2020九年级数学下册 第三章 圆

2020九年级数学下册 第三章 圆

课时作业(二十七)‎ ‎[第三章　*7　切线长定理]‎ 一、选择题 ‎1．2017·红桥区期末如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，与PA，PB分别交于C，D两点，则△PCD的周长是(　　)‎ 图K－27－1‎ A．10 B．‎18 C．20 D．22‎ ‎2．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为()‎ 图K－27－2‎ A．5 B．‎10 C．7.5 D．4‎ ‎3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为()‎ A．4 B．‎4 C．4 D．2 ‎4．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )‎ 10‎ 图K－27－3‎ A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO ‎5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有(　　)‎ ‎　‎ 图K－27－4‎ A．2个 B．3个 ‎ C．4个 D．5个 二、填空题 ‎6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．‎ 图K－27－5‎ ‎7．2017·昌平区期末如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．‎ 图K－27－6‎ ‎8．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.‎ 图K－27－7‎ ‎9．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝‎15 cm，则△PEF的周长是________ cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°. 10‎ ‎　　‎ 图K－27－8‎ ‎10．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．‎ 图K－27－9‎ 三、解答题 ‎11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.‎ 图K－27－10‎ ‎12．2017·孝感模拟如图K－27－11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝‎6 cm，OC＝‎8 cm.‎ 求：(1)∠BOC的度数；‎ ‎(2)BE＋CG的长；‎ ‎(3)⊙O的半径.‎ 10‎ 图K－27－11‎ ‎13．如图K－27－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为.‎ 求：(1)BF＋CE；‎ ‎(2)△ABC的周长．‎ 图K－27－12‎ ‎14．如图K－27－13，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.‎ 10‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长．‎ 图K－27－13‎ 探究存在题如图K－27－14，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.‎ ‎(1)求证：EB＝EC＝ED.‎ ‎(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，求出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．‎ 图K－27－14‎ 10‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] C　∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，‎ ‎∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，‎ ‎∴△PCD的周长是PC＋CD＋PD＝PC＋AC＋DB＋PD＝PA＋PB＝10＋10＝20.故选C.‎ ‎2．[解析] A　设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，则有9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.‎ ‎3．[解析] C　如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．‎ ‎∵OA＝4，PO＝8，∴AP＝＝4，∠APO＝30°，∴∠APB＝2∠APO＝60°，‎ ‎∴△PAB是等边三角形，∴AB＝AP＝4 .‎ ‎4．[解析] D　如图，连接OA，OB.‎ ‎∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，‎ ‎∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，‎ ‎∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．设OP交AB于点D，易证△PAD∽△POA，∴PA∶PO＝PD∶PA，∴PA2＝PD·PO.故D错误．‎ ‎5．[解析] C　连接OE.∵AD，BC，CD分别与⊙O切于点A，B，E，∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，DA＝DE，EC＝BC，∠ADO＝∠EDO，∠ECO＝∠BCO，∴∠OAD＝∠OED＝∠OEC＝∠OBC＝90°，∴∠AOD＝∠EOD，∠BOC＝∠EOC.①∵∠AOD＋∠EOD＋∠BOC＋∠EOC＝180°，∴∠DOC＝∠EOD＋∠EOC＝90°，∴①正确；②∵DA＝DE，EC＝BC，∴AD＋BC＝DE＋EC＝CD，∴②正确；③∵∠AOD＋∠BOC＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠BOC＝∠ADO.又∵∠OAD＝∠CBO＝90°，∴△OAD∽△CBO，∴S△AOD∶S△BOC＝AD2∶BO2＝AD2∶AO2，∴③正确；④∵△OAD∽△CBO，∴＝＝.∵OB≠EC，∴④不正确；⑤∵∠DOC＝∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠EDO＝90°，∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠EOD＝∠DCO，∴△OED∽△COD，∴＝，即DE·CD＝OD2，∴⑤正确．综上，正确的有①②③⑤.故选C.‎ ‎6．[答案] 44‎ ‎[解析] ∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，‎ ‎∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44.‎ ‎7．[答案] 6　‎ ‎[解析] ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝17，∴△ABC的内切圆⊙O的直径为×2＝6.故答案为6.‎ ‎8．[答案] 60‎ 10‎ ‎[解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴OP＝PA－OA＝6－2＝4.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC，∴sin∠OPC＝＝，∴∠OPC＝30°，‎ ‎∴∠CPD＝60°.‎ ‎9．[答案] 30　65　‎ ‎[解析] ∵PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，‎ ‎∴PA＝PB＝15 cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝30 cm，即△PEF的周长是30 cm；连接OA，OB，OD.∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝∠AOB＝65°，即∠EOF＝65°.‎ ‎10．[答案] 2‎ ‎[解析] 如图，设⊙O与AB，AC的延长线及BC边分别相切于点F，D，E.连接OD，OE.∵⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴四边形ODCE是正方形．设OD＝r，则CD＝CE＝r.∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r.∵AB＝5，AC＝4，∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r，∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，则⊙O的半径是2.‎ ‎11．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，‎ ‎∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.‎ 又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.‎ ‎12．解：(1)连接OF.根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，‎ ‎∴∠BOC＝90°.‎ ‎(2)由(1)知，∠BOC＝90°.‎ ‎∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，‎ ‎∴由勾股定理，得BC＝＝10 cm，‎ ‎∴BE＋CG＝BC＝10 cm.‎ ‎(3)∵OF⊥BC，由三角形的面积公式，得OB·OC＝BC·OF，∴OF＝＝‎4.8 cm.‎ 10‎ ‎13．解：(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，‎ ‎∴BF＝BD，CE＝CD，‎ ‎∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7.‎ ‎(2)如图，连接OE，OF，OA.‎ ‎∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，‎ ‎∴∠OEA＝90°，∠OAE＝∠BAC＝30°，‎ ‎∴OA＝2OE＝2 .‎ 由勾股定理，得AF＝AE＝＝3，‎ ‎∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20，‎ 即△ABC的周长是20.‎ ‎14．[解析] (1)过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC.设BC＝x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即可得方程(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 )2，解此方程即可求得答案；(2)易证得△ADE∽△GCE，由相似三角形的对应边成比例，可得AE∶EG＝4∶5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．‎ 解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.‎ ‎∵∠DAB＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，‎ ‎∴DF＝AB＝2 ，BF＝AD＝2.‎ ‎∵DE与⊙O相切，‎ ‎∴DE＝AD＝2，CE＝BC.‎ 设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x.‎ 在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 )2，‎ 解得x＝，即BC＝.‎ ‎(2)∵∠DAB＋∠ABC＝180°，‎ ‎∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∵AD＝DE＝2，∴GC＝CE＝BC＝，‎ ‎∴BG＝BC＋CG＝5，＝.‎ 在Rt△ABG中，AG＝＝3 ，‎ ‎∴EG＝AG＝ .‎ ‎[点评] 此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识，难度适中，注意掌握辅助线的作法与方程思想的应用．‎ ‎[素养提升]‎ 10‎ ‎[解析] (1)连接BD，已知ED，EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BD⊥AC(圆周角定理)，则OE∥AC.由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E是BC的中点，那么在Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论．(2)由(1)知：BC＝2BE＝2DE，则所求的比例关系式可转化为()2＝DF·DC，即DE2＝DF·DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF＝∠C即可．①当∠DEC＞∠C，即180°－2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段DC相交，那么交点即为所求的点F；②当∠DEC＝∠C，即180°－2∠C＝∠C，∠C＝60°时，点F与点C重合，点F仍在线段DC上，此种情况也成立；③当∠DEC＜∠C，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段DC的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F.‎ 解：(1)证明：连接BD.‎ ‎∵ED，EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，‎ ‎∴OE垂直平分BD.‎ 又∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AD⊥BD，‎ ‎∴AD∥OE，即OE∥AC.‎ 又O为AB的中点，‎ ‎∴OE为△ABC的中位线，‎ ‎∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED.‎ ‎(2)存在．在△DEC中，∵ED＝EC，‎ ‎∴∠C＝∠CDE，‎ ‎∴∠DEC＝180°－2∠C.‎ ‎①当∠DEC＞∠C时，有180°－2∠C＞∠C，‎ 即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在满足条件的点F.‎ 在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．‎ 证明：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，‎ ‎∴△DEF∽△DCE，∴＝，‎ ‎∴DE2＝DF·DC，即(BC)2＝DF·DC，‎ ‎∴BC2＝4DF·DC.‎ ‎②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，‎ 即∠DEC＝∠C＝60°，此时，点C即为满足条件的点F，‎ 于是，DF＝DC＝DE，‎ 仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.‎ 10‎ ‎③当∠DEC＜∠C，‎ 即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，‎ 所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.‎ 10‎