2020年贵州省铜仁市中考数学试卷

2020年贵州省铜仁市中考数学试卷

2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）本题每小题均有 A、B、C、D 四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 1．（4 分） 3 的绝对值是 ( ) A． 3 B．3 C． 1 3 D． 1 3  2．（4 分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到 2020 年底，高铁总里程大约 39000 千 米，39000 用科学记数法表示为 ( ) A． 339 10 B． 43.9 10 C． 43.9 10 D． 339 10 3．（4 分）如图，直线 / /AB CD ， 3 70  ，则 1 (  ) A． 70 B．100 C．110 D．120 4．（4 分）一组数据 4，10，12，14，则这组数据的平均数是 ( ) A．9 B．10 C．11 D．12 5．（4 分）已知 FHB EAD ∽ ，它们的周长分别为 30 和 15，且 6FH  ，则 EA 的长为 ( ) A．3 B．2 C．4 D．5 6．（4 分）实数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( ) A． a b B． a b  C． a b  D． a b  7．（4 分）已知等边三角形一边上的高为 2 3 ，则它的边长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D． 4 3 8．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 4BC  ，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动 到点 D ，设点 P 运动的路程为 x ， ADP 的面积为 y ，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大 致是 ( ) A． B． C． D． 9．（4 分）已知 m 、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m 、n 是关于 x 的一元二次方程 2 6 2 0x x k    的两个根，则 k 的值等于 ( ) A．7 B．7 或 6 C．6 或 7 D．6 10．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AB 上， 1BE  ， 45DAM  ，点 F 在射线 AM 上，且 2AF  ，过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H ，CF 与 AD 相交于点G ，连接 EC 、 EG 、 EF ．下列结论：① ECF 的面积为17 2 ；② AEG 的周长为 8；③ 2 2 2EG DG BE  ；其中正确的是 ( ) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 二、填空题：（本题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．（4 分）因式分解： 2a ab a   ． 12．（4 分）方程 2 10 0x   的解是 ． 13．（4 分）已知点 (2, 2) 在反比例函数 ky x  的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 14．（4 分）函数 2 4y x  中，自变量 x 的取值范围是 ． 15．（4 分）从 2 ， 1 ，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限 的概率等于 ． 16．（4 分）设 AB ，CD ， EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB 与CD 的距离是 12cm， EF 与 CD的距离是 5cm ，则 AB 与 EF 的距离等于 cm ． 17．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 4AD  ，将 A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 1A ， 折痕为 DE ．若将 B 沿 1EA 向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 1B ，则 AB  ． 18．（4 分）观察下列等式： 2 32 2 2 2   ； 2 3 42 2 2 2 2    ； 2 3 4 52 2 2 2 2 2     ； 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2 2      ；  已知按一定规律排列的一组数： 202 ， 212 ， 222 ， 232 ， 242 ， ， 382 ， 392 ， 402 ，若 202 m ， 则 20 21 22 23 24 38 39 402 2 2 2 2 2 2 2        （结果用含 m 的代数式表示）． 三、解答题：（本题共 4 个小题，第 19 题每小题 10 分，第 20，21，22 题每小题 10 分，共 40 分，要有解题的主要过程） 19．（10 分）（1）计算： 2020 012 ( 1) 4 ( 5 3)2       ． （2）先化简，再求值： 2 23 1( ) ( )3 3 a aa a a     ，自选一个 a 值代入求值． 20．（10 分）如图， B E   ， BF EC ， / /AC DF ．求证： ABC DEF   ． 21．（10 分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要 求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况， 学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完 整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2） m  ， n  ； （3）若该校共有 2000 名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？ 22．（10 分）如图，一艘船由西向东航行，在 A 处测得北偏东 60方向上有一座灯塔 C ，再 向东继续航行 60km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30 方向上，已知在灯塔 C 的周围 47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 四、（本大题满分 12 分） 23．（12 分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进 价是每一个篮球的进价的 90% ，用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数 多 10 个． （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ （2）该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个，且排球个数不低于篮球个数的 3 倍，篮球 的售价定为每一个 100 元，排球的售价定为每一个 90 元．若该批篮球、排球都能卖完，问 该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、（本大题满分 12 分） 24．（12 分）如图， AB 是 O 的直径，C 为 O 上一点，连接 AC ，CE AB 于点 E ， D 是直径 AB 延长线上一点，且 BCE BCD   ． （1）求证： CD 是 O 的切线； （2）若 8AD  ， 1 2 BE CE  ，求 CD 的长． 六、（本大题满分 14 分） 25．（14 分）如图，已知抛物线 2 6y ax bx   经过两点 ( 1,0)A  ， (3,0)B ，C 是抛物线与 y 轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 ( , )P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 PBC 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数表达式（指出自变量 m 的取值范围）和 S 的最大值； （3）点 M 在抛物线上运动，点 N 在 y 轴上运动，是否存在点 M 、点 N 使得 90CMN  ， 且 CMN 与 OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标． 2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）本题每小题均有 A、B、C、D 四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 1．（4 分） 3 的绝对值是 ( ) A． 3 B．3 C． 1 3 D． 1 3  【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案． 【解答】解： 3 的绝对值是：3． 故选： B ． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 2．（4 分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到 2020 年底，高铁总里程大约 39000 千 米，39000 用科学记数法表示为 ( ) A． 339 10 B． 43.9 10 C． 43.9 10 D． 339 10 【分析】科学记数法的表示形式为 10na  的形式，其中1 | | 10a „ ， n 为整数．确定 n 的值 是易错点，由于 39000 有 5 位，所以可以确定 5 1 4n    ． 【解答】解： 439000 3.9 10  ． 故选： B ． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 n值是关键． 3．（4 分）如图，直线 / /AB CD ， 3 70  ，则 1 (  ) A． 70 B．100 C．110 D．120 【分析】直接利用平行线的性质得出 1 2   ，进而得出答案． 【解答】解：直线 / /AB CD ， 1 2   ， 3 70   ， 1 2 180 70 110        ． 故选： C ． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出相等的角是解题关键． 4．（4 分）一组数据 4，10，12，14，则这组数据的平均数是 ( ) A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】对于 n 个数 1x ， 2x ， ， nx ，则 1 2 1 ( )nx x x xn    就叫做这 n 个数的算术平 均数，据此列式计算可得． 【解答】解：这组数据的平均数为 1 (4 10 12 14) 104      ， 故选： B ． 【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义：对于 n个数 1x ， 2x ， ， nx ，则 1 2 1 ( )nx x x xn    就叫做这 n个数的算术平均数． 5．（4 分）已知 FHB EAD ∽ ，它们的周长分别为 30 和 15，且 6FH  ，则 EA 的长为 ( ) A．3 B．2 C．4 D．5 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 【解答】解： FHB 和 EAD 的周长分别为 30 和 15， FHB 和 EAD 的周长比为 2:1， FHB EAD  ∽ ，  2FH EA  ，即 6 2EA  ， 解得， 3EA  ， 故选： A ． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关 键． 6．（4 分）实数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( ) A． a b B． a b  C． a b  D． a b  【分析】根据数轴即可判断 a 和b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进 行比较即可求解． 【解答】解：根据数轴可得： 0a  ， 0b  ，且| | | |a b ， 则 a b ， a b  ， a b  ， a b  ． 故选： D ． 【点评】本题考查了利用数轴表示数，根据数轴确定 a 和b 的符号以及绝对值的大小是关键． 7．（4 分）已知等边三角形一边上的高为 2 3 ，则它的边长为 ( ) A．2 B．3 C．4 D． 4 3 【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可． 【解答】解：根据等边三角形：三线合一， 设它的边长为 x ，可得： 2 2 2( ) (2 3)2 xx   ， 解得： 4x  ， 4x   （舍去）， 故选： C ． 【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单，解题的关键是掌握勾股定理． 8．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 3AB  ， 4BC  ，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动 到点 D ，设点 P 运动的路程为 x ， ADP 的面积为 y ，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大 致是 ( ) A． B． C． D． 【分析】分别求出 0 4x„ „ 、 4 7x  时函数表达式，即可求解． 【解答】解：由题意当 0 4x„ „ 时， 1 1 3 4 62 2y AD AB       ， 当 4 7x  时， 1 1 (7 ) 4 14 22 2y PD AD x x         ． 故选： D ． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思 考问题，属于中考常考题型． 9．（4 分）已知 m 、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m 、n 是关于 x 的一元二次方程 2 6 2 0x x k    的两个根，则 k 的值等于 ( ) A．7 B．7 或 6 C．6 或 7 D．6 【分析】当 4m  或 4n  时，即 4x  ，代入方程即可得到结论，当 m n 时，即△ 2( 6) 4 ( 2) 0k      ，解方程即可得到结论． 【解答】解：当 4m  或 4n  时，即 4x  ， 方程为 24 6 4 2 0k     ， 解得： 6k  ， 当 m n 时，即△ 2( 6) 4 ( 2) 0k      ， 解得： 7k  ， 综上所述， k 的值等于 6 或 7， 故选： B ． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等边三角形的性质，正确的理解题意 是解题的关键． 10．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 AB 上， 1BE  ， 45DAM  ，点 F 在射线 AM 上，且 2AF  ，过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H ，CF 与 AD 相交于点G ，连接 EC 、 EG 、 EF ．下列结论：① ECF 的面积为17 2 ；② AEG 的周长为 8；③ 2 2 2EG DG BE  ；其中正确的是 ( ) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【分析】先判断出 90H   ，进而求出 1AH HF BE   ．进而判断出 ( )EHF CBE SAS   ， 得出 EF EC ， HEF BCE   ，判断出 CEF 是等腰直角三角形，再用勾股定理求出 2 17EC  ，即可得出①正确； 先判断出四边形 APFH 是矩形，进而判断出矩形 AHFP 是正方形，得出 1AP PH AH   ， 同理：四边形 ABQP 是矩形，得出 4PQ  ， 1BQ  ， 5FQ  ， 3CQ  ，再判断出 FPG FQC ∽ ，得出 FP PG FQ CQ  ，求出 3 5PG  ，再根据勾股定理求得 17 5EG  ，即 AEG 的 周长为 8，判断出②正确； 先求出 12 5DG  ，进而求出 2 2 169 25DG BE  ，在求出 2 289 169 25 25EG  ，判断出③错误，即 可得出结论． 【解答】解：如图，在正方形 ABCD 中， / /AD BC ， 4AB BC AD   ， 90B BAD    ， 90HAD   ， / /HF AD ， 90H   ， 90 45HAF DAM       ， AFH HAF   ． 2AF  ， 1AH HF BE    ． 4EH AE AH AB BE AH BC        ， ( )EHF CBE SAS   ， EF EC  ， HEF BCE   ， 90BCE BEC     ， 90HEF BEC    ， 90FEC  ， CEF 是等腰直角三角形， 在 Rt CBE 中， 1BE  ， 4BC  ， 2 2 2 17EC BE BC    ， 21 1 17 2 2 2ECFS EF EC EC    ，故①正确； 过点 F 作 FQ BC 于 Q ，交 AD 于 P ， 90APF H HAD       ， 四边形 APFH 是矩形， AH HF ， 矩形 AHFP 是正方形， 1AP PH AH    ， 同理：四边形 ABQP 是矩形， 4PQ AB   ， 1BQ AP ， 5FQ FP PQ   ， 3CQ BC BQ   ， / /AD BC ， FPG FQC ∽ ，  FP PG FQ CQ  ，  1 5 3 PG ， 3 5PG  ， 8 5AG AP PG    ， 在 Rt EAG 中，根据勾股定理得， 2 2 17 5EG AG AE   ， AEG 的周长为 8 17 3 85 5AG EG AE      ，故②正确； 4AD  ， 12 5DG AD AG    ， 2 2 144 169125 25DG BE     ， 2 217 289 169( )5 25 25EG    ， 2 2 2EG DG BE   ，故③错误， 正确的有①②， 故选： C ． 【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判 定和性质，勾股定理，求出 AG 是解本题的关键． 二、填空题：（本题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．（4 分）因式分解： 2a ab a   ( 1)a a b  ． 【分析】原式提取公因式即可． 【解答】解：原式 ( 1)a a b   ． 故答案为： ( 1)a a b  ． 【点评】此题考查了因式分解  提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 12．（4 分）方程 2 10 0x   的解是 5x   ． 【分析】方程移项，把 x 系数化为 1，即可求出解． 【解答】解：方程 2 10 0x   ， 移项得： 2 10x   ， 解得： 5x   ． 故答案为： 5x   ． 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 13．（4 分）已知点 (2, 2) 在反比例函数 ky x  的图象上，则这个反比例函数的表达式是 4y x   ． 【分析】把点 (2, 2) 代入反比例函数 ( 0)ky kx   中求出 k 的值，从而得到反比例函数解析 式． 【解答】解：反比例函数 ( 0)ky kx   的图象上一点的坐标为 (2, 2) ， 2 2 4k      ， 反比例函数解析式为 4y x   ， 故答案为： 4y x   ． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、以及反比例函数图象上点的坐标特 征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14．（4 分）函数 2 4y x  中，自变量 x 的取值范围是 2x… ． 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 2 4 0x  … ，可求 x 的范 围． 【解答】解： 2 4 0x  … 解得 2x… ． 【点评】此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 15．（4 分）从 2 ， 1 ，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限 的概率等于 1 3 ． 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公 式求解可得． 【解答】解：画树状图如下 共有 6 种等可能情况，该点在第三象限的情况数有 ( 2, 1)  和 ( 1, 2)  这 2 种结果， 该点在第三象限的概率等于 2 1 6 3  ， 故答案为： 1 3 ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事 件；注意概率  所求情况数与总情况数之比． 16．（4 分）设 AB ，CD ， EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB 与CD 的距离是 12cm， EF 与 CD的距离是 5cm ，则 AB 与 EF 的距离等于 7 或 17 cm ． 【分析】分两种情况讨论， EF 在 AB ， CD 之间或 EF 在 AB ， CD同侧，进而得出结论． 【解答】解：分两种情况： ①当 EF 在 AB ， CD 之间时，如图： AB 与 CD的距离是12cm， EF 与 CD 的距离是 5cm ， EF 与 AB 的距离为12 5 7( )cm  ． ②当 EF 在 AB ， CD 同侧时，如图： AB 与 CD的距离是12cm， EF 与 CD 的距离是 5cm ， EF 与 AB 的距离为12 5 17( )cm  ． 综上所述， EF 与 AB 的距离为 7cm或17cm ． 故答案为：7 或 17． 【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义，从一 条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 17．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 4AD  ，将 A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 1A ， 折痕为 DE ．若将 B 沿 1EA 向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 1B ，则 AB  2 3 ． 【分析】依据△ 1 1A DB  △ 1 ( )A DC AAS ，即可得出 1 1 1AC A B ，再根据折叠的性质，即可得 到 1 1 22AC BC  ，最后依据勾股定理进行计算，即可得到 CD的长，即 AB 的长． 【解答】解：由折叠可得， 1 4A D AD  ， 1 90A EA D     ， 1 1 1BA E B A E   ， 1 1 1BA B A ， 1 1 90B A B E     ， 1 1 1 1 1 190EA B DA B BA E CA D         ， 1 1 1DA B CA D   ， 又 1 1C A B D   ， 1 1A D A D ， △ 1 1A DB  △ 1 ( )A DC AAS ， 1 1 1AC A B  ， 1 1 1 22BA AC BC    ， Rt △ 1ACD 中， 2 24 2 2 3CD    ， 2 3AB  ， 故答案为： 2 3 ． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对 称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 18．（4 分）观察下列等式： 2 32 2 2 2   ； 2 3 42 2 2 2 2    ； 2 3 4 52 2 2 2 2 2     ； 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2 2      ；  已知按一定规律排列的一组数： 202 ， 212 ， 222 ， 232 ， 242 ， ， 382 ， 392 ， 402 ，若 202 m ， 则 20 21 22 23 24 38 39 402 2 2 2 2 2 2 2        (2 1)m m  （结果用含 m 的代数式表示）． 【 分 析 】 由 题 意 可 得 20 21 22 23 24 38 39 40 20 2 19 20 20 21 20 202 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 2 2 2 ) 2 (1 2 2) 2 (2 2 1)                  ，再将 202 m 代入即可求解． 【解答】解： 202 m ， 20 21 22 23 24 38 39 402 2 2 2 2 2 2 2        20 2 19 202 (1 2 2 2 2 )     20 212 (1 2 2)   (2 1)m m  ． 故答案为： (2 1)m m  ． 【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应 用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律： 2 3 12 2 2 2 2 2n n     ． 三、解答题：（本题共 4 个小题，第 19 题每小题 10 分，第 20，21，22 题每小题 10 分，共 40 分，要有解题的主要过程） 19．（10 分）（1）计算： 2020 012 ( 1) 4 ( 5 3)2       ． （2）先化简，再求值： 2 23 1( ) ( )3 3 a aa a a     ，自选一个 a 值代入求值． 【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即 可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分得到最简结果，把 a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式 2 2 1 2 1     4 1 2 1    0 ； （2）原式 2( 3) 3 3 3 ( 1)( 1) a a a a a a a        3( 1) 3 3 ( 1)( 1) a a a a a       3 1a    ， 当 0a  时，原式 3  ． 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（10 分）如图， B E   ， BF EC ， / /AC DF ．求证： ABC DEF   ． 【分析】首先利用平行线的性质得出 ACB DFE   ，进而利用全等三角形的判定定理 ASA， 进而得出答案． 【解答】证明： / /AC DF ， ACB DFE   ， BF CE ， BC EF  ， 在 ABC 和 DEF 中， B E BC EF ACB DFE         ， ( )ABC DEF ASA   ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、 ASA、 AAS 、HL ．注意： AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时， 必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 21．（10 分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要 求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况， 学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完 整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2） m  36 ， n  ； （3）若该校共有 2000 名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？ 【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查的 学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占 28% ，即可求得选择篮球的学生人数，从 而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到 m 、 n的值； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人． 【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有： 20 20% 100  （人 ) ， 选择篮球的学生有：100 28% 28  （人 ) ， 补全的条形统计图如右图所示； （2） 36% 100% 36%100m    ， 16% 100% 16%100n    ， 故答案为：36，16； （3） 2000 16% 320  （人 ) ， 答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有 320 人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答． 22．（10 分）如图，一艘船由西向东航行，在 A 处测得北偏东 60方向上有一座灯塔 C ，再 向东继续航行 60km 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30 方向上，已知在灯塔 C 的周围 47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 【分析】过 C 作 CD AB 于点 D ，根据方向角的定义及余角的性质求出 30BCA   ， 60ACD   ，证 30ACB BCA     ，根据等角对等边得出 12BC AB  ，然后解 Rt BCD ， 求出 CD 即可． 【解答】解：过点 C 作 CD AB ，垂足为 D ．如图所示： 根据题意可知 90 30 30BAC      ， 90 30 60DBC      ， DBC ACB BAC     ， 30BAC ACB     ， 60BC AB km   ， 在 Rt BCD 中， 90CDB   ， 60BDC  ， sin ADBCD AC   ， sin60 60 CD   ， 360 sin60 60 30 3( ) 472CD km km        ， 这艘船继续向东航行安全． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判 定和三角函数定义是解题的关键． 四、（本大题满分 12 分） 23．（12 分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进 价是每一个篮球的进价的 90% ，用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数 多 10 个． （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ （2）该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个，且排球个数不低于篮球个数的 3 倍，篮球 的售价定为每一个 100 元，排球的售价定为每一个 90 元．若该批篮球、排球都能卖完，问 该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每一个篮球的进价是 x 元，则每一个排球的进价是 90%x 元，根据用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数多 10 个列出方程，解之即可得出结论； （2）设文体商店计划购进篮球 m 个，总利润 y 元，根据题意用 m 表示 y ，结合 m 的取值范 围和 m 为整数，即可得出获得最大利润的方案． 【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是 x 元，则每一个排球的进价是 90%x 元，依题意有 3600 360010 90%x x   ， 解得 40x  ， 经检验， 40x  是原方程的解， 90% 90% 40 36x    ． 故每一个篮球的进价是 40 元，每一个排球的进价是 36 元； （2）设文体商店计划购进篮球 m 个，总利润 y 元，则 (100 40) (90 36)(100 ) 6 5400y m m m       ， 依题意有 0 100 100 3 m m m     … ， 解得 0 25m „ 且 m 为整数， m 为整数， y 随 m 的增大而增大， 25m  时， y 最大，这时 6 25 5400 5550y     ， 100 25 75  （个 ) ． 故该文体商店应购进篮球 25 个、排球 75 个才能获得最大利润，最大利润是 5550 元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量 关系，正确列出方程是解题的关键． 五、（本大题满分 12 分） 24．（12 分）如图， AB 是 O 的直径，C 为 O 上一点，连接 AC ，CE AB 于点 E ， D 是直径 AB 延长线上一点，且 BCE BCD   ． （1）求证： CD 是 O 的切线； （2）若 8AD  ， 1 2 BE CE  ，求 CD 的长． 【分析】（1）连接 OC ，根据圆周角定理得到 90ACB   ，根据余角的性质得到 A ECB   ， 求得 A BCD   ，根据等腰三角形的性质得到 A ACO   ，等量代换得到 ACO BCD   ， 求得 90DCO   ，于是得到结论； （2）设 BC k ， 2AC k ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OC ， AB 是 O 的直径， 90ACB   ， CE AB ， 90CEB   ， 90ECB ABC ABC CAB        ， A ECB   ， BCE BCD   ， A BCD   ， OC OA ， A ACO   ， ACO BCD   ， 90ACO BCO BCO BCD        ， 90DCO  ， CD 是 O 的切线； （2）解： A BCE   ， 1tan tan 2 BC BEA BCEAC CE       ， 设 BC k ， 2AC k ， D D   ， A BCD   ， ACD CBD ∽ ，  1 2 BC CD AC AD   ， 8AD  ， 4CD  ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确 的识别图形是解题的关键． 六、（本大题满分 14 分） 25．（14 分）如图，已知抛物线 2 6y ax bx   经过两点 ( 1,0)A  ， (3,0)B ，C 是抛物线与 y 轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 ( , )P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 PBC 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数表达式（指出自变量 m 的取值范围）和 S 的最大值； （3）点 M 在抛物线上运动，点 N 在 y 轴上运动，是否存在点 M 、点 N 使得 90CMN  ， 且 CMN 与 OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标． 【分析】（1）根据点 A 、 B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点 P 作 / /PF y 轴，交 BC 于点 F ，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 C 的 坐标，根据点 B 、 C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式，设点 P 的坐标为 2( , 2 4 6)m m m   ，则点 F 的坐标为 ( , 2 6)m m  ，进而可得出 PF 的长度，利用三角形的 面积公式可得出 23 9PBCS m m    ，配方后利用二次函数的性质即可求出 PBC 面积的最大 值； （3）分两种不同情况，当点 M 位于点 C 上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质 得出方程，求出点 M ，点 N 的坐标即可． 【解答】解：（1）将 ( 1,0)A  、 (3,0)B 代入 2 6y ax bx   ， 得： 6 0 9 3 6 0 a b a b        ，解得： 2 4 a b     ， 抛物线的解析式为 22 4 6y x x    ． （2）过点 P 作 / /PF y 轴，交 BC 于点 F ，如图 1 所示． 当 0x  时， 22 4 6 6y x x     ， 点 C 的坐标为 (0,6) ． 设直线 BC 的解析式为 y kx c  ， 将 (3,0)B 、 (0,6)C 代入 y kx c  ，得： 3 0 6 k c c     ，解得： 2 6 k c     ， 直线 BC 的解析式为 2 6y x   ． 设点 P 的坐标为 2( , 2 4 6)m m m   ，则点 F 的坐标为 ( , 2 6)m m  ， 2 22 4 6 ( 2 6) 2 6PF m m m m m           ， 2 21 3 273 9 3( )2 2 4PBCS PF OB m m m         ， 当 3 2m  时， PBC 面积取最大值，最大值为 27 4 ． 点 ( , )P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 0 3m   ． （3）存在点 M 、点 N 使得 90CMN  ，且 CMN 与 OBC 相似． 如图 2， 90CMN  ，当点 M 位于点 C 上方，过点 M 作 MD y 轴于点 D ， 90CDM CMN     ， DCM NCM   ， MCD NCM ∽ ， 若 CMN 与 OBC 相似，则 MCD 与 NCM 相似， 设 2( , 2 4 6)M a a a   ， (0,6)C ， 22 4DC a a    ， DM a ， 当 3 1 6 2 DM OB CD OC    时， COB CDM CMN  ∽ ∽ ，  2 1 2 4 2 a a a   ， 解得， 1a  ， (1,8)M ， 此时 1 1 2 2ND DM  ， 17(0, )2N ， 当 1 2 CD OB DM OC   时， COB MDC NMC  ∽ ∽ ，  22 4 1 2 a a a    ， 解得 7 4a  ， 7(4M ， 55)8 ， 此时 83(0, )8N ． 如图 3，当点 M 位于点 C 的下方， 过点 M 作 ME y 轴于点 E ， 设 2( , 2 4 6)M a a a   ， (0,6)C ， 22 4EC a a   ， EM a ， 同理可得： 22 4 1 2 a a a   或 22 4 2a a a   ， CMN 与 OBC 相似， 解得 9 4a  或 3a  ， 9(4M ， 39)8 或 (3,0)M ， 此时 N 点坐标为 3(0, )8 或 3(0, )2  ． 综合以上得， (1,8)M ， 17(0, )2N 或 7(4M ，55)8 ， 83(0, )8N 或 9(4M ，39)8 ， 3(0, )8N 或 (3,0)M ， 3(0, )2N  ，使得 90CMN  ，且 CMN 与 OBC 相似． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函 数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思想及分类 讨论思想是解题的关键．