最大面积是多少教案1

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最大面积是多少教案1

最大面积是多少 教学目标 ‎(一)教学知识点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.‎ ‎(二)能力训练要求 ‎1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断能力.‎ ‎2.通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力.‎ ‎(三)情感与价值观要求 ‎1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.‎ ‎2.能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格.‎ ‎3.进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践能力.‎ 教学重点 ‎1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.‎ ‎2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.‎ 教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.‎ 教学方法 教师指导学生自学法.‎ 教具准备 投影片四张 7‎ 第一张:(记作§2.7A)‎ 第二张:(记作§2.7B)‎ 第三张:(记作§2.7C)‎ 第四张:(记作§2.7D)‎ 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ‎[师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题,知道了求最大利润就是求函数的最大值,实际上就是用二次函数来解决实际问题.解决这类问题的关键是要读懂题目,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,把问题表示为数学的形式,在此基础上,利用我们所学过的数学知识,就可以一步步地得到问题的解.‎ 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题.‎ Ⅱ.新课讲解 一、例题讲解 投影片:(§2.7A)‎ 如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.‎ ‎(1)设长方形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?‎ ‎(2)设长方形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?‎ ‎[师]分析:(1)要求AD边的长度,即求BC边的长度,而BC是△EBC中的一边,因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF,得即 7‎ ‎.所以AD=BC=(40-x).‎ ‎(2)要求面积y的最大值,即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值,就转化为数学问题了.‎ 下面请大家讨论写出步骤.‎ ‎[生](1)∵BC∥AD,‎ ‎∴△EBC∽△EAF.∴.‎ 又AB=x,BE=40-x,‎ ‎∴.∴BC=(40-x).‎ ‎∴AD=BC=(40-x)=30-x.‎ ‎(2)y=AB·AD=x(30-x)=-x2+30x ‎=-(x2-40x+400-400)‎ ‎=-(x2-40x+400)+300‎ ‎=-(x-20)2+300.‎ 当x=20时,y最大=300.‎ 即当x取20m时,y的值最大,最大值是300m2.‎ ‎[师]很好.刚才我们先进行了分析,要求面积就需要求矩形的两条边,把这两条边分别用含x的代数式表示出来,代入面积公式就能转化为数学问题了,大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?‎ ‎[生]不很难.‎ ‎[师]下面我们换一个条件,看看大家能否解决.设AD边的长为x m,则问题会怎样呢?与同伴交流.‎ ‎[生]要求面积需求AB的边长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是△FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求.‎ 解:∵DC∥AB,‎ ‎∴△FDC∽△FAE.‎ 7‎ ‎∴.‎ ‎∵AD=x,FD=30-x.‎ ‎∴.‎ ‎∴DC=(30-x).‎ ‎∴AB=DC=(30-x).‎ y=AB·AD=x·(30-x)‎ ‎=-x2+40x ‎=-(x2-30x+225-225)‎ ‎=-(x-15)2+300.‎ 当x=15时,y最大=300.‎ 即当AD的长为15m时,长方形的面积最大,最大面积是300m2.‎ 二、做一做 投影片:(§2.7B)‎ 某建筑物的窗户如下图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?‎ ‎[师]通过刚才的练习,这个问题自己来解决好吗?‎ ‎[生]可以.‎ 分析:x为半圆的半径,也是矩形的较长边,因此x 7‎ 与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,即2xy+x2最大,而由于4y+4x+3x+πx=7x+4y+πx=15,所以y=.面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x,这时已经转化为数学问题即二次函数了,只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可.‎ 解:∵7x+4y+πx=15,‎ ‎∴y=.‎ 设窗户的面积是S(m2),则 S=πx2+2xy ‎=πx2+2x·‎ ‎=πx2+‎ ‎=-3.5x2+7.5x ‎=-3.5(x2-x)‎ ‎=-3.5(x-)2+.‎ ‎∴当x=≈1.07时,‎ S最大=≈4.02.‎ 即当x≈1.07m时,S最大≈4.02m2,此时,窗户通过的光线最多.‎ ‎[师]大家做得非常棒.‎ 三、议一议 ‎[师]我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子,现在大家能否根据前面的例子作一下总结,解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流.‎ ‎[生]首先是理解题目,然后是分析已知量与未知量,转化为数学问题.‎ ‎[师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题,基本思想如下:‎ 投影片:(§2.7C)‎ 7‎ 解决此类问题的基本思路是:‎ ‎(1)理解问题;‎ ‎(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;‎ ‎(3)用数学的方式表示它们之间的关系;‎ ‎(4)做函数求解;‎ ‎(5)检验结果的合理性,拓展等.‎ 在总结思路之前,大家已经做得相当出色了,相信以后会更上一层楼的.‎ Ⅲ.课堂练习 投影片:(§2.7D)‎ ‎1.一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍,怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?‎ 解:设AB长为x m,则BC长为(116-2x)m,长方形面积为S m2,根据题意得 S=x(116-2x)=-2x2+116x=-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.‎ 当x=29时,S有最大值1682,这时116-2x=58.‎ 即设计成长为58m,宽为29m的长方形时,能使围成的长方形鸡舍的面积最大,最大面积为1682m2.‎ Ⅳ.课时小结 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题,增强了应用意识,获得了利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值.‎ Ⅴ.课后作业 习题2.8‎ Ⅵ.活动与探究 7‎ 已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12,从它的一个顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于.设梯形的面积为S,梯形中较短的底边长为x,试写出梯形面积关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.‎ 分析:因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于,但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值,故本题应考虑两种情况,如下图:‎ 板书设计 ‎§2.7 最大面积是多少 一、1.例题讲解(投影片§2.7A)‎ ‎2.做一做(投影片§2.7B)‎ ‎3.议一议(投影片§2.7C)‎ 二、课堂练习(投影片§2.7D)‎ 三、课时小结 四、课后作业 7‎
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