2020年贵州省铜仁市中考数学试卷

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2020年贵州省铜仁市中考数学试卷

2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷 一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分)本题每小题均有 A、B、C、D 四个备选答案,其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 1.(4 分) 3 的绝对值是 ( ) A. 3 B.3 C. 1 3 D. 1 3  2.(4 分)我国高铁通车总里程居世界第一,预计到 2020 年底,高铁总里程大约 39000 千 米,39000 用科学记数法表示为 ( ) A. 339 10 B. 43.9 10 C. 43.9 10 D. 339 10 3.(4 分)如图,直线 / /AB CD , 3 70  ,则 1 (  ) A. 70 B.100 C.110 D.120 4.(4 分)一组数据 4,10,12,14,则这组数据的平均数是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 5.(4 分)已知 FHB EAD ∽ ,它们的周长分别为 30 和 15,且 6FH  ,则 EA 的长为 ( ) A.3 B.2 C.4 D.5 6.(4 分)实数 a , b 在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是 ( ) A. a b B. a b  C. a b  D. a b  7.(4 分)已知等边三角形一边上的高为 2 3 ,则它的边长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D. 4 3 8.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 3AB  , 4BC  ,动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动 到点 D ,设点 P 运动的路程为 x , ADP 的面积为 y ,那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大 致是 ( ) A. B. C. D. 9.(4 分)已知 m 、n、4 分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且 m 、n 是关于 x 的一元二次方程 2 6 2 0x x k    的两个根,则 k 的值等于 ( ) A.7 B.7 或 6 C.6 或 7 D.6 10.(4 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在边 AB 上, 1BE  , 45DAM  ,点 F 在射线 AM 上,且 2AF  ,过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H ,CF 与 AD 相交于点G ,连接 EC 、 EG 、 EF .下列结论:① ECF 的面积为17 2 ;② AEG 的周长为 8;③ 2 2 2EG DG BE  ;其中正确的是 ( ) A.①②③ B.①③ C.①② D.②③ 二、填空题:(本题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 11.(4 分)因式分解: 2a ab a   . 12.(4 分)方程 2 10 0x   的解是 . 13.(4 分)已知点 (2, 2) 在反比例函数 ky x  的图象上,则这个反比例函数的表达式是 . 14.(4 分)函数 2 4y x  中,自变量 x 的取值范围是 . 15.(4 分)从 2 , 1 ,2 三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第三象限 的概率等于 . 16.(4 分)设 AB ,CD , EF 是同一平面内三条互相平行的直线,已知 AB 与CD 的距离是 12cm, EF 与 CD的距离是 5cm ,则 AB 与 EF 的距离等于 cm . 17.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 4AD  ,将 A 向内翻折,点 A 落在 BC 上,记为 1A , 折痕为 DE .若将 B 沿 1EA 向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上,记为 1B ,则 AB  . 18.(4 分)观察下列等式: 2 32 2 2 2   ; 2 3 42 2 2 2 2    ; 2 3 4 52 2 2 2 2 2     ; 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2 2      ;  已知按一定规律排列的一组数: 202 , 212 , 222 , 232 , 242 , , 382 , 392 , 402 ,若 202 m , 则 20 21 22 23 24 38 39 402 2 2 2 2 2 2 2        (结果用含 m 的代数式表示). 三、解答题:(本题共 4 个小题,第 19 题每小题 10 分,第 20,21,22 题每小题 10 分,共 40 分,要有解题的主要过程) 19.(10 分)(1)计算: 2020 012 ( 1) 4 ( 5 3)2       . (2)先化简,再求值: 2 23 1( ) ( )3 3 a aa a a     ,自选一个 a 值代入求值. 20.(10 分)如图, B E   , BF EC , / /AC DF .求证: ABC DEF   . 21.(10 分)某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要 求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情况, 学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完 整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题: (1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据); (2) m  , n  ; (3)若该校共有 2000 名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人? 22.(10 分)如图,一艘船由西向东航行,在 A 处测得北偏东 60方向上有一座灯塔 C ,再 向东继续航行 60km 到达 B 处,这时测得灯塔 C 在北偏东 30 方向上,已知在灯塔 C 的周围 47km 内有暗礁,问这艘船继续向东航行是否安全? 四、(本大题满分 12 分) 23.(12 分)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进 价是每一个篮球的进价的 90% ,用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数 多 10 个. (1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元? (2)该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个,且排球个数不低于篮球个数的 3 倍,篮球 的售价定为每一个 100 元,排球的售价定为每一个 90 元.若该批篮球、排球都能卖完,问 该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少? 五、(本大题满分 12 分) 24.(12 分)如图, AB 是 O 的直径,C 为 O 上一点,连接 AC ,CE AB 于点 E , D 是直径 AB 延长线上一点,且 BCE BCD   . (1)求证: CD 是 O 的切线; (2)若 8AD  , 1 2 BE CE  ,求 CD 的长. 六、(本大题满分 14 分) 25.(14 分)如图,已知抛物线 2 6y ax bx   经过两点 ( 1,0)A  , (3,0)B ,C 是抛物线与 y 轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)点 ( , )P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设 PBC 的面积为 S ,求 S 关于 m 的函数表达式(指出自变量 m 的取值范围)和 S 的最大值; (3)点 M 在抛物线上运动,点 N 在 y 轴上运动,是否存在点 M 、点 N 使得 90CMN  , 且 CMN 与 OBC 相似,如果存在,请求出点 M 和点 N 的坐标. 2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分)本题每小题均有 A、B、C、D 四个备选答案,其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 1.(4 分) 3 的绝对值是 ( ) A. 3 B.3 C. 1 3 D. 1 3  【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案. 【解答】解: 3 的绝对值是:3. 故选: B . 【点评】此题主要考查了绝对值,正确把握绝对值的定义是解题关键. 2.(4 分)我国高铁通车总里程居世界第一,预计到 2020 年底,高铁总里程大约 39000 千 米,39000 用科学记数法表示为 ( ) A. 339 10 B. 43.9 10 C. 43.9 10 D. 339 10 【分析】科学记数法的表示形式为 10na  的形式,其中1 | | 10a „ , n 为整数.确定 n 的值 是易错点,由于 39000 有 5 位,所以可以确定 5 1 4n    . 【解答】解: 439000 3.9 10  . 故选: B . 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定 n值是关键. 3.(4 分)如图,直线 / /AB CD , 3 70  ,则 1 (  ) A. 70 B.100 C.110 D.120 【分析】直接利用平行线的性质得出 1 2   ,进而得出答案. 【解答】解:直线 / /AB CD , 1 2   , 3 70   , 1 2 180 70 110        . 故选: C . 【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确得出相等的角是解题关键. 4.(4 分)一组数据 4,10,12,14,则这组数据的平均数是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【分析】对于 n 个数 1x , 2x , , nx ,则 1 2 1 ( )nx x x xn    就叫做这 n 个数的算术平 均数,据此列式计算可得. 【解答】解:这组数据的平均数为 1 (4 10 12 14) 104      , 故选: B . 【点评】本题主要考查算术平均数,解题的关键是掌握算术平均数的定义:对于 n个数 1x , 2x , , nx ,则 1 2 1 ( )nx x x xn    就叫做这 n个数的算术平均数. 5.(4 分)已知 FHB EAD ∽ ,它们的周长分别为 30 和 15,且 6FH  ,则 EA 的长为 ( ) A.3 B.2 C.4 D.5 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答. 【解答】解: FHB 和 EAD 的周长分别为 30 和 15, FHB 和 EAD 的周长比为 2:1, FHB EAD  ∽ ,  2FH EA  ,即 6 2EA  , 解得, 3EA  , 故选: A . 【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关 键. 6.(4 分)实数 a , b 在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是 ( ) A. a b B. a b  C. a b  D. a b  【分析】根据数轴即可判断 a 和b 的符号以及绝对值的大小,根据有理数的大小比较方法进 行比较即可求解. 【解答】解:根据数轴可得: 0a  , 0b  ,且| | | |a b , 则 a b , a b  , a b  , a b  . 故选: D . 【点评】本题考查了利用数轴表示数,根据数轴确定 a 和b 的符号以及绝对值的大小是关键. 7.(4 分)已知等边三角形一边上的高为 2 3 ,则它的边长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D. 4 3 【分析】根据等边三角形的性质:三线合一,利用勾股定理可求解即可. 【解答】解:根据等边三角形:三线合一, 设它的边长为 x ,可得: 2 2 2( ) (2 3)2 xx   , 解得: 4x  , 4x   (舍去), 故选: C . 【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理,较为简单,解题的关键是掌握勾股定理. 8.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 3AB  , 4BC  ,动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动 到点 D ,设点 P 运动的路程为 x , ADP 的面积为 y ,那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大 致是 ( ) A. B. C. D. 【分析】分别求出 0 4x„ „ 、 4 7x  时函数表达式,即可求解. 【解答】解:由题意当 0 4x„ „ 时, 1 1 3 4 62 2y AD AB       , 当 4 7x  时, 1 1 (7 ) 4 14 22 2y PD AD x x         . 故选: D . 【点评】本题考查动点问题的函数图象,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思 考问题,属于中考常考题型. 9.(4 分)已知 m 、n、4 分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且 m 、n 是关于 x 的一元二次方程 2 6 2 0x x k    的两个根,则 k 的值等于 ( ) A.7 B.7 或 6 C.6 或 7 D.6 【分析】当 4m  或 4n  时,即 4x  ,代入方程即可得到结论,当 m n 时,即△ 2( 6) 4 ( 2) 0k      ,解方程即可得到结论. 【解答】解:当 4m  或 4n  时,即 4x  , 方程为 24 6 4 2 0k     , 解得: 6k  , 当 m n 时,即△ 2( 6) 4 ( 2) 0k      , 解得: 7k  , 综上所述, k 的值等于 6 或 7, 故选: B . 【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程的解,等边三角形的性质,正确的理解题意 是解题的关键. 10.(4 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在边 AB 上, 1BE  , 45DAM  ,点 F 在射线 AM 上,且 2AF  ,过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H ,CF 与 AD 相交于点G ,连接 EC 、 EG 、 EF .下列结论:① ECF 的面积为17 2 ;② AEG 的周长为 8;③ 2 2 2EG DG BE  ;其中正确的是 ( ) A.①②③ B.①③ C.①② D.②③ 【分析】先判断出 90H   ,进而求出 1AH HF BE   .进而判断出 ( )EHF CBE SAS   , 得出 EF EC , HEF BCE   ,判断出 CEF 是等腰直角三角形,再用勾股定理求出 2 17EC  ,即可得出①正确; 先判断出四边形 APFH 是矩形,进而判断出矩形 AHFP 是正方形,得出 1AP PH AH   , 同理:四边形 ABQP 是矩形,得出 4PQ  , 1BQ  , 5FQ  , 3CQ  ,再判断出 FPG FQC ∽ ,得出 FP PG FQ CQ  ,求出 3 5PG  ,再根据勾股定理求得 17 5EG  ,即 AEG 的 周长为 8,判断出②正确; 先求出 12 5DG  ,进而求出 2 2 169 25DG BE  ,在求出 2 289 169 25 25EG  ,判断出③错误,即 可得出结论. 【解答】解:如图,在正方形 ABCD 中, / /AD BC , 4AB BC AD   , 90B BAD    , 90HAD   , / /HF AD , 90H   , 90 45HAF DAM       , AFH HAF   . 2AF  , 1AH HF BE    . 4EH AE AH AB BE AH BC        , ( )EHF CBE SAS   , EF EC  , HEF BCE   , 90BCE BEC     , 90HEF BEC    , 90FEC  , CEF 是等腰直角三角形, 在 Rt CBE 中, 1BE  , 4BC  , 2 2 2 17EC BE BC    , 21 1 17 2 2 2ECFS EF EC EC    ,故①正确; 过点 F 作 FQ BC 于 Q ,交 AD 于 P , 90APF H HAD       , 四边形 APFH 是矩形, AH HF , 矩形 AHFP 是正方形, 1AP PH AH    , 同理:四边形 ABQP 是矩形, 4PQ AB   , 1BQ AP , 5FQ FP PQ   , 3CQ BC BQ   , / /AD BC , FPG FQC ∽ ,  FP PG FQ CQ  ,  1 5 3 PG , 3 5PG  , 8 5AG AP PG    , 在 Rt EAG 中,根据勾股定理得, 2 2 17 5EG AG AE   , AEG 的周长为 8 17 3 85 5AG EG AE      ,故②正确; 4AD  , 12 5DG AD AG    , 2 2 144 169125 25DG BE     , 2 217 289 169( )5 25 25EG    , 2 2 2EG DG BE   ,故③错误, 正确的有①②, 故选: C . 【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判 定和性质,勾股定理,求出 AG 是解本题的关键. 二、填空题:(本题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 11.(4 分)因式分解: 2a ab a   ( 1)a a b  . 【分析】原式提取公因式即可. 【解答】解:原式 ( 1)a a b   . 故答案为: ( 1)a a b  . 【点评】此题考查了因式分解  提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键. 12.(4 分)方程 2 10 0x   的解是 5x   . 【分析】方程移项,把 x 系数化为 1,即可求出解. 【解答】解:方程 2 10 0x   , 移项得: 2 10x   , 解得: 5x   . 故答案为: 5x   . 【点评】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键. 13.(4 分)已知点 (2, 2) 在反比例函数 ky x  的图象上,则这个反比例函数的表达式是 4y x   . 【分析】把点 (2, 2) 代入反比例函数 ( 0)ky kx   中求出 k 的值,从而得到反比例函数解析 式. 【解答】解:反比例函数 ( 0)ky kx   的图象上一点的坐标为 (2, 2) , 2 2 4k      , 反比例函数解析式为 4y x   , 故答案为: 4y x   . 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、以及反比例函数图象上点的坐标特 征,熟练掌握待定系数法是解题的关键. 14.(4 分)函数 2 4y x  中,自变量 x 的取值范围是 2x… . 【分析】因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以 2 4 0x  … ,可求 x 的范 围. 【解答】解: 2 4 0x  … 解得 2x… . 【点评】此题主要考查:当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 15.(4 分)从 2 , 1 ,2 三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第三象限 的概率等于 1 3 . 【分析】画树状图得出所有等可能结果,从中找到该点在第三象限的结果数,再利用概率公 式求解可得. 【解答】解:画树状图如下 共有 6 种等可能情况,该点在第三象限的情况数有 ( 2, 1)  和 ( 1, 2)  这 2 种结果, 该点在第三象限的概率等于 2 1 6 3  , 故答案为: 1 3 . 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事 件;注意概率  所求情况数与总情况数之比. 16.(4 分)设 AB ,CD , EF 是同一平面内三条互相平行的直线,已知 AB 与CD 的距离是 12cm, EF 与 CD的距离是 5cm ,则 AB 与 EF 的距离等于 7 或 17 cm . 【分析】分两种情况讨论, EF 在 AB , CD 之间或 EF 在 AB , CD同侧,进而得出结论. 【解答】解:分两种情况: ①当 EF 在 AB , CD 之间时,如图: AB 与 CD的距离是12cm, EF 与 CD 的距离是 5cm , EF 与 AB 的距离为12 5 7( )cm  . ②当 EF 在 AB , CD 同侧时,如图: AB 与 CD的距离是12cm, EF 与 CD 的距离是 5cm , EF 与 AB 的距离为12 5 17( )cm  . 综上所述, EF 与 AB 的距离为 7cm或17cm . 故答案为:7 或 17. 【点评】本题考查了平行线之间的距离.解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义,从一 条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离. 17.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 4AD  ,将 A 向内翻折,点 A 落在 BC 上,记为 1A , 折痕为 DE .若将 B 沿 1EA 向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上,记为 1B ,则 AB  2 3 . 【分析】依据△ 1 1A DB  △ 1 ( )A DC AAS ,即可得出 1 1 1AC A B ,再根据折叠的性质,即可得 到 1 1 22AC BC  ,最后依据勾股定理进行计算,即可得到 CD的长,即 AB 的长. 【解答】解:由折叠可得, 1 4A D AD  , 1 90A EA D     , 1 1 1BA E B A E   , 1 1 1BA B A , 1 1 90B A B E     , 1 1 1 1 1 190EA B DA B BA E CA D         , 1 1 1DA B CA D   , 又 1 1C A B D   , 1 1A D A D , △ 1 1A DB  △ 1 ( )A DC AAS , 1 1 1AC A B  , 1 1 1 22BA AC BC    , Rt △ 1ACD 中, 2 24 2 2 3CD    , 2 3AB  , 故答案为: 2 3 . 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对 称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等. 18.(4 分)观察下列等式: 2 32 2 2 2   ; 2 3 42 2 2 2 2    ; 2 3 4 52 2 2 2 2 2     ; 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2 2      ;  已知按一定规律排列的一组数: 202 , 212 , 222 , 232 , 242 , , 382 , 392 , 402 ,若 202 m , 则 20 21 22 23 24 38 39 402 2 2 2 2 2 2 2        (2 1)m m  (结果用含 m 的代数式表示). 【 分 析 】 由 题 意 可 得 20 21 22 23 24 38 39 40 20 2 19 20 20 21 20 202 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 2 2 2 ) 2 (1 2 2) 2 (2 2 1)                  ,再将 202 m 代入即可求解. 【解答】解: 202 m , 20 21 22 23 24 38 39 402 2 2 2 2 2 2 2        20 2 19 202 (1 2 2 2 2 )     20 212 (1 2 2)   (2 1)m m  . 故答案为: (2 1)m m  . 【点评】本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应 用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律: 2 3 12 2 2 2 2 2n n     . 三、解答题:(本题共 4 个小题,第 19 题每小题 10 分,第 20,21,22 题每小题 10 分,共 40 分,要有解题的主要过程) 19.(10 分)(1)计算: 2020 012 ( 1) 4 ( 5 3)2       . (2)先化简,再求值: 2 23 1( ) ( )3 3 a aa a a     ,自选一个 a 值代入求值. 【分析】(1)原式利用除法法则,乘方的意义,算术平方根定义,以及零指数幂法则计算即 可求出值; (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约 分得到最简结果,把 a的值代入计算即可求出值. 【解答】解:(1)原式 2 2 1 2 1     4 1 2 1    0 ; (2)原式 2( 3) 3 3 3 ( 1)( 1) a a a a a a a        3( 1) 3 3 ( 1)( 1) a a a a a       3 1a    , 当 0a  时,原式 3  . 【点评】此题考查了分式的化简求值,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 20.(10 分)如图, B E   , BF EC , / /AC DF .求证: ABC DEF   . 【分析】首先利用平行线的性质得出 ACB DFE   ,进而利用全等三角形的判定定理 ASA, 进而得出答案. 【解答】证明: / /AC DF , ACB DFE   , BF CE , BC EF  , 在 ABC 和 DEF 中, B E BC EF ACB DFE         , ( )ABC DEF ASA   . 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、 ASA、 AAS 、HL .注意: AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时, 必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 21.(10 分)某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要 求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情况, 学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完 整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题: (1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据); (2) m  36 , n  ; (3)若该校共有 2000 名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人? 【分析】(1)根据选择书法的学生人数和所占的百分比,可以求得该校参加这次问卷调查的 学生人数,然后根据扇形统计图中选择篮球的占 28% ,即可求得选择篮球的学生人数,从 而可以将条形统计图补充完整; (2)根据条形统计图中的数据和(1)中的结果,可以得到 m 、 n的值; (3)根据统计图中的数据,可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人. 【解答】解:(1)该校参加这次问卷调查的学生有: 20 20% 100  (人 ) , 选择篮球的学生有:100 28% 28  (人 ) , 补全的条形统计图如右图所示; (2) 36% 100% 36%100m    , 16% 100% 16%100n    , 故答案为:36,16; (3) 2000 16% 320  (人 ) , 答:该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有 320 人. 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答. 22.(10 分)如图,一艘船由西向东航行,在 A 处测得北偏东 60方向上有一座灯塔 C ,再 向东继续航行 60km 到达 B 处,这时测得灯塔 C 在北偏东 30 方向上,已知在灯塔 C 的周围 47km 内有暗礁,问这艘船继续向东航行是否安全? 【分析】过 C 作 CD AB 于点 D ,根据方向角的定义及余角的性质求出 30BCA   , 60ACD   ,证 30ACB BCA     ,根据等角对等边得出 12BC AB  ,然后解 Rt BCD , 求出 CD 即可. 【解答】解:过点 C 作 CD AB ,垂足为 D .如图所示: 根据题意可知 90 30 30BAC      , 90 30 60DBC      , DBC ACB BAC     , 30BAC ACB     , 60BC AB km   , 在 Rt BCD 中, 90CDB   , 60BDC  , sin ADBCD AC   , sin60 60 CD   , 360 sin60 60 30 3( ) 472CD km km        , 这艘船继续向东航行安全. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定;熟练掌握等腰三角形的判 定和三角函数定义是解题的关键. 四、(本大题满分 12 分) 23.(12 分)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进 价是每一个篮球的进价的 90% ,用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数 多 10 个. (1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元? (2)该文体商店计划购进篮球和排球共 100 个,且排球个数不低于篮球个数的 3 倍,篮球 的售价定为每一个 100 元,排球的售价定为每一个 90 元.若该批篮球、排球都能卖完,问 该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少? 【分析】(1)设每一个篮球的进价是 x 元,则每一个排球的进价是 90%x 元,根据用 3600 元购买排球的个数要比用 3600 元购买篮球的个数多 10 个列出方程,解之即可得出结论; (2)设文体商店计划购进篮球 m 个,总利润 y 元,根据题意用 m 表示 y ,结合 m 的取值范 围和 m 为整数,即可得出获得最大利润的方案. 【解答】解:(1)设每一个篮球的进价是 x 元,则每一个排球的进价是 90%x 元,依题意有 3600 360010 90%x x   , 解得 40x  , 经检验, 40x  是原方程的解, 90% 90% 40 36x    . 故每一个篮球的进价是 40 元,每一个排球的进价是 36 元; (2)设文体商店计划购进篮球 m 个,总利润 y 元,则 (100 40) (90 36)(100 ) 6 5400y m m m       , 依题意有 0 100 100 3 m m m     … , 解得 0 25m „ 且 m 为整数, m 为整数, y 随 m 的增大而增大, 25m  时, y 最大,这时 6 25 5400 5550y     , 100 25 75  (个 ) . 故该文体商店应购进篮球 25 个、排球 75 个才能获得最大利润,最大利润是 5550 元. 【点评】本题考查了一次函数的应用,分式方程的应用,一元一次不等式的应用,找准等量 关系,正确列出方程是解题的关键. 五、(本大题满分 12 分) 24.(12 分)如图, AB 是 O 的直径,C 为 O 上一点,连接 AC ,CE AB 于点 E , D 是直径 AB 延长线上一点,且 BCE BCD   . (1)求证: CD 是 O 的切线; (2)若 8AD  , 1 2 BE CE  ,求 CD 的长. 【分析】(1)连接 OC ,根据圆周角定理得到 90ACB   ,根据余角的性质得到 A ECB   , 求得 A BCD   ,根据等腰三角形的性质得到 A ACO   ,等量代换得到 ACO BCD   , 求得 90DCO   ,于是得到结论; (2)设 BC k , 2AC k ,根据相似三角形的性质即可得到结论. 【解答】(1)证明:连接 OC , AB 是 O 的直径, 90ACB   , CE AB , 90CEB   , 90ECB ABC ABC CAB        , A ECB   , BCE BCD   , A BCD   , OC OA , A ACO   , ACO BCD   , 90ACO BCO BCO BCD        , 90DCO  , CD 是 O 的切线; (2)解: A BCE   , 1tan tan 2 BC BEA BCEAC CE       , 设 BC k , 2AC k , D D   , A BCD   , ACD CBD ∽ ,  1 2 BC CD AC AD   , 8AD  , 4CD  . 【点评】本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角函数的定义,正确 的识别图形是解题的关键. 六、(本大题满分 14 分) 25.(14 分)如图,已知抛物线 2 6y ax bx   经过两点 ( 1,0)A  , (3,0)B ,C 是抛物线与 y 轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)点 ( , )P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设 PBC 的面积为 S ,求 S 关于 m 的函数表达式(指出自变量 m 的取值范围)和 S 的最大值; (3)点 M 在抛物线上运动,点 N 在 y 轴上运动,是否存在点 M 、点 N 使得 90CMN  , 且 CMN 与 OBC 相似,如果存在,请求出点 M 和点 N 的坐标. 【分析】(1)根据点 A 、 B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)过点 P 作 / /PF y 轴,交 BC 于点 F ,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 C 的 坐标,根据点 B 、 C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式,设点 P 的坐标为 2( , 2 4 6)m m m   ,则点 F 的坐标为 ( , 2 6)m m  ,进而可得出 PF 的长度,利用三角形的 面积公式可得出 23 9PBCS m m    ,配方后利用二次函数的性质即可求出 PBC 面积的最大 值; (3)分两种不同情况,当点 M 位于点 C 上方或下方时,画出图形,由相似三角形的性质 得出方程,求出点 M ,点 N 的坐标即可. 【解答】解:(1)将 ( 1,0)A  、 (3,0)B 代入 2 6y ax bx   , 得: 6 0 9 3 6 0 a b a b        ,解得: 2 4 a b     , 抛物线的解析式为 22 4 6y x x    . (2)过点 P 作 / /PF y 轴,交 BC 于点 F ,如图 1 所示. 当 0x  时, 22 4 6 6y x x     , 点 C 的坐标为 (0,6) . 设直线 BC 的解析式为 y kx c  , 将 (3,0)B 、 (0,6)C 代入 y kx c  ,得: 3 0 6 k c c     ,解得: 2 6 k c     , 直线 BC 的解析式为 2 6y x   . 设点 P 的坐标为 2( , 2 4 6)m m m   ,则点 F 的坐标为 ( , 2 6)m m  , 2 22 4 6 ( 2 6) 2 6PF m m m m m           , 2 21 3 273 9 3( )2 2 4PBCS PF OB m m m         , 当 3 2m  时, PBC 面积取最大值,最大值为 27 4 . 点 ( , )P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动, 0 3m   . (3)存在点 M 、点 N 使得 90CMN  ,且 CMN 与 OBC 相似. 如图 2, 90CMN  ,当点 M 位于点 C 上方,过点 M 作 MD y 轴于点 D , 90CDM CMN     , DCM NCM   , MCD NCM ∽ , 若 CMN 与 OBC 相似,则 MCD 与 NCM 相似, 设 2( , 2 4 6)M a a a   , (0,6)C , 22 4DC a a    , DM a , 当 3 1 6 2 DM OB CD OC    时, COB CDM CMN  ∽ ∽ ,  2 1 2 4 2 a a a   , 解得, 1a  , (1,8)M , 此时 1 1 2 2ND DM  , 17(0, )2N , 当 1 2 CD OB DM OC   时, COB MDC NMC  ∽ ∽ ,  22 4 1 2 a a a    , 解得 7 4a  , 7(4M , 55)8 , 此时 83(0, )8N . 如图 3,当点 M 位于点 C 的下方, 过点 M 作 ME y 轴于点 E , 设 2( , 2 4 6)M a a a   , (0,6)C , 22 4EC a a   , EM a , 同理可得: 22 4 1 2 a a a   或 22 4 2a a a   , CMN 与 OBC 相似, 解得 9 4a  或 3a  , 9(4M , 39)8 或 (3,0)M , 此时 N 点坐标为 3(0, )8 或 3(0, )2  . 综合以上得, (1,8)M , 17(0, )2N 或 7(4M ,55)8 , 83(0, )8N 或 9(4M ,39)8 , 3(0, )8N 或 (3,0)M , 3(0, )2N  ,使得 90CMN  ,且 CMN 与 OBC 相似. 【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,三角形的面积,二次函 数的性质,坐标与图形的性质,相似三角形的判定与性质等知识,熟练运用方程思想及分类 讨论思想是解题的关键.
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