九年级数学上册 213 实际问题与一元二次方程教学 新版新人教版

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21.3 　实际问题与一元二次方程 知识点 知识点 列一元二次方程解应用题的一般步骤 与列一元一次方程解应用题的一般步骤类似 , 可以归纳为 : (1) 审 : 审题 , 要明确已知量和未知量及问题中的等量关系 ; (2) 设 : 设出未知数 , 有直接设法和间接设法两种 ; (3) 列 : 找出能表达应用题全部含义的一个相等关系 , 列出一元二次方程 ; (4) 解 : 求出所列方程的解 ; (5) 验 : 检验方程的解是否正确 , 是否符合实际意义 ; (6) 答 : 写出正确答案 . 知识点 名师解读 : 列一元二次方程解应用题就是建立一元二次方程模型解应用题 , 可以类比列一元一次方程解应用题的方法 , 注意体会其中的建模思想 . 列方程时 , 注意抓题目中的关键描述语 , 找到适合题目的数量关系和等量关系 , 这就需要熟练掌握常见的数量关系、面积公式、定理等 . 知识点 例 1 　 列方程解应用题 : 某种植物的主干长出若干数目的支干 , 每个支干又长出相同数目的小分支 , 主干、支干和小分支的总数是 91, 每个支干长出多少小分支 ? 分析 : 由题意设主干长出的支干的数目是 x , 每个支干又长出 x 个小分支 , 则共有 x 2 个小分支 , 则共有 x 2 +x+ 1 个分支 , 即可列方程求得 x 的值 . 解 : 设每个支干长出的小分支的数目是 x 个 , 根据题意列方程得 x 2 +x+ 1 = 91, 解得 x= 9 或 x=- 10( 不合题意 , 应舍去 ) . 所以 x= 9 . 答 : 每个支干长出 9 个小分支 . 知识点 解答这类问题 , 按照一般步骤进行 : 读懂题意 , 正确地写出主干、支干、小分支的数目 , 列出一元二次方程 , 注意所得方程的解要有实际意义才行 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 拓展点一 列一元二次方程解增长率问题 例 1 　 (2015 秋 · 南关区期中 ) 某图书馆 2013 年年底有图书 20 万册 , 预计 2015 年年底图书增加到 28 . 8 万册 . (1) 求该图书馆这两年图书册数的年平均增长率 . (2) 如果该图书馆 2016 年仍保持相同的年平均增长率 , 请你预测 2016 年年底图书馆存图书多少万册 . 分析 : (1) 经过两次增长 , 求年平均增长率的问题 , 应该明确原来的基数 , 增长后的结果 . 设这两年的年平均增长率为 x , 则经过两次增长以后图书馆有书 20(1 +x ) 2 万册 , 即可列方程求解 ; (2) 利用求得的百分率 , 进一步求得 2016 年年底图书馆存图书数量即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 解 : (1) 设年平均增长率为 x , 根据题意得 20(1 +x ) 2 = 28 . 8, 即 (1 +x ) 2 = 1 . 44, 解得 x 1 = 0 . 2, x 2 =- 2 . 2( 舍去 ) . 答 : 该图书馆这两年图书册数的年平均增长率为 20% . (2)28 . 8(1 + 0 . 2) = 34 . 56( 万册 ) . 答 : 预测 2016 年年底图书馆存图书 34 . 56 万册 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 解答此类题目关键是认真分析题意 , 用代数式表示出题目中相关的数量 , 掌握求平均变化率的方法 . 若设变化前的量为 a , 变化后的量为 b , 平均变化率为 x , 则经过两次变化后的数量关系为 a (1 ± x ) 2 =b ( 当增长时中间的 “ ± ” 号选 “ + ”, 当下降时中间的 “ ± ” 号选 “ - ”) . 另外所求出的增长率 ( 降低率 ) 须有实际意义 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 拓展点二 列一元二次方程解数字问题 例 2 　 已知 : 三个连续奇数 , 它们的平方和为 251, 求这三个奇数 . 分析 : 设出这三个奇数 , 根据它们的平方和为 251 列方程解答即可 . 解 : 设这三个奇数依次为 n- 2, n , n+ 2, 其中 n 为整数 , 则依题意列方程得 , ( n- 2) 2 +n 2 + ( n+ 2) 2 = 251,3 n 2 = 243, n 2 = 81, ∴ n= 9 或 n=- 9, 当 n= 9 时 , n- 2 = 7, n+ 2 = 11; 当 n=- 9 时 , n- 2 =- 11, n+ 2 =- 7 . 答 : 这三个连续奇数为 7,9,11 或 - 11, - 9, - 7 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 解答数字问题 , 一般采取间接设法 , 尤其是三个连续整数 , 通常设中间一个为 n , 其余两个用含 n 的代数式表示 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 拓展点三 列一元二次方程解图形面积问题 例 3 　 (2015 秋 · 江岸区期中 ) 如图 , 要设计一副宽 20 cm, 长 30 cm 的图案 , 其中有两横两竖的彩条 , 横、竖彩条的宽度比为 2 ∶ 3, 如果要使彩条所占面积是图案面积的 , 应如何设计彩条的宽度 ? 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 分析 : 设横彩条的宽度是 2 x cm, 竖彩条的宽度是 3 x cm, 根据设计的图案宽 20 cm, 长 30 cm, 其中有两横两竖的彩条 , 横、竖彩条的宽度比为 2 ∶ 3, 彩条所占面积是图案面积的 , 列出方程求解即可 . 解 : 设横彩条的宽度是 2 x cm, 竖彩条的宽度是 3 x cm, 则 (30 - 6 x )(20 - 4 x ) = × 20 × 30, 解得 x 1 = 1, x 2 = 9 . ∵ 4 × 9 = 36 > 20, ∴ x= 9 舍去 , ∴ 横彩条的宽度是 2 cm, 竖彩条的宽度是 3 cm . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 这类题目体现了数形结合的思想 , 需利用平移把不规则的图形变为规则图形 , 进而即可列出方程 , 求出答案 . 另外还要注意解的合理性 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 拓展点四 列一元二次方程解商品销售问题 例 4 　 (2015· 岳池县模拟 ) 某商场销售一批名牌衬衫 , 平均每天可售出 20 件 , 每件赢利 40 元 , 为了扩大销售 , 增加利润 , 尽量减少库存 , 商场决定采取适当的降价措施 . 经调查发现 , 如果每件衬衫每降价 1 元 , 商场平均每天可多售出 2 件 ; (1) 若商场平均每天要盈利 1 200 元 , 每件衬衫应降价多少元 ? (2) 每件衬衫降价多少元时 , 商场平均每天盈利最多 ? 分析 : 此题属于经营问题 , 若设每件衬衫应降价 x 元 , 则每件所得利润为 (40 -x ) 元 , 但每天多售出 2 x 件 , 即售出件数为 (20 + 2 x ) 件 , 因此每天赢利为 (40 -x )(20 + 2 x ) 元 , 进而可根据题意列出方程求解 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 解 : (1) 设每件衬衫应降价 x 元 , 根据题意得 (40 -x )(20 + 2 x ) = 1 200, 整理得 2 x 2 - 60 x+ 400 = 0, 解得 x 1 = 20, x 2 = 10 . 因为要尽量减少库存 , 在获利相同的条件下 , 降价越多 , 销售越快 , 故每件衬衫应降价 20 元 . 答 : 每件衬衫应降价 20 元 . (2) 设商场平均每天盈利 y 元 , 则 y= (20 + 2 x )(40 -x ) =- 2 x 2 + 60 x+ 800 =- 2( x 2 - 30 x- 400) =- 2[( x- 15) 2 - 625] =- 2( x- 15) 2 + 1 250 . ∴ 当 x= 15 时 , y 取最大值 , 最大值为 1 250 . 答 : 每件衬衫降价 15 元时 , 商场平均每天盈利最多 , 最大利润为 1 250 元 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 降低每件的售价 , 实际就是降低每件的利润 , 售价降低 , 销售量增加 . 减少库存 , 就是要增加销量 , 在保证盈利相同的情况下 , 降价越多 , 销售量增加地越多 , 就达到减少库存的目的 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 拓展点五 列一元二次方程解生活实际问题 例 5 　 某市某楼盘准备以每平方米 6 000 元的均价对外销售 , 由于国务院有关房地产的新政策出台后 , 购房者持币观望 , 为了加快资金周转 , 房地产开发商对价格进行两次下调后 , 决定以每平方米 4 860 元的均价开盘销售 . (1) 求平均每次下调的百分率 ; (2) 某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子 , 开发商给予以下两种优惠方案供其选择 : ① 打 9 . 8 折销售 ; ② 不打折 , 送两年物业管理费 . 物业管理费每平方米每月 1 . 5 元 , 请问哪种方案更优惠 ? 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 分析 : (1) 设平均每次下调的百分率为 x , 根据题意列出方程 , 求出方程的解得到 x 的值 , 即可得到结果 ; (2) 根据两种优惠方案计算出各自的费用 , 比较即可得到结果 . 解 : (1) 设平均每次下调的百分率为 x , 依题意 , 得 6 000(1 -x ) 2 = 4 860, 解得 x 1 = 0 . 1 = 10%, x 2 = 1 . 9( 不合题意 , 舍去 ), 答 : 平均每次下调的百分率为 10% . (2) 方案一可优惠 :4 860 × 100 × (1 - 98%) = 9 720( 元 ); 方案二可优惠 :100 × 1 . 5 × 12 × 2 = 3 600( 元 ), ∵ 9 720 > 3 600, ∴ 方案一更优惠 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四 拓展点五 解答有关 “ 优惠 ” 问题时 , 可以有两种方法 : 一是利用相同时间内所支出的总额进行比较 , 少者为 “ 优惠 ” ; 二是利用相同时间内节省的金额 , 节省的多者为 “ 优惠 ” .