2020年山东省泰安市中考数学试卷

2020年山东省泰安市中考数学试卷

2020 年山东省泰安市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正 确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．（4 分） 1 2  的倒数是 ( ) A． 2 B． 1 2  C．2 D． 1 2 2．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A．3 2xy xy  B． 3 4 12x x x C． 10 2 5x x x   D． 3 2 6( )x x  3．（4 分）2020 年 6 月 23 日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球 组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与 位置服务产业产值预计将超过 4000 亿元．把数据 4000 亿元用科学记数法表示为 ( ) A． 124 10 元 B． 104 10 元 C． 114 10 元 D． 940 10 元 4．（4 分）将含 30 角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 1 50   ，则 2 等于 ( ) A．80 B．100 C．110 D．120 5．（4 分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从 中随机抽取的 20 名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数 / 册 1 2 3 4 5 人数 / 人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这 20 名同学读书册数的众数，中位数分别是 ( ) A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3 6．（4 分）如图， PA 是 O 的切线，点 A 为切点，OP 交 O 于点 B ， 10P  ，点 C 在 O 上， / /OC AB ．则 BAC 等于 ( ) A． 20 B． 25 C．30 D．50 7．（4 分）将一元二次方程 2 8 5 0x x   化成 2( ) (x a b a  ，b 为常数）的形式，则 a ，b 的 值分别是 ( ) A． 4 ，21 B． 4 ，11 C．4，21 D． 8 ，69 8．（4 分）如图， ABC 是 O 的内接三角形，AB BC ， 30BAC   ，AD 是直径， 8AD  ， 则 AC 的长为 ( ) A．4 B． 4 3 C． 8 33 D． 2 3 9．（4 分）在同一平面直角坐标系内，二次函数 2 ( 0)y ax bx b a    与一次函数 y ax b  的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 10．（4 分）如图，四边形 ABCD 是一张平行四边形纸片，其高 2AG cm ，底边 6BC cm ， 45B   ，沿虚线 EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若 30BEF   ，则 AF 的长为 ( ) A． lcm B． 6 3 cm C． (2 3 3)cm D． (2 3)cm 11．（4 分）如图，矩形 ABCD 中，AC ，BD 相交于点 O ，过点 B 作 BF AC 交 CD 于点 F ， 交 AC 于点 M ，过点 D 作 / /DE BF 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 N ，连接 FN ， EM ．则下 列结论： ① DN BM ； ② / /EM FN ； ③ AE FC ； ④当 AO AD 时，四边形 DEBF 是菱形． 其中，正确结论的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．（4 分）如图，点 A ，B 的坐标分别为 (2,0)A ， (0,2)B ，点 C 为坐标平面内一点， 1BC  ， 点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM ，则 OM 的最大值为 ( ) A． 2 1 B． 12 2  C． 2 2 1 D． 12 2 2  二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24 分．只要求写出最后结果，每小题填对得 4 分） 13．（4 分）方程组 16, 5 3 72 x y x y      的解是 ． 14．（4 分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均 为 1，点 A ， B ， C 的坐标分别为 (0,3)A ， ( 1,1)B  ， (3,1)C ．△ A B C   是 ABC 关于 x 轴 的对称图形，将△ A B C  绕点 B 逆时针旋转180 ，点 A 的对应点为 M ，则点 M 的坐标 为 ． 15．（4 分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． / /BC AD ，BE AD ， 斜坡 AB 长 26m ，斜坡 AB 的坡比为12:5 ．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜 坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50 时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持 坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取 tan50 1.2)  16．（4 分）如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点 A ，D 在半圆上，且 / /AD BO ， 60ABO  ， 8AB  ，过点 D 作 DC BE 于点 C ，则阴影部分的面积是 ． 17．（4 分）已知二次函数 2 (y ax bx c a   ， b ， c 是常数， 0)a  的 y 与 x 的部分对应值 如下表： x 5 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论： ① 0a  ； ②当 2x   时，函数最小值为 6 ； ③若点 1( 8, )y ，点 2(8, )y 在二次函数图象上，则 1 2y y ； ④方程 2 5ax bx c    有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 18．（4 分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的 数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3， 6，10，15， ，我们把第一个数记为 1a ，第二个数记为 2a ，第三个数记为 3a ， ，第 n 个 数记为 na ，则 4 200a a  ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演 步骤） 19．（10 分）（1）化简： 21 4( 1 )3 3 aa a a     ； （2）解不等式： 1 113 4 x x   ． 20．（9 分）如图，已知一次函数 y kx b  的图象与反比例函数 my x  的图象交于点 (3, )A a ， 点 (14 2 ,2)B a ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与 y 轴交于点 C ，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，求 ACD 的面 积． 21．（11 分）为迎接 2020 年第 35 届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 A ：机器人； B ：航模；C ：科幻绘画；D ：信息学；E ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项）， 将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4）在 C 组最优秀的 3 名同学 (1 名男生 2 名女生）和 E 组最优秀的 3 名同学 (2 名男生 1 名女生）中，各选 1 名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率． 22．（11 分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020 年 5 月 21 日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用 4000 元 购进了 A 种茶叶若干盒，用 8400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍． （1） A ， B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 A ，B 两种茶叶共 100 盒（进价不变），A 种 茶叶的售价是每盒 300 元， B 种茶叶的售价是每盒 400 元．两种茶叶各售出一半后，为庆 祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为 5800 元（不 考虑其他因素），求本次购进 A ， B 两种茶叶各多少盒？ 23．（12 分）若 ABC 和 AED 均为等腰三角形，且 90BAC EAD     ． （1）如图（1），点 B 是 DE 的中点，判定四边形 BEAC 的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G 是 EC 的中点，连接 GB 并延长至点 F ，使 CF CD ． 求证：① EB DC ， ② EBG BFC   ． 24．（12 分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2） 的平面图形， ACB 与 ECD 恰好为对顶角， 90ABC CDE    ，连接 BD ， AB BD ， 点 F 是线段 CE 上一点． 探究发现： （1）当点 F 为线段 CE 的中点时，连接 DF （如图（2） ) ，小明经过探究，得到结论： BD DF ．你认为此结论是否成立？ ．（填“是”或“否” ) 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即： BD DF ，则点 F 为线段 CE 的中点．请判断此 结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若 6AB  ， 9CE  ，求 AD 的长． 25．（13 分）若一次函数 3 3y x   的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A ，C 两点，点 B 的坐标 为 (3,0) ，二次函数 2y ax bx c   的图象过 A ， B ， C 三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点 C 作 / /CD x 轴交抛物线于点 D ，点 E 在抛物线上 (y 轴左侧），若 BC 恰好平分 DBE ．求直线 BE 的表达式； （3）如图（2），若点 P 在抛物线上（点 P 在 y 轴右侧），连接 AP 交 BC 于点 F ，连接 BP ， BFP BAFS mS  ． ①当 1 2m  时，求点 P 的坐标； ②求 m 的最大值． 2020 年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正 确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．（4 分） 1 2  的倒数是 ( ) A． 2 B． 1 2  C．2 D． 1 2 【解答】解： 1 2  的倒数是 2 ． 故选： A ． 2．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A．3 2xy xy  B． 3 4 12x x x C． 10 2 5x x x   D． 3 2 6( )x x  【解答】解： .3 2A xy xy xy  ，故本选项不合题意； B ． 3 4 7x x x ，故本选项不合题意； C ． 10 2 12x x x   ，故本选项不合题意； D ． 3 2 6( )x x  ，故本选项符合题意． 故选： D ． 3．（4 分）2020 年 6 月 23 日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球 组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与 位置服务产业产值预计将超过 4000 亿元．把数据 4000 亿元用科学记数法表示为 ( ) A． 124 10 元 B． 104 10 元 C． 114 10 元 D． 940 10 元 【解答】解：4000 亿 11400000000000 4 10   ， 故选： C ． 4．（4 分）将含 30 角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 1 50   ，则 2 等于 ( ) A．80 B．100 C．110 D．120 【解答】解：如图所示， / /AB CD 1 50ABE     ， 又 2 是 ABE 的外角， 2 50 60 110ABE E          ， 故选： C ． 5．（4 分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从 中随机抽取的 20 名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数 / 册 1 2 3 4 5 人数 / 人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这 20 名同学读书册数的众数，中位数分别是 ( ) A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3 【解答】解：这 20 名同学读书册数的众数为 3 册，中位数为 3 3 32   （册 ) ， 故选： A ． 6．（4 分）如图， PA 是 O 的切线，点 A 为切点，OP 交 O 于点 B ， 10P  ，点 C 在 O 上， / /OC AB ．则 BAC 等于 ( ) A． 20 B． 25 C．30 D．50 【解答】解：连接 OA ， PA 是 O 的切线， OA AP  ， 90PAO   ， 90 80AOP P       ， OA OB ， 50OAB OBA     ， / /OC AB ， 50BOC OBA    ， 由圆周角定理得， 1 252BAC BOC     ， 故选： B ． 7．（4 分）将一元二次方程 2 8 5 0x x   化成 2( ) (x a b a  ，b 为常数）的形式，则 a ，b 的 值分别是 ( ) A． 4 ，21 B． 4 ，11 C．4，21 D． 8 ，69 【解答】解： 2 8 5 0x x   ， 2 8 5x x   ， 则 2 8 16 5 16x x    ，即 2( 4) 21x   ， 4a   ， 21b  ， 故选： A ． 8．（4 分）如图， ABC 是 O 的内接三角形，AB BC ， 30BAC   ，AD 是直径， 8AD  ， 则 AC 的长为 ( ) A．4 B． 4 3 C． 8 33 D． 2 3 【解答】解：连接 CD ， AB BC ， 30BAC   ， 30ACB BAC     ， 180 30 30 120B         ， 180 60D B       ， 30CAD  ， AD 是直径， 90ACD  ， 8AD  ， 1 42CD AD   ， 2 2 2 28 4 4 3AC AD CD      ， 故选： B ． 9．（4 分）在同一平面直角坐标系内，二次函数 2 ( 0)y ax bx b a    与一次函数 y ax b  的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， 0a  ， 0b  ， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 A 错误； B 、二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， 0a  ， 0b  ， 一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 B 错误； C 、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， 0a  ， 0b  ， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 C 正确； D 、二次函数图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧， 0a  ， 0b  ， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点， 故 D 错误； 故选： C ． 10．（4 分）如图，四边形 ABCD 是一张平行四边形纸片，其高 2AG cm ，底边 6BC cm ， 45B   ，沿虚线 EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若 30BEF   ，则 AF 的长为 ( ) A． lcm B． 6 3 cm C． (2 3 3)cm D． (2 3)cm 【解答】解：过 F 作 FH BC 于 H ， 高 2AG cm ， 45B   ， 2BG AG cm   ， FH BC ， 30BEF   ， 3 2 3EH AG   ， 沿虚线 EF 将纸片剪成两个全等的梯形， AF CE  ， AG BC ， FH BC ， / /AG FH ， AG FH ， 四边形 AGHF 是矩形， AF GH  ， 2 2 2 3 6BC BG GH HE CE AF         ， 2 3( )AF cm   ， 故选： D ． 11．（4 分）如图，矩形 ABCD 中，AC ，BD 相交于点 O ，过点 B 作 BF AC 交 CD 于点 F ， 交 AC 于点 M ，过点 D 作 / /DE BF 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 N ，连接 FN ， EM ．则下 列结论： ① DN BM ； ② / /EM FN ； ③ AE FC ； ④当 AO AD 时，四边形 DEBF 是菱形． 其中，正确结论的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， AB CD  ， / /AB CD ， 90DAE BCF     ，OD OB OA OC   ，AD BC ， / /AD BC ， DAN BCM   ， BF AC ， / /DE BF ， DE AC  ， 90DNA BMC     ， 在 DNA 和 BMC 中， DAN BCM DNA BMC AD BC         ， ( )DNA BMC AAS   ， DN BM  ， ADE CBF   ，故①正确； 在 ADE 和 CBF 中， ADE CBF AD BC DAE BCF         ， ( )ADE CBF ASA   ， AE FC  ， DE BF ，故③正确； DE DN BF BM    ，即 NE MF ， / /DE BF ， 四边形 NEMF 是平行四边形， / /EM FN ，故②正确； AB CD ， AE CF ， BE DF  ， / /BE DF ， 四边形 DEBF 是平行四边形， AO AD ， AO AD OD   ， AOD 是等边三角形， 60ADO DAN     ， 90 30ABD ADO      ， DE AC ， 30ADN ODN    ， ODN ABD   ， DE BE  ， 四边形 DEBF 是菱形；故④正确； 正确结论的个数是 4 个， 故选： D ． 12．（4 分）如图，点 A ，B 的坐标分别为 (2,0)A ， (0,2)B ，点 C 为坐标平面内一点， 1BC  ， 点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM ，则 OM 的最大值为 ( ) A． 2 1 B． 12 2  C． 2 2 1 D． 12 2 2  【解答】解：如图， 点 C 为坐标平面内一点， 1BC  ， C 在 B 的圆上，且半径为 1， 取 2OD OA  ，连接 CD ， AM CM ， OD OA ， OM 是 ACD 的中位线， 1 2OM CD  ， 当 OM 最大时，即 CD 最大，而 D ，B ，C 三点共线时，当 C 在 DB 的延长线上时，OM 最 大， 2OB OD  ， 90BOD  ， 2 2BD  ， 2 2 1CD   ， 1 122 2OM CD    ，即 OM 的最大值为 12 2  ； 故选： B ． 二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24 分．只要求写出最后结果，每小题填对得 4 分） 13．（4 分）方程组 16, 5 3 72 x y x y      的解是 12 4 x y    ． 【解答】解： 16 5 3 72 x y x y      ① ② ② 3 ①，得 2 24x  ， 12x  ． 把 12x  代入①，得12 16y  ， 4y  ． 原方程组的解为 12 4 x y    ． 故答案为： 12 4 x y    ． 14．（4 分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均 为 1，点 A ， B ， C 的坐标分别为 (0,3)A ， ( 1,1)B  ， (3,1)C ．△ A B C   是 ABC 关于 x 轴 的对称图形，将△ A B C  绕点 B 逆时针旋转180 ，点 A 的对应点为 M ，则点 M 的坐标为 ( 2,1) ． 【解答】解：将△ A B C  绕点 B 逆时针旋转180 ，如图所示： 所以点 M 的坐标为 ( 2,1) ， 故答案为： ( 2,1) ． 15．（4 分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． / /BC AD ，BE AD ， 斜坡 AB 长 26m ，斜坡 AB 的坡比为12:5 ．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜 坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50 时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持 坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右移 10 m 时，才能确保山体不滑坡．（取 tan50 1.2)  【解答】解：在 BC 上取点 F ，使 50FAE  ，过点 F 作 FH AD 于 H ， / /BF EH ， BE AD ， FH AD ， 四边形 BEHF 为矩形， BF EH  ， BE FH ， 斜坡 AB 的坡比为12:5，  12 5 BE AE  ， 设 12BE x ，则 5AE x ， 由勾股定理得， 2 2 2AE BE AB  ，即 2 2 2(5 ) (12 ) 26x x  ， 解得， 2x  ， 10AE  ， 24BE  ， 24FH BE   ， 在 Rt FAH 中， tan EHFAH AH   ， 20tan50 EHAH   ， 10BF EH AH AE     ， 坡顶 B 沿 BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡， 故答案为：10． 16．（4 分）如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点 A ，D 在半圆上，且 / /AD BO ， 60ABO  ， 8AB  ，过点 D 作 DC BE 于点 C ，则阴影部分的面积是 64 8 33   ． 【解答】解：连接 OA ， 60ABO   ， OA OB ， AOB 是等边三角形， 8AB  ， O 的半径为 8， / /AD OB ， 60DAO AOB    ， OA OD ， 60AOD   ， 60AOB AOD     ， 60DOE  ， DC BE 于点 C ， 3 4 32CD OD   ， 1 42OC OD  ， 8 4 12BC    ， AOB BCDOAD ODES S S S S    阴影 扇形 扇形 21 60 8 18 4 3 2 12 4 32 360 2          64 8 33   故答案为 64 8 33   ． 17．（4 分）已知二次函数 2 (y ax bx c a   ， b ， c 是常数， 0)a  的 y 与 x 的部分对应值 如下表： x 5 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论： ① 0a  ； ②当 2x   时，函数最小值为 6 ； ③若点 1( 8, )y ，点 2(8, )y 在二次函数图象上，则 1 2y y ； ④方程 2 5ax bx c    有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都填上） 【解答】解：将 ( 4 ， 0)(0 ， 4)(2 ， 6) 代入 2y ax bx c   得， 16 4 0 4 4 2 6 a b c c a b c           ，解得， 1 3 4 a b c       ， 抛物线的关系式为 2 3 4y x x   ， 1 0a   ，因此①正确； 对称轴为 3 2x   ，即当 3 2x   时，函数的值最小，因此②不正确； 把 ( 8 ， 1)(8y ， 2 )y 代入关系式得， 1 64 24 4 36y     ， 2 64 24 4 84y     ，因此③正 确； 方程 2 5ax bx c    ，也就是 2 3 4 5x x    ，即方 2 3 1 0x x   ，由 2 4 9 4 5 0b ac     可得 2 3 1 0x x   有两个不相等的实数根，因此④正确； 正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 18．（4 分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的 数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3， 6，10，15， ，我们把第一个数记为 1a ，第二个数记为 2a ，第三个数记为 3a ， ，第 n 个 数记为 na ，则 4 200a a  20110 ． 【解答】解：观察“杨辉三角”可知第 n个数记为 1(1 2 ) ( 1)2na n n n     ， 则 4 200 1 14 (4 1) 200 (200 1) 201102 2a a          ． 故答案为：20110． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演 步骤） 19．（10 分）（1）化简： 21 4( 1 )3 3 aa a a     ； （2）解不等式： 1 113 4 x x   ． 【解答】解：（1）原式 ( 1)( 3) 1 ( 2)( 2)[ ]3 3 3 a a a a a a a         2 4 3 1 3( )3 3 ( 2)( 2) a a a a a a a        2( 2) 3 3 ( 2)( 2) a a a a a      2 2 a a   ； （2）去分母，得： 4( 1) 12 3( 1)x x    ， 去括号，得： 4 4 12 3 3x x    ， 移项，得： 4 3 3 4 12x x     ， 合并同类项，得： 5x  ． 20．（9 分）如图，已知一次函数 y kx b  的图象与反比例函数 my x  的图象交于点 (3, )A a ， 点 (14 2 ,2)B a ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与 y 轴交于点 C ，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，求 ACD 的面 积． 【解答】解：（1）点 (3, )A a ，点 (14 2 ,2)B a 在反比例函数上， 3 (14 2 ) 2a a     ，解得： 4a  ，则 3 4 12m    ， 故反比例函数的表达式为： 12y x  ； （2） 4a  ，故点 A 、 B 的坐标分别为 (3,4) 、 (6,2) ， 设直线 AB 的表达式为： y kx b  ，则 4 3 2 6 6 k b k      ，解得 2 3 6 k b      ， 故一次函数的表达式为： 2 63y x   ； 当 0x  时， 6y  ，故点 (0,6)C ，故 6OC  ， 而点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，则 2 12CD OC  ， ACD 的面积 1 1 12 3 182 2ACD x      ． 21．（11 分）为迎接 2020 年第 35 届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 A ：机器人； B ：航模；C ：科幻绘画；D ：信息学；E ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项）， 将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是 80 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4）在 C 组最优秀的 3 名同学 (1 名男生 2 名女生）和 E 组最优秀的 3 名同学 (2 名男生 1 名女生）中，各选 1 名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率． 【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18 22.5% 80  （名 ) ； 故答案为：80； （2） D 组人数为：80 16 18 20 8 18     （名 ) ，把条形统计图补充完整如图： （3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数为 16360 7280    ； （4）画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的结果有 5 个， 所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率为 5 9 ． 22．（11 分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020 年 5 月 21 日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用 4000 元 购进了 A 种茶叶若干盒，用 8400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍． （1） A ， B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 A ，B 两种茶叶共 100 盒（进价不变），A 种 茶叶的售价是每盒 300 元， B 种茶叶的售价是每盒 400 元．两种茶叶各售出一半后，为庆 祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为 5800 元（不 考虑其他因素），求本次购进 A ， B 两种茶叶各多少盒？ 【解答】解：（1）设 A 种茶叶每盒进价为 x 元，则 B 种茶叶每盒进价为1.4x 元， 依题意，得： 8400 4000 101.4x x   ， 解得： 200x  ， 经检验， 200x  是原方程的解，且符合题意， 1.4 280x  ． 答： A 种茶叶每盒进价为 200 元， B 种茶叶每盒进价为 280 元． （2）设第二次购进 A 种茶叶 m 盒，则购进 B 种茶叶 (100 )m 盒， 依 题 意 ， 得 ： 100 100(300 200) (300 0.7 200) (400 280) (400 0.7 280) 58002 2 2 2 m m m m               ， 解得： 40m  ， 100 60m   ． 答：第二次购进 A 种茶叶 40 盒， B 种茶叶 60 盒． 23．（12 分）若 ABC 和 AED 均为等腰三角形，且 90BAC EAD     ． （1）如图（1），点 B 是 DE 的中点，判定四边形 BEAC 的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G 是 EC 的中点，连接 GB 并延长至点 F ，使 CF CD ． 求证：① EB DC ， ② EBG BFC   ． 【解答】解：（1）四边形 BEAC 是平行四边形， 理由如下： AED 为等腰三角形， 90EAD  ， B 是 DE 的中点， 45E BAE     ， 90ABE  ， ABC 是等腰三角形， 90BAC   ， 45ABC BAE     ， 90ABE BAC    ， / /BC AE ， / /AC BE ， 四边形 BEAC 是平行四边形； （2）① ABC 和 AED 均为等腰三角形， 90BAC EAD     ， AE AD  ， AB AC ， BAE CAD   ， ( )AEB ADC SAS   ， BE CD  ； ②延长 FG 至点 H ，使 GH FG ， G 是 EC 的中点， EG DG  ， 又 EGH FGC   ， ( )EGH CGF SAS   ， BFC H   ， CF EH ， CF CD ， CD BE ， EH BE  ， H EBG   ， EBG BFC   ． 24．（12 分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2） 的平面图形， ACB 与 ECD 恰好为对顶角， 90ABC CDE    ，连接 BD ， AB BD ， 点 F 是线段 CE 上一点． 探究发现： （1）当点 F 为线段 CE 的中点时，连接 DF （如图（2） ) ，小明经过探究，得到结论： BD DF ．你认为此结论是否成立？ 是 ．（填“是”或“否” ) 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即： BD DF ，则点 F 为线段 CE 的中点．请判断此 结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若 6AB  ， 9CE  ，求 AD 的长． 【解答】解：（1）如图（2）中， 90EDC   ， EF CF ， DF CF  ， FCD FDC   ， 90ABC   ， 90A ACB    ， BA BD ， A ADB   ， ACB FCD FDC     ， 90ADB FDC     ， 90FDB   ， BD DF  ． 故答案为是． （2）结论成立： 理由： BD DF ， ED AD ， 90BDC CDF     ， 90EDF CDF     ， BDC EDF   ， AB BD ， A BDC   ， A EDF   ， 90A ACB     ， 90E ECD     ， ACB ECD   ， A E   ， E EDF   ， EF FD  ， 90E ECD     ， 90EDF FDC     ， FCD FDC   ， FD FC  ， EF FC  ， 点 F 是 EC 的中点． （3）如图 3 中，取 EC 的中点G ，连接 GD ．则 GD BD ． 1 9 2 2DG EC   ， 6BD AB  ， 在 Rt BDG 中， 2 2 2 29 15( ) 62 2BG DG BD     ， 15 9 32 2CB    ， 在 Rt ABC 中， 2 2 2 26 3 3 5AC AB BC     ， ACB ECD   ， ABC EDC   ， ABC EDC ∽ ，  AC BC EC CD  ，  3 5 3 9 CD  ， 9 5 5CD  ， 9 5 24 53 5 5 5AD AC CD      ． 25．（13 分）若一次函数 3 3y x   的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A ，C 两点，点 B 的坐标 为 (3,0) ，二次函数 2y ax bx c   的图象过 A ， B ， C 三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点 C 作 / /CD x 轴交抛物线于点 D ，点 E 在抛物线上 (y 轴左侧），若 BC 恰好平分 DBE ．求直线 BE 的表达式； （3）如图（2），若点 P 在抛物线上（点 P 在 y 轴右侧），连接 AP 交 BC 于点 F ，连接 BP ， BFP BAFS mS  ． ①当 1 2m  时，求点 P 的坐标； ②求 m 的最大值． 【解答】解：（1）一次函数 3 3y x   的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A ， C 两点，则点 A 、 C 的坐标分别为 ( 1,0) 、 (0, 3) ， 将点 A 、 B 、 C 的坐标代入抛物线表达式得 0 0 9 3 3 a b c a b c c           ，解得 1 2 3 a b c        ， 故抛物线的表达式为： 2 2 3y x x   ； （2）设直线 BE 交 y 轴于点 M ， 从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为 2x  ， / /CD x 轴交抛物线于点 D ，故点 (2, 3)D  ， 由点 B 、 C 的坐标知，直线 BC 与 AB 的夹角为 45，即 45MCB DCD    ， BC 恰好平分 DBE ，故 MBC DBC   ， 而 BC BC ， 故 ( )BCD BCM AAS   ， 2CM CD   ，故 3 2 1OM    ，故点 (0, 1)M  ， 设直线 BE 的表达式为： y kx b  ，则 1 3 0 b k b      ，解得 1 3 1 k b      ， 故直线 BE 的表达式为： 1 13y x  ； （3）过点 P 作 / /PN x 轴交 BC 于点 N ， 则 PFN AFB ∽ ，则 AF AB PF PN  ， 而 BFP BAFS mS  ，则 1 4AF PF m PN   ，解得： 1 4m PN ， ①当 1 2m  时，则 2PN  ， 设点 2( , 2 3)P t t t  ， 由点 B 、 C 的坐标知，直线 BC 的表达式为： 3y x  ，当 2x t  时， 5y t  ，故点 ( 2, 5)N t t  ， 故 25 2 3t t t    ， 解得： 1t  或 2，故点 (2, 3)P  或 (1, 4) ； ② 2 21 1 1 3 9[ ( 2 )] ( )4 4 4 2 16m PN t t t t        ，  1 04   ，故 m 的最大值为 9 16 ．