九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教学课件新版北师大版

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1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 正方形的性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1.了解正方形 的 定义及其与平行四边形的关系 . 2.探索并证明正方形 的性质定理 .（重点） 3.应用正方形 的性质定理解决相关问题 .（难点） 学习目标 活动 : 观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 导入新课 正方形的定义 一 活动 1 ： 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠 , 然后展开，得到一个四边形 . 问题 1 ： 折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 讲授新课 活动 2 ： 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状 . 问题 2 ： 经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 . 正方形 正方形的性质探究和证明 二 A B C D 填一填： 角： 边： 对角线： 对称性： 四个角都是直角 . 四条边相等 . 对角线相等且互相垂直平分 . a a a a 轴对称图形（ 4 条对称轴） . 1. 正方形的四个角都是直角 , 四条边相等 . 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 定理 已知：如右图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 求证：正方形 ABCD 四边相等 , 四个角都是直角 . A B C D 证明：∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴∠ A =90° , AB = AC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形 . ∴ 正方形是矩形 , （矩形的定义） 正方形是菱形 .( 菱形的定义 ) ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D = 90° , AB = BC = CD = AD . 定理证明 已知：如右图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证 ： AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD . A B C D O 请同学们动手完成以上证明？ 提示： 可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题 . 想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？ 矩形 菱形 正方形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 , 也是特殊的矩形 , 也是特殊的菱形 . 所以平行四边形、矩形、菱形有的性质 , 正方形都有 . 归纳 归纳结论 正方形 对角线 边 边 对角线 对角线 角 对边平行且相等 相互平分 相等 四个角相等都是 90° 相互垂直且 平分对角 四边相等 对称性 轴对称图形（ 4 条对称轴） 例 1 ： 如图在正方形 ABCD 中 , E 为 CD 上一点， F 为 BC 边延长线上一点 , 且 CE = CF . BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由 . 正方形性质定理的应用 三 典例精析 解： BE = DF , 且 BE ⊥ DF .理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC , ∠ BCE =90° . （正方形的四条边都相等 , 四个角都是直角） ∴∠ DCF =180° - ∠ BCE =180° - 90°=90°. A B D C F E A B D F E ∴∠ BCE =∠ DCF . 又∵ CE = CF . ∴△ BCE ≌ △ DCF . ∴ BE = DF . (2) 延长 BE 交 DE 于点 M , ∵ △ BCE ≌ △ DCF , ∴∠ CBE = ∠ CDF . ∵∠ DCF =90° , ∴∠ CDF + ∠ F =90°.∴∠ CBE + ∠ F =90° , ∴∠ BMF =90°. ∴ BE ⊥ DF . C M 例 2 ： 如图，已知四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , MN ∥ AB , 且分别于 OA , OB 相交于点 M , N . 求证 ：（ 1 ） BM = CN ; （ 2 ） BM ⊥ CN . A B C D O M N 证明：（1）∵ MN ∥ AB . ∴∠1 =∠2 =∠3 =∠4 = 45°. ∴ OM = ON . ∵ OA = OB , ∴ OA - OM = OB - ON , AM = BN . 又∵∠ 2 =∠ NBC , AB = BC . ∴ △ ABM ≌ △ BCN ( SAS ) ∴ BM = CN . 1 2 3 4 A B C D O M N (2) 延长 CN 交线段 MB 于点 Q . ∵ △ ABM ≌ △ BCN . ∴ ∠ 6= ∠ 8. ∵∠ OCB =∠ ABO =45°. ∴ ∠ 5= ∠ 7. 又∵∠ ONC = ∠ QNB . ∴ 180° - ∠5 - ∠ ONC = 180° - ∠7 - ∠ QNB , ∠ CON =∠ NQB = 90°. ∴ BM ⊥ CN . Q 5 7 6 8 1 ．在正方形 ABC 中 , ∠ ADB = , ∠ DAC = , ∠ BOC = . 2. 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 AE=AB ，则∠ EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第 1 题 第 2 题 45° 当堂练习 3. 如图，已知正方形 ABCD , 以 AB 为边向正方形外作等边△ ABE , 连结 DE 、 CE , 求∠ DEC 的度数 . D A E B C 解：∵△ ABE 是等边三角形 . ∴ AB = AE = BE , ∠ ABE =∠ BEA =∠ EAB =60°. 又∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴ AD = BC = AE = BE , ∠ DAB = ∠ ABC =90°. ∴∠ DAE = ∠ CBE =150°. ∴∠ AED = ∠ EDA = ∠ CEB =∠ BCE =15°. ∴∠ DEC = ∠ AEB - ∠ AED - ∠ CEB =30°. 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 课堂小结