2019九年级数学上册 专题突破讲练 拓展:15°角的三角函数值试题 (新版)青岛版

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2019九年级数学上册 专题突破讲练 拓展:15°角的三角函数值试题 (新版)青岛版

拓展:15角的三角函数值 ‎1. 三角函数 ‎ ‎ ‎2. 特殊角的三角函数值 ‎ 角度 ‎ 值 函数 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sin cos tan ‎1‎ ‎3. 角的三角函数值的求法 在Rt中,,,求角的三角函数值。‎ 解答:延长CA到D,使AD=AB,连接BD,设BC=a。‎ 在Rt中,,,‎ ‎。‎ 在中,AD=AB,,‎ 在Rt中,BC=a,DC=DA+AC=,‎ ‎=‎ 9‎ ‎=(1+)a=()a 根据互为余角的三角函数的关系:‎ ‎,‎ ‎。‎ 例题 如图,在Rt中,,,求角的三角函数值。‎ 解析:通过作的平分线AD,构造,然后通过Rt,利用三角函数的定义求角的三角函数值。‎ 答案:作的平分线AD,‎ ‎,。‎ 在Rt中,,。‎ 设BC=a,则AB=‎2a,AC=a。‎ 将沿AD翻折,交AB于点E,则 于是BE=AB-AE=(2-)a,∵∠B=60°,∠BED=90°,‎ ‎∴,得BD=2(2-)a,∴‎ ‎∴AD==‎ ‎∴sin15=。‎ 9‎ 点拨:通过辅助线构造出角,把这个角放到直角三角形中,然后推导边与边之间的关系是解决问题的关键。‎ ‎【方法总结】‎ 在30°、45°、60°角的三角函数值的基础上,要求15°或75°角的三角函数值,只需把15°或75°角放到直角三角形中,求出该三角形各边的长度即可。‎ 例题 如图,把含30°角的三角板ABC,绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置(如图所示),求sin∠ADE的值。‎ 解析:过点E作EF⊥AD,且交AD于点F;设BD=x,进而可得AB、BE、AD的值,利用边的关系可得AE的值;在Rt△AEF中,由三角函数的定义可得EF、AF的值;最后在Rt△DEF中,根据三角函数的定义可得sin∠ADE的值。‎ 答案:过点E作EF⊥AD,且交AD于点F;‎ 设BD=x,则AB=x,BE=x,AD=x;‎ DE=,‎ 在Rt△AEF中,AE=x-x=x;‎ 易得EF=•AE=x;‎ 则AF=EF=x,‎ 在Rt△DEF中,‎ 根据三角函数的定义可得:sin∠ADE==‎ 答:sin∠ADE的值为。‎ 9‎ 点拨:本题考查锐角三角函数的概念,关键是将∠ADE放到直角三角形中,用同一未知数表示出该角的对边和斜边。同理还能求出这个角的其它三角函数值。‎ ‎(答题时间:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 在正方形网格中,△ABC的位置如图,则sin∠ABC的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 如图,△ABC中,AB=BC=CA,则sin∠A的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点M、N分别为OB、OC的中点,则sin∠OMN的值为(  )‎ 9‎ A. B. ‎1 ‎ C. D. ‎ ‎4. 如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=,AC与BD相交于O,则tan∠AOB等于(  )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎5. 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=67.5°,AD=BD,则sin∠ADC=(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 把一块直尺与一块三角板如图放置,若sin∠1=,则∠2的度数为(  )‎ A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°‎ 二、填空题 ‎7. 如图:将三角板的直角顶点放置在直线AB的点O处,使斜边CD∥AB,则∠α的正弦值是  。‎ ‎8. 如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于  。‎ 9‎ ‎9. 图1是一张Rt△ABC纸片,如果用两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形(图2),那么在Rt△ABC中,sin∠B的值是  。‎ ‎10. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,BC=,AC=3,则BD=  。‎ ‎11. 因为sin30°=,sin210°=-,所以sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°,因为sin45°=,sin225°=-,所以sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°;由此猜想、推理知:一般地,当α为锐角时有sin(180°+α)=-sinα,由此可知:sin240°=  。‎ ‎12. 如图,ABCD,BEFC是两个全等的正方形,则tan(∠BAF+∠AFB)等于  。‎ 9‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1. C 解析:设小正方形的边长为1,则BC=4,∠B的对边长为4,‎ ‎∴sin∠B==。‎ ‎2. B 解析:∵AB=BC=CA,‎ ‎∴△ABC是等边三角形,‎ 故可得∠A=60°,sin∠A=。‎ 故选B。‎ ‎3. C 解析:在正方形ABCD中,‎ OB=OC,∠MON=90°,‎ 又∵点M、N分别为OB、OC的中点,‎ ‎∴ON=OM,‎ ‎∴∠OMN=45°,‎ ‎∴sin∠OMN=sin45°=。‎ 故选C。‎ ‎4. A 解析:因为ABCD是矩形,所以AO=BO,则∠OAB=∠OBA。‎ ‎∵AB=1,BC=,∴tan∠CAB=,‎ ‎∴∠CAB=60°,‎ ‎∴△AOB为等边三角形,‎ ‎∴tan∠AOB=tan60°=。‎ 故选A。‎ ‎5. B 解析:∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=67.5°,‎ ‎∴∠B=90°-∠BAC=90°-67.5°=22.5°,‎ ‎∵AD=BD,‎ ‎∴∠B=∠BAD=22.5°,‎ ‎∴∠ADC=∠B+∠BAD=22.5°+22.5°=45°,‎ ‎∴sin∠ADC=sin45°=。‎ 故选B。‎ ‎6. B 解析:∵sin∠1=,‎ ‎∴∠1=45°,‎ ‎∵直角△EFG中,∠3=90°-∠1=90°-45°=45°,‎ ‎∴∠4=180°-∠3=135°,‎ 又∵AB∥CD,‎ ‎∴∠2=∠4=135°。‎ 故选B。‎ 9‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎7. 解析:∵CD∥AB,‎ ‎∴∠AOC=∠OCD=30°,∠α=180°-30°-90°=60°,‎ ‎∴sinα=sin60°=‎ ‎8. 解析:连接AB,‎ 由画图可知:OA=OB,AO=AB ‎∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形,‎ ‎∴∠AOB=60°,‎ ‎∴cos∠AOB=cos60°=。‎ ‎9. 解析:∵两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形,‎ ‎∴∠B=60°,sin∠B=。‎ ‎10. 解析:∵tan∠A=‎ ‎∴∠A=30°‎ ‎∴∠BCD=30°‎ ‎∴BD=BC=。‎ ‎11. 解析:∵当α为锐角时有sin(180°+α)=-sinα,‎ 9‎ ‎∴sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-。‎ ‎12. 1 解析:∵∠FBE是△ABF的一个外角,‎ ‎∴∠BAF+∠AFB=∠FBE,‎ ‎∴tan(∠BAF+∠AFB)=tan∠FBE==1。‎ 9‎
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