初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视

1 第二十七讲 动态几何问题透视 春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互 转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来． 动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的 形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1．动中觅静 这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中 的不变性． 2．动静互化 “静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间， 使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观 点来研究变动元素的关系． 注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面 看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是， 对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状 况等，这就是常说的“动态思维”． 【例题求解】 【例 1】 如图，把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线上，按顺时针方向在l 上转动两 次，使它转到 A″B″C″的位置，设 BC=1，AC= 3 ，则顶点 A 运动到点 A″的位置时，点 A 经过的路线与直线 所围成的面积是 ． 思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔ ABC 的两次转动，顶点 A 所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为 120°和 90°，半径分别为 2 和 3 ，但该路线与直 线 所围成的面积不只是两个扇形面积之和． 【例 2】如图，在⊙O 中，P 是直径 AB 上一动点，在 AB 同侧作 AA′⊥AB，BB′⊥AB，且 AA′=AP，BB′=BP，连结 A′B′，当点 P 从点 A 移到点 B 时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分 AB 的某直线上移动 B．在垂直 AB 的某直线上移动 C．在 AmB 上移动 D．保持固定不移动 ⌒ 2 思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律． 【例 3】 如图，菱形 OABC 的长为 4 厘米，∠AOC＝60°，动点 P 从 O 出发，以每秒 1 厘 米的速度沿 O→A→B 路线运动，点 P 出发 2 秒后，动点 Q 从 O 出发，在 OA 上以每秒 1 厘米的速度，在 AB 上以每秒 2 厘米的速度沿 O→A→B 路线运动，过 P、Q 两点分别作对 角线 AC 的平行线．设 P 点运动的时间为 x 秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的 阴影部分)的周长为 y 厘米，请你回答下列问题： (1)当 x =3 时， y 的值是多少? (2)就下列各种情形： ①0≤ ≤2；②2≤ ≤4；③4≤ ≤6；④6≤ ≤8．求 y 与 之间的函数关系式． (3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下 y 与 的关系． 思路点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将 各段分别讨论、画图、计算． 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现 3 实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种 重要的解题策略． 建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值 或自变量的值． 【例 4】 如图，正方形 ABCD 中，有一直径为 BC 的半圆，BC=2cm，现有两点 E、F，分 别从点 B、点 A 同时出发，点 E 沿线段 BA 以 1m／秒的速度向点 A 运动，点 F 沿折线 A —D—C 以 2cm／秒的速度向点 C 运动，设点 E 离开点 B 的时间为 2 (秒)． (1)当 t 为何值时，线段 EF 与 BC 平行? (2)设 1< t <2，当 为何值时，EF 与半圆相切? (3)当 1≤ <2 时，设 EF 与 AC 相交于点 P，问点 E、F 运动时，点 P 的位置是否发生变 化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求 AP：PC 的值． 思路点拨 动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策 略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于 的方程；对于(3)，点 P 的位置是否发生变 化，只需看 PC AP 是否为一定值． 注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规 律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想． 【例 5】 ⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点；如图(1)，连结 O2 O1 并延长交⊙O1 于 P 点，连结 PA、PB 并分别延长交⊙O2 于 C、D 两点，连结 C O2 并延长交⊙O2 于 E 点．已知⊙O2 的半 径为 R，设∠CAD= ． (1)求：CD 的长(用含 R、 的式子表示)； (2)试判断 CD 与 PO1 的位置关系，并说明理由； (3)设点 P′为⊙O1 上(⊙O2 外)的动点，连结 P′A、P′B 并分别延长交⊙O2 于 C′、D′，请你 探究∠C′AD′是否等于 ? C′D′与 P′Ol 的位置关系如何?并说明理由． 思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P 点虽为 OOl 上的一个动点，但⊙ O1、⊙O2 一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来． ⌒ 4 学力训练 1．如图， Δ ABC 中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将Δ ABC 以点 B 为中心顺时 针旋转，使点 C 旋转到 AB 延长线上的 D 处，则 AC 边扫过的图形的面积是 cm (π =3.14159…，最后结果保留三个有效数字)． 2．如图，在 RtΔ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC= 3 cm，将Δ ABC 绕点 B 旋转至 Δ A'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm． 3．一块等边三角形的木板，边长为 l，现将木板沿水平线翻滚，那么 B 点从开始至结束走 过的路径长度为( ) A． 2 3 B． 3 4 C．4 D． 2 32  4．把Δ ABC 沿 AB 边平移到Δ A'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是Δ ABC 的面积的一 半，若 AB= 2 ，则此三角形移动的距离 AA'是( ) A． 12  B． 2 2 C．1 D． 2 1 5．如图，正三角形 ABC 的边长为 6 3 厘米，⊙O 的半径为 r 厘米，当圆心 O 从点 A 出发， 沿着线路 AB—BC—CA 运动，回到点 A 时，⊙O 随着点 O 的运动而移动． (1)若 r= 3 厘米，求⊙O 首次与 BC 边相切时 AO 的长； (2)在 O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下， r 的取值范围及相应的切点个数； (3)设 O 在整个移动过程中，在Δ ABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为 S，在 S>0 时， 求关于 r 的函数解析式，并写出自变量 r 的取值范围． 5 6．已知：如图，⊙O 韵直径为 10，弦 AC=8，点 B 在圆周上运动(与 A、C 两点不重合)， 连结 BC、BA，过点 C 作 CD⊥AB 于 D．设 CB 的长为 x ，CD 的长为 y ． (1)求 y 关于 x 的函数关系式；当以 BC 为直径的圆与 AC 相切时，求 y 的值； (2)在点 B 运动的过程中，以 CD 为直径的圆与⊙O 有几种位置关系，并求出不同位置时 的取值范围； (3)在点 B 运动的过程中，如果过 B 作 BE⊥AC 于 E，那么以 BE 为直径的圆与⊙O 能内 切吗?若不能，说明理由；若能，求出 BE 的长． 7．如图，已知 A 为∠POQ 的边 OQ 上一点，以 A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线 OP 于 M、N 两点，且∠MAN=∠POQ= ( 为锐角)．当∠MAN 以点 A 为旋转中心，AM 边从 与 AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN 保持不变)时，M、N 两点在射线 OP 上 同时以不同的速度向右平移移动．设 OM= x ，ON= ( y > x ≥0)，Δ AOM 的面积为 S，若 cos 、 OA 是方程 0252 2  zz 的两个根． (1)当∠MAN 旋转 30°(即∠OAM=30°)时，求点 N 移动的距离； (2)求证：AN2=ON·MN； (3)求 y 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围； (4)试写出 S 随 变化的函数关系式，并确定 S 的取值范围． 8．已知：如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD． (1)求 BC、AD 的长度； (2)若点 P 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm／s 的速度运动，点 Q 从点 C 开始沿 CD 边向点 D 以 1cm／s 的速度运动，当 P、Q 分别从 B、C 同时出发时，写出五边形 ABPQD 的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围(不包含点 P 在 B、C 两点的情况)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段 PQ 把梯形 ABCD 分成两部分的面积比为 1：5？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 6 9．已知：如图①，E、F、G、H 按照 AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n 是正整数)的关系，分 别在两邻边长 a 、 na 的矩形 ABCD 各边上运动． 设 AE= x ，四边形 EFGH 的面积为 S． (1)当 n=l、2 时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形 EFGH 各顶点运动到何位置， 使? (2)当 n=3 时，如图④，求 S 与 之间的函数关系式(写出自变量 的取值范围)，探索 S 随 增大而变化的规律；猜想四边形 EFGH 各顶点运动到何位置，使 ABCDSS 矩形2 1 ； (3)当 n=k (k≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由． 10．如图 1，在直角坐标系中，点 E 从 O 点出发，以 1 个单位／秒的速度沿 x 轴正方向运动， 点 F 从 O 点出发，以 2 个单位／秒的速度沿 y 轴正方向运动，B(4，2)，以 BE 为直径作⊙ O1． (1)若点 E、F 同时出发，设线段 EF 与线段 OB 交于点 G，试判断点 G 与⊙O1 的位置关 系，并证明你的结论； (2)在(1)的条件下，连结 FB，几秒时 FB 与⊙O1 相切? (3)如图 2，若 E 点提前 2 秒出发，点 F 再出发，当点 F 出发后，E 点在 A 点左侧时， 设 BA⊥ x 轴于 A 点，连结 AF 交⊙O1 于点 P，试问 PA·FA 的值是否会发生变化?若不变， 请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围． 7 8 参考答案 9