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文档介绍
2013年挑战中考数学压轴题摘选
目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2012 年苏州市中考第 29 题 例 2 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 3 2011 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 例 4 2011 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 例 5 2010 年义乌市中考第 24 题 例 6 2010 年上海市宝山区中考模拟第 24 题 例 7 2009 年临沂市中考第 26 题 例 8 2009 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2012 年扬州市中考第 27 题 例 2 2012 年临沂市中考第 26 题 例 3 2011 年湖州市中考第 24 题 例 4 2011 年盐城市中考第 28 题 例 5 2010 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 例 7 2009 年重庆市中考第 26 题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2012 年广州市中考第 24 题 例 2 2012 年杭州市中考第 22 题 例 3 2011 年沈阳市中考第 25 题 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2008 年河南省中考第 23 题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012 年福州市中考第 21 题 例 2 2012 年烟台市中考第 26 题 例 3 2011 年上海市中考第 24 题 例 4 2011 年江西省中考第 24 题 例 5 2010 年河南省中考第 23 题 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 例 7 2009 年福州市中考第 21 题 例 8 2009 年江西省中考第 24 题 1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 3 2011 年北京市海淀区中考模拟第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题 例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 例 6 2010 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题 例 7 2009 年广州市中考第 25 题 1.6 因动点产生的面积问题 例 1 2012 年菏泽市中考第 21 题 例 2 2012 年河南省中考第 23 题 例 3 2011 年南通市中考第 28 题 例 4 2011 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2012 年河北省中考第 25 题 例 2 2012 年无锡市中考第 28 题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例 1 2012 年滨州市中考第 24 题 例 2 2012 年山西省中考第 26 题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年连云港市中考第 26 题 例 3 2010 年上海市中考第 25 题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2012 年广东省中考第 22 题 例 2 2012 年河北省中考第 26 题 例 3 2011 年淮安市中考第 28 题 例 4 2011 年山西省中考第 26 题 例 5 2011 年重庆市中考第 26 题 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2012 年苏州市中考第 29 题 如图 1，已知抛物线 21 1 ( 1) 4 4 4 by x b x （b是实数且 b＞2）与 x轴的正半轴分别交 于点 A、B（点 A位于点 B是左侧），与 y轴的正半轴交于点 C． （1）点 B的坐标为______，点 C的坐标为__________（用含 b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且△PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的 任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如 果不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12苏州 29”，拖动点 B在 x轴的正半轴上运动，可以体验到， 点 P到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB的面积等于 2b的时刻．双击按钮“第（3） 题”，拖动点 B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻． 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形 PBC暗示了点 P到两坐标轴的距离相等． 2．联结 OP，把四边形 PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b的式子 表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A与 x轴垂直的直线上． 满分解答 （1）B的坐标为(b, 0)，点 C的坐标为(0, 4 b )． （2）如图 2，过点 P作 PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为 D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此 PD＝PE．设点 P的坐标为(x, x)． 如图 3，联结 OP． 所以 S 四边形 PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ 1 1 5 2 4 2 8 b x b x bx ＝2b． 解得 16 5 x ．所以点 P的坐标为(16 16, 5 5 )． 图 2 图 3 （3）由 21 1 1( 1) ( 1)( ) 4 4 4 4 by x b x x x b ，得 A(1, 0)，OA＝1． ①如图 4，以 OA、OC为邻边构造矩形 OAQC，那么△OQC≌△QOA． 当 BA QA QA OA ，即 2QA BA OA 时，△BQA∽△QOA． 所以 2( ) 1 4 b b ．解得 8 4 3b ．所以符合题意的点 Q为(1,2 3 )． ②如图 5，以 OC为直径的圆与直线 x＝1交于点 Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． 当 BA QA QA OA 时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 所以 C、Q、B三点共线．因此 BO QA CO OA ，即 1 4 b QA b ．解得 4QA ．此时 Q(1,4)． 图 4 图 5 考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是 x轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况． 这样，先根据△QOA与△QOC相似把点 Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比 例确定点 B的位置． 如图中，圆与直线 x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点 Q呢？ 如果符合题意的话，那么点 B的位置距离点 A很近，这与 OB＝4OC矛盾． 例 2 2012 年黄冈市中考模拟第 25 题 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 ( 2)( )y x x m m (m＞0)与 x轴交于点 B、C，与 y轴交于点 E，且点 B在点 C的左侧． （1）若抛物线 C1过点 M(2, 2)，求实数 m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH＋EH最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F为顶点的三角形 与△BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C在 x轴正半轴上运动，观察左图，可 以体验到，EC与 BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于 45°．观察右图，可以体 验到，∠CBF保持 45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻． 思路点拨 1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H落在线段 EC上时，BH＋EH最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或 者作 BF//EC．再用含 m的式子表示点 F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关 于 m的方程． 满分解答 （1）将 M(2, 2)代入 1 ( 2)( )y x x m m ，得 12 4(2 )m m ．解得 m＝4． （2）当 m＝4时， 21 1 1( 2)( 4) 2 4 4 2 y x x x x ．所以 C(4, 0)，E(0, 2)． 所以 S△BCE＝ 1 1 6 2 6 2 2 BC OE ． （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1，当 H落在线段 EC上时，BH＋EH最小． 设对称轴与 x轴的交点为 P，那么 HP EO CP CO ． 因此 2 3 4 HP ．解得 3 2 HP ．所以点 H的坐标为 3(1, ) 2 ． （4）①如图 3，过点 B作 EC的平行线交抛物线于 F，过点 F作 FF′⊥x轴于 F′． 由于∠BCE＝∠FBC，所以当 CE BC CB BF ，即 2BC CE BF 时，△BCE∽△FBC． 设点 F的坐标为 1( , ( 2)( ))x x x m m ，由 ' ' FF EO BF CO ，得 1 ( 2)( ) 2 2 x x m m x m ． 解得 x＝m＋2．所以 F′(m＋2, 0)． 由 'CO BF CE BF ，得 2 4 4 m m BFm ．所以 2( 4) 4m mBF m ． 由 2BC CE BF ，得 2 2 2 ( 4) 4( 2) 4 m mm m m ． 整理，得 0＝16．此方程无解． 图 2 图 3 图 4 ②如图 4，作∠CBF＝45°交抛物线于 F，过点 F作 FF′⊥x轴于 F′， 由于∠EBC＝∠CBF，所以 BE BC BC BF ，即 2BC BE BF 时，△BCE∽△BFC． 在 Rt△BFF′中，由 FF′＝BF′，得 1 ( 2)( ) 2x x m x m ． 解得 x＝2m．所以 F′ (2 ,0)m ．所以 BF′＝2m＋2， 2(2 2)BF m ． 由 2BC BE BF ，得 2( 2) 2 2 2(2 2)m m ．解得 2 2 2m ． 综合①、②，符合题意的 m为 2 2 2 ． 考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式 求 BF的长． 例 3 2011 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 直线 1 1 3 y x 分别交 x轴、y轴于 A、B两点，△AOB绕点 O按逆时针方向旋转 90° 后得到△COD，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过 A、C、D三点． (1) 写出点 A、B、C、D的坐标； (2) 求经过 A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G的坐标； (3) 在直线 BG上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？ 若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11闸北 25”， 拖动点 Q在直线 BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为 1∶3共有四种情况，点 B上、下各有两种． 思路点拨 1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提． 4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q与点 B 的位置关系分上下两种情形，点 Q共有 4个． 满分解答 （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2）因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以 9 3 0, 3, 0. a b c c a b c 解得 1, 2, 3. a b c 所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点 G的坐标为(1，4)． （3）如图 2，直线BG的解析式为 y＝3x＋1，直线CD的解析式为 y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 AB⊥CD．因此 AB⊥BG， 即∠ABQ＝90°． 因为点 Q在直线 BG上，设点 Q的坐标为(x，3x＋1)，那么 2 2(3 ) 10BQ x x x ． Rt△COD的两条直角边的比为 1∶3，如果 Rt△ABQ与 Rt△COD相似，存在两种情况： ①当 3BQ BA 时， 10 3 10 x ．解得 3x ．所以 1(3,10)Q ， 2 ( 3, 8)Q ． ②当 1 3 BQ BA 时， 10 1 310 x ．解得 1 3 x ．所以 3 1( , 2) 3 Q ， 4 1( ,0) 3 Q ． 图 2 图 3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 AB⊥BG；二 是 2 2(3 ) 10BQ x x x ． 我们换个思路解答第（3）题： 如图 3，作 GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为 H、N． 通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在 Rt△BGH中， 1sin 1 10 ， 3cos 1 10 ． ①当 3BQ BA 时， 3 10BQ ． 在 Rt△BQN中， sin 1 3QN BQ ， cos 1 9BN BQ ． 当 Q在 B上方时， 1(3,10)Q ；当 Q在 B下方时， 2 ( 3, 8)Q ． ②当 1 3 BQ BA 时， 1 10 3 BQ ．同理得到 3 1( , 2) 3 Q ， 4 1( ,0) 3 Q ． 例 4 2011 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图 1所示，反比例函数 ( 0)ky k x 在第一象限内 的图象与 BC边交于点 D（4，m），与 AB边交于点 E（2，n），△BDE的面积为 2． （1）求 m与 n的数量关系； （2）当 tan∠A＝ 1 2 时，求反比例函数的解析式和直线 AB的表达式； （3）设直线 AB与 y轴交于点 F，点 P在射线 FD上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点 P的坐标． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11杨浦 24”，拖动点 A在 x轴上运动，可以体验到，直线 AB 保持斜率不变，n始终等于 m的 2倍，双击按钮“面积 BDE＝2”，可以看到，点 E正好在 BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点 P在射线 FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况． 思路点拨 1．探求 m与 n的数量关系，用 m表示点 B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD//x轴． 3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答 （1）如图 1，因为点 D（4，m）、E（2，n）在反比例函数 ky x 的图象上，所以 4 , 2 . m k n k 整理，得 n＝2m． （2）如图 2，过点 E作 EH⊥BC，垂足为 H．在 Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝ 1 2 ， EH＝2，所以 BH＝1．因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)． 已知△BDE的面积为 2，所以 1 1 ( 1) 2 2 2 2 BD EH m ．解得 m＝1．因此 D(4， 1)，E(2，2)，B(4，3)． 因为点 D（4，1）在反比例函数 ky x 的图象上，所以 k＝4．因此反比例函数的解析 式为 4y x ． 设直线 AB的解析式为 y＝kx＋b，代入 B(4，3)、E(2，2)，得 3 4 , 2 2 . k b k b 解得 1 2 k ， 1b ． 因此直线 AB的函数解析式为 1 1 2 y x ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，因为直线 1 1 2 y x 与 y轴交于点 F（0，1），点 D的坐标为（4，1）， 所以 FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况： ①如图 3，当 EA EF AO FP 时， 2 5 5 2 FP ．解得 FP＝1．此时点 P的坐标为（1，1）． ②如图 4，当 EA FP AO EF 时， 2 5 2 5 FP ．解得 FP＝5．此时点 P的坐标为（5，1）． 考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图 1所示”，如果没有这个 条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5的情况： 第（1）题的结论 m与 n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为 12y x ， 直线 AB为 1 7 2 y x ．第（3）题 FD不再与 x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 图 5 例 5 2010 年义乌市中考第 24 题 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M的坐标； （2）将图 1中梯形 OABC的上下底边所在的直线 OA、CB以相同的速度同时向上平移， 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2的梯形 O1A1B1C1．设梯形 O1A1B1C1的面积 为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含 S的代数式表示 x2－x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1中，设点 D的坐标为(1，3)，动点 P从点 B出发，以每秒 1个单位长度的 速度沿着线段 BC运动，动点 Q从点 D出发，以与点 P相同的速度沿着线段 DM运动．P、 Q两点同时出发，当点 Q到达点 M时，P、Q两点同时停止运动．设 P、Q两点的运动时间 为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、 抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“10义乌 24”，拖动点 I上下运动，观察图形和图象，可以体验 到，x2－x1随 S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点 Q在 DM上运动，可以体验 到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似． 思路点拨 1．第（2）题用含 S的代数式表示 x2－x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S．再注 意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2－y1＝3．通过代数变形就可以了． 2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位 置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证． 3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB与 x轴的夹角不变，直线 AB与抛物 线的对称轴的夹角不变．变化的直线 PQ的斜率，因此假设直线 PQ与 AB的交点 G在 x轴 的下方，或者假设交点 G在 x轴的上方． 满分解答 （1）抛物线的对称轴为直线 1x ，解析式为 21 1 8 4 y x x ，顶点为 M（1， 1 8 ）． （ 2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 1 2 1 2 2( 1 1) 3( ) 6 2 x xS x x ，由此得到 1 2 2 3 sx x ．由于 2 1 3y y ，所以 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 3 8 4 8 4 y y x x x x ．整理，得 2 1 2 1 1 1( ) ( ) 3 8 4 x x x x ．因此得到 2 1 72x x S ． 当 S=36时， 2 1 2 1 14, 2. x x x x 解得 1 2 6, 8. x x 此时点 A1的坐标为（6，3）． （3）设直线 AB与 PQ交于点 G，直线 AB与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G． 在△GEQ中，∠GEQ是直线 AB与抛物线对称轴的夹角，为定值． 在△GAF中，∠GAF是直线 AB与 x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF． 因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD． 由于 3tan 4 GAF ， tan 5 DQ tPQD QP t ，所以 3 4 5 t t ．解得 20 7 t ． 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题是否存在点 G在 x轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得 的 t的值也是相同的．事实上，图 3和图 4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3． 例 6 2010 年上海市宝山区中考模拟第 24 题 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 2y mx mx n 上． （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A的对应点为 A′，点 B的对应点为 B′，若四边 形 A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB′ 的交点为 C，试在 x轴上找一个点 D，使得 以点 B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10宝山 24”，拖动点 A′向右平移，可以体验到，平移 5个单位 后，四边形 A A′B′B为菱形．再拖动点 D在 x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相 似有两种情况． 思路点拨 1．点 A与点 B的坐标在 3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法 中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B′ 的坐标、AC和 B′C的长． 2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变． 3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的 两边对应成比例，分两种情况讨论． 满分解答 (1) 因为点 A (-2， 4) 和点 B (1， 0)都在抛物线 2 2y mx mx n 上，所以 4 4 4, 2 0. m m n m m n 解得 4 3 m ， 4n ． (2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB＝5．因为四边形 A A′B′B为菱形，所 以 A A′＝B′B＝ AB＝5．因为 4 3 8 3 4 2 xxy 24 161 3 3 x ，所以原抛物线的对 称轴 x＝－1向右平移 5个单位后，对应的直线为 x＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为 3 164 3 4 2, xy ． 图 2 (3) 由点 A (-2，4) 和点 B′ (6，0)，可得 A B′＝ 4 5． 如图 2，由 AM//CN，可得 ' ' ' ' B N B C B M B A ，即 2 ' 8 4 5 B C ．解得 ' 5B C ．所以 3 5AC ．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D． ①如图 3，当 ' ' AB B C AC B D 时， 5 5 '3 5 B D ，解得 ' 3B D ．此时 OD＝3，点 D的坐 标为（3，0）． ②如图 4，当 ' ' AB B D AC B C 时， 5 ' 3 5 5 B D ，解得 5' 3 B D ．此时 OD＝ 13 3 ，点 D的 坐标为（ 13 3 ，0）． 图 3 图 4 考点伸展 在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等 腰三角形，容易想象，存在两种情况． 我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边 成比例，分两种情况计算． 例 7 2009 年临沂市中考第 26 题 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个动点，过 P作 PM⊥x轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点 P的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）在直线 AC上方的抛物线是有一点 D，使得△DCA的面积最大，求出点 D的坐标． , 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂 26”，拖动点 P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P在 B左侧”、“ P在 x轴上方”和“P在 A右侧”，可以显 示△PAM与△OAC相似的三个情景． 双击按钮“第(3)题”， 拖动点 D在 x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面 积随 D变化的图象，可以体验到，E是 AC的中点时，△DCA的面积最大． 思路点拨 1．已知抛物线与 x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA． 满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 )4)(1( xxay ，代入点 C的 坐标（0，－2），解得 2 1 a ．所以抛物线的解析式为 2 2 5 2 1)4)(1( 2 1 2 xxxxy ． （2）设点 P的坐标为 ))4)(1( 2 1,( xxx ． ①如图 2，当点 P在 x轴上方时，1＜x＜4， )4)(1( 2 1 xxPM ， xAM 4 ． 如果 2 CO AO PM AM ，那么 2 4 )4)(1( 2 1 x xx ．解得 5x 不合题意． 如果 2 1 CO AO PM AM ，那么 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ．解得 2x ． 此时点 P的坐标为（2，1）． ②如图 3，当点 P在点 A的右侧时，x＞4， )4)(1( 2 1 xxPM ， 4 xAM ． 解方程 2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 5x ．此时点 P的坐标为 )2,5( ． 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 2x 不合题意． ③如图 4，当点 P在点 B的左侧时，x＜1， )4)(1( 2 1 xxPM ， xAM 4 ． 解方程 2 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 3x ．此时点 P的坐标为 )14,3( ． 解方程 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx ，得 0x ．此时点 P与点 O重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点 P的坐标为（2，1）或 )14,3( 或 )2,5( ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D作 x轴的垂线交 AC于 E．直线 AC的解析式为 2 2 1 xy ． 设点 D的横坐标为 m )41( m ，那么点 D的坐标为 )2 2 5 2 1,( 2 mmm ，点 E的 坐标为 )2 2 1,( mm ．所以 )2 2 1()2 2 5 2 1( 2 mmmDE mm 2 2 1 2 ． 因此 4)2 2 1( 2 1 2 mmS DAC mm 42 4)2( 2 m ． 当 2m 时，△DCA的面积最大，此时点 D的坐标为（2，1）． 图 5 图 6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D点构造矩形 OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形 CAMN的面积减去 △CDN和△ADM的面积． 设点 D的横坐标为（m，n） )41( m ，那么 42)4( 2 1)2( 2 14)22( 2 1 nmmnnmnS ． 由于 2 2 5 2 1 2 mmn ，所以 mmS 42 ． 例 8 2009 年上海市闸北区中考模拟第 25题 如图 1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ 3 10 ．D为射线 BA上的点（点 D不与点 B 重合），作 DE//BC交射线 CA于点 E.． (1) 若 CE＝x，BD＝y，求 y与 x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段 BD，CE为直径的两圆相切时，求 DE的长度； (3) 当点 D在 AB边上时，BC边上是否存在点 F，使△ABC与△DEF相似？若存在， 请求出线段 BF的长；若不存在，请说明理由． 图 1 备用图 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“09闸北 25”，拖动点 D可以在射线 BA上运动．双击按钮“第 （2）题”，拖动点 D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次． 双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到， △DEF为等腰三角形． 思路点拨 1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等 腰三角形． 2．用含有 x的式子表示 BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点 E的位置 不同，DE、MN表示的形式分两种情况． 3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符 合题意． 4．第（3）题按照 DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我 们轻松解题． 满分解答 （1）如图 2，作 BH⊥AC，垂足为点 H．在 Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝ 3 10 AH AB ， 所以 AH＝ 3 2 ＝ 1 2 AC．所以 BH垂直平分 AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 因为 DE//BC，所以 AB AC DB EC ，即 5 3 y x ．于是得到 5 3 y x ，（ 0x ）． （2）如图 3，图 4，因为 DE//BC，所以 DE AE BC AC ， MN AN BC AC ，即 | 3 | 5 3 DE x ， 1| 3 | 2 5 3 xMN ．因此 5 | 3 | 3 xDE ，圆心距 5 | 6 | 6 xMN ． 图 2 图 3 图 4 在⊙M中， 1 1 5 2 2 6Mr BD y x ，在⊙N中， 1 1 2 2Nr CE x ． ①当两圆外切时， 5 1 6 2 x x 5 | 6 | 6 x ．解得 30 13 x 或者 10x ． 如图 5，符合题意的解为 30 13 x ，此时 5(3 ) 15 3 13 xDE ． ②当两圆内切时， 5 1 6 2 x x 5 | 6 | 6 x ． 当 x＜6时，解得 30 7 x ，如图 6，此时 E在 CA的延长线上， 5( 3) 15 3 7 xDE ； 当 x＞6时，解得 10x ，如图 7，此时 E在 CA的延长线上， 5( 3) 35 3 3 xDE ． 图 5 图 6 图 7 （3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三 角形． 如图 8，当 D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形 DEF的腰，符合题 意，此时 BF＝2.5．根据对称性，当 F在 BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时 BF＝4.1． 如图 9，当 DE 为等腰三角形 DEF 的底边时，四边形 DECF 是平行四边形，此时 125 34 BF ． 图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图 10，如图 11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ ABC的三边的中点，那么四边形 DEHF是等腰梯形． 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2012 年扬州市中考第 27 题 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过 A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l是抛物线的 对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P是直线 l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点 P的坐标； （3）在直线 l上是否存在点 M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 扬州 27”，拖动点 P在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，当点 P落在线段 BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点 M在抛物线的对 称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点 M有 1次机会落在 AC的垂直平分线上；点 A有 2次机会落在 MC的垂直平分线上；点 C有 2次 机会落在 MA的垂直平分线上，但是有 1次 M、A、C三点共线． 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P在线段 BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与 x轴交于 A(－1,0)、B(3, 0)两点，设 y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点 C(0 ,3)，得－3a＝3．解得 a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是 y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1． 当点 P落在线段 BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与 x轴的交点为 H． 由 BH PH BO CO ，BO＝CO，得 PH＝BH＝2． 所以点 P的坐标为(1, 2)． 图 2 （3）点 M的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, 6 )或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图 3，当 MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程 4＋m2＝1＋(m－3)2，得 m＝1． 此时点 M的坐标为(1, 1)． ②如图 4，当 AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程 4＋m2＝10，得 6m ． 此时点 M的坐标为(1, 6 )或(1, 6 )． ③如图 5，当 CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程 1＋(m－3)2＝10，得 m＝0或 6． 当 M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点 M的坐标为(1,0)． 图 3 图 4 图 5 例 2 2012 年临沂市中考第 26 题 如图 1，点 A在 x轴上，OA＝4，将线段 OA绕点 O顺时针旋转 120°至 OB的位置． （1）求点 B的坐标； （2）求经过 A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 临沂 26”，拖动点 P在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，⊙O和⊙B以及 OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P运动到 ⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线． 请打开超级画板文件名“12 临沂 26”，拖动点 P，发现存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的 距离公式列方程；然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P重合在一起． 满分解答 （1）如图 2，过点 B作 BC⊥y轴，垂足为 C． 在 Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以 BC＝2， 2 3OC ． 所以点 B的坐标为 ( 2, 2 3) ． （2）因为抛物线与 x轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)， 代入点 B ( 2, 2 3) ， 2 3 2 ( 6)a ．解得 3 6 a ． 所以抛物线的解析式为 23 3 2 3( 4) 6 6 3 y x x x x ． （3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P的坐标为(2, y)． ①当 OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 2 3y ． 当 P在 (2, 2 3)时，B、O、P三点共线（如图 2）． ②当 BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以 2 24 ( 2 3) 16y ．解得 1 2 2 3y y ． ③当 PB＝PO时，PB2＝PO2．所以 2 2 2 24 ( 2 3) 2y y ．解得 2 3y ． 综合①、②、③，点 P的坐标为 (2, 2 3) ，如图 2所示． 图 2 图 3 考点伸展 如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三 角形． 由 23 3 2 3( 4) ( 2) 6 6 3 y x x x ，得抛物线的顶点为 2 3(2, ) 3 D ． 因此 2 3tan 3 DOA ．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°． 例 3 2011 年湖州市中考第 24 题 如图 1，已知正方形 OABC的边长为 2，顶点 A、C分别在 x、y轴的正半轴上，M是 BC的中点．P(0,m)是线段 OC上一动点（C点除外），直线 PM交 AB的延长线于点 D． （1）求点 D的坐标（用含 m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求 m的值； （3）设过 P、M、B三点的抛物线与 x轴正半轴交于点 E，过点 O作直线 ME的垂线， 垂足为 H（如图 2）．当点 P从 O向 C运动时，点 H也随之运动．请直接写出点 H所经过 的路长（不必写解答过程）． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“11湖州 24”，拖动点 P在 OC上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点 P由 O向 C运动，可以体验到，点 H在以 OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切 换． 思路点拨 1．用含 m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解． 3．猜想点 H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM的斜边长 OM是定值，以 OM为直径的圆过点 H、C． 满分解答 （1）因为 PC//DB，所以 1CP PM MC BD DM MB ．因此 PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以 AD＝4－m．于是得到点 D的坐标为(2，4－m)． （2）在△APD中， 2 2(4 )AD m ， 2 2 4AP m ， 2 2 2(2 ) 4 4(2 )PD PM m ． ①当 AP＝AD时， 2(4 )m 2 4m ．解得 3 2 m （如图 3）． ②当 PA＝PD时， 2 4m 24 4(2 )m ．解得 4 3 m （如图 4）或 4m （不合题意， 舍去）． ③当 DA＝DP时， 2(4 )m 24 4(2 )m ．解得 2 3 m （如图 5）或 2m （不合题意， 舍去）． 综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为 3 2 ， 4 3 或 2 3 ． 图 3 图 4 图 5 （3）点 H所经过的路径长为 5 4 ． 考点伸展 第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图 3，当 AP＝ AD 时， AM 垂直平分 PD，那么△ PCM∽△MBA．所以 1 2 PC MB CM BA ．因此 1 2 PC ， 3 2 m ． ②如图 4，当 PA＝PD时，P在 AD的垂直平分线上．所以 DA＝2PO．因此 4 2m m ．解 得 4 3 m ． 第（2）题的思路是这样的： 如图 6，在 Rt△OHM中，斜边 OM为定值，因此以 OM为直径的⊙G经过点 H，也就 是说点 H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图 7，P与 O重合时，是点 H运 动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°． 图 6 图 7 例 4 2011 年盐城市中考第 28 题 如图 1，已知一次函数 y＝－x＋7与正比例函数 4 3 y x 的图象交于点 A，且与 x轴交于 点 B． （1）求点 A和点 B的坐标； （2）过点 A作 AC⊥y轴于点C，过点 B作直线 l//y轴．动 点 P从点 O出发，以每秒 1个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直线 l从点 B 出发，以相同速度 向左平移，在平移过程中，直线 l交 x轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO于点 Q．当点 P到达点 A时，点 P 和直线 l都 停止运动．在运动过程中，设动点 P运动的时间为 t秒． ①当 t为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积 为 8？ ②是否存在以 A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11盐城 28”，拖动点 R由 B向 O运动，从图象中可以看到， △APR的面积有一个时刻等于 8．观察△APQ，可以体验到，P在 OC上时，只存在 AP＝ AQ的情况；P在 CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形． 思路点拨 1．把图 1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题． 2．求△APR的面积等于 8，按照点 P的位置分两种情况讨论．事实上，P在 CA上运动 时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8的可能． 3．讨论等腰三角形 APQ，按照点 P的位置分两种情况讨论，点 P的每一种位置又要讨 论三种情况． 满分解答 （1）解方程组 7, 4 , 3 y x y x 得 3, 4. x y 所以点 A的坐标是(3，4)． 令 7 0y x ，得 7x ．所以点 B的坐标是(7，0)． （2）①如图 2，当 P在 OC上运动时，0≤t＜4．由 8APR ACP PORCORAS S S S △ △ △梯形 ， 得 1 1 13+7 ) 4 4 (4 ) (7 ) 8 2 2 2 t t t t （ ．整理，得 2 8 12 0t t ．解得 t＝2 或 t＝6 （舍去）．如图 3，当 P在 CA上运动时，△APR的最大面积为 6． 因此，当 t＝2时，以 A、P、R为顶点的三角形的面积为 8． 图 2 图 3 图 4 ②我们先讨论 P在 OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图 1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， 4 2AB ，所以 OB＞AB．因 此∠OAB＞∠AOB＞∠B． 如图 4，点 P由 O向 C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点 A在 PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以 BR＝1，t＝1． 我们再来讨论 P在 CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中， 3cos 5 A 为定值， 7AP t ， 5 5 20 3 3 3 AQ OA OQ OA OR t ． 如图 5，当 AP＝AQ时，解方程 5 207 3 3 t t ，得 41 8 t ． 如图 6，当 QP＝QA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程 7 2[(7 ) ( 4)]t t t ，得 5t ． 如 7，当 PA＝ PQ 时，那么 1 2cos AQ A AP ．因此 2 cosAQ AP A ．解方程 5 20 32(7 ) 3 3 5 t t ，得 226 43 t ． 综上所述，t＝1或 41 8 或 5或 226 43 时，△APQ是等腰三角形． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 当 P在 CA上，QP＝QA时，也可以用 2 cosAP AQ A 来求解． 例 5 2010 年上海市闸北区中考模拟第 25 题 如图 1，在直角坐标平面内有点 A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点 M、N分别为线段 AC 和射线 AB上的动点，点 M以 2个单位长度/秒的速度自 C向 A方向作匀速运动，点 N以 5 个单位长度/秒的速度自 A向 B方向作匀速运动，MN交 OB于点 P． (1)求证：MN∶NP为定值； (2)若△BNP与△MNA相似，求 CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求 CM的长． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10闸北 25”，拖动点M在 CA上运动，可以看到△BNP与△MNA 的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都 是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在 AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在 AB 的延长线上”，可以准确显示等腰三角形 BNP的三种情况． 思路点拨 1．第（1）题求证 MN∶NP的值要根据点 N的位置分两种情况．这个结论为后面的计 算提供了方便． 2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角 三角形时才可能相似． 3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点 N 的位置分类，再按 照顶角的顶点分类．注意当 N在 AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况． 4．探求等腰三角形 BNP，N在 AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出 来，再分类计算． 满分解答 (1)如图 2，图 3，作 NQ⊥x轴，垂足为 Q．设点 M、N的运动时间为 t秒． 在 Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t． 在图 2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以 MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图 3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以 MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． (2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一 个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似． 如图 4，△BNP∽△MNA，在 Rt△AMN中， 3 5 AN AM ，所以 5 3 10 2 5 t t ．解得 30 31 t ．此 时 CM 60 31 ． 图 2 图 3 图 4 (3)如图 5，图 6，图 7中， OP MP QN MN ，即 2 4 5 OP t ．所以 8 5 OP t ． ①当 N在 AB上时，在△BNP中，∠B是确定的， 88 5 BP t ， 10 5BN t ． (Ⅰ)如图 5，当 BP＝BN时，解方程 88 10 5 5 t t ，得 10 17 t ．此时 CM 20 17 ． (Ⅱ)如图 6，当 NB＝NP时， 4 5 BE BN ．解方程 1 8 48 10 5 2 5 5 t t ，得 5 4 t ．此 时 CM 5 2 ． (Ⅲ)当 PB＝PN时， 1 4 2 5 BN BP ．解方程 1 4 810 5 8 2 5 5 t t ，得 t的值为负数， 因此不存在 PB＝PN的情况． ②如图 7，当点 N在线段 AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在 BP＝BN的可能，此 时 5 10BN t ．解方程 88 5 10 5 t t ，得 30 11 t ．此时 CM 60 11 ． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 如图 6，当 NB＝NP时，△NMA是等腰三角形， 1 4 2 5 BN BP ，这样计算简便一些． 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 如图 1，在矩形 ABCD中，AB＝m（m是大于 0的常数），BC＝8，E为线段 BC上的动 点（不与 B、C重合）．连结 DE，作 EF⊥DE，EF与射线 BA交于点 F，设 CE＝x，BF＝y． （1）求 y关于 x的函数关系式； （2）若 m＝8，求 x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若 12y m ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10南通 27”，拖动点 E在 BC上运动，观察 y随 x变化的函数 图象，可以体验到，y是 x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到， 当 E是 BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动 E到 BC的中点，可以体验 到，点 F是 AB的四等分点． 拖动点 A可以改变 m的值，再拖动图象中标签为“y随 x” 的点到射线 y＝x上，从图 形中可以看到，此时△DCE≌△EBF． 思路点拨 1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到 y关于 x的函数关 系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值． 3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三 角形，那么得到 x＝y；一段是计算，化简消去 m，得到关于 x的一元二次方程，解出 x的值； 第三段是把前两段结合，代入求出对应的 m的值． 满分解答 (1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝ 90°，所以△DCE∽△EBF．因此 DC EB CE BF ，即 8m x x y ．整理，得 y关于 x的函数关 系为 21 8y x x m m ． (2)如图 2，当 m＝8时， 2 21 1 ( 4) 2 8 8 y x x x ．因此当 x＝4时，y取得最大 值为 2． (3) 若 12y m ，那么 212 1 8x x m m m ．整理，得 2 8 12 0x x ．解得 x＝2或 x＝6．要 使△DEF为等腰三角形，只存在 ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以 CE＝BF，即 x＝y．将 x＝y ＝2代入 12y m ，得 m＝6（如图 3）；将 x＝y ＝6代入 12y m ，得 m＝2（如 图 4）． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到 21 8y x x m m 2 21 1 16( 8 ) ( 4)x x x m m m ， 那么不论 m为何值，当 x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论 AB边为多 长，当 E是 BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题 m＝8是第（1）题一般性结论的一 个特殊性． 再如，不论 m为小于 8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程 21 8x x x m m 总有一个根 8x m 的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 例 7 2009 年重庆市中考第 26 题 已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的边 OA在 y轴的正半轴上，OC 在 x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点 O作∠AOC的平分线交 AB于点 D，连结 DC， 过点 D作 DE⊥DC，交 OA于点 E． （1）求过点 E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点 D按顺时针方向旋转后，角的一边与 y轴的正半轴交于点 F，另一 边与线段 OC交于点 G．如果 DF与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M的横坐标为 5 6 ， 那么 EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ与 AB的交点 P与点 C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点 Q的坐标； 若不存在成立，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09重庆 26”，拖动点 G在 OC上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF保持全等，双击按钮“M的横坐标为 1.2”，可以看到，EF＝2，GO＝1． 拖动点 P在 AB上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG可以成为等腰三 角形． 思路点拨 1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点 M作 MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求 FA的长． 3．将∠EDC绕点 D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等． 4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点 P的位置确定 点 Q的位置，再计算点 Q的坐标． 满分解答 （1）由于 OD平分∠AOC，所以点 D的坐标为（2，2），因此 BC＝AD＝1． 由于△BCD≌△ADE，所以 BD＝AE＝1，因此点 E的坐标为（0，1）． 设过 E、D、C三点的抛物线的解析式为 cbxaxy 2 ，那么 .039 ,224 ,1 cba cba c 解 得 6 5 a ， 6 13 b 1c ．因此过 E、D、C三点的抛物线的解析式为 1 6 13 6 5 2 xxy ． （2）把 5 6 x 代入 1 6 13 6 5 2 xxy ，求得 5 12 y ．所 以点 M的坐标为 5 12, 5 6 ． 如图 2，过点 M作 MN⊥AB，垂足为 N，那么 DA DN FA MN ， 即 2 5 622 5 12 FA ．解得 1FA ． 因为∠EDC绕点 D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所 以 CG＝EF＝2．因此 GO＝1，EF＝2GO． （3）在第（2）中，GC＝2．设点 Q的坐标为 1 6 13 6 5, 2 xxx ． ①如图 3，当 CP＝CG＝2时，点 P与点 B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此 时 GQQ xxy ，因此 11 6 13 6 5 2 xxx 。由此得到点 Q的坐标为 5 7, 5 12 ． ②如图 4，当 GP＝GC＝2 时，点 P的坐标为（1，2）．此时点 Q的横坐标为 1，点 Q 的坐标为 6 13,1 ． ③如图 5，当 PG＝PC时，点 P在 GC的垂直平分线上，点 P、Q与点 D重合．此时点 Q的坐标为（2，2）． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第（2）题情景下，∠EDC绕点 D旋转的过程中，FG的长怎样变化？ 设 AF的长为 m，那么 82)2()2( 222 mmmFG ． 点 F 由 E开始沿射线 EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与 A重合时，FG达到 最小值 22 ；F经过点 A以后，FG越来越大，当 C与 O重合时，FG达到最大值 4． 图 2 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2012 年广州市中考第 24 题 如图 1，抛物线 23 3 3 8 4 y x x 与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A、B的坐标； （2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积 时，求点 D的坐标； （3）若直线 l过点 E(4, 0)，M为直线 l上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三 角形有且只有．．．．三个时，求直线 l的解析式． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12广州 24”，拖动点 M在以 AB为直径的圆上运动，可以体验 到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点 M只有 1个． 请打开超级画板文件名“12广州 24”，拖动点 M在以 AB为直径的圆上运动，可以体验 到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点 M只有 1个． 思路点拨 1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的 点 D有两个． 2．当直线 l与以 AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点 M有 2 个；当直线 l 与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点 M只有 1个． 3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 （1）由 23 3 33 ( 4)( 2) 8 4 8 y x x x x ， 得抛物线与 x轴的交点坐标为 A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线 x＝－1． （2）△ACD与△ACB有公共的底边 AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点 B、 D到直线 AC的距离相等． 过点 B作 AC的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC的另一侧有对应的点 D′． 设抛物线的对称轴与 x轴的交点为 G，与 AC交于点 H． 由 BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以 3 4 DG CO BG AO ． 所以 3 9 4 4 DG BG ，点 D的坐标为 9(1, ) 4 ． 因为 AC//BD，AG＝BG，所以 HG＝DG． 而 D′H＝DH，所以 D′G＝3DG 27 4 ．所以 D′的坐标为 27(1, ) 4 ． 图 2 图 3 （3）过点 A、B分别作 x轴的垂线，这两条垂线与直线 l总是有交点的，即 2个点 M． 以 AB为直径的⊙G如果与直线 l相交，那么就有 2个点 M；如果圆与直线 l相切，就 只有 1个点 M了． 联结 GM，那么 GM⊥l． 在 Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以 EM＝4． 在 Rt△EM1A中，AE＝8， 1 1 3tan 4 M AM EA AE ，所以 M1A＝6． 所以点 M1的坐标为(－4, 6)，过 M1、E的直线 l为 3 3 4 y x ． 根据对称性，直线 l还可以是 3 3 4 y x ． 考点伸展 第（3）题中的直线 l恰好经过点 C，因此可以过点 C、E求直线 l的解析式． 在 Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以 EM＝4． 在 Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以 CE＝5． 因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线 CM过点 C． 例 2 2012 年杭州市中考第 22 题 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 y＝k(x2＋x－1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(－1,－k)． （1）当 k＝－2时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是 y随 x增大而增大，求 k应满足的条件以及 x的 取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ABQ是以 AB为斜边的直角三角形时，求 k 的值． 动感体验 请打开几何画板文件名“12杭州 22”，拖动表示实数 k的点在 y轴上运动，可以体验到， 当 k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是 y随 x增大而增大．观察 抛物线的顶点 Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点 Q有两次可以落在圆上． 请打开超级画板文件名“12杭州 22”，拖动表示实数 k的点在 y轴上运动，可以体验到， 当 k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是 y随 x增大而增大．观察 抛物线的顶点 Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点 Q有两次可以落在圆上． 思路点拨 1．由点 A(1,k)或点 B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 ky x ．题目 中的 k都是一致的． 2．由点 A(1,k)或点 B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点 O对称，以 AB为直 径的圆的圆心就是 O． 3．根据直径所对的圆周角是直角，当 Q落在⊙O上是，△ABQ是以 AB为直径的直角 三角形． 满分解答 （1）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是 ky x ． 当 k＝－2时，反比例函数的解析式是 2y x ． （2）在反比例函数 ky x 中，如果 y随 x增大而增大， 那么 k＜0． 当 k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随 x 增大而增大． 抛物线 y＝k(x2＋x＋1)＝ 21 5( ) 2 4 k x k 的对称轴是直 线 1 2 x ． 图 1 所以当 k＜0且 1 2 x 时，反比例函数与二次函数都是 y随 x增大而增大． （3）抛物线的顶点 Q的坐标是 1 5( , ) 2 4 k ，A、B关于原点 O中心对称， 当 OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以 AB为直径的直角三角形． 由 OQ2＝OA2，得 2 2 2 21 5( ) ( ) 1 2 4 k k ． 解得 1 2 3 3 k （如图 2）， 2 2 3 3 k （如图 3）． 图 2 图 3 考点伸展 如图 4，已知经过原点 O的两条直线 AB与 CD分别与双曲线 ky x （k＞0）交于 A、B 和 C、D，那么 AB与 CD互相平分，所以四边形 ACBD是平行四边形． 问平行四边形 ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？ 如图 5，当 A、C关于直线 y＝x对称时，AB与 CD互相平分且相等，四边形 ABCD是 矩形． 因为 A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以 OA与 OC无法垂直，因 此四边形 ABCD不能成为正方形． 图 4 图 5 例 3 2011 年沈阳市中考第 25 题 如图 1，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴 交于点 C(0，－3)，对称轴是直线 x＝1，直线 BC与抛物线的对称轴交于点 D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC的函数表达式； （3）点 E为 y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点 F，交抛物线于 P、Q两点， 且点 P在第三象限． ①当线段 3 4 PQ AB 时，求 tan∠CED的值； ②当以 C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11沈阳 25”，拖动点 E 或 F 在 y轴上运动，可以体验到，△ CDE有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ＝3”可以准确显示 3 4 PQ AB 时的位 置． 思路点拨 1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题． 2．第（3）题的关键是求点 E的坐标，反复用到数形结合，注意 y轴负半轴上的点的纵 坐标的符号与线段长的关系． 3．根据 C、D的坐标，可以知道直角三角形 CDE是等腰直角三角形，这样写点 E的坐 标就简单了． 满分解答 （1）设抛物线的函数表达式为 2( 1)y x n ，代入点 C(0，－3)，得 4n ．所以抛 物线的函数表达式为 2 2( 1) 4 2 3y x x x ． （2）由 2 2 3 ( 1)( 3)y x x x x ，知 A(－1，0)，B(3，0)．设直线 BC的函数表达 式为 y kx b ，代入点 B(3，0)和点 C(0，－3)，得 3 0, 3. k b b 解得 1k ， 3b ．所以 直线 BC的函数表达式为 3y x ． （3）①因为 AB＝4，所以 3 3 4 PQ AB ．因为 P、Q关于直线 x＝1 对称，所以点 P 的横坐标为 1 2 ．于是得到点 P 的坐标为 1 7, 2 4 ，点 F 的坐标为 70, 4 ．所以 7 53 4 4 FC OC OF ， 52 2 EC FC ． 进而得到 5 13 2 2 OE OC EC ，点 E的坐标为 10, 2 ． 直线 BC: 3y x 与抛物线的对称轴 x＝1的交点 D的坐标为（1，－2）． 过点 D作 DH⊥y轴，垂足为 H． 在 Rt△EDH中，DH＝1， 1 32 2 2 EH OH OE ，所以 tan∠CED 2 3 DH EH ． ② 1(1 2, 2)P ， 2 6 5(1 , ) 2 2 P ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题②求点 P的坐标的步骤是： 如图 3，图 4，先分两种情况求出等腰直角三角形 CDE的顶点 E的坐标，再求出 CE的 中点 F的坐标，把点 F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的 x的较小的一个值就是点 P 的横坐标． 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 设直线 l1：y＝k1x＋b1与 l2：y＝k2x＋b2，若 l1⊥l2，垂足为 H，则称直线 l1与 l2是点 H 的直角线． （1）已知直线① 1 2 2 y x ；② 2y x ；③ 2 2y x ；④ 2 4y x 和点 C(0，2)，则直线_______和_______是点 C的直角线 （填序号即可）； （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC的顶点 A(3， 0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段 OC上一点，设过 B、P两点的直 线为 l1，过 A、P两点的直线为 l2，若 l1与 l2是点 P的直角线，求 直线 l1与 l2的解析式． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11浙江 23”，拖动点 P在 OC上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA． 答案 （1）直线①和③是点 C的直角线． （2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么 BC PO CP OA ，即 2 7 3 PO PO ．解得 OP ＝6或 OP＝1． 如图 2，当 OP＝6时，l1： 1 6 2 y x ， l2：y＝－2x＋6． 如图 3，当 OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2： 1 1 3 y x ． 图 2 图 3 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2 21 5 3 2 4 4 m my x x m m 与 x轴的交点 分别为原点 O和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上． （1）求点 B的坐标； （2）点 P在线段 OA上，从点 O出发向点 A运动，过点 P作 x轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE到点 D，使得 ED＝PE，以 PD为斜边，在 PD右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P运动时，点 C、D也随之运动）． ①当等腰直角三角形 PCD的顶点 C落在此抛物线上时，求 OP的长； ②若点 P从点 O出发向点 A作匀速运动，速度为每秒 1个单位，同时线段 OA上另一 个点 Q从点 A出发向点 O作匀速运动，速度为每秒 2个单位（当点 Q到达点 O时停止运动， 点 P也停止运动）．过 Q作 x轴的垂线，与直线 AB交于点 F，延长 QF到点 M，使得 FM＝ QF，以 QM为斜边，在 QM的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q运动时，点 M、N也 随之运动）．若点 P运动到 t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线 上，求此刻 t的值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10北京 24”，拖动点 P从 O向 A运动，可以体验到，两个等 腰直角三角形的边有三个时刻可以共线． 思路点拨 1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了． 2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t的式子表示这些线段的长． 3．点 C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于 t的方程 就可以求解了． 满分解答 (1) 因 为 抛 物 线 2 21 5 3 2 4 4 m my x x m m 经 过 原 点 ， 所 以 2 3 2 0m m ． 解得 1 2m ， 2 1m （舍去）．因此 21 5 4 2 y x x ．所以点 B的坐 标为（2，4）． (2) ①如图 4，设 OP的长为 t，那么 PE＝2t，EC＝2t，点 C的坐标为(3t, 2t)．当点 C 落在抛物线上时， 21 52 (3 ) 3 4 2 t t t ．解得 22 9 t OP ． ②如图 1，当两条斜边 PD与 QM在同一条直线上时，点 P、Q重合．此时 3t＝10．解 得 10 3 t ． 如图 2，当两条直角边 PC与 MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝ PE．此时10 3 2t t ．解得 2t ． 如图 3，当两条直角边 DC与 QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝ PD．此时10 3 4t t ．解得 10 7 t ． 图 1 图 2 图 3 考点伸展 在本题情境下，如果以 PD为直径的圆 E与以 QM为直径的圆 F相切，求 t的值． 如图 5，当 P、Q重合时，两圆内切， 10 3 t ． 如图 6，当两圆外切时， 30 20 2t ． 图 4 图 5 图 6 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 如图 1，已知 A、B是线段 MN上的两点， 4MN ， 1MA ， 1MB ．以 A为中心顺 时针旋转点 M，以 B为中心逆时针旋转点 N，使 M、N两点重合成一点 C，构成△ABC，设 xAB ． （1）求 x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求 x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09嘉兴 24”，拖动点 B在 AN上运动，可以体验到，三角形的 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可 能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当 AB等于 1.5 时，面积达到最大值． 思路点拨 1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x的不等式组，可 以求得 x的取值范围． 2．分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的 存在性． 3．把△ABC的面积 S的问题，转化为 S2的问题．AB边上的高 CD要根据位置关系分 类讨论，分 CD在三角形内部和外部两种情况． 满分解答 （1）在△ABC中， 1AC ， xAB ， xBC 3 ，所以 .31 ,31 xx xx 解得 21 x ． （2）①若 AC为斜边，则 22 )3(1 xx ，即 0432 xx ，此方程无实根． ②若 AB为斜边，则 1)3( 22 xx ，解得 3 5 x ，满足 21 x ． ③若 BC为斜边，则 22 1)3( xx ，解得 3 4 x ，满足 21 x ． 因此当 3 5 x 或 3 4 x 时，△ABC是直角三角形． （3）在△ABC中，作 ABCD 于 D，设 hCD ，△ABC的面积为 S，则 xhS 2 1 ． ①如图 2，若点 D 在线段 AB 上，则 xhxh 222 )3(1 ． 移项，得 222 1)3( hxhx ．两边平方，得 22222 112)3( hhxxhx ．整理， 得 431 2 xhx ． 两 边 平 方 ， 得 16249)1( 222 xxhx ． 整 理 ， 得 16248 222 xxhx 所以 462 4 1 2222 xxhxS 2 1) 2 3(2 2 x （ 4 2 3 x ≤ ）． 当 2 3 x 时（满足 4 2 3 x ≤ ）， 2S 取最大值 2 1 ，从而 S取最大值 2 2 ． 图 2 图 3 ②如图 3，若点 D在线段 MA上，则 xhhx 222 1)3( ． 同理可得， 462 4 1 2222 xxhxS 2 1) 2 3(2 2 x （ 41 3 x ≤ ）． 易知此时 2 2 S ． 综合①②得，△ABC的最大面积为 2 2 ． 考点伸展 第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设 aAD ， 例如在图 2中，由 2222 BDBCADAC 列方程 222 )()3(1 axxa ． 整理，得 x xa 43 ．所以 21 a 2 22 16248431 x xx x x ． 因此 462)1( 4 1 2222 xxaxS ． 例 7 2008 年河南省中考第 23 题 如图 1，直线 4 3 4 xy 和 x轴、y轴的交点分别为 B、C，点 A的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点 M从 A出发沿 x轴向点 B运动，同时动点 N从点 B出发沿线段 BC向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设 M运动 t秒时，△MON的面积为 S． ① 求 S与 t的函数关系式； ② 设点 M在线段 OB上运动时，是否存在 S＝4的情形？若存在，求出对应的 t值；若 不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求 t的值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“08河南 23”，拖动点 M从 A向 B运动，观察 S随 t变化的图 象，可以体验到，当 M在 AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当 M在 OB上时， S随 t的增大而增大． 观察 S的度量值，可以看到，S的值可以等于 4． 观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 思路点拨 1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点 M、N同时出发，同时到达 终点． 2．不论 M在 AO上还是在 OB上，用含有 t的式子表示 OM边上的高都是相同的，用 含有 t的式子表示 OM要分类讨论． 3．将 S＝4代入对应的函数解析式，解关于 t的方程． 4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 满分解答 （1）直线 4 3 4 xy 与 x轴的交点为 B（3，0）、与 y轴的交点 C（0，4）．Rt△BOC 中，OB＝3，OC＝4，所以 BC＝5．点 A的坐标是（-2，0），所以 BA＝5．因此 BC＝BA， 所以△ABC是等腰三角形． （2）①如图 2，图 3，过点 N作 NH⊥AB，垂足为 H．在 Rt△BNH中，BN＝t， 4sin 5 B ， 所以 4 5 NH t ． 如图 2，当 M在 AO上时，OM＝2－t，此时 21 1 4 2 4(2 ) 2 2 5 5 5 S OM NH t t t t ． 定义域为 0＜t≤2． 如图 3，当 M在 OB上时，OM＝t－2，此时 21 1 4 2 4( 2) 2 2 5 5 5 S OM NH t t t t ． 定义域为 2＜t≤5． 图 2 图 3 ②把 S＝4代入 22 4 5 5 S t t ，得 22 4 4 5 5 t t ．解得 1 2 11t ， 2 2 11t （舍 去负值）．因此，当点 M在线段 OB上运动时，存在 S＝4的情形，此时 2 11t ． ③如图 4，当∠OMN＝90°时，在 Rt△BNM中，BN＝t，BM 5 t ， 3cos 5 B ，所 以 5 3 5 t t ．解得 25 8 t ． 如图 5，当∠OMN＝90°时，N与 C重合， 5t ．不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当 25 8 t 或者 5t 时，△MON为直角三角形． 图 4 图 5 考点伸展 在本题情景下，如果△MON的边与 AC平行，求 t的值． 如图 6，当 ON//AC时，t＝3；如图 7，当 MN//AC时，t＝2.5． 图 6 图 7 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012 年福州市中考第 21 题 如图 1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点 P从点 A开始沿边 AC向 点 C以每秒 1个单位长度的速度运动，动点 Q从点 C开始沿边 CB向点 B以每秒 2个单位 长度的速度运动，过点 P作 PD//BC，交 AB于点 D，联结 PQ．点 P、Q分别从点 A、C同 时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t秒（t≥0）． （1）直接用含 t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在 t的值，使四边形 PDBQ为菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，说 明理由，并探究如何改变点 Q的速度（匀速运动），使四边形 PDBQ在某一时刻为菱形，求 点 Q的速度； （3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ的中点 M所经过的路径长． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“12福州 21”，拖动左图中的点 P运动，可以体验到，PQ的中 点 M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点 Q运动，可以体验到，当 PQ//AB时，四边 形 PDBQ为菱形． 请打开超级画板文件名“12福州 21”，拖动点 Q向上运动，可以体验到，PQ的中点 M 的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成 1.07，可以体验到，当 PQ//AB 时，四边形 PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成 1. 思路点拨 1．菱形 PDBQ必须符合两个条件，点 P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点 P 运动的时间 t，再根据 PQ//AB，对应线段成比例求 CQ的长，从而求出点 Q的速度． 2．探究点 M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M的路 径． 满分解答 （1）QB＝8－2t，PD＝ 4 3 t． （2）如图 3，作∠ABC的平分线交 CA于 P，过点 P作 PQ//AB交 BC于 Q，那么四边形 PDBQ是菱形． 过点 P作 PE⊥AB，垂足为 E，那么 BE＝BC＝8． 在 Rt △ ABC 中 ， AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 所 以 AB ＝ 10． 图 3 在 Rt△APE中， 2 3cos 5 AEA AP t ，所以 10 3 t ． 当 PQ//AB时， CQ CP CB CA ，即 106 3 8 6 CQ ．解得 32 9 CQ ． 所以点 Q的运动速度为 32 10 16 9 3 15 ． （3）以 C为原点建立直角坐标系． 如图 4，当 t＝0时，PQ的中点就是 AC的中点 E(3，0)． 如图 5，当 t＝4时，PQ的中点就是 PB的中点 F(1，4)． 直线 EF的解析式是 y＝－2x＋6． 如图 6，PQ的中点 M的坐标可以表示为（ 6 2 t ，t）．经验证，点 M（ 6 2 t ，t）在直 线 EF上． 所以 PQ的中点 M的运动路径长就是线段 EF的长，EF＝ 2 5． 图 4 图 5 图 6 考点伸展 第（3）题求点 M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当 t＝2时，PQ的中点为(2，2)． 设点 M的运动路径的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，代入 E(3，0)、F(1，4)和(2，2)， 得 9 3 0, 4, 4 2 2. a b c a b c a b c 解得 a＝0，b＝－2，c＝6． 所以点 M的运动路径的解析式为 y＝－2x＋6． 例 2 2012 年烟台市中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以 A为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c过点 C．动点 P从点 A出发，沿线段 AB向点 B运动，同 时动点 Q从点 C出发，沿线段 CD向点 D运动．点 P、Q的运动速度均为每秒 1个单位， 运动时间为 t秒．过点 P作 PE⊥AB交 AC于点 E． （1）直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E作 EF⊥AD于 F，交抛物线于点 G，当 t为何值时，△ACG的面积最大？ 最大值为多少？ （3）在动点 P、Q运动的过程中，当 t为何值时，在矩形 ABCD内（包括边界）存在 点 H，使以 C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t的值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12烟台 26”，拖动点 P在 AB上运动，可以体验到，当 P在 AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和 △ECH′，可以体验到，线段 EQ的垂直平分线可以经过点 C和 F，线段 CE的垂直平分线可 以经过点 Q和 H′，因此以 C、Q、E、H为顶点的菱形有 2个． 请打开超级画板文件名“12烟台 26”，拖动点 P在 AB上运动，可以体验到，当 P在 AB的中点时，即 t=2，△ACG的面积取得最大值 1．观察 CQ，EQ，EC的值，发现以 C、 Q、E、H为顶点的菱形有 2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。 思路点拨 1．把△ACG分割成以 GE为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD． 2．用含有 t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来． 3．构造以 C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在． 满分解答 （1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2＋4， 代入点 C(3, 0)，可得 a＝－1． 所以抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． （2）因为 PE//BC，所以 2AP AB PE BC ．因此 1 1 2 2 PE AP t ． 所以点 E的横坐标为 11 2 t ． 将 11 2 x t 代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝ 214 4 t ． 所以点 G的纵坐标为 214 4 t ．于是得到 2 21 1(4 ) (4 ) 4 4 GE t t t t ． 因此 2 21 1 1( ) ( 2) 1 2 4 4ACG AGE CGES S S GE AF DF t t t ． 所以当 t＝1时，△ACG面积的最大值为 1． （3） 20 13 t 或 20 8 5t ． 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的： 因为 FE//QC，FE＝QC，所以四边形 FECQ是平行四边形．再构造点 F关于 PE轴对称 的点 H′，那么四边形 EH′CQ也是平行四边形． 再根据 FQ＝CQ列关于 t的方程，检验四边形 FECQ是否为菱形，根据 EQ＝CQ列关 于 t的方程，检验四边形 EH′CQ是否为菱形． 1(1 ,4 ) 2 E t t ， 1(1 ,4) 2 F t ， (3, )Q t ， (3,0)C ． 如图 2，当 FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此 2 2 21( 2) (4 ) 2 t t t ． 整理，得 2 40 80 0t t ．解得 1 20 8 5t ， 2 20 8 5t （舍去）． 如图 3，当 EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此 2 2 21( 2) (4 2 ) 2 t t t ． 整理，得 213 72 800 0t t ． (13 20)( 40) 0t t ．所以 1 20 13 t ， 2 40t （舍去）． 图 2 图 3 例 3 2011 年上海市中考第 24 题 已知平面直角坐标系 xOy（如图 1），一次函数 3 3 4 y x 的图象与 y轴交于点 A，点 M 在正比例函数 3 2 y x 的图象上，且 MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图象经过点 A、M． （1）求线段 AM的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点 B在 y轴上，且位于点 A下方，点 C在上述 二次函数的图象上，点 D在一次函数 3 3 4 y x 的图象上，且 四边形 ABCD是菱形，求点 C的坐标． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海 24”，拖动点 B在 y轴上点 A下方运动，四边形 ABCD 保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点 C有一次机会落在抛物线上． 思路点拨 1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来， 但是对抛物线的位置要心中有数． 2．根据 MO＝MA确定点 M在 OA的垂直平分线上，并且求得点 M的坐标，是整个题 目成败的一个决定性步骤． 3．第（3）题求点 C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母 m表示点 C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母 m． 满分解答 （1）当 x＝0时， 3 3 3 4 y x ，所以点 A的坐标为(0，3)，OA＝3． 如图 2，因为 MO＝MA，所以点 M在 OA的垂直平分线上，点 M的纵坐标为 3 2 ．将 3 2 y 代入 3 2 y x ，得 x＝1．所以点 M的坐标为 3(1, ) 2 ．因此 13 2 AM ． （2）因为抛物线 y＝x2＋bx＋c经过 A(0，3)、M 3(1, ) 2 ，所以 3, 31 . 2 c b c 解得 5 2 b ， 3c ．所以二次函数的解析式为 2 5 3 2 y x x ． （3）如图 3，设四边形 ABCD为菱形，过点 A作 AE⊥CD，垂足为 E． 在 Rt△ADE中，设 AE＝4m，DE＝3m，那么 AD＝5m． 因此点 C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点 C(4m，3－2m)代入 2 5 3 2 y x x ，得 23 2 16 10 3m m m ．解得 1 2 m 或者 m＝0（舍去）． 因此点 C的坐标为（2，2）． 图 2 图 3 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形 ABCD是菱形”改为“以 A、B、C、D为顶点的四边形 是菱形”，那么还存在另一种情况： 如图 4，点 C的坐标为 7 27( , ) 4 16 ． 图 4 例 4 2011 年江西省中考第 24 题 将抛物线 c1： 23 3y x 沿 x轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1所示． （1）请直接写出抛物线 c2的表达式； （2）现将抛物线 c1向左平移 m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x轴 的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2向右也平移 m个单位长度，平移后得到新抛物线 的顶点为 N，与 x轴的交点从左到右依次为 D、E． ①当 B、D是线段 AE的三等分点时，求 m的值； ②在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在， 请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11江西 24”，拖动点 M向左平移，可以体验到，四边形 ANEM 可以成为矩形，此时 B、D重合在原点．观察 B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线 段 AE的三等分点，存在两种情况． 思路点拨 1．把 A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用 m的式子把这六个点 平移过程中的坐标罗列出来． 2．B、D是线段 AE的三等分点，分两种情况讨论，按照 AB与 AE的大小写出等量关 系列关于 m的方程． 3．根据矩形的对角线相等列方程． 满分解答 （1）抛物线 c2的表达式为 23 3y x ． （2）抛物线 c1： 23 3y x 与 x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为 (0, 3)． 抛物线 c2： 23 3y x 与 x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为 (0, 3) ． 抛物线 c1向左平移 m个单位长度后，顶点 M的坐标为 ( , 3)m ，与 x轴的两个交点为 ( 1 ,0)A m 、 (1 ,0)B m ，AB＝2． 抛物线 c2向右平移 m个单位长度后，顶点 N的坐标为 ( , 3)m ，与 x轴的两个交点为 ( 1 ,0)D m 、 (1 ,0)E m ．所以 AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)． ①B、D是线段 AE的三等分点，存在两种情况： 情形一，如图 2，B在 D的左侧，此时 1 2 3 AB AE ，AE＝6．所以 2(1＋m)＝6．解得 m＝2． 情形二，如图 3，B在 D的右侧，此时 2 2 3 AB AE ，AE＝3．所以 2(1＋m)＝3．解得 1 2 m ． 图 2 图 3 图 4 ②如果以点 A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么 AE＝MN＝2OM．而 OM2＝m2 ＋3，所以 4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得 m＝1（如图 4）． 考点伸展 第（2）题②，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法： 在等腰三角形 ABM中，因为 AB＝2，AB边上的高为 3，所以△ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．当四边形 ANEM是矩形时，B、D两点重合． 因为起始位置时 BD＝2，所以平移的距离 m＝1． 例 5 2010 年河南省中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点 M的横坐标为 m，△MAB的面积为 S， 求 S关于 m的函数关系式，并求出 S的最大值； （3）若点 P是抛物线上的动点，点 Q是直线 y＝－x上的动点，判断有几个位置能使 以点 P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q的坐标． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“10河南 23”，拖动点 M在第三象限内抛物线上运动，观察 S 随 m变化的图象，可以体验到，当 D是 AB的中点时，S取得最大值．拖动点 Q在直线 y ＝－x上运动，可以体验到，以点 P、Q、B、O为顶点的四边形有 3个时刻可以成为平行四 边形，双击按钮可以准确显示． 思路点拨 1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便． 2．把△MAB分割为共底 MD的两个三角形，高的和为定值 OA． 3．当 PQ与 OB平行且相等时，以点 P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按 照 P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程． 满分解答 (1) 因为抛物线与 x轴交于 A(－4,0)、C(2,0)两点，设 y＝a(x＋4)(x－2)．代入点 B(0,－ 4)，求得 1 2 a ．所以抛物线的解析式为 21 1( 4)( 2) 4 2 2 y x x x x ． (2)如图 2，直线 AB 的解析式为 y＝－x－4．过点 M作 x轴的垂线交 AB 于 D，那么 2 21 1( 4) ( 4) 2 2 2 MD m m m m m ．所以 21 4 2MDA MDBS S S MD OA m m 2( 2) 4m ． 因此当 2m 时，S取得最大值，最大值为 4． (3) 如果以点 P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么 PQ//OB，PQ＝OB＝4． 设点 Q的坐标为 ( , )x x ，点 P的坐标为 21( , 4) 2 x x x ． ①当点 P在点 Q上方时， 21( 4) ( ) 4 2 x x x ．解得 2 2 5x ． 此时点 Q的坐标为 ( 2 2 5,2 2 5) （如图 3），或 ( 2 2 5,2 2 5) （如图 4）． ②当点 Q在点 P上方时， 21( ) ( 4) 4 2 x x x ． 解得 4x 或 0x （与点 O重合，舍去）．此时点 Q的坐标为(－4,4) （如图 5）． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在本题情境下，以点 P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？ 如图 6，Q(2,－2)；如图 7，Q(－2,2)；如图 8，Q(4,－4)． 图 6 图 7 图 8 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 在直角梯形 OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3 5 ．分别以 OA、OC边所在直线为 x轴、y轴建立如图 1所示的平面直角坐标系． （1）求点 B的坐标； （2）已知 D、E分别为线段 OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线 DE交 x轴于 点 F．求直线 DE的解析式； （3）点 M是（2）中直线 DE上的一个动点，在 x轴上方的平面内是否存在另一点 N， 使以 O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说 明理由． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“10 山西 26”，拖动点 M可以在直线 DE上运动．分别双击按 钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形． 思路点拨 1．第（1）题和第（2）题蕴含了 OB与 DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了 计算基础． 2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照 DO为边和对角线分类，再进行二级分 类，DO与 DM、DO与 DN为邻边． 满分解答 (1)如图 2，作 BH⊥x轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在 Rt△ABH中，AH＝3，BA＝3 5 ，所以 BH＝6．因此点 B的坐标为(3,6)． (2) 因为 OE＝2EB，所以 2 2 3E Bx x ， 2 4 3E By y ，E(2,4)． 设直线 DE的解析式为 y＝kx＋b，代入 D(0,5)，E(2,4)，得 5, 2 4. b k b 解得 1 2 k ， 5b ．所以直线 DE的解析式为 1 5 2 y x ． (3) 由 1 5 2 y x ，知直线 DE与 x轴交于点 F(10,0)，OF＝10，DF＝5 5． ①如图 3，当 DO为菱形的对角线时，MN与 DO互相垂直平分，点 M是 DF的中点．此 时点 M的坐标为(5, 5 2 )，点 N的坐标为(－5, 5 2 )． ②如图 4，当 DO、DN为菱形的邻边时，点 N与点 O关于点 E对称，此时点 N的坐标 为(4,8)． ③如图 5，当 DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长 MN交 x轴于 P． 由△NPO∽△DOF，得 NP PO NO DO OF DF ，即 5 5 10 5 5 NP PO ．解得 5NP ， 2 5PO ．此时点 N的坐标为 ( 2 5, 5) ． 图 3 图 4 考点伸展 如果第（3）题没有限定点 N在 x轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6的情形． 图 5 图 6 例 7 2009 年福州市中考第 21 题 如图 1，等边△ABC的边长为 4，E是边 BC上的动点，EH⊥AC于 H，过 E作 EF∥AC， 交线段 AB于点 F，在线段 AC上取点 P，使 PE＝EB．设 EC＝x（0＜x≤2）． （1）请直接写出图中与线段 EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）； （2）Q是线段 AC上的动点，当四边形 EFPQ是平行四边形时，求平行四边形 EFPQ 的面积（用含 x的代数式表示）； （3）当（2）中 的平行四边形 EFPQ面积最大值时，以 E为圆心，r为半径作圆，根 据⊙E与此时平行四边形 EFPQ四条边交点的总个数，求相应的 r的取值范围． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09福州 21”，拖动点 E在 BC上运动，观察面积随 x变化的图 象，可以体验到，当 E是 BC的中点时，平行四边形 EFPQ的面积最大，此时四边形 EFPQ 是菱形． 拖动点 M在 BC的垂直平分线上运动可以改变⊙E的大小，可以体验到，⊙E与平行四 边形 EFPQ四条边交点的总个数可能为 2，4，6，3，0． 思路点拨 1．如何用含有 x的式子表示平行四边形的边 PQ，第（1）题作了暗示． 2．通过计算，求出平行四边形面积最大时的 x值，准确、规范地画出此时的图形是解 第（3）题的关键，此时点 E是 BC的中点，图形充满了特殊性． 3．画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点 H的圆，过点 C的圆． 满分解答 （1）BE、PE、BF三条线段中任选两条． （2）如图 2，在 Rt△CEH中，∠C＝60°，EC＝x，所以 xEH 2 3 ．因为 PQ＝FE ＝BE＝4－x，所以 xxxxEHPQS EFPQ 32 2 3)4( 2 3 2 平行四边形 ． （3）因为 xxS EFPQ 32 2 3 2 平行四边形 322 2 3 2 ）（x ，所以当 x＝2时， 平行四边形 EFPQ的面积最大． 此时 E、F、P分别为△ABC的三边 BC、AB、AC的中点，且 C、Q重合，四边形 EFPQ 是边长为 2的菱形（如图 3）． 图 2 图 3 过点 E点作 ED⊥FP于 D，则 ED＝EH＝ 3． 如图 4，当⊙E与平行四边形 EFPQ的四条边交点的总个数是 2个时，0＜r＜ 3； 如图 5，当⊙E与平行四边形 EFPQ的四条边交点的总个数是 4个时，r＝ 3； 如图 6，当⊙E与平行四边形 EFPQ的四条边交点的总个数是 6个时， 3＜r＜2； 如图 7，当⊙E与平行四边形 EFPQ的四条边交点的总个数是 3个时，r＝2时； 如图 8，当⊙E与平行四边形 EFPQ的四条边交点的总个数是 0个时，r＞2时． 图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展 本题中 E是边 BC上的动点，设 EC＝x，如果没有限定 0＜x≤2，那么平行四边形 EFPQ 的面积是如何随 x的变化而变化的？ 事实上，当 x＞2时，点 P就不存在了，平行四边形 EFPQ也就不存在了． 因此平行四边形 EFPQ的面积随 x的增大而增大． 例 8 2009 年江西省中考第 24 题 如图 1，抛物线 322 xxy 与 x轴相交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D． （1）直接写出 A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P为线段 BC上的一个动点，过点 P作 PF//DE交抛物线于点 F，设点 P的横坐标为 m． ①用含 m的代数式表示线段 PF的长，并求出当 m为何值时，四边形 PEDF为平行四 边形？ ②设△BCF的面积为 S，求 S与 m的函数关系． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09 江西 24”，拖动点 P在 BC上运动，可以体验到，四边形 PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和 S随 m变化的图象，可以体验到，S是 m 的二次函数，当 P是 BC的中点时，S取得最大值． 思路点拨 1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形 PEDF为平行四边形时，根据 DE=FP列关于 m的方程． 3．把△BCF分割为两个共底 FP的三角形，高的和等于 OB． 满分解答 （1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是 x＝1． （2）①直线 BC的解析式为 y＝－x＋3． 把 x＝1代入 y＝－x＋3，得 y＝2．所以点 E的坐标为（1，2）． 把 x＝1代入 322 xxy ，得 y＝4．所以点 D的坐标为（1，4）． 因此 DE=2． 因为 PF//DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为 )3,( mm ，点 F 的坐标为 )32,0( 2 mm ，因此 mmmmmFP 3)3()32( 22 ． 当四边形 PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到 232 mm ．解得 21 m ， 12 m （与点 E重合，舍去）． 因此，当 m=2时，四边形 PEDF是平行四边形时． ②设直线 PF与 x轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3．因此 BMFPOMFPSSSS CPFBPFBCF 2 1 2 1 mmmm 2 9 2 33)3( 2 1 22 ． m的变化范围是 0≤m≤3． 图 2 图 3 考点伸展 在本题条件下，四边形 PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求 m的值；如果不可能， 请说明理由． 如图 4，如果四边形 PEDF是等腰梯形，那么 DG=EH，因此 EPFD yyyy ． 于是 2)3()32(4 2 mmm ．解得 01 m （与点 CE重合，舍去）， 12 m （与点 E重合，舍去）． 因此四边形 PEDF不可能成为等腰梯形． 图 4 1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江区中考模拟第 24题 已知直线 y＝3x－3分别与 x轴、y轴交于点 A，B，抛物线 y＝ax2＋2x＋c经过点 A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶 点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线 l，点 B关于直线 l的对称 点为 C，若点 D在 y轴的正半轴上，且四边形 ABCD为梯形． ①求点 D的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为 P，其对称 轴与直线 y＝3x－3交于点 E，若 7 3tan DPE ，求四边形 BDEP 的面积． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12松江 24”，拖动点 P向右运动，可以体验到，D、P间的垂 直距离等于 7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等． 请打开超级画板文件名“12松江 24”， 拖动点 P向右运动，可以体验到，D、P间的 垂直距离等于 7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等，tan 0.43DPE ，四边形 BDEP的 面积为 24． 思路点拨 1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出， 画出对称轴就可以了． 2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是 D、P两点间的垂直距离等于 7． 3．已知∠DPE的正切值中的 7的几何意义就是 D、P两点间的垂直距离等于 7，那么 点 P向右平移到直线 x＝3时，就停止平移． 满分解答 （1）直线 y＝3x－3与 x轴的交点为 A(1，0)，与 y轴的交点为 B(0,－3)． 将 A(1，0)、B(0,－3)分别代入 y＝ax2＋2x＋c， 得 2 0, 3. a c c 解得 1, 3. a c 所以抛物线的表达式为 y＝x2＋2x－3． 对称轴为直线 x＝－1，顶点为(－1,－4)． （2）①如图 2，点 B关于直线 l的对称点 C的坐标为(－2,－3)． 因为 CD//AB，设直线 CD的解析式为 y＝3x＋b， 代入点 C(－2,－3)，可得 b＝3． 所以点 D的坐标为（0，3）． ②过点 P作 PH⊥y轴，垂足为 H，那么∠PDH＝∠DPE． 由 7 3tan DPE ，得 3tan 7 PHPDH DH ． 而 DH＝7，所以 PH＝3． 因此点 E的坐标为（3，6）． 所以 1 ( ) 24 2BDEPS BD EP PH 梯形 ． 图 2 图 3 考点伸展 第（2）①用几何法求点 D的坐标更简便： 因为 CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO． 因此 1 3 BC OA BD OB ．所以 BD＝3BC＝6，OD＝3．因此 D（0，3）． 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 如图 1，把两个全等的 Rt△AOB和 Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OD在 x轴上．已知点 A(1，2)，过 A、C两点的直线分别交 x轴、y轴于点 E、F．抛 物线 y＝ax2＋bx＋c经过 O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点 P为线段 OC上的一个动点，过点 P作 y轴的 平行线交抛物线于点 M，交 x轴于点 N，问是否存在这样的 点 P，使得四边形 ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若△AOB沿 AC方向平移（点 A始终在线段 AC 上，且不与点 C重合），△AOB在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记为 S．试探究 S是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12衢州 24”， 拖动点 P在线段 OC上运动，可以体验到，在 AB的左侧，存在等腰梯形 ABPM．拖动点 A′在线段 AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、 Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和 Rt△EHK的两条直角边的比都为 1∶2． 请打开超级画板文件名“12 衢州 24”，拖动点 P在线段 OC上运动，可以体验到，在 AB的左侧，存在 AM=BP．拖动点 A′在线段 AC上运动，发现 S最大值为 0.375． 思路点拨 1．如果四边形 ABPM是等腰梯形，那么 AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为 一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的 3小段，两侧的线段长线段． 2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形 EFGH，可以通过割补得到，即△OFG 减去△OEH． 3．求△OEH的面积时，如果构造底边 OH上的高 EK，那么 Rt△EHK的直角边的比为 1∶2． 4．设点 A′移动的水平距离为 m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用 m表示． 满分解答 （1）将 A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入 y＝ax2＋bx＋c， 得 2, 0, 4 2 1. a b c c a b c 解得 3 2 a ， 7 2 b ， 0c ． 所以 23 7 2 2 y x x ． （2）如图 2，过点 P、M分别作梯形 ABPM的高 PP′、MM′，如果梯形 ABPM是等腰 梯形，那么 AM′＝BP′，因此 yA－y M′＝yP′－yB． 直线 OC的解析式为 1 2 y x ，设点 P的坐标为 1( , ) 2 x x ，那么 23 7( , ) 2 2 M x x x ． 解方程 23 7 12 ( ) 2 2 2 x x x ，得 1 2 3 x ， 2 2x ． x＝2的几何意义是 P与 C重合，此时梯形不存在．所以 2 1( , ) 3 3 P ． 图 2 图 3 （3）如图 3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形 EFGH，作 EK⊥OD于 K． 设点 A′移动的水平距离为 m，那么 OG＝1＋m，GB′＝m． 在 Rt△OFG中， 1 1 (1 ) 2 2 FG OG m ．所以 21 (1 ) 4OFGS m ． 在 Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以 1 1 1' (2 ) 1 2 2 2 HG A G m m ． 所以 1 3(1 ) (1 ) 2 2 OH OG HG m m m ． 在 Rt△OEK中，OK＝2 EK；在 Rt△EHK中，EK＝2HK；所以 OK＝4HK． 因此 4 4 3 2 3 3 2 OK OH m m ．所以 1 2 EK OK m ． 所以 21 1 3 3 2 2 2 4OEHS OH EK m m m ． 于是 2 2 21 3 1 1 1(1 ) 4 4 2 2 4OFG OEHS S S m m m m 21 1 3( ) 2 2 8 m ． 因为 0＜m＜1，所以当 1 2 m 时，S取得最大值，最大值为 3 8 ． 考点伸展 第（3）题也可以这样来解：设点 A′的横坐标为 a． 由直线 AC：y＝－x＋3，可得 A′(a, －a＋3)． 由直线 OC： 1 2 y x ，可得 1( , ) 2 F a a ． 由直线 OA：y＝2x及 A′(a, －a＋3)，可得直线 O′A′：y＝2x－3a＋3， 3 3( ,0) 2 aH ． 由直线 OC和直线 O′A′可求得交点 E(2a－2，a－1)． 由 E、F、G、H 4个点的坐标，可得 例 3 2011 年北京市海淀区中考模拟第 24题 已知平面直角坐标系 xOy中， 抛物线 y＝ax2－(a＋1)x与直线 y＝kx的一个公共点为 A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点 P在线段 OA上，过点 P作 y轴的平行线交（1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为 M，点 N在此抛物线上，若四边形 AOMN恰好是梯形， 求点 N的坐标及梯形 AOMN的面积． 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“11海淀 24”，拖动点 P在 OA上运动，观察 PQ的长随点 P变 化的跟踪点，可以体验到，当 P运动到 OA的中点时，PQ的长取得最大值． 答案 （1）抛物线的解析式为 y＝x2－2x，直线的解析式为 y＝2x． （2）如图 1，当 P为 OA的中点时， PQ的长度取得最大值为 4． （3）如图 2，如果四边形 AOMN是梯形，那么点 N的坐标为(3，3)，梯形 AOMN的面 积为 9． 图 1 图 2 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题 已知二次函数的图象经过 A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x＝4，设顶点为 点 P，与 x轴的另一交点为点 B． （1）求二次函数的解析式及顶点 P的坐标； （2）如图 1，在直线 y＝2x上是否存在点 D，使四边形 OPBD为等腰梯形？若存在， 求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 M是线段 OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 2个单位长度 的速度由点 P向点 O 运动，过点 M作直线 MN//x轴，交 PB于点 N． 将△PMN沿直线 MN 对折，得到△P1MN． 在动点 M的运动过程中，设△P1MN与梯形 OMNB的重叠部分的面 积为 S，运动时间为 t秒，求 S关于 t的函数关系式． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“11义乌 24”，拖动点 M从 P向 O运动，可以体验到，M在到 达 PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形． 思路点拨 1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解 都要排除平行四边形的情况． 2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是 PO的中点． 满分解答 （1）设抛物线的解析式为 2( 4)y a x k ，代入 A（2，0）、C(0，12) 两点，得 4 0, 16 12. a k a k 解得 1, 4. a k 所以二次函数的解析式为 2 2( 4) 4 8 12y x x x ，顶点 P的坐标为（4，－4）． （2）由 2 8 12 ( 2)( 6)y x x x x ，知点 B的坐标为（6，0）． 假设在等腰梯形 OPBD，那么 DP＝OB＝6．设点 D的坐标为(x，2x)． 由两点间的距离公式，得 2 2( 4) (2 4) 36x x ．解得 2 5 x 或 x＝－2． 如图 3，当 x＝－2时，四边形 ODPB是平行四边形． 所以，当点 D的坐标为( 5 2 ， 5 4 )时，四边形 OPBD为等腰梯形． 图 3 图 4 图 5 （3）设△PMN与△POB的高分别为 PH、PG． 在 Rt△PMH中， 2PM t ， PH MH t ．所以 ' 2 4P G t ． 在 Rt△PNH中， PH t ， 1 1 2 2 NH PH t ．所以 3 2 MN t ． ① 如图 4，当 0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时 21 3 3 2 2 4 S t t t ． ②如图 5，当 2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面 积．由于 2 ' 'P DC PMN S P G S PH △ △ ，所以 2 2 2 ' 2 4 3 3 (2 4) 4 4P DC tS t t t △ ． 此时 2 2 23 3 9(2 4) 12 12 4 4 4 S t t t t ． 考点伸展 第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图： 方法一，按照对角线相等画圆．以 P为圆心，OB长为半径画圆，与直线 y＝2x有两个 交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点． 方法二，按照对边相等画圆．以 B为圆心，OP长为半径画圆，与直线 y＝2x有两个交 点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点． 例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线的解析式是 y ＝ 21 1 4 x ，点 C的坐标为(–4， 0)，平行四边形 OABC的顶点 A，B在抛物线上，AB与 y轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛 物线上，点 P(t，0)在 x轴上． (1) 写出点 M的坐标； (2) 当四边形 CMQP是以 MQ，PC为腰的梯形时． ① 求 t关于 x的函数解析式和自变量 x的取值范围； ② 当梯形 CMQP的两底的长度之比为 1∶2时，求 t的值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10杭州 24”，拖动点 Q在抛物线上运动，从 t随 x变化的图象 可以看到，t是 x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一 种情况，此时 Q在 y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况． 思路点拨 1．第（1）题求点 M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为 1∶2，这是本题的基 本背景图． 2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关 于 t与 x的比例式，从而得到 t关于 x的函数关系． 3．探求自变量 x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况． 4．梯形的两底的长度之比为 1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为 QH与 MO的长度比． 满分解答 (1)因为 AB＝OC＝ 4，A、B关于 y轴对称，所以点 A的横坐标为 2．将 x＝2代入 y＝ 21 1 4 x ，得 y＝2．所以点 M的坐标为（0，2）． (2)① 如图 2，过点 Q作 QH x轴，设垂足为 H，则 HQ＝y 21 1 4 x ，HP＝x– t ． 因 为 CM//PQ ， 所 以 ∠ QPH ＝ ∠ MCO ． 因 此 tan ∠ QPH ＝ tan ∠ MCO ， 即 1 2 HQ OM HP OC ．所以 21 11 ( ) 4 2 x x t ．整理，得 21 2 2 t x x ． 如图 3，当 P与 C重合时， 4t ，解方程 214 2 2 x x ，得 1 5x ． 如图 4，当 Q与 B或 A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝ 2． 因此自变量 x的取值范围是 1 5x ，且 x 2的所有实数． 图 2 图 3 图 4 ②因为 sin∠QPH＝sin∠MCO，所以 HQ OM PQ CM ，即 PQ HQ CM OM ． 当 1 2 PQ HQ CM OM 时， 1 1 2 HQ OM ．解方程 21 1 1 4 x ，得 0x （如图 5）．此 时 2t ． 当 2PQ HQ CM OM 时， 2 4HQ OM ．解方程 21 1 4 4 x ，得 2 3x ． 如图 6，当 2 3x 时， 8 2 3t ；如图 6，当 2 3x 时， 8 2 3t ． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 本题情境下，以 Q为圆心、QM为半径的动圆与 x轴有怎样的位置关系呢？ 设点 Q的坐标为 21, 1 4 x x ，那么 2 2 2 2 2 21 11 1 4 4 QM x x x ． 而点 Q到 x轴的距离为 21 1 4 x ． 因此圆 Q的半径 QM等于圆心 Q到 x轴的距离，圆 Q与 x轴相切． 例 6 2010 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题 已知，矩形 OABC在平面直角坐标系中位置如图 1所示，点 A的坐标为(4,0)，点 C的 坐标为 )20( ， ，直线 xy 3 2 与边 BC相交于点 D． (1)求点 D的坐标； (2)抛物线 cbxaxy 2 经过点 A、D、O，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点 M，使 O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在， 请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10奉贤 24”，分别双击按钮“MO//AD”、“MA//OD”和“MD//OA”， 可以体验到，在“MO//AD”和“MA//OD”两种情况下，根据两直线平行，内错角相等，可 以判定直角三角形相似；在“MD//OA”情况下，根据对称性可以直接得到点 M的坐标． 思路点拨 1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便． 2．过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形． 3．用抛物线的解析式可以表示点 M的坐标． 满分解答 (1)因为 BC//x轴，点 D在 BC上，C(0,－2)，所以点 D的纵坐标为－2．把 y＝－2代入 xy 3 2 ，求得 x＝3．所以点 D的坐标为(3,－2)． (2)由于抛物线与 x轴交于点 O、A(4,0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)，代入 D (3, －2)，得 2 3 a ．所求的二次函数解析式为 22 2 8( 4) 3 3 3 y x x x x ． (3) 设点 M的坐标为 22 8, 3 3 x x x ． ①如图 2，当 OM//DA时，作 MN⊥x轴，DQ⊥x轴，垂足分别为 N、Q．由 tan∠MON ＝tan∠DAQ，得 22 8 3 3 2 x x x ． 因为 x＝0 时点 M与 O重合，因此 2 8 2 3 3 x ，解得 x＝7．此时点 M的坐标为（7， 14）． ②如图 3，当 AM//OD时，由 tan∠MAN＝tan∠DOQ，得 22 8 23 3 4 3 x x x ． 因为 x＝4时点 M与 A重合，因此 2 2 3 3 x ，解得 x＝－1．此时点 M的坐标为 10( 1, ) 3 ． ③如图 4，当 DM//OA时，点 M与点 D关于抛物线的对称轴对称，此时点 M的坐标为 （1，－2）． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题的①、②用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等． 如果用代数法进行，计算过程比较麻烦．以①为例，先求出直线 AD的解析式，再求出 直线 OM的解析式，最后解由直线 OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组． 例 7 2009 年广州市中考第 25 题 如图 1，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于 点 C（0，－1），△ABC的面积为 4 5 ． （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y轴上的一点 M（0，m）作 y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点， 求 m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使以 A、B、C、D为顶点的四边形为直角 梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09广州 25”，可以看到，△ABC是以 AB为斜边的直角三角形， AB是它的外接圆直径，拖动点 M在 y轴上运动，可以体验到，过 M的直线与圆相切或者相 交时有公共点． 在抛物线上有两个符合条件的点 D，使以 A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形． 思路点拨 1．根据△ABC的面积和 AB边上的高确定 AB的长，这样就可以把两个点的坐标用一个 字母表示． 2．数形结合，根据点 A、B、C的坐标确定 OA、OB、OC间的数量关系，得到△AOC ∽△COB，从而得到△ABC是以 AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，再根据 对称性写出 m的取值范围． 3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点 D有两个，但是求点 D的坐标比较 麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些． 满分解答 （1）因为 OC＝1，△ABC的面积为 4 5 ，所以 AB＝ 2 5 ． 设点 A的坐标为（a，0），那么点 B的坐标为（a＋ 2 5 ，0）． 设抛物线的解析式为 ) 2 5)(( axaxy ，代入点 C（0，－1），得 1) 2 5( aa ．解 得 2 1 a 或 2a ． 因为二次函数的解析式 qpxxy 2 中， 0p ，所以抛物线的对称轴在 y轴右侧．因 此点 A、B的坐标分别为 )0, 2 1( ， )0,2( ． 所以抛物线的解析式为 1 2 3)2)( 2 1( 2 xxxxy ． （2）如图 2，因为 1OBOA ， 12 OC ，所以 OB OC OC OA ．因此△AOC∽△COB．所 以△ABC是以 AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为 AB． 因此 m的取值范围是 4 5 ≤m≤ 4 5 ． 图 2 图 3 图 4 （3）设点 D的坐标为 ))2)( 2 1(,( xxx ． ①如图 3，过点 A作 BC的平行线交抛物线于 D，过点 D作 DE⊥x轴于 E． 因为 OBCDAB tantan ，所以 2 1 BO CO AE DE ．因此 2 1 2 1 )2)( 2 1( x xx ．解得 2 5 x ．此时点 D的坐标为 ) 2 3, 2 5( ． 过 点 B 作 AC 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 D， 过 点 D 作 DF⊥ x 轴 于 F． 因 为 CAODBF tantan ，所以 2 AO CO BF DF ．因此 2 2 )2)( 2 1( x xx ．解得 2 5 x ．此 时点 D的坐标为 )9, 2 5( ． 综上所述，当 D的坐标为 ) 2 3, 2 5( 或 )9, 2 5( 时，以 A、B、C、D为顶点的四边形为直 角梯形． 考点伸展 第（3）题可以用代数的方法这样解：例如图 3，先求得直线 BC为 1 2 1 xy ，再根 据 AD//BC求得直线 AD为 4 1 2 1 xy ，由直线 AD和抛物线的解析式组成的方程组，得到 点 D的坐标． 1.6 因动点产生的面积问题 例 1 2012 年菏泽市中考第 21 题 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)， 将此三角板绕原点 O逆时针旋转 90°，得到三角形 A′B′O． （1）一抛物线经过点 A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点 P，使四边形 PB′A′B的面 积是△A′B′O面积的 4倍？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形 PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条 性质． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点 P在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形 PB′A′B是等腰梯形时，四边形 PB′A′B的面积是△A′B′O面积的 4倍． 请打开超级画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点 P在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形 PB′A′B是等腰梯形时，四边形 PB′A′B的面积是△A′B′O面积的 4倍． 思路点拨 1．四边形 PB′A′B的面积是△A′B′O面积的 4倍，可以转化为四边形 PB′OB的面积是 △A′B′O面积的 3倍． 2．联结 PO，四边形 PB′OB可以分割为两个三角形． 3．过点向 x轴作垂线，四边形 PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形． 满分解答 （1）△AOB绕着原点 O逆时针旋转 90°，点 A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与 x轴交于 A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为 y＝a(x＋1)(x－2)， 代入 B′(0, 2)，得 a＝1． 所以该抛物线的解析式为 y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2． （2）S△A′B′O＝1． 如果 S 四边形 PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么 S 四边形 PB′OB＝3 S△A′B′O＝3． 如图 2，作 PD⊥OB，垂足为 D． 设点 P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)． 2 3 2 ' 1 1 1 1( ' ) (2 2) 2 2 2 2 2PB ODS DO B O PD x x x x x x 梯形 ． 2 3 21 1 1 3(2 )( 2) 2 2 2 2 2PDBS DB PD x x x x x ． 所以 2 ' ' ' 2 +2PDBPB A D PB ODS S S x x 四边形 梯形 ． 解方程－x2＋2x＋2＝3，得 x1＝x2＝1． 所以点 P的坐标为(1，2)． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，四边形 PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰 梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 考点伸展 第（2）题求四边形 PB′OB的面积，也可以如图 4那样分割图形，这样运算过程更简单． ' 1 1' 2 2 2PB O PS B O x x x ． 2 21 1 2( 2) 2 2 2PBO PS BO y x x x x ． 所以 2 '' ' 2 +2PB O PBOPB A DS S S x x 四边形 ． 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点 P： 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点 E的坐标为(1，2)． 而矩形 EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形 EB′A′B的面积是△A′B′O 面积的 4倍．因此点 E就是要探求的点 P． 例 2 2012 年河南省中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 y x 与抛物线 y＝ax2＋bx－3交于 A、B两点， 点 A在 x轴上，点 B的纵坐标为 3．点 P是直线 AB下方的抛物线上的一动点（不与点 A、 B重合），过点 P作 x轴的垂线交直线 AB于点 C，作 PD⊥AB于点 D． （1）求 a、b及 sin∠ACP的值； （2）设点 P的横坐标为 m． ①用含 m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值； ②连结 PB，线段 PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m的值，使这两个三 角形的面积比为 9∶10？若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南 23”，拖动点 P在直线 AB下方的抛物线上运动，可以 体验到，PD随点 P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当 C是 AB的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是 9∶10， 也可以是 10∶9． 思路点拨 1．第（1）题由于 CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角． 2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫． 3．△PCD与△PCB是同底边 PC的两个三角形，面积比等于对应高 DN与 BM的比． 4．两个三角形的面积比为 9∶10，要分两种情况讨论． 满分解答 （1）设直线 1 1 2 y x 与 y轴交于点 E，那么 A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 在 Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以 5AE ．所以 2 5sin 5 AEO ． 因为 PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此 2 5sin 5 ACP ． 将 A(－2,0)、B(4,3)分别代入 y＝ax2＋bx－3，得 4 2 3 0, 16 4 3 3. a b a b 解得 1 2 a ， 1 2 b ． （2）由 21 1( , 3) 2 2 P m m m ， 1( , 1) 2 C m m ， 得 2 21 1 1 1( 1) ( 3) 4 2 2 2 2 PC m m m m m ． 所以 2 22 5 2 5 1 5 9 5sin ( 4) ( 1) 5 5 2 5 5 PD PC ACP PC m m m ． 所以 PD的最大值为 9 5 5 ． （3）当 S△PCD∶S△PCB＝9∶10时， 5 2 m ； 当 S△PCD∶S△PCB＝10∶9时， 32 9 m ． 图 2 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边 PC的两个三角形，面积比等于对应高 DN与 BM的比． 而 25 2 5 1 1cos cos ( 4) ( 2)( 4) 5 5 2 5 DN PD PDN PD ACP m m m m ， BM＝4－m． ①当 S△PCD∶S△PCB＝9∶10时， 1 9( 2)( 4) (4 ) 5 10 m m m ．解得 5 2 m ． ②当 S△PCD∶S△PCB＝10∶9时， 1 10( 2)( 4) (4 ) 5 9 m m m ．解得 32 9 m ． 例 3 2011 年南通市中考第 28 题 如图 1，直线 l经过点 A(1，0)，且与双曲线 my x (x＞0)交于点 B(2，1)．过点 ( , 1)P p p (p ＞1)作 x轴的平行线分别交曲线 my x (x＞0)和 my x (x＜0)于 M、N两点． （1）求 m的值及直线 l的解析式； （2）若点 P在直线 y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数 p，使得 S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的 p的值； 若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11南通 28”，拖动点 P在射线 AB上运动，可以体验到，当直 线MN 经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN 和△AMP 是两 个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况． 思路点拨 1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中． 2．第（3）题把 S△AMN＝4S△AMP转化为 MN＝4MP，按照点 M与线段 NP的位置关系分 两种情况讨论． 满分解答 （1）因为点 B(2，1)在双曲线 my x 上，所以 m＝2．设直线 l的解析式为 y kx b ， 代入点 A(1，0)和点 B(2，1)，得 0, 2 1. k b k b 解得 1, 1. k b 所以直线 l的解析式为 1y x ． （2）由点 ( , 1)P p p (p＞1)的坐标可知，点 P在直线 1y x 上 x轴的上方．如图 2， 当 y＝2时，点 P的坐标为(3，2)．此时点 M的坐标为(1，2)，点 N的坐标为(－1，2)． 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形． 由 P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形． 所以△PMB∽△PNA． 图 2 图 3 图 4 （3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边 MN和 MP在同一条直线上． 当 S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP． ①如图 3，当 M在 NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此 2 2 2( ) 4 ( 1)x x x x ．解 得 1 13 2 x 或 1 13 2 x （此时点 P在 x轴下方，舍去）．此时 1 13 2 p ． ② 如 图 4 ， 当 M 在 NP 的 延 长 线 上 时 ， xM － xN ＝ 4(xM － xP) ． 因 此 2 2 2( ) 4 ( 1)x x x x ．解得 1 5 2 x 或 1 5 2 x （此时点 P在 x轴下方，舍去）．此 时 1 5 2 p ． 考点伸展 在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？ 情形一，如图 5，∠AMN＝90°，此时点 M的坐标为（1，2），点 P的坐标为（3，2）． 情形二，如图 6，∠MAN＝90°，此时斜边 MN上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM＝90°的情况． 图 5 图 6 例 4 2011 年上海市松江区中考模拟第 24题 如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形 OABC的顶点 O为坐标原点，顶点 A、C 分别在 x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点 D在边 OC上，CD ＝3，过点 D作 DB的垂线 DE，交 x轴于点 E． （1）求点 E的坐标； （2）二次函数 y＝－x2＋bx＋c的图象经过点 B和点 E． ①求二次函数的解析式和它的对称轴； ②如果点 M在它的对称轴上且位于 x轴上方，满足 S△CEM＝2S△ABM，求点 M的坐标． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11松江 24”，拖动点 M在抛物线的对称轴上运动，观察面积 比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于 2． 思路点拨 1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算． 2．点 M在抛物线的对称轴上且位于 x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点 M在线 段 FB和 FB的延长线上．因为用点 M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点 M的位置不同 而不同． 满分解答 （1）因为 BC∥OA，所以 BC⊥CD．因为 CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因 此∠BCD＝45°．又因为 BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形， OE＝OD＝1．所以点 E的坐标是（1，0）． （2）①因为抛物线 y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（ 1，0），所以 9 3 4, 1 0. b c b c 解得 6, 5. b c 所以二次函数的解析式为 y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线 x＝3． ②如图 2，如图 3，设抛物线的对称轴与 x轴交于点 F，点 M的坐标为（3，t）． CEM MEF COEOFMCS S S S 梯形 1 1 1(4 ) 3 2 1 4 4 2 2 2 2 tt t ． （ⅰ）如图 2，当点 M 位于线段 BF 上时， ttS ABM 42)4( 2 1 ．解方程 )4(24 2 tt ，得 5 8 t ．此时点 M的坐标为（3， 5 8 ）． （ⅱ）如图 3，当点 M位于线段 FB延长线上时， 42)4( 2 1 ttS ABM ．解方 程 )4(24 2 tt ，得 8t ．此时点 M的坐标为（3，8）． 图 2 图 3 考点伸展 对于图 2，还有几个典型结论： 此时，C、M、A三点在同一条直线上；△CEM的周长最小． 可以求得直线 AC的解析式为 4 4 5 y x ，当 x＝3时， 8 5 y ． 因此点 M（3， 5 8 ）在直线 AC上． 因为点 A、E关于抛物线的对称轴对称，所以 ME＋MC＝MA＋MC． 当 A、M、C三点共线时，ME＋MC最小，△CEM的周长最小． 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 如图 1，四边形 OABC是矩形，点 A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点 D是线段 BC上 的动点（与端点 B、C不重合），过点 D作直线 1 2 y x b 交折线 OAB于点 E． （1）记△ODE的面积为 S，求 S与 b的函数关系式； （2）当点 E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1， 试探究四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠 部分的面积；若改变，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10广州 25”，拖动点 D由 C向 B运动，观察 S随 b变化的函 数图象，可以体验到，E在 OA上时，S随 b的增大而增大；E在 AB上时，S随 b的增大而 减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点 D由 C向 B运动，可以观察到，E在 OA上时，重 叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换． 思路点拨 1．数形结合，用 b表示线段 OE、CD、AE、BE的长． 2．求△ODE的面积，要分两种情况．当 E在 OA上时，OE边对应的高等于 OC；当 E 在 AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积． 3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形． 4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理． 满分解答 (1)①如图 2，当 E在 OA上时，由 1 2 y x b 可知，点 E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此 时 S＝S△ODE＝ 1 1 2 1 2 2 OE OC b b ． ②如图 3，当 E在 AB上时，把 y＝1代入 1 2 y x b 可知，点 D的坐标为(2b－2,1)， CD＝2b－2，BD＝5－2b．把 x＝3 代入 1 2 y x b 可知，点 E的坐标为 3(3, ) 2 b ，AE ＝ 3 2 b ，BE＝ 5 2 b ．此时 S＝S矩形 OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ＝ 1 3 1 5 13 3( ) ( )(5 2 ) 1 (2 2) 2 2 2 2 2 b b b b 2 5 2 b b ． (2)如图 4，因为四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC关于直线 DE对称，因此 DM＝DN，那 么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形 DMEN是菱形． 作 DH⊥OA，垂足为 H．由于 CD＝2b－2，OE＝2b，所以 EH＝2． 设菱形 DMEN的边长为 m．在 Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以 12＋(2 －m)2＝m2．解得 5 4 m ．所以重叠部分菱形 DMEN的面积为 5 4 ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 把本题中的矩形 OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图 5）， 那么这个菱形的最小面积为 1，如图 6所示；最大面积为 5 3 ，如图 7所示． 图 5 图 6 图 7 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 如图 1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边 AB上的高，点 E在斜 边 AB上，过点 E作直线与△ABC的直角边相交于点 F，设 AE＝x，△AEF的面积为 y． （1）求线段 AD的长； （2）若 EF⊥AB，当点 E在斜边 AB上移动时， ①求 y与 x的函数关系式（写出自变量 x的取值范围）； ②当 x取何值时，y有最大值？并求出最大值． （3）若点 F在直角边 AC上（点 F与 A、C不重合），点 E在斜边 AB上移动，试问， 是否存在直线 EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x的值；若不存 在直线 EF，请说明理由． 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“10扬州 28”，拖动点 E在 AB上运动，从 y随 x变化的图象可 以体验到，当 F在 AC上时，y随 x的增大而增大；当 F在 BC上时，y随 x变化的图象是开 口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已 经设定好了 EF平分△ABC的周长，拖动点 E，观察图象，可以体验到，“面积 AEF”的值 可以等于 3，也就是说，存在直线 EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2） 题”可以切换。 思路点拨 1．第（1）题求得的 AD的长，就是第（2）题分类讨论 x的临界点． 2．第（2）题要按照点 F的位置分两种情况讨论． 3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的 情况作出判断． 满分解答 (1) 在 Rt △ ABC 中 ， AC＝ 3， BC＝ 4 ， 所 以 AB＝ 5 ． 在 Rt △ ACD 中 ， 3 9cos 3 5 5 AD AC A ． (2) ①如图 2，当 F在 AC上时， 90 5 x ．在 Rt△AEF中， 4tan 3 EF AE A x ．所 以 21 2 2 3 y AE EF x ． 如图 3，当 F在 BC上时， 9 5 5 x ≤ ．在 Rt△BEF中， 3tan (5 ) 4 EF BE B x ．所 以 21 3 15 2 8 8 y AE EF x x ． ②当 90 5 x 时， 22 3 y x 的最大值为 54 25 ； 当 9 5 5 x ≤ 时， 23 15 8 8 y x x 23 5 75) 8 2 32 x ( 的最大值为 75 32 ． 因此，当 5 2 x 时，y的最大值为 75 32 ． 图 2 图 3 图 4 (3)△ABC的周长等于 12，面积等于 6． 先假设 EF平分△ABC的周长，那么 AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为 3＜x≤5．因 此 1 1 4 2sin (6 ) ( 6) 2 2 5 5AEFS AE AF A x x x x ．解方程 2 ( 6) 3 5 x x ，得 13 6 2 x ． 因为 13 6 2 x 在 3≤x≤5范围内（如图 4），因此存在直线 EF将△ABC的周长和面 积同时平分． 考点伸展 如果把第（3）题的条件“点 F在直角边 AC上”改为“点 F在直角边 BC上”，那么就 不存在直线 EF将△ABC的周长和面积同时平分． 先假设 EF平分△ABC的周长，那么 AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1． 因此 21 1 3 3sin (5 )( 1) ( 4 5) 2 2 5 10BEFS BE BF B x x x x ． 解方程 23 ( 4 5) 3 10 x x ．整理，得 2 4 5 0x x ．此方程无实数根． 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 如图 1，正方形 ABCD中，点 A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点 C在第一象限．动 点 P在正方形 ABCD的边上，从点 A出发沿 A→B→C→D匀速运动，同时动点 Q以相同速 度在 x轴上运动，当 P点到 D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t秒． （1）当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x（长度单位）关于运动时间 t（秒）的 函数图象如图 2 所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度； （2）求正方形边长及顶点 C的坐标； （3）在（1）中当 t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时 P点的坐标． （4）如果点 P、Q保持原速度速度不变，当点 P沿 A→B→C→D匀速运动时，OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的 t的值；若不能，请说明理由． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“09兰州 29”，拖动点 Q在 x轴上运动，可以体验到，点 Q运 动的起点为（1，0）；当 P在 AB上时，△OPQ的面积随 x变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分；观察点 P与 OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双 击按钮“PO＝PQ，P在 AB上”和“PO＝PQ，P在 CD上”，可以准确显示 PO＝PQ． 思路点拨 1．过点 B、C、P向 x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出 现相等、成比例的线段，用含有 t的式子表示这些线段是解题的基础． 2．求点 C的坐标，为求直线 BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离 公式作准备． 3．不论点 P在 AB、BC还是 CD上，点 P所在的直角三角形的三边比总是 3∶4∶5， 灵活运用方便解题． 4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系． 满分解答 （1）Q (1,0)，点 P每秒钟运动 1个单位长度． （2）过点 B作 BE⊥y轴于点 E，过点 C作 x轴的垂线交直线 BE于 F，交 x轴于 H． 在 Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以 AB＝10．由△ABE≌△BCF，知 BF＝AE ＝4，CF＝BE＝6．所以 EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点 C的坐标为（14，12）． （3）过点 P作 PM⊥y轴于 M，PN⊥ x轴于 N．因为 PM//BE，所以 AP AM MP AB AF BF ， 即 10 6 8 t AM MP ．因此 3 4, 5 5 AM t PM t ．于是 3 410 , 5 5 PN OM t ON PM t ． 设△OPQ的面积为 S (平方单位)，那么 21 1 3 3 47(1 )(10 ) 5 2 2 5 10 10 S OQ PN t t t t ， 定义域为 0≤ t≤10． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线 47 6 t ，所以当 47 6 t 时，△OPQ的面积最大．此 时 P的坐标为( 94 15 ， 53 10 )． （4）当 5 3 t 或 295 13 t 时, OP与 PQ相等． 图 3 图 4 考点伸展 附加题的一般思路是：点 Q的横坐标是点 P的横坐标的 2倍．先求直线 AB、BC、CD 的解析式，根据直线的解析式设点 P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程 PO＝PQ． 附加题也可以这样解： ①如图 4，在 Rt△AMP中，设 AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么 OQ＝8m．根据 AP、 OQ的长列方程组 5 , 8 1 , m t m t 解得 5 3 t ． ②如图 5，在 Rt△GMP 中，设 GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么 OQ＝8m．在 Rt△ GAD 中，GD＝7.5．根据 GP、OQ 的长列方程组 5 37.5 , 8 1 , m t m t 解得 295 13 t ． ③如图 6，设 MP＝4m，那么 OQ＝8m．根据 BP、OQ的长列方程组 5 10 10, 8 1 , m t m t 解得 5 3 t ，但这时点 P不在 BC上． 图 5 图 6 1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2012 年河北省中考第 25 题 如图 1，A(－5,0)，B(－3,0)，点 C在 y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点 P从点 Q(4,0)出发，沿 x轴向左以每秒 1个单位长的速度运动，运动时间为 t秒． （1）求点 C的坐标； （2）当∠BCP＝15°时，求 t的值； （3）以点 P为圆心，PC为半径的⊙P随点 P的运动而 变化，当⊙P与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切 时，求 t的值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12河北 25”，拖动圆心 P在点 Q左侧运动，可以体验到，⊙P 可以与直线 BC、直线 DC、直线 AD相切，不能与直线 AB相切． 答案 （1）点 C的坐标为(0,3)． （2）如图 2，当 P在 B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°， 4 3t ； 如图 3，当 P在 B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°， 4 3 3t ． 图 2 图 3 （3）如图 4，当⊙P与直线 BC相切时，t＝1； 如图 5，当⊙P与直线 DC相切时，t＝4； 如图 6，当⊙P与直线 AD相切时，t＝5.6． 图 4 图 5 图 6 例 2 2012 年无锡市中考模拟第 28 题 如图 1，菱形 ABCD的边长为 2厘米，∠DAB＝60°．点 P从 A出发，以每秒 3厘米 的速度沿 AC向 C作匀速运动；与此同时，点 Q也从点 A出发， 以每秒 1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点 P到达点 C时，P、 Q都停止运动．设点 P运动的时间为 t秒． （1）当 P异于 A、C时，请说明 PQ//BC； （2）以 P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过 程中，t为怎样的值时，⊙P与边 BC分别有 1个公共点和 2个公 共点？ 图一 动感体验 请打开几何画板文件名“12无锡 28”，拖动点 P由 A向 C运动，可以体验到，⊙P与 线段 BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有 1个公共点，相交有 2个公共点，相 交只有 1个公共点，线段在圆的内部没有公共点． 请打开超级画板文件名“12无锡 28”，拖动点 P由 A向 C运动，可以体验到，⊙P与 线段 BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有 1个公共点，相交有 2个公共点，相 交只有 1个公共点，线段在圆的内部没有公共点． 答案 （1）因为 2 AQ t AB ， 3 22 3 AP t t AC ，所以 AQ AP AB AC ．因此 PQ//BC． （2）如图 2，由 PQ＝PH＝ 1 2 PC，得 1 (2 3 3 ) 2 t t ．解得 4 3 6t ． 如图 3，由 PQ＝PB，得等边三角形 PBQ．所以 Q是 AB的中点，t＝1． 如图 4，由 PQ＝PC，得 2 3 3t t ．解得 3 3t ． 如图 5，当 P、C重合时，t＝2． 因此，当 4 3 6t 或 1＜t≤3 3 或 t＝2时，⊙P与边 BC有 1个公共点． 当4 3 6 ＜t≤1时，⊙P与边 BC有 2个公共点． 图 2 图 3 图 4 图 5 1.8 因动点产生的线段和差问题 例 1 2012 年滨州市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过 A(－2, －4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点． （1）求抛物线 y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）若点 M是该抛物线对称轴上的一点，求 AM＋OM的最小值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12滨州 24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图 2）， 可以体验到，当 M落在线段 AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时 AM＋OM最 小（如图 3）． 请打开超级画板文件名“12 滨州 24”，拖动点 M， M落在线段 AB上时， AM＋OM 最小． 答案 （1） 21 2 y x x 。 （2）AM＋OM的最小值为 4 2． 图 2 图 3 例 2 2012 年山西省中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋2x＋3与 x轴交于 A、B两点，与 y轴 交于点 C，点 D是抛物线的顶点． （1）求直线 AC的解析式及 B、D两点的坐标； （2）点 P是 x轴上的一个动点，过 P作直线 l//AC交抛物线于点 Q．试探究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以 A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请在直线 AC上找一点 M，使△BDM的周长最小，求出点 M的坐标． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12山西 26”，拖动点 P在 x轴上运动，可以体验到，点 Q有 3 个时刻可以落在抛物线上．拖动点 M在直线 AC上运动，可以体验到，当 M落在 B′D上时， MB＋MD最小，△MBD的周长最小． 思路点拨 1．第（2）题探究平行四边形，按照 AP为边或者对角线分两种情况讨论． 2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点 B关于“河流”AC的对称点 B′，那么 M落在 B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小． 满分解答 （1）由 y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4， 得 A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)． 直线 AC的解析式是 y＝3x＋3． （2）Q1(2, 3)，Q2(1 7, 3 )，Q3(1 7, 3 )． （3）设点 B关于直线 AC的对称点为 B′，联结 BB′交 AC于 F． 联结 B′D，B′D与交 AC的交点就是要探求的点 M． 作 B′E⊥x轴于 E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO． 在 Rt△BAF中， 1 3 10 AF BF AB ，AB＝4，所以 12 10 BF ． 在 Rt△BB′E中， ' ' 1 3 10 B E BE BB ， 24' 2 10 BB BF ，所以 12' 5 B E ， 36 5 BE ． 所以 36 213 5 5 OE BE OB ．所以点 B′的坐标为 21 12( , ) 5 5 ． 因为点 M在直线 y＝3x＋3上，设点 M的坐标为(x, 3x＋3)． 由 ' ' ' ' ' ' DD MM B D B M ，得 ' ' ' ' yD yB yM yB xD xB xM xB ．所以 12 124 3 3 5 5 21 211 5 5 x x ． 解得 9 35 x ．所以点 M的坐标为 9 132( , ) 35 35 ． 图 2 图 3 考点伸展 第（2）题的解题思路是这样的： ①如图 4，当 AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点 C、Q关于抛物线的对称轴对 称，点 Q的坐标为(2, 3)． ②如图 5，当 AP是平行四边形的对角线时，点 C、Q分居 x轴两侧，C、Q到 x轴的距 离相等． 解方程－x2＋2x＋3＝－3，得 1 7x ．所以点 Q的坐标为(1 7, 3 )或 (1 7, 3 )． 图 4 图 5 第二部分 函数图象中点的存在性问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， 5 3sin B ，⊙B的半径长为 1，⊙B交边 CB于 点 P，点 O是边 AB上的动点． （1）如图 1，将⊙B绕点 P旋转 180°得到⊙M，请判断⊙M与直线 AB的位置关系； （2）如图 2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求 OA的长； （3）如图 3，点 N是边 BC上的动点，如果以 NB为半径的⊙N和以 OA为半径的⊙O 外切，设 NB＝y，OA＝x，求 y关于 x的函数关系式及定义域． 图 1 图 2 图 3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇 25”，拖动点 O在 AB上运动，观察△OMP的三个顶 点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点 O和点 P可以落在对边的垂直平分线 上，点 M不能． 请打开超级画板文件名“12徐汇 25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三 个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得 y关于 x的函数关系． 思路点拨 1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方 法比较简单． 3．探求 y关于 x的函数关系式，作△OBN的边 OB上的高，把△OBN分割为两个具有 公共直角边的直角三角形． 满分解答 （1） 在 Rt△ABC中，AC＝6， 5 3sin B ， 所以 AB＝10，BC＝8． 过点 M作 MD⊥AB，垂足为 D． 在 Rt△BMD中，BM＝2， 3sin 5 MDB BM ，所以 6 5 MD ． 因 此 MD ＞ MP ， ⊙ M 与 直 线 AB 相 离． 图 4 （2）①如图 4，MO≥MD＞MP，因此不存在 MO＝MP的情况． ②如图 5，当 PM＝PO时，又因为 PB＝PO，因此△BOM是直角三角形． 在 Rt△BOM中，BM＝2， 4cos 5 BOB BM ，所以 8 5 BO ．此时 42 5 OA ． ③如图 6，当 OM＝OP时，设底边 MP对应的高为 OE． 在 Rt△BOE中，BE＝ 3 2 ， 4cos 5 BEB BO ，所以 15 8 BO ．此时 65 8 OA ． 图 5 图 6 （3）如图 7，过点 N作 NF⊥AB，垂足为 F．联结 ON． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以 ON＝x＋y． 在 Rt△BNF中，BN＝y， 3sin 5 B ， 4cos 5 B ，所以 3 5 NF y ， 4 5 BF y ． 在 Rt△ONF中， 410 5 OF AB AO BF x y ，由勾股定理得 ON2＝OF2＋NF2． 于是得到 2 2 24 3( ) (10 ) ( ) 5 5 x y x y y ． 整理，得 250 50 40 xy x ．定义域为 0＜x＜5． 图 7 图 8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图 8，在 Rt△BMF中，BM＝2， 6 5 MF ， 8 5 BF ． 在 Rt△OMF中，OF＝ 8 4210 5 5 x x ，所以 2 2 242 6( ) ( ) 5 5 OM x ． 在 Rt△BPQ中，BP＝1， 3 5 PQ ， 4 5 BQ ． 在 Rt△OPQ中，OF＝ 4 4610 5 5 x x ，所以 2 2 246 3( ) ( ) 5 5 OP x ． ①当 MO＝MP＝1时，方程 2 242 6( ) ( ) 1 5 5 x 没有实数根． ②当 PO＝PM＝1时，解方程 2 246 3( ) ( ) 1 5 5 x ，可得 42 5 x OA ③当 OM＝OP时，解方程 2 242 6( ) ( ) 5 5 x 2 246 3( ) ( ) 5 5 x ，可得 65 8 x OA ． 例 2 2012 年连云港市中考第 26 题 如图 1，甲、乙两人分别从 A、B两点同时出发，点 O为坐标原点．甲沿 AO方向、乙 沿 BO方向均以每小时 4千米的速度行走，t小时后，甲到达 M点， 乙到达 N点． （1）请说明甲、乙两人到达点 O前，MN与 AB不可能平行； （2）当 t为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长．设 s＝MN2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小 值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12连云港 26”，拖动点 N在射线 BO上运动，可以体验到，当 M、N都在 O右侧时，MN与 AB不平行．当点 A落在MNB上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN ∽△OBA． 请打开超级画板文件名“12连云港 26”，拖动点 N在射线 BO上运动，可以体验到，当 M、N都在 O右侧时，MN与 AB不平行．当点 A落在MNB上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN ∽△OBA．s与 t之间的函数关系式呈抛物线图象，当 t＝1时，甲、乙两人的最小距离为 12 千米． 答案 （1）当 M、N都在 O右侧时， 2 4 1 2 2 OM t t OA ， 6 4 21 6 3 ON t t OB ， 所以 OM ON OA OB ．因此 MN与 AB不平行． （2）①如图 2，当 M、N都在 O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA． ②如图 3，当 M在 O左侧、N在 O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA． ③如图 4，当 M、N都在 O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么 ON OA OM OB ． 所以 4 6 2 4 2 6 t t ．解得 t＝2． 图 2 图 3 图 4 （3）①如图 2， 2 4OM t ， 1 2OH t ， 3(1 2 )MH t ． (6 4 ) (1 2 ) 5 2NH ON OH t t t ． ②如图 3， 4 2OM t ， 2 1OH t ， 3(2 1)MH t ． (6 4 ) (2 1) 5 2NH ON OH t t t ． ③如图 4， 4 2OM t ， 2 1OH t ， 3(2 1)MH t ． (2 1) (4 6) 5 2NH OH ON t t t ． 综合①、②、③，s 2 2 2MN MH NH 2 2 2 23(2 1) (5 2 ) 16 32 28 16( 1) 12t t t t t ． 所以当 t＝1时，甲、乙两人的最小距离为 12千米． 例 3 2011 年上海市中考第 25 题 在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点 P是 AB边上任意一点，直线 PE ⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM＝EN， 12sin 13 EMP ． （1）如图 1，当点 E与点 C重合时，求 CM的长； （2）如图 2，当点 E在边 AC上时，点 E不与点 A、C重合，设 AP＝x，BN＝y，求 y 关于 x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点 A、M、E分别与△ENB的顶点 E、N、B对应）， 求 AP的长． 图 1 图 2 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海 25”，拖动点 P在 AB上运动，从图象中可以看到，y 是 x的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点 E在 AC和 BC上，各存在一 个时刻，△AME∽△ENB． 请打开超级画板文件名“11上海 25”，拖动点 P在 AB上运动，当点 E与点 C重合时， 26CM ．点 E在边 AC上时，y是 x的一次函数．当 AP=42时，三角形相似，且满足顶点 对应。 思路点拨 1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系． 2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点 E在 BC上的图形画在备用图中． 3．第（3）题当 E在 BC上时，重新设 BP＝m可以使得运算简便一些． 满分解答 （1）在 Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以 AC＝40， 3sin 5 A ， 3tan 4 A ． 在 Rt△ACP中， 3sin 40 24 5 CP AC A ． 在 Rt△CMP中，因为 12sin 13 CPCMP CM ，所以 13 13 24 26 12 12 CM CP ． （2）在 Rt△AEP中， 3tan 4 EP AP A x ． 在 Rt△EMP中，因为 12sin 13 EPEMP EM ，所以 12tan 5 EPEMP MP ． 因此 5 5 3 5 12 12 4 16 MP EP x x ， 13 13 3 13 12 12 4 16 EM EP x x ． 已知 EM＝EN，PE⊥AB，所以 MP＝NP 5 16 x ． 于是 5 2150 50 16 16 y BN AB AP NP x x x ． 定义域为 0＜x＜32． （3）①如图 3，当 E在 AC上时，由 AM EN ME NB ，得 5 13 16 16 13 2150 16 16 x x x x x ． 解得 x＝AP＝22． ②如图 4，当 E在 BC上时，设 BP＝m，那么 AP＝50－m． 在 Rt△BEP中， 4 3 EP m ． 在 Rt△EMP中， 5 5 4 5 12 12 3 9 MP EP m m ， 13 13 134 12 12 9 EM EP m m ． 所以 5 1450 50 9 9 AM AB BP MP m m m ， 5 45 9 9 BN BP NP m m m ． 这时由 AM EN ME NB ，得 14 1350 9 9 13 4 9 9 m m m m ．解得 m＝BP＝8．所以 AP＝50－m＝42． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 如果第（3）题没有条件“△AME的顶点 A、M、E分别与△ENB的顶点 E、N、B对应”， 那么还存在图 5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时 PE垂直平分 AB，AP＝25． 2.2 由面积产生的函数关系问题 例 1 2012 年广东省中考第 22 题 如图 1，抛物线 21 3 9 2 2 y x x 与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C，联结 BC、 AC． （1）求 AB和 OC的长； （2）点 E从点 A出发，沿 x轴向点 B运动（点 E与点 A、B不重合），过点 E作 BC的 平行线交 AC于点 D．设 AE的长为 m，△ADE的面积为 s，求 s关于 m的函数关系式，并 写出自变量 m的取值范围； （3）在（2）的条件下，联结 CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点 E为圆心， 与 BC相切的圆的面积（结果保留π）． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12广东 22”，拖动点 E由 A向 B运动，观察图象，可以体验 到，△ADE的面积随 m的增大而增大，△CDE的面积随 m变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分，E在 AB的中点时，△CDE的面积最大． 思路点拨 1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比． 满分解答 （1）由 21 3 19 ( 3)( 6) 2 2 2 y x x x x ，得 A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 所以 AB＝9，OC＝9． （2）如图 2，因为 DE//CB，所以△ADE∽△ACB． 所以 2( )ADE ACB S AE S AB ． 而 1 81 2 2ACBS AB OC ，AE＝m， 所以 2 2 281 1( ) ( ) 9 2 2ADE ACB AE ms S S m AB ． m的取值范围是 0＜m＜9． 图 2 图 3 （3）如图 2，因为 DE//CB，所以 9CD BE m AD AE m ． 因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以 9CDE ADE S CD m S AD m ． 所以 2 2 29 1 1 9 1 9 81( ) 2 2 2 2 2 8CDE mS m m m m m ． 当 9 2 m 时，△CDE的面积最大，最大值为 81 8 ． 此时 E是 AB的中点， 9 2 BE ． 如图 3，作 EH⊥CB，垂足为 H． 在 Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以 3 3 13sin 1313 B ． 在 Rt△BEH中， 9 3 13 27 13sin 2 13 26 EH BE B ． 当⊙E与 BC相切时， r EH ．所以 2 729 52 S r ． 考点伸展 在本题中，△CDE与△BEC能否相似？ 如图 2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能 相似． 例 2 2012 年河北省中考第 26 题 如图 1，图 2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14， 5cos 13 ABC ． 探究 如图 1，AH⊥BC于点 H，则 AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积 S△ABC＝ ________． 拓展 如图 2，点 D在 AC上（可与点 A、C重合），分别过点 A、C作直线 BD的垂线， 垂足为 E、F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点 D与点 A重合时，我们认为 S△ABD＝0） （1）用含 x，m或 n的代数式表示 S△ABD及 S△CBD； （2）求(m＋n)与 x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出 过程），并写出这个最小值． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“12河北 26”，拖动点 D由 A向 C运动，观察(m＋n)随 x变化 的图象，可以体验到，D到达 G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过 G之后，(m＋n)的值 越来越小．观察圆与线段 AC的交点情况，可以体验到，当 D运动到 G时（如图 3），或者 点 A在圆的内部时（如图 4），圆与线段 AC只有唯一的交点 D． 图 3 图 4 答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84． 拓展 （1）S△ABD＝ 1 2 mx，S△CBD＝ 1 2 nx． （2）由 S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得 1 1 84 2 2 mx nx ．所以 168m n x ． 由于 AC边上的高 56 5 BG ，所以 x的取值范围是 56 5 ≤x≤14． 所以(m＋n)的最大值为 15，最小值为 12． （3）x的取值范围是 x＝ 56 5 或 13＜x≤14． 发现 A、B、C三点到直线 AC的距离之和最小，最小值为 56 5 ． 例 3 2011 年淮安市中考第 28 题 如图 1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P在 AB上，AP＝2．点 E、 F同时从点 P出发，分别沿 PA、PB以每秒 1个单位长度的速度向点 A、B匀速运动，点 E 到达点 A后立刻以原速度沿 AB向点 B运动，点 F运动到点 B时停止，点 E也随之停止．在 点 E、F运动过程中，以 EF为边作正方形 EFGH，使它与△ABC在线段 AB的同侧．设 E、 F运动的时间为 t秒(t＞0)，正方形 EFGH与△ABC重叠部分的面积为 S． （1）当 t＝1 时，正方形 EFGH的边长是________；当 t＝3 时，正方形 EFGH的边长 是________； （2）当 1＜t≤2时，求 S与 t的函数关系式； （3）直接答出：在整个运动过程中，当 t为何值时，S最大？最大面积是多少？ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11淮安 28”，拖动点 F由 P向 B运动，可以体验到，点 E在 向 A运动时，正方形 EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形； 点 E折返以后，正方形 EFGH的边长为定值 4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、 六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段． 请打开超级画板文件名“11淮安 28”，拖动点 F由 P向 B运动，可以体验到，点 E在 向 A运动时，正方形 EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形； 点 E折返以后，正方形 EFGH的边长为定值 4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、 六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段． 思路点拨 1．全程运动时间为 8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画 8个图形，这叫做 磨刀不误砍柴工． 2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放 弃也是一种好的选择． 满分解答 （1）当 t＝1时，EF＝2；当 t＝3时，EF＝4． （2）①如图 1，当 60 11 t＜ ≤ 时， 2EF t ．所以 24S t ． ②如图 2，当 6 6 11 5 t＜ ≤ 时， 2EF EH t ， 2AE t ， 3 3 (2 ) 4 4 NE AE t ． 于是 3 11 32 (2 ) 4 4 2 NH EH NE t t t ， 21 1 4 2 2 2 3 3NHQS NH QH NH NH NH △ 22 11 3 3 4 2 t ． 所以 2 2 22 11 3 25 11 34 3 4 2 24 2 2 S t t t t ． ③如图 3，当 6 2 5 t＜ ≤ 时， 4EF ， 2AE t ， 2AF t ． 所以 2 23 3 3 8 8AFM AENS S S AF AE t △ △ ． 图 2 图 3 图 4 （3）如图 4，图 5，图 6，图 7，重叠部分的最大面积是图 6所示的六边形 EFNDQN， S的最大值为 1102 75 ，此时 146 25 t ． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 第（2）题中 t的临界时刻是这样求的： 如图 8，当 H落在 AC上时， 2AE t ， 2EH EF t ，由 2 3 2 4 t t ，得 6 11 t ． 如图 9，当 G落在 AC上时， 2AF t ， 2GF EF t ，由 2 3 2 4 t t ，得 6 5 t ． 图 8 图 9 例 4 2011 年山西省中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是平行四边形．直线 l经过 O、C两点， 点 A的坐标为(8，0)，点 B的坐标为(11，4)，动点 P在线段 OA上从 O出发以每秒 1个单 位的速度向点 A运动，同时动点 Q从点 A出发以每秒 2个单位的速度沿 A→B→C的方向 向点 C运动，过点 P作 PM垂直于 x轴，与折线 O—C—B相交于点M．当 P、Q两点中有 一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（t＞0），△MPQ 的面积为 S． （1）点 C的坐标为____________，直线 l的解析式为____________； （2）试求点 Q与点M相遇前 S与 t的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围． （3）试求题（2）中当 t为何值时，S的值最大？最大值是多少？ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11山西 26”，拖动点 P由 O向 A运动，可以体验到，点 Q先 到达终点．从 S随 t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随 t变化的图象是“N” 字型，由四段组成． 请打开超级画板文件名“11山西 26”，拖动点 P由 O向 A运动，可以体验到，点 Q先 到达终点．点击按钮“函数表达式”， S随 t先增大后减少。当 t=2.67时，S=14.22. 思路点拨 1．用含有 t的式子表示线段的长，是解题的关键． 2．第（2）题求 S与 t的函数关系式，容易忽略 M在 OC上、Q在 BC上的情况． 3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐． 满分解答 （1）点 C的坐标为(3，4)，直线 l的解析式为 4 3 y x ． （2）①当 M在 OC上，Q在 AB上时， 50 2 t＜ ≤ ． 在 Rt△OPM中，OP＝t， 4tan 3 OMP ，所以 4 3 PM t ． 在 Rt△AQE中，AQ＝2t， 3cos 5 QAE ，所以 6 5 AE t ． 于是 6 18 8 5 5 PE t t t ．因此 21 2 16 2 15 3 S PE PM t t ． ②当 M在 OC上，Q在 BC上时， 5 3 2 t＜ ≤ ． 因为 2 5BQ t ，所以 11 (2 5) 16 3PF t t t ． 因此 21 322 2 3 S PF PM t t ． ③当 M、Q相遇时，根据 P、Q的路程和 2 11 5t t ，解得 16 3 t ． 因此当 M、Q都在 BC上，相遇前， 163 3 t＜ ≤ ，PM＝4， 16 2 16 3MQ t t t ． 所以 1 6 32 2 S MQ PM t ． 图 2 图 3 图 4 （3）①当 50 2 t＜ ≤ 时， 2 22 16 2 160( 20) 15 3 15 3 S t t t ． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随 t的增大而增大， 所以当 5 2 t 时，S最大，最大值为 85 6 ． ②当 5 3 2 t＜ ≤ 时， 2 232 8 1282 2( ) 3 3 9 S t t t ． 因为抛物线开口向下，所以当 8 3 t 时，S最大，最大值为 128 9 ． ③当 163 3 t＜ ≤ 时， 1 6 32 2 S MQ PM t ． 因为 S随 t的增大而减小，所以当 3t 时，S最大，最大值为 14． 综上所述，当 8 3 t 时，S最大，最大值为 128 9 ． 考点伸展 第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于 t的函数关系式是怎样的？ 此时 16 13 3 2 t＜ ≤ ， 2 16 3 16MQ t t t ．因此 1 6 32 2 S MQ PM t ． 图 5 例 5 2011 年重庆市中考第 26 题 如图 1，矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝ 2 3，点 O是 AB的中点，点 P在 AB的延长线 上，且 BP＝3．一动点 E从 O点出发，以每秒 1个单位长度的速度沿 OA匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO返回；另一动点 F从 P点出发，以每秒 1个单位长度的速度沿射 线 PA匀速运动，点 E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F的运动过程中，以 EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形 ABCD在射线 PA的同侧．设运动的时间为 t秒（t ≥0）． （1）当等边△EFG的边 FG恰好经过点 C时，求运动时间 t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S与 t之间的函数关系 式和相应的自变量 t的取值范围； （3）设 EG与矩形 ABCD的对角线 AC的交点为 H， 是否存在这样的 t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求 出 对 应 的 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11重庆 26”，拖动点 A由 P向 A运动，可以体验到，重叠部 分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随 t变化的图象分为四段； 观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有 5个时刻成为等腰三角形． 请打开超级画板文件名“11重庆 26”，拖动点 t，当 t＝1 时，FG恰好经过点 C。重叠 部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明 S随 t变化的图象需 要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有 5个时刻成为等腰三角形． 思路点拨 1．运动全程 6秒钟，每秒钟选择一个点 F画对应的等边三角形 EFG，思路和思想以及 分类的标准尽在图形中． 2．用 t表示 OE、AE、EF、AH的长，都和点 E折返前后相关，分两种情况． 3．探求等腰三角形 AOH，先按顶点分三种情况，再按点 E折返前后分两种情况． 4．本题运算量很大，多用到 1∶2∶ 3，注意对应关系不要错乱． 满分解答 （1）在 Rt△ABC中， 2 3 3tan 6 3 BCBAC AB ， 所以∠BAC＝30°． 如图 2，当等边△EFG的边 FG恰好经过点 C时， 在 Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC= 2 3， 所 以 BF ＝ 2 ． 因 此 PF ＝ 3 － 2 ＝ 1 ， 运 动 时 间 t ＝ 1． 图 2 （2）①如图 3，当 0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形 BCNE， 2 3 4 3S t ． ②如图 4，当 1≤t＜3时，重叠部分为五边形 BQMNE， 23 4 3 3 3S t t ． ③如图 5，当 3≤t＜4时，重叠部分为梯形 FMNE， 4 3 20 3S t ． ④如图 6，当 4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形 EFG， 23( 6)S t ． 图 3 图 4 图 5 （3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO． 在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的． △AEH的形状保持不变，AH＝ 3 AE．当 E由 O向 A运动时，AE＝3－t；当 E经 A 折返后，AE＝t－3． 图 6 图 7 图 8 ①当 AO＝AH时，解 3(3 ) 3t ，得 3 3t （如图 7）； 解 3( 3) 3t ，得 3 3t （如图 8）． ②当 OA＝OH时，∠AOH＝120°，点 O与点 E重合，t＝0（如图 9）． ③当 HA＝HO时，H在 AE的垂直平分线上，AO＝ 3 AH＝3AE． 解3(3 ) 3t ，得 t＝2（如图 10）；解3( 3) 3t ，得 t＝4（如图 11）． 图 9 图 10 图 11 考点伸展 图 3，图 4中，点 E向 A运动，EF＝6；图 5，图 6中，点 E折返，EF＝12－2t．查看更多