2019年安徽中考数学试题（解析版）

2019年安徽中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年安徽省中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年安徽省中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4，合计40分． ‎ ‎{题目}1．（2019年安徽省1）在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）‎ ‎ A．－2 B．－1 C．0 D．1‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了有理数大小的比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，这四个数中－2，－1较小，又根据两个负数大小比较方法，由于，所以，所以这四个数中－2最小，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:有理数的大小比较}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年安徽省2）计算a3·(－a)的结果是（ ）‎ A．a2 B．－a2 C．a4 D．－a4‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了幂的运算性质，a3·(－a)＝－a3＋1＝－a4，因此本题选D．‎ ‎{分值}4 ‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年安徽省3）一个由圆柱体和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三视图的俯视图知识，该几何体的俯视图是选项C中的平面图形，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年安徽省4）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（ ）‎ A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学记数法，161亿＝16100000000＝1.61×1010，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年安徽省5）已知点A（1，－3）关于x轴的对称点A/在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）‎ A．3 B． C．－3 D．－‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了轴对称的点的坐标特征及反比例函数表达式的确定，点A（1，－3）关于x轴的对称点A/的坐标为（1，3），又A/（1，3）在反比例函数y＝的图象上，所以3＝，k＝3，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的解析式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6．（2019年安徽省6）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为 （ ）‎ A．60 B．50 C．40 D．15‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了条形统计图和众数的知识，由条形统计图可知，这组数据中出现次数最多的数据是40km/h，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．（2019年安徽省7）如图，在科Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB 于点G，若EF＝EG，则CD的长为（ ）‎ A．3.6 B．4 C．4.8 D．5‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，过点D作DM⊥BC交AB于点M，易证DC＝DM，设CD＝x，则DM＝x，又DM∥AC，所以△BDM∽△BCA，所以，即，解得x＝4，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年安徽省8）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（ ）‎ A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了增长率问题，根据题意，2019年全年国内生产总值为90.3×(1＋6.6%)≈96.3万亿，2020年全年国内生产总值为90.3×（1＋6.6%）2≈102.7万亿＞100万亿，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-2-1]整式}‎ ‎{考点:代数式求值}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年安徽省9）已知三个实数a，b，c满足a－2b＋c＝0，a＋2b＋c＜0，则 A．b>0，b2－ac≤0 B．b＜0，b2－ac≤0‎ C．b>0，b2－ac≥0 D．b＜0，b2－ac≥0‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了不等式的性质、整体思想和完全平方公式，由a－2b＋c＝0得2b＝a＋c，又a＋2b＋c＜0，所以4b＜0，b＜0，又b＝，所以b2－ac＝()2－ac＝‎ ‎≥0，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:不等式的性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}10．（2019年安徽省10）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是（ ）‎ A．0 B．4 C．6 D．8‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了正方形的性质、勾股定理、最值问题以及分类讨论等知识，由AC＝12，点E，F将对角线AC三等分，求得AE＝EF＝FC＝4，分四种情况：当点P在AB上时，作点F关于AB的轴对称点G，连接EG交AB于点P，此时PE＋PF的值最小，可求得最小值为4，而点P与点A重合时，PE＋PF＝4＋8＝12＞9，点P与点B重合时，PE＋PF＞12＞9，所以在AB上满足条件的点有2个；同理，在BC，CD，DA上满足条件的点P分别有2个，所以满足条件的点P一共有8个，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:勾股定理的应用}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分．‎ ‎{题目}11．（2019年安徽省11）计算的结果是 ‎ ‎{答案}3．‎ ‎{解析}本题考查了二次根式的运算，＝＝3，因此本题填3．‎ ‎{分值}5分 ‎{章节:[1-16-2]二次根式的乘除}‎ ‎{考点:二次根式的除法法则}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．（2019年安徽省12）命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为_____________________．‎ ‎{答案}如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0．‎ ‎{解析}本题考查了互逆命题，命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题是“如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0．”．‎ ‎{分值}5分 ‎{章节:[1-17-2]勾股定理的逆定理}‎ ‎{考点:互逆命题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019年安徽省13）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为 ‎ ‎{答案}．‎ ‎{解析}本题考查了圆周角性质和解直角三角形的知识，连接CO并延长交☉O于点E，连接AE，则∠E＝∠B＝45°，∵CE是☉O的直径，∴∠CAE＝90°，∵sin45°＝，∴AC＝4，∵∠CAB＝30°，CD⊥AB于点D，∴CD＝．‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14．（2019年安徽省14）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别于函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图像相交于P，Q两点．若平移直线，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ‎ ‎{答案}a＞1或a＜－1．‎ ‎{解析}本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，对于函数y＝x2－2ax的图象是抛物线，抛物线的开口向上，与x轴的交点坐标为（0，0）和（2a，0），由题意知a≠0，应分两种情况：（1）当a＞0时，若平移直线，使得P，Q都在x轴的下方，如图1，此时当x＝0时，y＝0－a＋1＜0，解得a＞1，故a＞1；（2）当a＜0时，若平移直线，使得P，Q都在x轴的下方，此时当x＝2a时，y＝2a－a＋1＜0，解得a＜－1，故a＜－1．综上可得a＞1或a＜－1．‎ ‎{分值}5分 ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:3-解答题}三、解答题：本大题共9小题，合计90分．‎ ‎{题目}15．（2019年安徽省15）解方程 ‎{解析}本题考查了一元二次方程的解法，根据平方根的意义求解即可．‎ ‎{答案}解：x－1＝，x－1＝2或x－1＝－2，∴x1＝3，x2＝－1． ‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-21-2-1] 配方法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:直接开平方法}‎ ‎{题目}16．（2019年安徽省16）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．‎ ‎（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．‎ ‎（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）‎ ‎{解析}本题考查了利用网格的平移作图，（1）先画出点A，B平移后的对应点，然后连接即可；（2）根据菱形的判定方法，将线段CD先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度即可（本题答案不唯一）．‎ ‎{答案}解： ‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:网格作图}‎ ‎{考点:平移作图}‎ ‎{考点:菱形的判定}‎ ‎{题目}17．（2019年安徽省17）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？‎ ‎{解析}本题考查了一元一次方程的实际应用，可设乙工程队每天掘进x米，根据题意列方程求得甲、乙工程队每天掘进的隧道长度，最后根据工程问题的数量关系求解．‎ ‎{答案}解：设乙工程队每天掘进x米，则甲工程队每天掘进（x＋2）米，根据题意得3（x＋2）＋x＝26，解得x＝5，所以x＋2＝7米．‎ 所以（146－26）÷（5＋7）＝10（天）‎ 答： 完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作10天．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-3-2-2]解一元一次方程（二）去括号与去分母}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（工程问题）}‎ ‎{题目}18．（2019年安徽省T18）观察以下等式:‎ 第1个等式:，‎ 第2个等式:，‎ 第3个等式:，‎ 第4个等式:，‎ 第5个等式:，‎ ‎……‎ 按照以上规律，解决下列问题：‎ ‎（1）写出第6个等式： ；‎ ‎（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．‎ ‎{解析}本题考查了数与式的规律探究，（1）观察给出的等式发现，等式左边是分数，分子都是2，分母依次是1，3，5，……，的连续奇数，等式右边是两个分数的和，每个分数的分子都是1，第1个分数的分母与等式的序号相同，第2个分数的分母是第1个分母与等式左边分数的分母的积，据此写出第6个等式；（2）根据（1）的规律写出第n个等式，并根据分式的运算法则进行证明．‎ ‎{答案}解：（1）；‎ ‎（2）．‎ 证明：因为等式右边＝ ＝＝等式左边，所以猜想成立．‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-15-1]分式}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{考点:规律－数字变化类}‎ ‎{题目}19．（2019年安徽省19）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41．3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．‎ ‎（参考数据：sin41．3°≈0．66，cos41．3°≈0．75，tan41．3°≈0．88）‎ ‎{解析}本题以传统文化为背景考查了垂径定理和解直角三角形的知识，连接CO并延长交AB于D，先根据垂径定理求得AD，再在Rt△AOD中求得OD，OA即可．‎ ‎{答案}解：连接CO并延长交AB于D， ∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3，∵cos41．3°＝，∴OA≈＝4，∵tan41．3°＝，∴OD＝3，∴CD＝OC＋OD≈4＋2．64＝6．64（米）．‎ 即点C到弦AB所在直线的距离约为6．64米．‎ ‎{分值}10分 ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:数学文化}‎ ‎{考点:垂径定理的应用}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{题目}20．（2019年安徽省20）如图，点E在£ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△ADF；‎ ‎（2）设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值 ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及四边形面积的计算等．（1）由平行四边形得到对边平行且相等，再根据已知条件证得角相等进而证得结论；（2）把四边形的面积转化为三角形的面积的和求得T，并与S向比较即可．‎ ‎{答案}解：（1）∵£ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥BE，DF∥CE，∴∠EBC＝∠FAD，∠ECB＝∠FDA，∴ △BCE≌△ADF；‎ ‎（2）过点E作EM⊥BC于M，交AD于N，则MN⊥AD．由（1）△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴T＝S△ADE＋S△ADF＝S△ADE＝S△BCE＝，∵S＝，∴＝＝2．‎ ‎{分值}10分 ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA，AAS}‎ ‎{题目}21．（2019年安徽省21）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：‎ 按照生产标准，产品等次规定如下：‎ 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）仅算在内．‎ ‎（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由 ‎（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．‎ ‎（Ⅰ）求a的值 ‎（Ⅱ）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．‎ ‎{解析}本题是统计与概率的综合题，考查了频率、中位数和等可能情况下概率的计算等知识．（1）先根据合格率求出合格品的个数，再进行判断；（2）（Ⅰ）先确定优等品产品的编号，再根据中位数概念求a的值；（Ⅱ）先找到优等品中尺寸大于9cm的编号和尺寸不大于9cm的编号，用树状图或列表法分析求概率．‎ ‎{答案}解：（1）编号为⑮的产品不是合格品．理由：合格品有15×80%＝12个，表中编号①②产品为非合格品，所以编号为⑮的产品不是合格品；‎ ‎（2）（Ⅰ） 这批产品中优等品的编号为⑥⑦⑧⑨⑩，其中位数是编号⑧⑨的平均数，即9，a＝9.02；（Ⅱ）大于9cm的有⑨⑩，小于9 cm的有⑥⑦⑧，其中特等品的为⑦⑧⑨⑩．‎ 画树状图为：‎ 共有9种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种，‎ ‎∴抽到两种产品都是特等品的概率．‎ ‎{分值}12分 ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:频数与频率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{题目}22．（2019年安徽省22）一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 ‎（1）求k，a，c的值；‎ ‎（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．‎ ‎{解析}本题考查了一次函数与二次函数表达式的确定、二次函数最值的确定等．（1）把点（1，2）代入y＝kx＋4确定k的值，根据二次函数y＝ax2＋c的图像经过点（1，2）和顶点（0，c）在直线y＝－2x＋4上建立关于a，c的方程组求解；（2）先用含m的代数式表示点B，C之间的距离，再根据条件建立W关于x的二次函数关系并用配方法求W的最小值．‎ ‎{答案}解：（1）由题意得，k＋4＝－2，解得k＝－2，又二次函数顶点为（0，c），根据题意得，解得a＝－2，c＝4；‎ （2） 由（1）得二次函数解析式为y＝－2x2＋4，令y＝m，得2x2＋m－4＝0‎ ‎∴，即B，C两点的坐标分别为（，m）（－，m），则2，‎ ‎∴W＝OA2＋BC2＝，又抛物线开口向上，且0＜m＜4，‎ ‎∴当m＝1时，W取得最小值7．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{题目}23．（2019年安徽省23如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°‎ ‎（1）求证：△PAB∽△PBC；‎ ‎（2）求证：PA＝2PC；‎ ‎（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2·h3．‎ ‎{解析}本题以等腰直角三角形为背景考查了相似三角形的判定与性质，以及运用相似三角形的性质解决数学问题．（1）通过证两个角对应相等得到相似三角形；（2）由（1）中的相似三角形得到对应边成比例，分别建立PA，CP与PB之间的关系得证；（3）分别作点P到AC，BC之间的距离，通过证Rt△AEP∽Rt△CDP得到h3与h2之间的关系，由（1）的结论得到h1与h2的关系，通过变形得出结论．‎ ‎{答案}解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC，‎ 又∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°，∴∠PBC＝∠PAB，‎ 又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴，由（1）得△PAB∽△PBC ∴＝，‎ ‎∴PB＝PC，PA＝PB， ∴PA＝2PC；‎ ‎（3）过点P分别作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为点D，E．‎ ‎∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°‎ ‎∴∠APC＝90°，∴∠EAP＋∠ACP＝90°，‎ 又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°‎ ‎∴∠EAP＝∠DCP，‎ ‎∴Rt△AEP∽Rt△CDP，‎ ‎∴，即，∴‎ 由（1）得△PAB∽△PBC，‎ ‎∴，‎ 即． ‎ ‎{分值}14‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:几何综合}‎