何时获得最大利润教案3

何时获得最大利润教案3

何时获得最大利润 教学目标 ‎(一)教学知识点 ‎1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．‎ ‎2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．‎ ‎(二)能力训练要求 经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．‎ ‎(三)情感与价值观要求 ‎1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．‎ ‎2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．‎ 教学重点 ‎1．探索销售中最大利润问题．‎ ‎2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．‎ 教学难点 运用二次函数的知识解决实际问题．‎ 教学方法 在教师的引导下自主学习法．‎ 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§2．6A)‎ 第二张：(记作§2．6B)‎ 7‎ 第三张：(记作§2．6C)‎ 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 ‎[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系，那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．‎ Ⅱ．讲授新课 一、有关利润问题 投影片：(§2．6A)‎ 某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．‎ 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？‎ 设销售单价为x(x≤13.5)元，那么 ‎(1)销售量可以表示为________；‎ ‎(2)销售额可以表示为________；‎ ‎(3)所获利润可以表示为________；‎ ‎(4)当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是________．‎ ‎[师]‎ 7‎ 从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备．今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．‎ 获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(售价－进价)乘以T恤衫的数量．设销售单价为x元，则降低了(13.5－x)元，每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5－x)元，则可多售出200(13.5－x)件，因此共售出500＋200(13.5－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x－2.5)[500＋200(13.5－x)]．‎ 经过分析之后，大家就可回答以上问题了．‎ ‎[生](1)销售量可以表示为500＋200(13.5－x)＝3200－200x．‎ ‎(2)销售额可以表示为x(3200－200x)＝3200x－200x2．‎ ‎(3)所获利润可以表示为(3200x－200x2)－2.5(3200－200x)＝－200x2＋3700x－8000．‎ ‎(4)设总利润为y元，则 y＝－200x2＋3700x－8000‎ ‎＝－200(x－)2＋．‎ ‎∵－200＜0，‎ ‎∴抛物线有最高点，函数有最大值．‎ 当x＝＝9.25元时，‎ y最大＝＝9112.5元．‎ 即当销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元．‎ 二、做一做 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000．‎ 我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．‎ ‎[生]因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．‎ 所以y＝－5x2＋100x＋60000‎ 7‎ ‎＝－5(x2－20x＋100－100)＋60000‎ ‎＝－5(x－10)2＋60500．‎ 当x＝10时，y最大＝60500．‎ ‎[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗？‎ ‎[生]正确．‎ 三、议一议(投影片§2．6B)‎ ‎(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．‎ ‎(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？‎ ‎[生]图象如上图．‎ ‎(1)当x＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．‎ ‎(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．‎ 四、补充例题 投影片：(§2．6C)‎ 已知一个矩形的周长是24cm．‎ ‎(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．‎ ‎(2)画出这个函数的图象．‎ ‎(3)当a长多少时，S最大？‎ ‎[师]分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．‎ ‎[生](1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a ‎＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36．‎ 7‎ ‎(2)图象如下：‎ ‎(3)当a＝6时，S最大＝36．‎ Ⅲ．课堂练习 P61‎ 解：设销售单价为x元，销售利润为y元，则 y＝(x－20)[400－20(x－30)]‎ ‎＝－20x2＋1400x－20000‎ ‎＝－20(x－35)2＋4500．‎ 所以当x＝35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．‎ Ⅳ．课时小结 本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．‎ 学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．‎ Ⅴ．课后作业 习题2．7‎ Ⅵ．活动与探究 某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．‎ ‎(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)‎ ‎(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x 7‎ ‎(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润＝售价－进价)．‎ ‎(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．‎ ‎(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？‎ 解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50－x)元，则可多售出3(50－x)，所以y＝90＋3(50－x)＝－3x＋240．当50＜x≤70时，则升高(x－50)元，则可少售3(x－50)元，所以y＝90－3(x－50)＝－3x＋240．‎ 因此，当40≤x≤70时，y＝－3x＋240．‎ ‎(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x－40)元，平均每天的利润为W＝(240－3x)(x－40)＝－3x2＋360x－9600．‎ ‎(3)W＝－3x2＋360x－9600‎ ‎＝－3(x2－120x＋3600－3600)－9600‎ ‎＝－3(x－60)2＋1200．‎ 所以此二次函数图象的顶点坐标为(60，1200)．‎ 当x＝40时，W＝－3(40－60)2＋1200＝0；‎ 当x＝70时，W＝－3(70－60)2＋1200＝900．‎ 草图略．‎ ‎(4)要求最大利润，也就是求函数的最大值，只要知道顶点坐标即可．‎ 由(3)得，当x＝60时，W最大＝1200．‎ 即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．‎ 板书设计 ‎§2．6 何时获得最大利润 一、1．有关利润问题(投影片§2．6A)‎ ‎2．做一做 ‎3．议一议(投影片§2．6B)‎ ‎4．补充例题(投影片§2．6C)‎ 7‎ 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 7‎