初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第12讲 方程与函数

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第12讲 方程与函数

1 第十二讲 方程与函数 方程思想是指在解决问题时,通过等量关系将已知与未知联系起来,建立方程或方程组, 然后运用方程的知识使问题得以解决的方法;函数描述了自然界中量与量之间的依存关系, 函数思想的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题.转化为函数关系 去解决. 方程与函数联系密切,我们可以用方程思想解决函数问题,也可以用函数思想讨论方程 问题,在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题 时,常将问题转化为解方程或方程组;而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等 问题时,借助函数图象能获得直观简捷的解答. 【例题求解】 【例 1】 若关于的方程 mxx 1 有解,则实数 m 的取值范围 . 思路点拨 可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数 xy  1 , mxy  函 数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定 m 的取值范围. 【例 2】设关于 x 的方程 09)2(2  axaax 有两个不相等的实数根 1x , 2x ,且 <1< , 那么 a 取值范围是( ) A. 5 2 7 2  a B. 5 2a C. 7 2a D. 011 2  a 思路点拨 因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函 数与 x 轴的交点满足 <1< 的 a 的值,注意判别式的隐含制约. 【例 3】 已知抛物线 0)21( 22  axaxy ( 0a )与 x 轴交于两点 A( 1x ,0),B( 2x , 0)( ≠ ). (1)求 a 的取值范围,并证明 A、B 两点都在原点 O 的左侧; (2)若抛物线与 y 轴交于点 C,且 OA+OB=OC 一 2,求 的值. 思路点拨 、 是方程 0)21( 22  axax 的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转 化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点. 2 【例 4】 抛物线 )1(2)4 5(22 1 2  mxmxy 与 y 轴的正半轴交于点 C,与 x 轴交于 A、B 两点,并且点 B 在 A 的右边,△ABC 的面积是△OAC 面积的 3 倍. (1)求这条抛物线的解析式; (2)判断△OBC 与△OCA 是否相似,并说明理由. 思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根 的关系,这是解本例的关键.对于(1),建立关于 m 的等式,求出 m 的值;对于(2)依 m 的 值分类讨论. 【例 5】 已知抛物线 qpxxy  2 上有一点 M(, 0y )位于 x 轴下方. (1)求证:此抛物线与轴交于两点; (2)设此抛物线与 轴的交点为 A( 1x ,0),B(,0),且 < 2x ,求证: < 0x < . 思路点拨 对于(1),即要证 042  qp ;对于(2),即要证 0))(( 2010  xxxx . 注:(1)抛物线与 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨, 需综合运用判别式、韦达定理等知识. (2)对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基本步骤是: 在直角坐标系中作出对应函数图象,由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组. (3) 一个关于二次函数图象的命题:已知二次函数 cbxaxy  2 ( 0a )的图象与 轴 交于 A( ,0), B(,0)两点,顶点为 C. ①△ABC 是直角三角形的充要条件是:△= 442  acb . ②△ABC 是等边三角形的充要条件是:△= 1242  acb 3 学历训练 1.已知关于 x 的函数 1)1(2)6( 2  mxmxmy 的图象与 轴有交点,则 m 的取值范围 是 . 2.已知抛物线 23)1(2  kxkxy 与 轴交于 A ( ,0),B(  ,0)两点,且 1722   , 则 k . 3.已知二次函数 y=kx2+(2k-1)x—1 与 x 轴交点的横坐标为 x1、x2(x1x2,时,y>O;③方程 kx2+l(2k-1)x—l=O 有两个不相等 的实数根 x1、x2;④ x1<-l,x2>-l;⑤ x2-x1= k k 241 ,其中所有正确的结论是 (只 需填写序号) . 4.设函数 )5(4)1(2  kxkxy 的图象如图所示,它与 轴交于 A、B 两点,且线段 OA 与 OB 的长的比为 1:4,则 k =( ). A.8 B.一 4 C.1l D.一 4 或 11 5.已知:二次函数 y=x2+bx+c 与 x 轴相交于 A(x1,0)、B(x2,0)两点,其顶点坐标为 P(- 2 b , 4 b-4c 2 ),AB=|x1-x2|,若 S△APB=1,则 b 与 c 的关系式是 ( ) A.b2-4c+1= 0 B.b2-4c-1=0 C.b2-4c+4=0 D.b2-4c-4=0 6.已知方程 1 axx 有一个负根而且没有正根,那么 a 的取值范围是( ) A. >-1 B. =1 C. ≥1 D.非上述答案 7.已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点 A 在点 B 的左侧,如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点 A、B,与 y 轴相交于点 C. (1)a、c 的符号之间有何关系? (2)如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项,试证 a、c 互为倒数; (3)在(2)的条件下,如果 b=-4,AB=4 3 ,求 a、c 的值. 4 8.已知:抛物线 cbxaxy  2 过点 A(一 1,4),其顶点的横坐标为 2 1 ,与 x 轴分别交于 B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且 1x < 2x ),且 132 2 2 1  xx . (1)求此抛物线的解析式及顶点 E 的坐标; (2)设此抛物线与 y 轴交于 D 点,点 M 是抛物线上的点,若△MBO 的面积为△DOC 面积的 3 2 倍,求点 M 的坐标. 9.已知抛物线 mmxxy 22 3 2 1 2  交 x 轴于 A( 1x ,0)、 B( 2x ,0),交 y 轴于 C 点,且 <0< ,   1122  COOBAO . (1)求抛物线的解析式; (2)在 x 轴的下方是否存在着抛物线上的点 P,使∠APB 为锐角,若存在,求出 P 点的横坐 标的范围;若不存在,请说明理由. 10.设 m 是整数,且方程 023 2  mxx 的两根都大于 5 9 而小于 7 3 ,则= . 11.函数 732  xxy 的图象与函数 633 22  xxxxy 的图象的交点个数是 . 12.已知 a 、b 为抛物线 2))((  dcxcxy 与 x 轴交点的横坐标, ba  ,则 bcca  的值为 . 13.是否存在这样的实数 k ,使得二次方程 0)23()12(2  kxkx 有两个实数根,且两根 都在 2 与 4 之间?如果有,试确定 的取值范围;如果没有,试述理由. 14.设抛物线 4 52)12(2  axaxy 的图象与 轴只有一个交点. (1)求 的值; (2)求 618 32  aa 的值. 15.已知以 为自变量的二次函数 2384 2  nnxxy ,该二次函数图象与 轴的两个交点 的横坐标的差的平方等于关于 的方程 0)4)(1(2)67(2  nnxnx 的一整数根,求 n 的 5 值. 16.已知二次函数的图象开口向上且不过原点 O,顶点坐标为(1,一 2),与 x 轴交于点 A, B,与 y 轴交于点 C,且满足关系式 OBOAOC 2 . (1)求二次函数的解析式; (2)求△ABC 的面积. 17.设 p 是实数,二次函数 ppxxy  22 的图象与 轴有两个不同的交点 A( 1x ,0)、 B ( 2x ,0). (1)求证: 032 2 21  pxpx ; (2)若 A、B 两点之间的距离不超过 32 p ,求 P 的最大值. ( 6 参考答案 7
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