2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

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2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

‎2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,共计30分)‎ ‎1.(3.00分)﹣的绝对值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(3.00分)下列运算一定正确的是(  )‎ A.(m+n)2=m2+n2 B.(mn)3=m3n3 C.(m3)2=m5 D.m•m2=m2‎ ‎3.(3.00分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3.00分)六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(3.00分)如图,点P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为(  )‎ A.3 B.3 C.6 D.9‎ ‎6.(3.00分)将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为(  )‎ A.y=﹣5(x+1)2﹣1 B.y=﹣5(x﹣1)2﹣1 C.y=﹣5(x+1)2+‎ ‎3 D.y=﹣5(x﹣1)2+3‎ ‎7.(3.00分)方程=的解为(  )‎ A.x=﹣1 B.x=0 C.x= D.x=1‎ ‎8.(3.00分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=,则线段AB的长为(  )‎ A. B.2 C.5 D.10‎ ‎9.(3.00分)已知反比例函数y=的图象经过点(1,1),则k的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎10.(3.00分)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.= B.= C.= D.=‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共计30分)‎ ‎11.(3.00分)将数920000000科学记数法表示为   .‎ ‎12.(3.00分)函数y=中,自变量x的取值范围是   .‎ ‎13.(3.00分)把多项式x3﹣25x分解因式的结果是   ‎ ‎14.(3.00分)不等式组的解集为   .‎ ‎15.(3.00分)计算6﹣10的结果是   .‎ ‎16.(3.00分)抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为   .‎ ‎17.(3.00分)一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,张兵同学掷一次骰子,骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是   .‎ ‎18.(3.00分)一个扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,则此扇形的面积是   cm2.‎ ‎19.(3.00分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为   .‎ ‎20.(3.00分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=OB,点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(其中21-22题各7分,23-24题各8分,25-27题各10分,共计60分)‎ ‎21.(7.00分)先化简,再求代数式(1﹣)÷的值,其中a=4cos30°+3tan45°.‎ ‎22.(7.00分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.‎ ‎(1)在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形),且点C和点D均在小正方形的顶点上;‎ ‎(2)在图中画出以线段AB为一腰,底边长为2的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,连接CE,请直接写出线段CE的长.‎ ‎23.(8.00分)为使中华传统文化教育更具有实效性,军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动,围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:‎ ‎(1)本次调查共抽取了多少名学生?‎ ‎(2)通过计算补全条形统计图;‎ ‎(3)若军宁中学共有960名学生,请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名?‎ ‎24.(8.00分)已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点C,∠BGE=∠ADE.‎ ‎(1)如图1,求证:AD=CD;‎ ‎(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.‎ ‎25.(10.00分)春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材,计划购买A型、B型两种型号的放大镜.若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元.‎ ‎(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元;‎ ‎(2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个,总费用不超过1180元,那么最多可以购买多少个A型放大镜?‎ ‎26.(10.00分)已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆,点E在上,连接BE、DE,点F在上连接BF、DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA平分∠EDF.‎ ‎(1)如图1,求证:∠CBE=∠DHG;‎ ‎(2)如图2,在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合),连接BN交DE于点L,过点H作HK∥BN交DE于点K,过点E作EP⊥BN,垂足为点P,当BP=HF时,求证:BE=HK;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,当3HF=2DF时,延长EP交⊙O于点R,连接BR,若△BER的面积与△DHK的面积的差为,求线段BR的长.‎ ‎27.(10.00分)已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形.‎ ‎(1)如图1,求点A的坐标;‎ ‎(2)如图2,连接AC,点P为△ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且∠APB=60°,点E在线段AP上,点F在线段BP上,且BF=AE,连接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF2+EF2的值;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,当PE=AE时,求点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,共计30分)‎ ‎1.(3.00分)﹣的绝对值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解,第一步列出绝对值的表达式,第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.‎ ‎【解答】解:||=,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(3.00分)下列运算一定正确的是(  )‎ A.(m+n)2=m2+n2 B.(mn)3=m3n3 C.(m3)2=m5 D.m•m2=m2‎ ‎【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案.‎ ‎【解答】解:A、(m+n)2=m2+2mn+n2,故此选项错误;‎ B、(mn)3=m3n3,正确;‎ C、(m3)2=m6,故此选项错误;‎ D、m•m2=m3,故此选项错误;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(3.00分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】观察四个选项中的图形,找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论.‎ ‎【解答】解:A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形,此选项不符合题意;‎ B、此图形不是轴对称图形,是中心对称图形,此选项不符合题意;‎ C、此图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,此选项符合题意;‎ D、此图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,此选项不符合题意;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(3.00分)六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】俯视图有3列,从左到右正方形个数分别是2,1,2.‎ ‎【解答】解:俯视图从左到右分别是2,1,2个正方形.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(3.00分)如图,点P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为(  )‎ A.3 B.3 C.6 D.9‎ ‎【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,进而利用直角三角形的性质得出OP的长.‎ ‎【解答】解:连接OA,‎ ‎∵PA为⊙O的切线,‎ ‎∴∠OAP=90°,‎ ‎∵∠P=30°,OB=3,‎ ‎∴AO=3,则OP=6,‎ 故BP=6﹣3=3.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(3.00分)将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为(  )‎ A.y=﹣5(x+1)2﹣1 B.y=﹣5(x﹣1)2﹣1 C.y=﹣5(x+1)2+3 D.y=﹣5(x﹣1)2+3‎ ‎【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案.‎ ‎【解答】解:将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,得到y=﹣5(x+1)2+1,再向下平移2个单位长度,‎ 所得到的抛物线为:y=﹣5(x+1)2﹣1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(3.00分)方程=的解为(  )‎ A.x=﹣1 B.x=0 C.x= D.x=1‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:x+3=4x,‎ 解得:x=1,‎ 经检验x=1是分式方程的解,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(3.00分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=,则线段AB的长为(  )‎ A. B.2 C.5 D.10‎ ‎【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ ‎∵BD=8,‎ ‎∴OB=4,‎ ‎∵tan∠ABD==,‎ ‎∴AO=3,‎ 在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB===5,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(3.00分)已知反比例函数y=的图象经过点(1,1),则k的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程,求出方程的解即可.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(1,1),‎ ‎∴代入得:2k﹣3=1×1,‎ 解得:k=2,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(3.00分)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.= B.= C.= D.=‎ ‎【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解.‎ ‎【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,‎ ‎∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,‎ ‎∴=,=,‎ ‎∴==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共计30分)‎ ‎11.(3.00分)将数920000000科学记数法表示为 9.2×108 .‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:920000000用科学记数法表示为9.2×108,‎ 故答案为;9.2×108‎ ‎ ‎ ‎12.(3.00分)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠4 .‎ ‎【分析】根据分式分母不为0列出不等式,解不等式即可.‎ ‎【解答】解:由题意得,x﹣4≠0,‎ 解得,x≠4,‎ 故答案为:x≠4.‎ ‎ ‎ ‎13.(3.00分)把多项式x3﹣25x分解因式的结果是 x(x+5)(x﹣5) ‎ ‎【分析】首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可.‎ ‎【解答】解:x3﹣25x ‎=x(x2﹣25)‎ ‎=x(x+5)(x﹣5).‎ 故答案为:x(x+5)(x﹣5).‎ ‎ ‎ ‎14.(3.00分)不等式组的解集为 3≤x<4 .‎ ‎【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵解不等式①得:x≥3,‎ 解不等式②得:x<4,‎ ‎∴不等式组的解集为3≤x<4,‎ 故答案为;3≤x<4.‎ ‎ ‎ ‎15.(3.00分)计算6﹣10的结果是 4 .‎ ‎【分析】首先化简,然后再合并同类二次根式即可.‎ ‎【解答】解:原式=6﹣10×=6﹣2=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(3.00分)抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为 (﹣2,4) .‎ ‎【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标.‎ ‎【解答】解:∵y=2(x+2)2+4,‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标是(﹣2,4),‎ 故答案为:(﹣2,4).‎ ‎ ‎ ‎17.(3.00分)一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,张兵同学掷一次骰子,骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是  .‎ ‎【分析】共有6种等可能的结果数,其中点数是3的倍数有3和6,从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率.‎ ‎【解答】解:掷一次骰子,向上的一面出现的点数是3的倍数的有3,6,‎ 故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是:=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎18.(3.00分)一个扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,则此扇形的面积是 6π cm2.‎ ‎【分析】先求出扇形对应的圆的半径,再根据扇形的面积公式求出面积即可.‎ ‎【解答】解:设扇形的半径为Rcm,‎ ‎∵扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,‎ ‎∴=3π,‎ 解得:R=4,‎ 所以此扇形的面积为=6π(cm2),‎ 故答案为:6π.‎ ‎ ‎ ‎19.(3.00分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为 130°或90° .‎ ‎【分析】根据题意可以求得∠B和∠‎ C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,‎ ‎∴∠B=∠C=40°,‎ ‎∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,‎ ‎∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°,‎ ‎∴∠ADC=130°,‎ 当∠ADB=90°时,则 ‎∠ADC=90°,‎ 故答案为:130°或90°.‎ ‎ ‎ ‎20.(3.00分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=OB,点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为 4 .‎ ‎【分析】设EF=x,根据三角形的中位线定理表示AD=2x,AD∥EF,可得∠CAD=∠CEF=45°,证明△EMC是等腰直角三角形,则∠CEM=45°,证明△ENF≌△MNB,则EN=MN=x,BN=FN=,最后利用勾股定理计算x的值,可得BC的长.‎ ‎【解答】解:设EF=x,‎ ‎∵点E、点F分别是OA、OD的中点,‎ ‎∴EF是△OAD的中位线,‎ ‎∴AD=2x,AD∥EF,‎ ‎∴∠CAD=∠CEF=45°,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,AD=BC=2x,‎ ‎∴∠ACB=∠CAD=45°,‎ ‎∵EM⊥BC,‎ ‎∴∠EMC=90°,‎ ‎∴△EMC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CEM=45°,‎ 连接BE,‎ ‎∵AB=OB,AE=OE ‎∴BE⊥AO ‎∴∠BEM=45°,‎ ‎∴BM=EM=MC=x,‎ ‎∴BM=FE,‎ 易得△ENF≌△MNB,‎ ‎∴EN=MN=x,BN=FN=,‎ Rt△BNM中,由勾股定理得:BN2=BM2+MN2,‎ ‎∴,‎ x=2或﹣2(舍),‎ ‎∴BC=2x=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 三、解答题(其中21-22题各7分,23-24题各8分,25-27题各10分,共计60分)‎ ‎21.(7.00分)先化简,再求代数式(1﹣)÷的值,其中a=4cos30°+3tan45°.‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,‎ ‎【解答】解:当a=4cos30°+3tan45°时,‎ 所以a=2+3‎ 原式=•‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎22.(7.00分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.‎ ‎(1)在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形),且点C和点D均在小正方形的顶点上;‎ ‎(2)在图中画出以线段AB为一腰,底边长为2的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,连接CE,请直接写出线段CE的长.‎ ‎【分析】(1)利用数形结合的思想解决问题即可;‎ ‎(2)利用数形结合的思想解决问题即可;‎ ‎【解答】解:(1)如图所示,矩形ABCD即为所求;‎ ‎(2)如图△ABE即为所求,CE=4.‎ ‎ ‎ ‎23.(8.00分)为使中华传统文化教育更具有实效性,军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动,围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:‎ ‎(1)本次调查共抽取了多少名学生?‎ ‎(2)通过计算补全条形统计图;‎ ‎(3)若军宁中学共有960名学生,请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名?‎ ‎【分析】(1)由“诗词”的人数及其所占百分比可得总人数;‎ ‎(2)总人数减去其他种类的人数求得“书法”的人数即可补全条形图;‎ ‎(3)用总人数乘以样本中“国画”人数所占比例.‎ ‎【解答】解:(1)本次调查的学生总人数为24÷20%=120人;‎ ‎(2)“书法”类人数为120﹣(24+40+16+8)=32人,‎ 补全图形如下:‎ ‎(3)估计该中学最喜爱国画的学生有960×=320人.‎ ‎ ‎ ‎24.(8.00分)已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥‎ BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点C,∠BGE=∠ADE.‎ ‎(1)如图1,求证:AD=CD;‎ ‎(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.‎ ‎【分析】(1)由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得;‎ ‎(2)设DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知S△ADC=2a2=2S△ADE,证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a,再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,‎ ‎∴∠ADE=∠CGF,‎ ‎∵AC⊥BD、BF⊥CD,‎ ‎∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,‎ ‎∴∠DAE=∠GCF,‎ ‎∴AD=CD;‎ ‎(2)设DE=a,‎ 则AE=2DE=2a,EG=DE=a,‎ ‎∴S△ADE=AE•DE=•2a•a=a2,‎ ‎∵BH是△ABE的中线,‎ ‎∴AH=HE=a,‎ ‎∵AD=CD、AC⊥BD,‎ ‎∴CE=AE=2a,‎ 则S△ADC=AC•DE=•(2a+2a)•a=2a2=2S△ADE;‎ 在△ADE和△BGE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ADE≌△BGE(ASA),‎ ‎∴BE=AE=2a,‎ ‎∴S△ABE=AE•BE=•(2a)•2a=2a2,‎ S△ACE=CE•BE=•(2a)•2a=2a2,‎ S△BHG=HG•BE=•(a+a)•2a=2a2,‎ 综上,面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.‎ ‎ ‎ ‎25.(10.00分)春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材,计划购买A型、B型两种型号的放大镜.若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元.‎ ‎(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元;‎ ‎(2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个,总费用不超过1180元,那么最多可以购买多少个A型放大镜?‎ ‎【分析】(1)设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元,y元,列出方程组即可解决问题;‎ ‎(2)由题意列出不等式求出即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元,y元,可得:,‎ 解得:,‎ 答:每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元,12元;‎ ‎(2)设购买A型放大镜m个,根据题意可得:20a+12×(75﹣a)≤1180,‎ 解得:x≤35,‎ 答:最多可以购买35个A型放大镜.‎ ‎ ‎ ‎26.(10.00分)已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆,点E在上,连接BE、DE,点F在上连接BF、DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA平分∠EDF.‎ ‎(1)如图1,求证:∠CBE=∠DHG;‎ ‎(2)如图2,在线段AH上取一点N(点N不与点A、点H重合),连接BN交DE于点L,过点H作HK∥BN交DE于点K,过点E作EP⊥BN,垂足为点P,当BP=HF时,求证:BE=HK;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,当3HF=2DF时,延长EP交⊙O于点R,连接BR,若△BER的面积与△DHK的面积的差为,求线段BR的长.‎ ‎【分析】(1)由正方形的四个角都为直角,得到两个角为直角,再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义,等量代换即可得证;‎ ‎(2)如图2,过H作HM⊥KD,垂足为点M,根据题意确定出△BEP≌△HKM,利用全等三角形对应边相等即可得证;‎ ‎(3)根据3HF=2DF,设出HF=2a,DF=3a,由角平分线定义得到一对角相等,进而得到正切值相等,表示出DM=3a,利用正方形的性质得到△BED≌△DFB,得到BE=DF=3a,过H作HS⊥BD,垂足为S,根据△BER的面积与△DHK的面积的差为,求出a的值,即可确定出BR的长.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠A=∠ABC=90°,‎ ‎∵∠F=∠A=90°,‎ ‎∴∠F=∠ABC,‎ ‎∵DA平分∠EDF,‎ ‎∴∠ADE=∠ADF,‎ ‎∵∠ABE=∠ADE,‎ ‎∴∠ABE=∠ADF,‎ ‎∵∠CBE=∠ABC+∠ABE,∠DHG=∠F+∠ADF,‎ ‎∴∠CBE=∠DHG;‎ ‎(2)如图2,过H作HM⊥KD,垂足为点M,‎ ‎∵∠F=90°,‎ ‎∴HF⊥FD,‎ ‎∵DA平分∠EDF,‎ ‎∴HM=FH,‎ ‎∵FH=BP,‎ ‎∴HN=BP,‎ ‎∵KH∥BN,‎ ‎∴∠DKH=∠DLN,‎ ‎∴∠ELP=∠DLN,‎ ‎∴∠DKH=∠ELP,‎ ‎∵∠BED=∠A=90°,‎ ‎∴∠BEP+∠LEP=90°,‎ ‎∵EP⊥BN,‎ ‎∴∠BPE=∠EPL=90°,‎ ‎∴∠LEP+∠ELP=90°,‎ ‎∴∠BEP=∠ELP=∠DKH,‎ ‎∵HM⊥KD,‎ ‎∴∠KMH=∠BPE=90°,‎ ‎∴△BEP≌△HKM,‎ ‎∴BE=HK;‎ ‎(3)解:如图3,连接BD,‎ ‎∵3HF=2DF,BP=FH,‎ ‎∴设HF=2a,DF=3a,‎ ‎∴BP=FH=2a,‎ 由(2)得:HM=BP,∠HMD=90°,‎ ‎∵∠F=∠A=90°,‎ ‎∴tan∠HDM=tan∠FDH,‎ ‎∴==,‎ ‎∴DM=3a,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°,‎ ‎∵∠ABF=∠ADF=∠ADE,∠DBF=45°﹣∠ABF,∠BDE=45°﹣∠ADE,‎ ‎∴∠DBF=∠BDE,‎ ‎∵∠BED=∠F,BD=BD,‎ ‎∴△BED≌△DFB,‎ ‎∴BE=FD=3a,‎ 过H作HS⊥BD,垂足为S,‎ ‎∵tan∠ABH=tan∠ADE==,‎ ‎∴设AB=3m,AH=2m,‎ ‎∴BD=AB=6m,DH=AD﹣AH=m,‎ ‎∵sin∠ADB==,‎ ‎∴HS=m,‎ ‎∴DS==m,‎ ‎∴BS=BD﹣DS=5m,‎ ‎∴tan∠BDE=tan∠DBF==,‎ ‎∵∠BDE=∠BRE,∴tanBRE==,‎ ‎∵BP=FH=2a,‎ ‎∴RP=10a,‎ 在ER上截取ET=DK,连接BT,由(2)得:∠BEP=∠HKD,‎ ‎∴△BET≌△HKD,‎ ‎∴∠BTE=∠KDH,‎ ‎∴tan∠BTE=tan∠KDH,‎ ‎∴=,即PT=3a,‎ ‎∴TR=RP﹣PT=7a,‎ ‎∵S△BER﹣S△DHK=,‎ ‎∴BP•ER﹣HM•DK=,‎ ‎∴BP•(ER﹣DK)=BP•(ER﹣ET)=,‎ ‎∴×2a×7a=,‎ 解得:a=(负值舍去),‎ ‎∴BP=1,PR=5,‎ 则BR==.‎ ‎ ‎ ‎27.(10.00分)已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形.‎ ‎(1)如图1,求点A的坐标;‎ ‎(2)如图2,连接AC,点P为△‎ ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且∠APB=60°,点E在线段AP上,点F在线段BP上,且BF=AE,连接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF2+EF2的值;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,当PE=AE时,求点P的坐标.‎ ‎【分析】(1)利用勾股定理求出BC的长即可解决问题;‎ ‎(2)如图2中,连接CE、CF.想办法证明△CEF是等边三角形,AF⊥CF即可解决问题;‎ ‎(3)如图3中,延长CE交FA的延长线于H,作PQ⊥AB于Q,PK⊥OC于K,在BP设截取BT=PA,连接AT、CT、CF、PC.想办法证明△APF是等边三角形,AT⊥PB即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ ‎∵y=﹣x+,‎ ‎∴B(,0),C(0,),‎ ‎∴BO=,OC=,‎ 在Rt△OBC中,BC==7,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=7,‎ ‎∴OA=AB﹣OB=7﹣=,‎ ‎∴A(﹣,0).‎ ‎(2)如图2中,连接CE、CF.‎ ‎∵OA=OB,CO⊥AB,‎ ‎∴AC=BC=7,‎ ‎∴AB=BC=AC,‎ ‎∴△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠ACB=60°,‎ ‎∵∠APB=60°,‎ ‎∴∠APB=∠ACB,‎ ‎∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB,‎ ‎∴∠PAG=∠CBG,∵AE=BF,‎ ‎∴△ACE≌△BCF,‎ ‎∴CE=CF,∠ACE=∠BCF,‎ ‎∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°,‎ ‎∴△CEF是等边三角形,‎ ‎∴∠CFE=60°,EF=FC,‎ ‎∵∠AFE=30°,‎ ‎∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°,‎ 在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2=49,‎ ‎∴AF2+EF2=49.‎ ‎(3)如图3中,延长CE交FA的延长线于H,作PQ⊥AB于Q,PK⊥OC于K,在BP设截取BT=PA,连接AT、CT、CF、PC.‎ ‎∵△CEF是等边三角形,‎ ‎∴∠CEF=60°,EC=CF,‎ ‎∵∠AFE=30°,∠CEF=∠H+∠EFH,‎ ‎∴∠H=∠CEF﹣∠EFH=30°,‎ ‎∴∠H=∠EFH,‎ ‎∴EH=EF,‎ ‎∴EC=EH,‎ ‎∵PE=AE,∠PEC=∠AEH,‎ ‎∴△CPE≌△HAE,‎ ‎∴∠PCE=∠H,‎ ‎∴PC∥FH,‎ ‎∵∠CAP=∠CBT,AC=BC,‎ ‎∴△ACP≌△BCT,‎ ‎∴CP=CT,∠ACP=∠BCT,‎ ‎∴∠PCT=∠ACB=60°,‎ ‎∴△CPT是等边三角形,‎ ‎∴CT=PT,∠CPT=∠CTP=60°,‎ ‎∵CP∥FH,‎ ‎∴∠HFP=∠CPT=60°,‎ ‎∵∠APB=60°,‎ ‎∴△APF是等边三角形,‎ ‎∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°,‎ ‎∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°,‎ ‎∴∠TCF=∠TFC,‎ ‎∴TF=TC=TP,‎ ‎∴AT⊥PF,设 BF=m,则AE=PE=m,‎ ‎∴PF=AP=2m,TF=TP=m,TB=2m,BP=3m,‎ 在Rt△APT中,AT==m,‎ 在Rt△ABT中,∵AT2+TB2=AB2,‎ ‎∴(m)2+(2m)2=72,‎ 解得m=或﹣(舍弃),‎ ‎∴BF=,AT=,BP=3,sin∠ABT==,‎ ‎∵OK=PQ=BP•sin∠PBQ=3×=3,BQ==6,‎ ‎∴OQ=BQ﹣BO=6﹣=,‎ ‎∴P(﹣,3)‎ ‎ ‎
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