华师版九年级上册数学同步课件-第22章-22一元二次方程的根与系数的关系

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第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 方 程 x1 x2 x1+ x2 x1•x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 问题：这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 • x2与对应的一 元二次方程的系数有什么关系？ 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 一元二次方程的根与系数的关系1 完成下表： 由上可知，猜想正确！ 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1，x2， 那么       2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 22 2 1 2 0 4 0 , 4 4 = = . 2 2 4 4 = = 2 2 44 4 = = . 2 2 4 x px q p q p p q p p q x x p p q p p q x x p p p qp p q p p q x x q                             对于一元二次方程 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 ， 所 验证 以 ， ： + 猜想： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0） 的两根为x1，x2，且 则x1+x2和x1•x2与系数a、b、c的关系为 2 4 0b ac  ， 1 2x x  2 24 4 2 2 b b ac b b ac a a         2 0( 0)ax bx c a    由一元二次方程的求根公式，得方程 的两根分别为 2 24 4 2 b b ac b b ac a        2 2 b a   b a   ， 2 2 1 2 4 4, . 2 2 b b ac b b acx x a a         验证： 1 2x x 2 24 4 2 2 b b ac b b ac a a         2 2 2 2 ( ) ( 4 ) 4 b b ac a     2 2 2 ( 4 ) 4 b b ac a    2 4 4 ac a  .c a  猜想正确！ 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1， x2， 那么 x1 + x2= ， x1 ·x2= 注意：能用根与系数的关系的前提 条件为b2-4ac≥0. 韦达定理 一、直接运用根与系数的关系 不解方程，求下列方程两根之和两根之积. 2 2 2 (1) 6 15 0 (2)3 7 9 0 (3)5 1 4 . x x x x x x         ； ； 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题   1 2 1 21 6 15    x x , x x .解:   1 2 1 2 72 3 3      x x , x x .   1 2 1 2 5 13 4 4 x x , x x .    2 在使用根与系数的关系 时，应注意：⑴不是一 般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2= 时， 注意“- ”不要漏写. 例1 二、求关于两根的代数式的值 2 2 1 2(1)x x ； 1 2 1 1(2) x x  ； 设 是方程 的两个根，利用根与系 数的关系，求下列各式的值. 21 , xx 0342 2  xx 1 2(3)( 1)( 1)x x  ； 2 2 1 2 1 2(4)x x x x ； 2 1 1 2 (5) x x x x  ； 2 1 2(6)( ) .x x 例2 1 2 1 2 32 2      x x , x x .                             2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 31 2 2 2 7 2 1 1 2 42 3 3 2 3 53 1 1 1 2 1 2 2 34 2 3 2 7 145 3 3 2 6 2                                                              x x x x x x . x x . x x x x x x x x x x . x x x x x x x x . x x x x . x x x x x x x x x 2 7 3 10  x . 解:由题意知 三、构造新方程 求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次 项系数为1. 解:（x-2)（x-3）=0， 即x2-5x+6=0.(答案不唯一） 例3 方程 的两根之和为6，一根为2，求p、 q的值. 02  qpxx 四、求方程中的待定系数 解：设方程的另一个根为x1. 由题意，得 2+x1=-p=6，2x1=q， 所以x1=4，p=-6，q=8. 例4 1.方程 有一个正根，一个负根， 求m的取值范围. 解：根据题意，得 ∴00， 0

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