2013年湖南长沙中考数学试卷及答案(解析版)

2013年湖南长沙中考数学试卷及答案(解析版)

湖南长沙2013年初中毕业学业水平测试数学卷 ‎ 一、 选择题：‎ 1. ‎（2013湖南长沙 第1题 3分）下列实数是无理数的是（ ）‎ A. ‎-1 B.0 C. D.‎ ‎【答案】D.‎ 2. ‎（2013湖南长沙 第2题 3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）‎ A.617×105 B.6.17×106 C.6.17×107 D.0.617×108‎ ‎【答案】C。‎ ‎3.（2013湖南长沙 第3题 3分）如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是（ ）‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【答案】B.‎ ‎4.（2013湖南长沙 第4题 3分）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（ ）‎ A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 ‎【答案】B.‎ ‎5.（2013湖南长沙 第5题 3分）下列计算正确的是（ ）‎ A.a6÷a3=a3 B.(a2)3=a8 C.(a-b)2=a2-b2 D.a2+a2=a4‎ ‎【答案】A.‎ ‎6.（2013湖南长沙 第6题 3分）某校篮球队12名同学的身高如下表：‎ 身高（cm)‎ ‎180‎ ‎186‎ ‎188‎ ‎192‎ ‎195‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ 则该校篮球队12名同学的身高的众数是（单位：cm)‎ A.192 B.188 C.186 D.180‎ ‎【答案】B.‎ ‎7.（2013湖南长沙 第7题 3分）下列个图中，∠1大于∠2的是（ ）‎ A B C A ‎1‎ ‎2‎ ‎(AB=AC)‎ ‎1‎ ‎2‎ a b B ‎1‎ ‎2‎ a b c C A B C D ‎2‎ ‎1‎ D ‎【答案】D ‎8.（2013湖南长沙 第8题 3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）‎ A. 四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 ‎【答案】A.‎ ‎9.（2013湖南长沙 第9题 3分）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）‎ ‎【答案】C.‎ 10. ‎（2013湖南长沙 第10题 3分）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式错误的是（ ）‎ A.a＞0 B.c＞0 C.b2-4ac＞0 D.a+b+c＞0‎ ‎【答案】D.‎ 二、 填空题：‎ 11. ‎（2013湖南长沙 第11题 3分）计算：= ‎ ‎【答】=2-=（2-1）=.填。‎ 12. ‎（2013湖南长沙 第12题 3分）因式分解：x2+2x+1= ‎ ‎【答】根据完全平方公式得，x2+2x+1=（x+1)2，故填（x+1)2‎ 13. ‎（2013湖南长沙 第13题 3分）已知∠A=670，则∠A的余角等于 度 ‎【答】230‎ 14. ‎（2013湖南长沙 第14题 3分）方程的解为x= ‎ ‎【答案】x=1‎ 15. ‎（2013湖南长沙 第15题 3分）如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm ‎【答案】4.‎ 11. ‎（2013湖南长沙 第16题 3分）如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比等于 ‎ ‎【答案】1:2（或）‎ 12. ‎（2013湖南长沙 第17题 3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒子中的求摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ‎ ‎【答案】10‎ ‎18.（2013湖南长沙 第18题 3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=500,∠C=800,AE∥CD交BC于点E,若AD=2，BC=5，则边CD的长是 ‎ ‎【答案】3‎ 19. ‎（2013湖南长沙 第19题 6分）计算：+（-2）2-（+1）0‎ ‎【解】原式=3+4-1=6。‎ ①‎ ②‎ ‎20.（2013湖南长沙 第20题 6分）解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来 ‎【解】解不等式2(x+1)≤x+3,得x≤1;解不等式x-4＜3x,得x＞-2,把解集在数轴上表示出来，所以原不等式组的解集是-2＜x≤1。‎ 21. ‎（2013湖南长沙 第21题 8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注。我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题：‎ （1） 统计图共统计了 天的空气质量情况。‎ （2） 请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。‎ （3） 从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？‎ ‎【解】（1）100；（2）优的天数是20天，图略，空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是720；（3）。‎ 22. ‎（2013湖南长沙 第22题 8分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.‎ （1） 求证：BC是⊙O的切线；‎ （2） 若⊙O的半径为2，∠BAC=300,求图中阴影部分的面积。‎ ‎【解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=900,∴∠ABD+∠BAC=900,∵∠DBC=∠BAC，∴∠ABD+∠DBC=900,∴BC是⊙O的切线；(2)连接OD,∵∠BAC=300,∴∠BOD=600,∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形，∴S阴影=S扇形OBD-S△OBD=.‎ 23. ‎（2013湖南长沙 第23题 9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线。已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265 亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元。‎ （1） 求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？‎ （2） 除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网。据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？‎ ‎【解】（1）设1号线每千米的平均总价是x亿元，则2号线每千米的平均总价是（x-0.5）亿元，根据题意，得24x+22(x-0.5)=265,解得x=6.所以x-0.5=5.5(亿元）。答：1号线、2号线每千米的平均造价分别是6亿元、5.5亿元。（2）91.8×1.2×6=660.96（亿元）。‎ 24. ‎（2013湖南长沙 第24题 9分）如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点，∠AND=900,连接CM交DN于点O.‎ （1） 求证：△ABN≌△CDM；‎ （2） 过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长。‎ ‎【解】（1）∵平行四边形ABCD，∴∠ABN=∠CDM,AB=CD,BC=AD,∵M,N分别是AD,BC的中点，∴BN=BC,DM=AD,∴BN=DM,∴△ABN≌△CDM；(2)由（1）易证四边形CDMN是平行四边形，∵∠AND=900,AM=DM,∴MN=AD=DM,∴四边形CDMN是菱形，∴∠1=∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC,∵∠NEP=∠CEN,∴△NEP∽△CEN,∴EN2=EP·EC,设PN=x=PC，则NE2=1·(x+1),∵CE⊥MN，∴x2=12+(x+1),解得x=2或x=-1（舍去），由勾股定理求的NE=,∵PE=1=PN,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2=300，∴△CMN是等边三角形，∴CM=CN=2,由（1）得△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2.‎ 25. ‎（2013湖南长沙 第25题 10分）设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”.‎ （1） 反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；‎ （2） 若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；‎ （3） 若二次函数y=x2-x-是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a,b的值。‎ ‎【解】（1）是。理由：根据“闭区间”和“闭函数”的规定，当1≤x≤2013时，，，即1≤y≤2013，所以反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”；（2）因为一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，所以k＞0，由m≤x≤n，得km+b≤kx+b≤kn+b，根据“闭函数”的规定有，方程相减得k(m-n)=m-n，由于m≠n,所以k=1,把k=1代入任一方程，b=0，此函数解析式是y=x;（3）y=(x-2)2-,对称轴是x=2,顶点是（2，-）。分三种情况：①当a＜b＜2时，y随x增大而减小，当a≤x≤b时，b2-b-≤y≤a2-a-，由规定可得 ‎，方程相减得（a+b)(a-b)-(a-b)=-(a-b),由于a≠b,得a+b=-1，a=-b-1，代入第二个方程得b2+b-2=0,解得b=-2或b=1,由于a＜b,b=1，此时a=-2.故.②当a＜2＜b时，函数的最小值为-，根据闭函数的意义有当a≤x≤b时，-≤y≤a2-a-或-≤y≤b2-b-,于是或，解得或（其中舍去）；③当2＜a＜b时，y随x增大而增大，当a≤x≤b时，a2-a-≤y≤b2-b-,根据规定有，a2-a-=a,b2-b-=b,即a、b是s2-s-=0的两个根，s=，不合题意，应舍去.‎ 综上所述：a、b的值为或或.‎ 26. ‎（2013湖南长沙 第26题 10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a,b)在第一象限，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM,PN（垂足为M,N）分别与直线AB相较于点E,点F，当点P（a,b)运动时，矩形PMON的面积为定值2.‎ （1） 求∠OAB的度数；‎ （2） 求证△AOF∽△BEO；‎ （3） 当点E,F都在线段AB上时，由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2.试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，所以点a坐标为（2,0），点B坐标为（0,2），OA=OB,所以∠OAB=450；（2）方法一：因为矩形OMNPN的面积是2，所以点P坐标为（a,），点E坐标为（a,-a+2),点F坐标为（，），AF=，BE=a，∵,，∴,∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF∽△BEO；方法二：先求各点坐标，A(2，0),B(0，2),E(a,2-a),F(2-b,b),∵OA·OB=4，AF·BE=，∴OA·OB=AF·BE，∴,∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF∽△BEO；（3）∵AE=(2-a),BF=(2-b),EF=(a+b-2),∴AE2+BF2=[(2-a)]2+[(2-b)]2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=[(a+b-2)]2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8a-8b+16,∴AE2+BF2=EF2,∴所构成的三角形是直角三角形，EF是斜边，∴S1=π【]2=(a+b-2)2,过点O作EF边上的高，易求得高为，S2==a+b-2;∴S1+S2=(a+b-2)2+（a+b-2）=[(a+b-2)+]2-,对称轴是x=-,抛物线的开口向上。由基本不等式知a+b≥2=2,a+b-2≥2-2＞-，根据二次函数的性质，当a+b-2=2-2时，S1+S2的值最小，最小值为（2-2）2+2-2。‎