2020中考数学三轮复习——探究性几何问题 练习

2020中考数学三轮复习——探究性几何问题 练习

探究性几何问题 ‎1． 如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°<α<90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．‎ ‎（1）求证：△ACQ≌△ADQ；‎ ‎（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎2． 综合与实践 动手操作：‎ 第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．‎ 第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．‎ 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．‎ 问题解决：‎ ‎（1）在图5中，∠BEC的度数是__________，的值是__________．‎ ‎（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：__________．‎ ‎ ‎ ‎3． 问题提出：‎ ‎（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；‎ 问题探究：‎ ‎（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使 ‎∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；‎ 问题解决：‎ ‎（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°‎ ‎，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）‎ ‎ ‎ ‎4． 把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）△DEF在平移的过程中，AP=CE=__________（用含t的代数式表示）；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值．‎ ‎（2）在移动过程中，当0AB．‎ ‎∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，‎ 连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，‎ ‎∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，‎ 作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，‎ ‎∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，‎ 由对称性得AP2=8．‎ ‎（3）可以，如图所示，连接BD，‎ ‎∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，‎ ‎∴BD=100，∠BED=60°，‎ 作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点E′，连接E′B，E′D，‎ 则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．‎ 连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，‎ ‎∵E′A⊥BD，‎ ‎∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，‎ 作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，‎ ‎∴S△BDE·BD·EF·BD·E′A=S△E′BD，‎ ‎∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°=5000（m2），‎ 所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m2．‎ ‎4． （1）如图1，△DEF在平移的过程中，AP=CE=t；‎ 当D在AC上时，如图2，‎ ‎∵DE=DF，‎ ‎∴EC=CF=EF=5，‎ ‎∴t=5．‎ 故答案为：t．‎ ‎（2）①如图3，过点P作PM⊥BC于M，‎ ‎∴∠BMP=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABC∽△PBM，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴PM=8-t，‎ 又∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，‎ ‎∴∠EQC=∠DEF=45°，‎ ‎∴CE=CQ=t，‎ ‎∴y=S△ACB-S△ECQ-S△PBE=AC·BC-EC·CQ-BE·PM，‎ ‎=×8×6-×t×t-（6-t）（8-t），‎ ‎=-t（0

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