- 2021-11-10 发布 |
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文档介绍
北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4相似三角形的性质
第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. (重点) 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. (难点) 学习目标 A C B A1 C1 B1 问题1: ΔABC与ΔA1B1C1相似吗? A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. ΔABC∽ ΔA1B1C1 思考:三角形中,除了角度和边长外,还有哪些几 何量? 高、角平分线、中线的长度,周长、面积等 高 角平分线 中线 A C BD ∟ A1 C1 B1D1 ∟ 1.CD和C1D1分别是它们的高,你知道 比值是多少吗? 2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢? 3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢? A C BD A 1 C1 B1D1 想一想: 1 1 CD C D D1A 1 C1 B1 ∟A C BD ∟ ΔABC ∽ ΔA1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们的高, 你 知道 等于多少吗? 1 1 CD C D 1 1 1 2 CD C D 证明:∵△ A′B′C′∽△ABC, ∴ ∠B′= ∠B. ∵ ∠AD′B =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD(两角对应相等的两个三 角形相似), ∴ A D A B k AD AB (相似三角形的对应边成比例). 问题:如图,△A′B′C′ ∽△ABC,相似比为k,分别 作BC、B′C′上的高AD、A′D′. 求证: .'' k AD DA 一相似三角形对应高的比等于相似比概念 由此得到: 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也 等于相似比. 如图,AD是ΔABC的高,点P、Q在BC边上,点R在AC 边上,点S在AB边上,BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS 是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗?为什么? (2) ΔASR与ΔABC相似吗?为什么? (3)求正方形PQRS的边长. S R QP E D CB A 例1 (1)AE是ΔASR的高吗?为什么? 解: AE是ΔASR的高. 理由如下: ∵AD是ΔABC的高, ∴ ∠ADC=90 °. ∵四边形PQRS是正方形, ∴SR ∥BC, ∴∠AER=∠ADC=90 °, ∴ AE是ΔASR的高. BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS是正方形. S R QP E D CB A BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS是正方形. (2) ΔASR与ΔABC相似吗?为什么? 解: ΔASR与ΔABC相似 . 理由如下: ∵ SR∥BC, ∴ ΔASR∽ΔABC. S R QP E D CB A BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS是正方形. (3)求正方形PQRS的边长. 是方程思 想哦! 解:∵ ΔASR ∽ ΔABC, AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高, 设正方形PQRS的边长为x cm, 则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm. ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24 cm. AE SR AD BC ∴ . 40 , 40 60 x x S R QP E D CB A 解:当SR=2SP,设SP=x cm,则SR=2xcm, 得到 所以x=2,2x=4, 2×4=8 cm2. S R QP E D CB A 如图,AD是ΔABC的高,点P、Q在BC边上,点R在AC边上, 点S在AB边上,BC=5 cm,AD=10 cm,若矩形PQRS的长 是宽的2倍,你能求出这个矩形的面积吗? PQRSS 矩形 当SP=2SR,SR=x cm,则SP=2x cm, 得到 所以x=2.5,2x=5, 2.5×5=12.5 cm2 . PQRSS 矩形. 10 2x x 10 5 变式: 10 2 . 10 5 x x 问题:把上图中的高改为中线、角平分线,那么它们对应中线的 比,对应角平分线的比等于多少? 图中△ABC和△A′B′C′相似,AD、A′D′分别为对应边上的 中线,BE、B′E′分别为对应角的角平分线,那么它们之间 有什么关系呢? A B CD E A' B' D' C' E' 2 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比 都等于相似比 已知:△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即 求证: 证明:∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC. 又BE、B'E'分别为对应角的平分线, ∴ △ABE∽△A′B′E′, . ' ' ' ' ' ' AB BC CA k A B B C C A ,ABE A'B'E' . ' ' BE k B E . ' ' BE k B E A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想1: 相似三角形对应的中线的比也等于相似比. 同学们可以试着用同样的方法求 证三角形对应边上的角平分中线 的比等于相似比. 已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即 求证: 证明:∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, . 又AD、AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′, . ' ' ' ' ' ' AB BC CA k A B B C C A .AD k A'D' .AD k A'D' ' ' ' ' AB BC A B B C , ' ' ' ' AB BD A B B D A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想2: 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、 对应中线的比都等于相似比. 两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm, 如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm,那么这两条角 平分线的长分别是多少? 解:设较短的角平分线长为x cm, 则由相似性质有 解得x=18. 较长的角平分线长为24 cm. 故这两条角平分线的长分别为18 cm,24 cm. 6 , 42 8 x x 例2 3.两个相似三角形对应中线的比为1:4 ,则对应高的比为 ______ . 2.相似三角形对应边的比为2∶ 3,那么对应角的角平分线 的比为______.2∶ 3 1.两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为 _________, 则对应中线的比为_________.1: 2 1: 2 1: 4 解:∵ △ABC∽△DEF, 解得EH=3.2(cm). 即EH的长为3.2cm. A G B C D E F H (相似三角形对应角平 线的比等于相似比), 4.已知△ABC∽△DEF,BG、EH分别为△ABC和△DEF 的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长. BG BC EH EF 4.8 6 , 4EH 5.如图,AD是△ABC的高,AD=h, 点R在AC边上,点S在AB 边上,SR⊥AD,垂足为点E.当 时,求DE的长.如果 呢? ∴△ASR∽△ABC, 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC, B A E R C 1 = 2 SR BC 1 = 3 SR BC D S∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C, AE SR AD BC , .AD DE SR AD BC 1 = 2 SR BC当 时,得 1 . 2 h DE AD 1 . 2 DE h解得 1 = 3 SR BC当 时,得 1 . 3 h DE AD 2 . 3 DE h解得 相似三角 形的性质 相似三角形对应高的比等 于相似比 相似三角形对应角平分线 的比等于相似比 相似三角形对应中线的比 等于相似比查看更多