ；…………………………（1 分） 综上所述，AM 的长为 10 或 2． 解 法 二 ： 如 图 ， 过 点 A 作 AH⊥MB 的 延 长 线 ， 点 H 为 垂 足 ， 设 OM k ( 0)k  ；………………………（1 分） ∵AO = CO，∠AOC = 90°，∴∠ACO = 45°； ∴ ； ∴ 45ABH OMB OAB      ； C A B H M M´ O x y C B M O x y H ∵ 2 2 2 22 4 2 5AB OA OB     ， ∴ 2 5 sin 45 10AH BH     ；…（1 分） ∵∠OMB =∠HMA，∠BOM =∠AHM = 90°， ∴△BOM∽△AHM，…………………（1 分） BM AM BO AH ；………………………（1 分） ∴ 244 2 10 kk ，解得： 6k  或 2 3k  （舍去）； ∴此时 AM = OM + OA = 10；……………………………………………………（1 分） 由对称性知 M 关于原点的对称点 M  也符合题意，此时 2AM   ；………（1 分） 综上所述，AM 的长为 10 或 2． 25. 解：（1）∵直径 AB⊥CD； ∴ 1 2CO CD ， AD AC ； ∵C 为 AE 的中点，∴ AC CE ； ∴ AE CD ；……………………（1 分） ∴CD = AE；………………………（1 分） ∴ 1 42CO CD； ∴点 C 的坐标为（0，4）；……（1 分） （2）联结 CM 交 AE 于点 N，设半径 AM CM r，则 2OM r； 由 2 2 2OC OM MC得： 2 2 24 ( 2)rr   ，解得： 5r  ；………………（1 分） ∵∠AOC =∠ANM = 90°，∠EAM =∠MAE； ∴△AOG∽△ANM， OG AO MN AN ； ∵MN = OM = 3； 即 2 34 OG  ，得 3 2OG  ；………………………………………………………（1 分） ∴ 1.5 3 48 OG OC ， 3 8 OM OB  ，∴ OG OM OC OB ；………………………………（1 分） ∴MG∥BC；………………………………………………………………………（1 分） （3）如图，联结 DM，则 DM⊥PD，DO⊥PM； ∴△MOD∽△MDP， 2DM OM MP，……………………………………（1 分） △MOD∽△DOP， 2DO OM OP， 即 243OP ，得 16 3OP  ；……………………………………………………（1 分） 动点 F 在⊙M 的圆周上运动： （I）当点 F 与点 A 重合时： 23 16 523 OF AO PF AP    ；………………………（1 分） M G B C A O D x y E N （II）当点 F 与点 B 重合时： 83 16 583 OF OB PF PB    ；………………………（1 分） （III）当点 F 不与点 A、B 重合时：联结 OF、PF、FM ； ∵ 2DM OM MP DM FM     ，得 FM MP OM FM ；………………………………………（1 分） ∵∠PMF =∠FMP； ∴△MFO∽△MPF；…………………（1 分） ∴ 3 5 OF OM PF FM；…………………（1 分） 综上所述， OF PF 的比值不变，比值为 3 5 . M G B C A O D x y E P F