2010年四川省乐山市中考数学试卷(全解全析)

2010年四川省乐山市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•乐山）计算（﹣2）×3的结果是（　　）‎ ‎ A、﹣6 B、6‎ ‎ C、﹣5 D、5‎ 考点：有理数的乘法。‎ 分析：根据异号两数相乘的乘法运算法则解答．‎ 解答：解：（﹣2）×3=﹣6．‎ 故选A．‎ 点评：主要考查有理数的乘法运算法则，需要熟练掌握并灵活运用．‎ ‎2、（2010•乐山）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．‎ 解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，符合题意；‎ C、不是轴对称图形，不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，不符合题意．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎3、（2010•乐山）函数y=‎‎1‎‎2﹣x中，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x＞2 B、x≠2‎ ‎ C、x＜2 D、x≠0‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．‎ 解答：解：根据题意，得2﹣x＞0，‎ 解得x＜2，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．注 意当单独的二次根式在分母时，被开方数应大于0．‎ ‎4、（2010•乐山）下列不等式变形正确的是（　　）‎ ‎ A、由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b ‎ C、由a＞b，得|a|＞|b| D、由a＞b，得a2＞b2‎ 考点：不等式的性质。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据不等式的性质判断即可．要注意选项C中a，b的正负性．‎ 解答：解：A、由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故选项错误；‎ B、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b，故选项正确；‎ C、a＞b＞0时，才有|a|＞|b|，0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故选项错误；‎ D、1＞a＞b＞0时，a2＜b2，故选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：‎ ‎（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．‎ ‎（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．‎ ‎（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．‎ ‎5、（2010•乐山）某厂生产上第世博会吉祥物：“海宝”纪念章10万个，质检部门为检测这批纪念章质量的合格情况，从中随机抽查500个，合格499个．下列说法正确的是（　　）‎ ‎ A、总体是10万个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况 B、总体是10万个纪念章的合格情况，样本是499个纪念章的合格情况 ‎ C、总体是500个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况 D、总体是10万个纪念章的合格情况，样本是1个纪念章的合格情况 考点：总体、个体、样本、样本容量。‎ 分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．‎ 解答：解：总体是10万个纪念章的合格情况，样本是500个纪念章的合格情况，故选A．‎ 点评：解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．‎ ‎6、（2010•乐山）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（　　）‎ ‎ A、6米 B、7米 ‎ C、8.5米 D、9米 考点：相似三角形的应用。‎ 分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．‎ 解答：解：∵标杆的高标杆的影长=‎旗杆的高旗杆的影长 即‎1.5‎‎1‎=AC‎6‎，‎ ‎∴AC=6×1.5=9米．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．‎ ‎7、（2010•乐山）如图所示，是一个几何体的三视图，已知正视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的全面积为（　　）‎ ‎ A、2л B、3л ‎ C、‎2‎‎3‎л D、（1+‎2‎‎3‎）л 考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体。‎ 分析：易得此几何体为圆锥，那么全面积为：底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长．‎ 解答：解：此几何体为圆锥，底面直径为2，母线长为2，那么底面半径为1，‎ ‎∴圆锥的全面积=π×12+π×1×2=3π，故选B．‎ 点评：主要考查了圆锥的全面积的公式；解决本题的关键是得到圆锥的底面直径与母线长．‎ ‎8、（2010•乐山）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）‎ ‎ A、（﹣1，2） B、（1，﹣1）‎ ‎ C、（﹣1，1） D、（2，1）‎ 考点：确定圆的条件；坐标与图形性质。‎ 专题：网格型。‎ 分析：连接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．‎ 解答：解：如图所示，‎ ‎∵AW=1，WH=3，‎ ‎∴AH=‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎10‎；‎ ‎∵BQ=3，QH=1，‎ ‎∴BH=‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎10‎；‎ ‎∴AH=BH，‎ 同理，AD=BD，‎ 所以GH为线段AB的垂直平分线，‎ 易得EF为线段AC的垂直平分线，‎ H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，‎ 则BH=AH=HC，‎ H为圆心．‎ 于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．‎ 故选C．‎ 点评：根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．‎ ‎9、（2010•乐山）已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（　　）‎ ‎ A、12 B、﹣6‎ ‎ C、﹣6或﹣12 D、6或12‎ 考点：待定系数法求一次函数解析式。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．‎ 解答：解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=0时，y=﹣2，当x=2时，y=4，‎ ‎∴‎&b=﹣2‎‎&2k+b=4‎，解得‎&k=3‎‎&b=﹣2‎，‎ ‎∴kb=3×（﹣2）=﹣6；‎ ‎（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=﹣2，‎ ‎∴‎&b=4‎‎&2k+b=﹣2‎，解得‎&k=﹣3‎‎&b=4‎，‎ ‎∴kb=﹣3×4=﹣12．‎ 所以kb的值为﹣6或﹣12．‎ 故选C．‎ 点评：本题要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论，有一定难度．‎ ‎10、（2010•乐山）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（　　）‎ ‎ A、6或﹣1 B、﹣6或1‎ ‎ C、6 D、﹣1‎ 考点：二次函数的图象。‎ 分析：由b＞0，排除前两个图象，第三个图象a＞0，﹣b‎2a＞0，推出b＜0，与已知矛盾排除，从而抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，再求a的值．‎ 解答：解：∵b＞0，‎ ‎∴排除前两个图象；‎ ‎∵第三个图象a＞0，又﹣b‎2a＞0，‎ ‎∴b＜0，与已知矛盾排除，‎ ‎∴抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6的图象是第四个图，‎ 由图象可知，抛物线经过原点（0，0），‎ ‎∴a2﹣5a﹣6=0，解得a=﹣1或6，‎ ‎∵a＜0，∴a=﹣1．‎ 故选D．‎ 点评：主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口方向，经过原点，利用这两个条件即可求出a的值．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11、（2010•乐山）把温度计显示的零上5℃用+5℃表示，那么零下2℃应表示为 ℃．‎ 考点：正数和负数。‎ 分析：零上的温度用正数表示，那么零下的温度可用负数表示．‎ 解答：解：零上5℃用+5℃表示，那么零下2℃应表示为﹣2℃．‎ 点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．‎ ‎12、（2010•乐山）如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°，则∠EBC= 度．‎ 考点：直角三角形的性质；余角和补角。‎ 分析：首先根据余角的性质求出∠ABC的度数，再根据邻补角定义求出∠EBC．‎ 解答：解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，‎ ‎∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°，‎ ‎∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°．‎ 点评：本题主要考查了余角的性质及邻补角定义．‎ ‎13、（2010•乐山）若a＜0，化简|a﹣3|﹣a‎2‎= ．‎ 考点：二次根式的性质与化简。‎ 分析：此题考查了绝对值的定义及二次根式的化简a‎2‎‎=‎‎&a（a≥0）‎‎&﹣a（a＜0）‎．‎ 解答：解：∵a＜0，‎ ‎∴a﹣3＜0，‎ ‎∴|a﹣3|﹣a‎2‎=﹣a+3+a=3．‎ 点评：考查了根据绝对值的定义及二次根式的意义化简．‎ 二次根式a‎2‎规律总结：当a≥0时，a‎2‎=a；当a≤0时，a‎2‎=﹣a．‎ ‎14、（2010•乐山）下列因式分解：①x3﹣4x=x（x2﹣4）；②a2﹣3a+2=（a﹣2）（a﹣1）；③a2﹣2a﹣2=a（a﹣2）﹣2；‎ ‎④x‎2‎‎+x+‎1‎‎4‎=（x+‎‎1‎‎2‎‎）‎‎2‎．其中正确的是 （只填序号）．‎ 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法。‎ 分析：根据提公因式法和公式法进行判断求解．‎ 解答：解：①分解不彻底，应为x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2），故本选项错误；‎ ‎②a2﹣3a+2=（a﹣2）（a﹣1），正确；‎ ‎③a2﹣2a﹣2=a（a﹣2）﹣2，右边不是积的形式，故本选项错误；‎ ‎④x‎2‎‎+x+‎1‎‎4‎=（x+‎‎1‎‎2‎‎）‎‎2‎，正确．‎ 所以正确的是：②④．‎ 故选②④．‎ 点评：本题考查了提公因式法，公式法，十字相乘法分解因式，注意因式分解的结果一定要写成整式乘积的形式，且要分解彻底．‎ ‎15、（2010•乐山）正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为 cm．‎ 考点：正多边形和圆。‎ 专题：动点型。‎ 分析：此题可采用取特殊点的方法进行计算，即当O为圆心时进行计算．‎ 解答：解：如图所示，过P作PH⊥BC于H，根据正六边形的性质可知，∠BPC=60°，‎ 即∠BPH=‎1‎‎2‎∠BPC=‎1‎‎2‎×60°=30°，BH=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×2=1cm；‎ ‎∴PH=BHtan30°‎=‎1‎‎3‎‎3‎=‎3‎，‎ ‎∴正六边形各边的距离之和=6PH=6×‎3‎=6‎3‎cm．‎ 点评：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由正六边形及等腰三角形的性质解答即可．‎ ‎16、（2010•乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°‎ 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）S1= ；‎ ‎（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn= ．‎ 考点：勾股定理。‎ 专题：规律型。‎ 分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．‎ 解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1，‎ ‎∴正方形的面积为1，‎ 又∵直角三角形一个角为30°，‎ ‎∴三角形的一条直角边为‎1‎‎2‎，另一条直角边就是‎1‎‎2‎‎﹣‎‎1‎‎2‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴三角形的面积为‎1‎‎2‎‎×‎‎3‎‎2‎÷2=‎3‎‎8‎，‎ ‎∴S1=1+‎3‎‎8‎；‎ ‎（2）∵第二个正方形的边长为‎3‎‎2‎，它的面积就是‎3‎‎4‎，也就是第一个正方形面积的‎3‎‎4‎，‎ 同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的‎3‎‎4‎，‎ ‎∴S2=（1+‎3‎‎8‎）•‎3‎‎4‎，依此类推，S3==（1+‎3‎‎8‎）•‎3‎‎4‎•‎3‎‎4‎，即S3==（1+‎3‎‎8‎）•‎（‎3‎‎4‎）‎‎2‎，‎ Sn=（‎1+‎‎3‎‎8‎）•‎（‎3‎‎4‎）‎n﹣1‎（n为整）．‎ 点评：本题重点考查了勾股定理的运用．‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17、（2010•乐山）解方程：5（x﹣5）+2x=﹣4‎ 考点：解一元一次方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据题意首先去括号，然后合并同类项，即可解答出x的值 解答：解：去括号得：5x﹣25+2x=﹣4‎ 移项得：7x=21‎ 系数化为1得：x=3‎ 点评：本题考查了一元一次方程的解法，要熟练掌握解一元一次方程的方法．‎ ‎18、（2010•乐山）如图所示，在平行四边形ABCD的对角线上AC上取两点E和F，若AE=CF．‎ 求证：∠AFD=∠CEB．‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：可证△AFD≌△CEB，根据平行四边形性质有AD=BC，∠DAF=∠BCE；由AE=CF可得AF=CE，根据SAS得证．‎ 解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴∠DAF=∠BCE，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴AE+EF=CF+EF，‎ 即AF=CE，‎ ‎∴△ADF≌△CBE，‎ ‎∴∠AFD=∠CEB．‎ 点评：此题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，比较简单．‎ ‎19、（2010•乐山）先化简，再求值：‎（x‎2‎‎﹣3‎x﹣1‎﹣2）÷‎‎1‎x﹣1‎，其中x满足x2﹣2x﹣3=0．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号，然后再合并化简，最后代值求解即可．‎ 解答：解：原式=‎‎（x‎2‎‎﹣3‎x﹣1‎﹣2）•（x﹣1）‎ ‎=‎x‎2‎‎﹣3‎x﹣1‎‎•（x﹣1）﹣2（x﹣1）‎ ‎=x2﹣3﹣2x+2‎ ‎=x2﹣2x﹣1‎ 由x2﹣2x﹣3=0，得x2﹣2x=3‎ ‎∴原式=3﹣1=2．‎ 点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．注意整体代入思想在代数求值计算中的应用．‎ ‎20、（2010•乐山）如图所示一次函数y=x+b与反比例函数y=‎kx在第一象限的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作y轴的垂线，C为垂足，若S‎△BCD=‎‎3‎‎2‎，求一次函数和反比例函数的解析式．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：代数几何综合题。‎ 分析：根据点B的横坐标是1，求出OC的长利用三角形的面积求出b值，点B的坐标即可求出，代入反比例函数即可求出k值，解析式可得．‎ 解答：解：∵一次函数y=x+b过点B，且点B的横坐标为1，‎ ‎∴y=1+b，即B（1，1+b）．‎ ‎∵BC⊥y轴，且S‎△BCD=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎×OC×BC=‎1‎‎2‎×1×（b+1）=‎3‎‎2‎，‎ 解得：b=2，‎ ‎∴B（1，3）．‎ ‎∴一次函数的解析式为y=x+2．‎ 又∵y=‎kx过点B，‎ ‎∴k‎1‎=3，解得：k=3，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=‎‎3‎x．‎ 点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解本题的关键是先根据三角形的面积求出b值，进一步确定出点B的坐标．‎ ‎21、（2010•乐山）某校对八年级（1）班全体学生的体育作测试，测试成绩分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，根据测试成绩绘制的不完整统计图如下：‎ 根据统计图表给出的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）八年级（1）班共有多少名学生？‎ ‎（2）填空：体育成绩为优秀的频数是 ，为合格的频数是 ；‎ ‎（3）从该班全体学生的体育成绩中，随机抽取一个同学的成绩，求达到合格以上（包含合格）的概率．‎ 考点：频数（率）分布表；扇形统计图；概率公式。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）表格中已知良好人数13人，扇形统计图中已知良好的百分比为26%，由此即可求出八年级（1）班共有多少名学生；‎ ‎（2）根据总人数和合格的百分比可以求出合格的频数，然后用总人数减去所有已知人数即可求出优秀的频数；‎ ‎（3）由于抽取的50人中达到合格以上（包含合格）的人数为2+13+26，由此即可求出达到合格以上（包含合格）的概率．‎ 解答：解：（1）由题意得：13÷26%=50；‎ 即八年级（1）班共有50名学生．‎ ‎（2）合格的频数为50×52%=26，‎ 体育成绩为优秀的频数是50﹣26﹣13﹣9=2；‎ ‎（3）随机抽取一个同学的体育成绩，达到合格以上的概率为：‎ P=‎2+13+26‎‎50‎=‎41‎‎50‎，或P=1﹣‎9‎‎50‎=‎‎41‎‎50‎‎．‎ 点评：读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分数目=总体数目乘以相应概率．‎ ‎22、（2010•乐山）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10‎3‎米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．‎ ‎（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；‎ ‎（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）‎ 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．‎ 在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积；‎ ‎（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．‎ 解答：解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．‎ 在Rt△ABF中，AB=10米，∠B=60°，‎ sin∠B=AFAB‎，∴AF=10×‎3‎‎2‎5‎‎3‎，DG=5‎3‎．‎ ‎∴S△DCE=‎1‎‎2‎‎×CE×DG=‎1‎‎2‎×5×5‎3‎=‎‎25‎‎2‎‎3‎．‎ 需要填方：100×‎25‎‎2‎‎3‎‎=1250‎‎3‎（立方米）；‎ ‎（2）在直角三角形DGC中，DC=10‎3‎，‎ ‎∴GC=DC‎2‎‎﹣‎DG‎2‎‎=‎（10‎3‎‎）‎‎2‎﹣（5‎‎3‎‎）‎‎2‎=15‎，‎ ‎∴GE=GC+CE=20，‎ 坡度i=DGGE‎=‎5‎‎3‎‎20‎=‎‎3‎‎4‎．‎ 答：（1）需要土石方1250‎3‎立方米．（2）背水坡坡度为‎3‎‎4‎．‎ 点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．‎ ‎23、（2010•乐山）如图所示，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，AD=DC，连接AC，过点D作弦AC的平行线MN．‎ ‎（1）证明：MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知AB=10，AD=6，求弦BC的长．‎ 考点：切线的判定；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）证MN是⊙O的切线，只需连接OD，证OD⊥MN即可．由于D是弧AC的中点，由垂径定理知OD⊥AC，而MN∥AC，由此可证得OD⊥MN，即可得证．‎ ‎（2）设OD与AC的交点为E，那么OE就是△ABC的中位线，即BC=2OE；欲求BC，需先求出OE的长．可设OE为x，那么DE=5﹣x，可分别在Rt△OAE和Rt△ADE中，用勾股定理表示出AE2，即可得到关于x的方程，从而求出x即OE的值，也就能得到BC的长．‎ 解答：（1）证明：连接OD，交AC于E，如图所示，‎ ‎∵AD=DC，∴OD⊥AC；‎ 又∵AC∥MN，∴OD⊥MN，‎ 所以MN是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：设OE=x，因AB=10，所以OA=5，ED=5﹣x；‎ 又因AD=6，在Rt△OAE和Rt△DAE中，‎ AE2=OA2﹣OE2=AE2﹣DE2，即：‎ ‎52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=‎7‎‎5‎；‎ 由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，则OD∥BC；‎ 又AO=OB，则OE是△ABC的中位线，所以BC=2OE=‎2×‎7‎‎5‎=‎‎14‎‎5‎．‎ 点评：此题考查了垂径定理、切线的判定，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，难度适中．‎ ‎24、（2010•乐山）从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．‎ 题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）设t=‎a+βk，求t的最小值．‎ 题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．‎ ‎（1）若BOPC‎=‎‎1‎‎3‎，求ABAQ的值；‎ ‎（2）若点P为BC边上的任意一点，求证BCBP‎=ABBQ=1‎．‎ 我选做的是 题．‎ 考点：根与系数的关系；根的判别式；矩形的性质。‎ 分析：对甲：（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；‎ ‎（2）将α+β换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．‎ 对乙：（1）‎ 解答：题甲 解：（1）∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β，‎ ‎∴△≥0，‎ 即4（2﹣k）2﹣4（k2﹣12）≥0，‎ 得k≤﹣2．‎ ‎（2）由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，‎ ‎∴t=a+βk=‎4﹣2kk=‎4‎k﹣2‎，‎ ‎∵k≥﹣2，∴‎﹣2≤‎4‎k﹣2＜0‎，‎ ‎∴‎﹣4≤‎4‎k﹣2＜﹣2‎，‎ 即t的最小值为﹣4．‎ 题乙：‎ 四边形ABCD是矩形 ‎∵AB=CD，AB∥DC ‎∴△DPC∽△QPB ‎∴BQDC=‎PCBP ‎∴DCBQ=‎PCBP BCBP‎﹣ABBQ=BP+PCBP﹣ABBQ=1+PCBP﹣ABBQ=1‎ ‎∴BCBP‎=ABBQ=1‎．‎ 点评：本题考查了一元二次方程根的判定，另要掌握两根之和、两根之积与系数的关系．‎ ‎25、（2010•乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3．‎ ‎（1）如图所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h2+h3=2h1；‎ ‎（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．‎ ‎①如图所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；‎ ‎②如图所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系．（只需写出关系，不要求说明理由）‎ 考点：梯形；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）因为BE⊥l，GF⊥l，所以四边形BCFE是梯形，又因为D是BC的中点，由梯形的中位线定理可得BE+CF=2DG，O为AD的中点，故可证h2+h3=2h1；‎ ‎（2）①过点D作DH⊥l，垂足为H，根据AAS易证△AGO≌△DHO，所以DH=AG，又因为D为BC的中点，由梯形的中位线性质可得2AG=BE+CF，故（1）结论成立；②h1、h2、h3满足关系：h2﹣h3=2h1．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l ‎∴四边形BCFE是梯形 又∵GD⊥l，D是BC的中点 ‎∴DG是梯形的中位线 ‎∴BE+CF=2DG 又∵O为AD的中点 ‎∴AG=DG ‎∴BE+CF=2AG 即h2+h3=2h1；‎ ‎（2）①成立；‎ 证明：过点D作DH⊥l，垂足为H ‎∴∠AGO=∠DHO，∠AOG=∠DOH，OA=OD ‎∴△AGO≌△DHO ‎∴DH=AG 又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质 ‎∴2DH=BE+CF，即2AG=BE+CF ‎∴h2+h3=2h1成立；‎ ‎②h1、h2、h3满足关系：h2﹣h3=2h1．‎ 点评：此题把梯形、梯形的中位线定理和全等三角形的判定结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．‎ ‎26、（2010•乐山）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．‎ ‎（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA 的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；‎ ‎（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）‎ ‎（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．‎ 解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），‎ ‎∴x=2；‎ 又∵tan∠OAC=OCOA=2，‎ ‎∴OA=1，即A（1，0）；‎ 又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，‎ ‎∴0=12+b×1+2，b=﹣3；‎ ‎∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2；‎ ‎（2）存在．‎ 过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，‎ ‎∴x=﹣b‎2a‎=﹣‎﹣3‎‎2×1‎=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎∴AE=OE﹣OA=‎3‎‎2‎﹣1=‎1‎‎2‎，‎ ‎∵∠APC=90°，‎ ‎∴tan∠PAE=tan∠CPD，‎ ‎∴PEEA‎=‎CDDP，即PE‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎‎2﹣PE，‎ 解得PE=‎1‎‎2‎或PE=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴点P的坐标为（‎3‎‎2‎，‎1‎‎2‎）或（‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎）．（备注：可以用勾股定理或相似解答）‎ ‎（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=﹣x+2，‎ ‎∵点M是直线l′和线段BC的交点，‎ ‎∴M点的坐标为（t，﹣t+2）（0＜t＜2），‎ ‎∴MN=﹣t+2﹣（t2﹣3t+2）=﹣t2+2t，‎ ‎∴S△BCM=S△MNC+S△MNB=‎1‎‎2‎MN▪t+‎1‎‎2‎MN▪（2﹣t），‎ ‎=‎1‎‎2‎MN▪（t+2﹣t）=MN=﹣t2+2t（0＜t＜2），‎ ‎∴S△BCN=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，‎ ‎∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．‎ 备注：如果没有考虑取值范围，可以不扣分．‎ 点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、解直角三角形、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点；能够将图形面积最大（小）问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhjh；CJX；Linaliu；nyx；bjy；shenzigang；lbz；MMCH；张伟东；zhangchao；lanchong；py168；huangling；zxw；lanyuemeng；zhxl；mama258。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日