2014年广西自治区柳州市中考数学试题（含答案）

2014年广西自治区柳州市中考数学试题（含答案）

‎2014年广西柳州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 分析：‎ 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ 解答：‎ 解：从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•柳州）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎﹣1‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 有理数大小比较．菁优网版权所有 分析：‎ 要解答本题可根据正数大于0，0大于负数，可得答案．‎ 解答：‎ 解：﹣1＜0＜＜3．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ π C．‎ D．‎ ‎﹣2‎ 考点：‎ 无理数．菁优网版权所有 分析：‎ 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．‎ 解答：‎ 解：π是无限不循环小数，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎120°‎ B．‎ ‎30°‎ C．‎ ‎40°‎ D．‎ ‎60°‎ 考点：‎ 平行线的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据两直线平行，同位角相等解答．‎ 解答：‎ 解：∵直线l∥OB，‎ ‎∴∠1=60°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1=‎ B．‎ ‎（）2=5‎ C．‎ ‎2a﹣b=ab D．[来源:学|科|网]‎ ‎=‎ 考点：‎ 分式的加减法；实数的运算；合并同类项．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；‎ B、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；‎ C、原式不能合并，错误；‎ D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：A、原式=2﹣1=1；故选项错误；‎ B、原式=5，故选项正确；‎ C、原式不能合并，故选项错误；‎ D、原式=，故选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第一象限 B．‎ 第二象限 C．‎ 第三象限[来源:Zxxk.Com]‎ D．‎ 第四象限 考点：‎ 轴对称的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据轴对称的性质作出选择．‎ 解答：‎ 解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12岁 B．‎ ‎13岁 C．‎ ‎14岁 D．‎ ‎15岁 考点：‎ 条形统计图；众数．菁优网版权所有 分析：‎ 根据众数的定义，就是出现次数最多的数，据此即可判断．‎ 解答：‎ 解：众数是14岁．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系．菁优网版权所有 分析：‎ 根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．‎ 解答：‎ 解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5=3．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．‎ ‎　[来源:学科网]‎ ‎9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 长方形 B．‎ 平行四边形 C．‎ 菱形 D．‎ 直角梯形 考点：‎ 多边形．菁优网版权所有 分析：‎ 根据菱形的对角线互相垂直即可判断．‎ 解答：‎ 解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎240°‎ B．‎ ‎120°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎30°‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．菁优网版权所有 分析：‎ 多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．‎ 解答：‎ 解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，‎ 则6x=（6﹣2）•180°，‎ 解得x=120°．‎ 故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．‎ 故答案选：B．‎ 点评：‎ 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 无解 B．‎ x=1‎ C．‎ x=﹣4‎ D．‎ x=﹣1或x=4‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有 分析：‎ 关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．‎ 解答：‎ 解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），‎ ‎∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.25‎ B．‎ ‎0.5‎ C．‎ ‎0.75‎ D．‎ ‎0.95‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答：‎ 解：列表如下：‎ 灯泡1发光 灯泡1不发光 灯泡2发光 ‎（发光，发光）‎ ‎（不发光，发光）‎ 灯泡2不发光 ‎（发光，不发光）‎ ‎（不发光，不发光）‎ 所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，‎ 则P==0.75．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是　﹣3　．‎ 考点：‎ 相反数．菁优网版权所有 分析：‎ 此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．‎ 解答：‎ 解：3的相反数就是﹣3．‎ 点评：‎ 此题主要考查相反数的概念．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　＜　y（用“＞”或“＜”填空）．‎ 考点：‎ 不等式的定义．菁优网版权所有 分析：‎ 由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．‎ 解答：‎ 解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，‎ 故答案为：＜．‎ 点评：‎ 本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　5　．‎ 考点：‎ 等腰梯形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD为等腰梯形，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16，‎ ‎∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5，‎ 故答案为5．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•柳州）方程﹣1=0的解是x=　2　．‎ 考点：‎ 解分式方程．菁优网版权所有 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：2﹣x=0，‎ 解得：x=2，‎ 经检验x=2是分式方程的解．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2014•柳州）将直线y=x向上平移　7　个单位后得到直线y=x+7．‎ 考点：‎ 一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有 分析：‎ 直接根据“上加下减”的原则进行解答．‎ 解答：‎ 解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=x向上平移7个单位所得直线的解析式为：y=x+7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：‎ ‎①S1：S2=AC2：BC2；‎ ‎②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；‎ ‎③若AC⊥BC，则S1•S2=S32．‎ 其中结论正确的序号是　①②③　．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ ‎①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；‎ ‎②根据SAS即可求得全等；‎ ‎③根据面积公式即可判断．‎ 解答：‎ ‎①S1：S2=AC2：BC2正确，‎ 解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，‎ ‎∴△ADC∽△BCE，‎ ‎∴S1：S2=AC2：BC2．‎ ‎②△BCD≌△ECA正确，‎ 证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD=∠BCE=60°‎ ‎∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，‎ 即∠ACE=∠DCB，‎ 在△ACE与△DCB中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△ECA（SAS）．‎ ‎③若AC⊥BC，则S1•S2=S32正确，‎ 解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高=a，△BCE的高=b，‎ ‎∴S1=aa=a2，S2=bb=b2，‎ ‎∴S1•S2=a2b2=a2b2，‎ ‎∵S3=ab，‎ ‎∴S32=a2b2，‎ ‎∴S1•S2=S32．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．‎ 考点：‎ 有理数的乘法；有理数的加法．菁优网版权所有 分析：‎ 根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答案．‎ 解答：‎ 解：原式=﹣10+3‎ ‎=﹣7．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的乘法，先算有理数的乘法，再算有理数的加法，注意运算符号．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．‎ 请你根据图表，完成下列问题：‎ ‎（1）补充完成下面成绩表单的填写：‎ 射击序次 ‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 成绩/环 ‎ 8‎ ‎ 10‎ ‎ 7‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 7‎ ‎10 ‎ ‎（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．‎ 考点：‎ 折线统计图；统计表；算术平均数．菁优网版权所有 分析：‎ 根据折线统计图中提供的信息，补全统计表；‎ ‎（2）求出该运动员射击总环数除以10即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由折线统计图得出第一次射击环数为：8，第二次射击环数为：9，第三次射击环数为：7，‎ 故答案为：8，9，7．‎ ‎（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（环）．‎ 点评：‎ 本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数，解题的关键是能从折线统计图中正确找出数据．‎ ‎21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用．菁优网版权所有 分析：‎ 设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，根据图示可得：大苹果的重量=小苹果+50g，大苹果+小苹果=300g+50g，据此列方程组求解．‎ 解答：‎ 解：设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，‎ 由题意得，，‎ 解得：．‎ 答：大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g．‎ 点评：‎ 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据图形，找出等量关系，列方程组求解．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．‎ ‎①求BD和AD的长；‎ ‎②求tan∠C的值．‎ 考点：‎ 解直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）由BD⊥AC得到∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；‎ ‎（2）先计算出CD=2，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵BD⊥AC，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°，‎ 在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，‎ ‎∴BD=AB=3，‎ ‎∴AD=BD=3；‎ ‎（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，‎ 在Rt△ADC中，tan∠C===．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y=的图象过点A（1，2）．‎ ‎（1）求该函数的解析式；‎ ‎（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；‎ ‎（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有 分析：[来源:学|科|网]‎ ‎（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；‎ ‎（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．‎ ‎（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）∵函数y=的图象过点A（1，2），‎ ‎∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，‎ 得2=，解得：k=2，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=；‎ ‎（2）∵点A是反比例函数上一点，‎ ‎∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2．‎ ‎（3）设图象上任一点的坐标（x，y），‎ ‎∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2，‎ ‎∴矩形的面积为定值．‎ 点评：‎ 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△ADC；‎ ‎（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；‎ ‎（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，‎ ‎∴∠BAE=∠CAD，‎ ‎∵∠B=∠D，‎ ‎∴△ABE∽△ADC；‎ ‎（2）‎ ‎∵∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴弧BD=弧CD，‎ ‎∵OD为半径，‎ ‎∴DO⊥BC，‎ ‎∵F为OD的中点，‎ ‎∴OB=BD，OC=CD，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴OB=BD=CD=OC，‎ ‎∴四边形OBDC是菱形．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．‎ ‎（1）求线段PQ的长；[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；‎ ‎（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，‎ ‎∴∠APD+∠QPE=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A=90°，‎ ‎∴∠ADP+∠APD=90°，‎ ‎∴∠ADP=∠QPE，‎ ‎∵EQ⊥AB，‎ ‎∴∠A=∠Q=90°，‎ 在△ADP和△QPE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADP≌△QPE（AAS），‎ ‎∴PQ=AD=1；‎ ‎（2）∵△PFD∽△BFP，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，‎ ‎∴△DAP∽△PBF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∴PA=AB=‎ ‎∴当PA=时，△PFD∽△BFP．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式．‎ ‎（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）‎ ‎（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．‎ ‎（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）‎ 附：阅读材料 ‎ 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．‎ ‎ 即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，‎ ‎ 则：x1+x2=﹣，x1•x2=‎ ‎ 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．‎ ‎ 例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．‎ ‎ 解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0‎ ‎∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2=‎ ‎∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积==﹣15．‎ 考点：‎ 二次函数综合题；完全平方公式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．‎ ‎（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．‎ ‎（3）由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，因此GP平分∠AGB．过点A作GP的对称点A′，则点A′必在BG上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG=x2﹣x1==4，所以当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．‎ 解答：‎ ‎（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），‎ 因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．‎ ‎∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1，），‎ ‎∴=a+1．‎ 解得：a=．‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=x2+1．‎ ‎（2）解：当x=﹣1时，y=，‎ 当x=0时，y=1，‎ 当x=3时，y=×32+1=，‎ 结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜．‎ ‎（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，‎ ‎∴GP平分∠AGB．‎ ‎∴直线GP是∠AGB的对称轴．‎ 过点A作GP的对称点A′，如图2，‎ 则点A′一定在BG上．‎ ‎∵点A的坐标为（x1，y1），‎ ‎∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）．‎ ‎∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，‎ ‎∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．‎ ‎∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．‎ 设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．‎ ‎∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，‎ ‎∴．‎ 解得：．‎ ‎∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，‎ ‎∴x1、x2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根．‎ ‎∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．‎ ‎∴n==﹣2+2=0．‎ ‎∴点G的坐标为（0，0）．‎ ‎∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．‎ ‎②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，‎ ‎∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，‎ ‎∴点P的坐标为（0，2）．‎ ‎∴PG=2．‎ ‎∴S△ABG=S△APG+S△BPG ‎=PG•AC+PG•BD ‎=PG•（AC+BD）‎ ‎=×2×（﹣x1+x2）‎ ‎=x2﹣x1‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=4．‎ ‎∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．‎ ‎∴△GAB面积的最小值为4．‎ 点评：‎ 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．‎ ‎　‎