2020年浙江省衢州市中考数学试卷

2020年浙江省衢州市中考数学试卷

2020 年浙江省衢州市中考数学试卷 一、选择题（本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）比 0 小 1 的数是 ( ) A．0 B． 1 C．1 D． 1 2．（3 分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）计算 2 3( )a ，正确结果是 ( ) A． 5a B． 6a C． 8a D． 9a 4．（3 分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ” 所示区域内的概率是 ( ) A． 1 3 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 8 5．（3 分）要使二次根式 3x  有意义，则 x 的值可以为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 6．（3 分）不等式组 3( 2) 4 3 2 1 x x x x      „ 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A． B． C． D． 7．（3 分）某厂家 2020 年1~ 5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x ，根据题意可得方程 ( ) A． 2180(1 ) 461x  B． 2180(1 ) 461x  C． 2368(1 ) 442x  D． 2368(1 ) 442x  8．（3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是 ( ) A． B． C． D． 9．（3 分）二次函数 2y x 的图象平移后经过点 (2,0) ，则下列平移方法正确的是 ( ) A．向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B．向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C．向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D．向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 10．（3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF ，若 1BC  ，则 AB 的长度为 ( ) A． 2 B． 2 1 2  C． 5 1 2  D． 4 3 二、填空题（本题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）一元一次方程 2 1 3x   的解是 x  ． 12．（4 分）定义 a ※ ( 1)b a b  ，例如 2※ 3 2 (3 1) 2 4 8      ．则 ( 1)x  ※ x 的结果 为 ． 13．（4 分）某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5， x ，6．已知这组数据的平均数是 5， 则这组数据的中位数是 ． 14．（4 分）小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”，已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm ，则图 2 中 h 的值为 dm ． 15．（4 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含30 角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐 标系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M ， 反比例函数 ( 0)ky xx   的图象恰好经过点 F ， M ．若直尺的宽 3CD  ，三角板的斜边 8 3FG  ，则 k  ． 16．（4 分）图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图．已知 O ， P 两点固 定，连杆 140PA PC cm  ， 60AB BC CQ QA cm    ， 50OQ cm ，O ， P 两点间距与 OQ 长度相等．当 OQ 绕点 O 转动时，点 A ，B ，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动．当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A ， C 重合，点 P ， Q ， A ， B 在同一直线 上（如图 3) ． （1）点 P 到 MN 的距离为 cm ． （2）当点 P ， O ， A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为 cm ． 三、解答题（本题共有 8 小题，第 17～19 小题每小题 6 分，第 20～21 小题每小题 6 分， 第 22～23 小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66 分．请务必写出解答过程） 17．（6 分）计算： 01| 2| ( ) 9 2sin303     ． 18．（6 分）先化简，再求值： 2 1 2 1 1 a a a a    ，其中 3a  ． 19．（6 分）如图，在 5 5 的网格中， ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的 ABDE ，使顶点 D ， E 在格点上． （2）在图 2 中画出一条恰好平分 ABC 周长的直线 l （至少经过两个格点）． 20．（8 分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生 进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1 5.3x„ „ 25 B 4.8 5.0x„ „ 115 C 4.4 4.7x„ „ m D 4.0 4.3x„ „ 52 （1）求组别 C 的频数 m 的值． （2）求组别 A 的圆心角度数． （3）如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好”，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力 良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 21．（8 分）如图， ABC 内接于 O ， AB 为 O 的直径， 10AB  ， 6AC  ，连结 OC ， 弦 AD 分别交 OC ， BC 于点 E ， F ，其中点 E 是 AD 的中点． （1）求证： CAD CBA   ． （2）求 OE 的长． 22．（10 分）2020 年 5 月 16 日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢 州，线路如图 1 所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线 路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为 20 /km h ，游轮行驶的时间记为 ( )t h ，两艘轮船 距离杭州的路程 ( )s km 关于 ( )t h 的图象如图 2 所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12km ？ 23．（10 分）如图 1，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A ，C 分別是直线 8 43y x   与 坐标轴的交点，点 B 的坐标为 ( 2,0) ，点 D 是边 AC 上的一点， DE BC 于点 E ，点 F 在 边 AB 上，且 D ， F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF ， EF ．设点 D 的横坐标 为 m ， 2EF 为 l ，请探究： ①线段 EF 长度是否有最小值． ② BEF 能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察  猜想  验证  应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平 面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 2) ．请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜 想 l 与 m 可能满足的函数类别． （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现 BEF 能成为直角三角形，请你求出当 BEF 为直角三角 形时 m 的值． 24．（12 分）【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AE 平分 BAC ，交 BC 于点 E ．作 DF AE 于点 H ，分别交 AB ， AC 于点 F ， G ． （1）判断 AFG 的形状并说明理由． （2）求证： 2BF OG ． 【迁移应用】 （3）记 DGO 的面积为 1S ， DBF 的面积为 2S ，当 1 2 1 3 S S  时，求 AD AB 的值． 【拓展延伸】 （4）若 DF 交射线 AB 于点 F ，【性质探究】中的其余条件不变，连结 EF ，当 BEF 的面 积为矩形 ABCD 面积的 1 10 时，请直接写出 tan BAE 的值． 2020 年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）比 0 小 1 的数是 ( ) A．0 B． 1 C．1 D． 1 【分析】根据题意列式计算即可得出结果． 【解答】解： 0 1 1   ， 即比 0 小 1 的数是 1 ． 故选： B ． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 2．（3 分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是 ( ) A． B． C． D． 【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可． 【解答】解： A 、俯视图是圆，故此选项正确； B 、俯视图是正方形，故此选项错误； C 、俯视图是长方形，故此选项错误； D 、俯视图是长方形，故此选项错误． 故选： A ． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得 到的图形． 3．（3 分）计算 2 3( )a ，正确结果是 ( ) A． 5a B． 6a C． 8a D． 9a 【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：由幂的乘方与积的乘方法则可知， 2 3 2 3 6( )a a a  ． 故选： B ． 【点评】本题考查的是幂的乘方法则，即底数不变，指数相乘． 4．（3 分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ” 所示区域内的概率是 ( ) A． 1 3 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 8 【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以 360，进而得出答案． 【解答】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是： 120 1 360 3  ． 故选： A ． 【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键． 5．（3 分）要使二次根式 3x  有意义，则 x 的值可以为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 3 0x  … ，再解即可． 【解答】解：由题意得： 3 0x  … ， 解得： 3x… ， 故选： D ． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负 数． 6．（3 分）不等式组 3( 2) 4 3 2 1 x x x x      „ 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A． B． C． D． 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴 上表示出来即可求解． 【解答】解：  3 2 4 3 2 1 x x x x       ① ② „ ， 由①得 1x„ ； 由②得 1x   ； 故不等式组的解集为 1 1x  „ ， 在数轴上表示出来为： ． 故选： C ． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即 为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大 的为空集”得到公共部分． 7．（3 分）某厂家 2020 年1~ 5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x ，根据题意可得方程 ( ) A． 2180(1 ) 461x  B． 2180(1 ) 461x  C． 2368(1 ) 442x  D． 2368(1 ) 442x  【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量  增长前的量 (1  增长率），如果设这个增 长率为 x ，根据“2 月份的 180 万只，4 月份的利润将达到 461 万只”，即可得出方程． 【解答】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x ，根据题意可得方程： 2180(1 ) 461x  ， 故选： B ． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为 2(1 )a x b  ， a为起始时间的有关数量， b 为终止时间的有关数量． 8．（3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【解答】解： A 、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意． B 、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意． C 、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D 、无法判断两直线平行， 故选： D ． 【点评】本题考查作图  复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属 于中考常考题型． 9．（3 分）二次函数 2y x 的图象平移后经过点 (2,0) ，则下列平移方法正确的是 ( ) A．向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B．向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C．向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D．向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可． 【解答】解： A 、平移后的解析式为 2( 2) 2y x   ，当 2x  时， 14y  ，本选项不符合题 意． B 、平移后的解析式为 2( 1) 2y x   ，当 2x  时， 11y  ，本选项不符合题意． C 、平移后的解析式为 2( 1) 1y x   ，当 2x  时， 0y  ，函数图象经过 (2,0) ，本选项符 合题意． D 、平移后的解析式为 2( 2) 1y x   ，当 2x  时， 1y  ，本选项不符合题意． 故选： C ． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．（3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF ，若 1BC  ，则 AB 的长度为 ( ) A． 2 B． 2 1 2  C． 5 1 2  D． 4 3 【分析】先判断出 45ADE   ，进而判断出 AE AD ，利用勾股定理即可得出结论． 【解答】解： 由折叠补全图形如图所示， 四边形 ABCD 是矩形， 90ADA B C A         ， 1AD BC  ， CD AB ， 由第一次折叠得： 90DAE A    ， 1 452ADE ADC     ， 45AED ADE    ， 1AE AD   ， 在 Rt ADE 中，根据勾股定理得， 2 2DE AD  ， 故选： A ． 【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键． 二、填空题（本题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）一元一次方程 2 1 3x   的解是 x  1 ． 【分析】将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解． 【解答】解；将方程移项得， 2 2x  ， 系数化为 1 得， 1x  ． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属 于基础题 12．（4 分）定义 a ※ ( 1)b a b  ，例如 2※ 3 2 (3 1) 2 4 8      ．则 ( 1)x  ※ x 的结果为 2 1x  ． 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：根据题意得： ( 1)x  ※ 2( 1)( 1) 1x x x x     ． 故答案为： 2 1x  ． 【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用． 13．（4 分）某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5， x ，6．已知这组数据的平均数是 5， 则这组数据的中位数是 5 ． 【分析】先根据平均数的定义计算出 x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间 的数，即为中位数． 【解答】解：某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5， x ，6，已知这组数据的平均数 是 5， 5 5 4 4 5 6 6x        ， 这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， 这组数据的中位数是 5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数 是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义． 14．（4 分）小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”，已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm ，则图 2 中 h 的值为 (4 2) dm ． 【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解． 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4dm ， ②的斜边上的高是 2dm ，④的高是1dm ，⑥的斜边上的高是1dm ，⑦的斜边上的高是 2dm ， 图 2 中 h 的值为 (4 2)dm ． 故答案为： (4 2) ． 【点评】本题考查正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到②④⑥⑦的高解决问题． 15．（4 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含30 角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐 标系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M ， 反比例函数 ( 0)ky xx   的图象恰好经过点 F ， M ．若直尺的宽 3CD  ，三角板的斜边 8 3FG  ，则 k  40 3 ． 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出 MN ， FN ，进而求出 AN 、 MB ，表示出 点 F 、点 M 的坐标，利用反比例函数 k 的意义，确定点 F 的坐标，进而确定 k 的值即可． 【解答】解：过点 M 作 MN AD ，垂足为 N ，则 3MN CD  ， 在 Rt FMN 中， 30MFN   ， 3 3 3FN MN   ， 8 3 3 3 5 3AN MB     ， 设 OA x ，则 3OB x  ， (F x ，8 3) ， ( 3M x  ， 5 3) ， 8 3 ( 3) 5 3x x    ， 解得， 5x  ， (5F ，8 3) ， 5 8 3 40 3k    ． 故答案为： 40 3 ． 【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 16．（4 分）图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图．已知 O ， P 两点固 定，连杆 140PA PC cm  ， 60AB BC CQ QA cm    ， 50OQ cm ，O ， P 两点间距与 OQ 长度相等．当 OQ 绕点 O 转动时，点 A ，B ，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动．当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A ， C 重合，点 P ， Q ， A ， B 在同一直线 上（如图 3) ． （1）点 P 到 MN 的距离为 160 cm ． （2）当点 P ， O ， A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为 cm ． 【分析】（1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于T ，过点 O 作OH PQ 于 H ．解直角三角形求 出 PT 即可． （2）如图 4 中，当 O ， P ， A 共线时，过 Q 作 QH PT 于 H ．设 HA xcm ．解直角三 角形求出 HT 即可． 【解答】解：（1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于T ，过点 O 作 OH PQ 于 H ． 由 题 意 ： 50OP OQ cm  ， 14 60 80( )PQ PA AQ cm      ， 140 60 200( )PM PA BC cm     ， PT MN ， OH PQ ， 40( )PH HQ cm   ， cos PH PTP OP PM    ，  40 50 200 PT ， 160( )PT cm  ， 点 P 到 MN 的距离为160cm ， 故答案为 160． （2）如图 4 中，当 O ， P ， A 共线时，过 Q 作 QH PT 于 H ．设 HA xcm ． 由题意 160 140 20( )AT PT PA cm     ， 140 50 90( )OA PA OP cm     ， 50OQ cm ， 60AQ cm ， QH OA ， 2 2 2 2 2QH AQ AH OQ OH     ， 2 2 2 260 50 (90 )x x     ， 解得 460 9x  ， 640 ( )9HT AH AT cm    ， 点 Q 到 MN 的距离为 640 9 cm． 故答案为 640 9 ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关 键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解 决问题． 三、解答题（本题共有 8 小题，第 17～19 小题每小题 6 分，第 20～21 小题每小题 6 分， 第 22～23 小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66 分．请务必写出解答过程） 17．（6 分）计算： 01| 2| ( ) 9 2sin303     ． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出 答案． 【解答】解：原式 12 1 3 2 2      2 1 3 1    1 ． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（6 分）先化简，再求值： 2 1 2 1 1 a a a a    ，其中 3a  ． 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案． 【解答】解：原式 2 ( 1)( 1) a aa    1 a a   ， 当 3a  时，原式 3 3 3 1 2   ． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键． 19．（6 分）如图，在 5 5 的网格中， ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的 ABDE ，使顶点 D ， E 在格点上． （2）在图 2 中画出一条恰好平分 ABC 周长的直线 l （至少经过两个格点）． 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）如图平行四边形 ABDE 即为所求（点 D 的位置还有 6 种情形可取）． （2）如图，直线 l 即为所求、 【点评】本题考查作图  应用与设计，平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（8 分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生 进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1 5.3x„ „ 25 B 4.8 5.0x„ „ 115 C 4.4 4.7x„ „ m D 4.0 4.3x„ „ 52 （1）求组别 C 的频数 m 的值． （2）求组别 A 的圆心角度数． （3）如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好”，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力 良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到 m 的值； （2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别 A 的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据，可以得到该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人数， 并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可． 【解答】解：（1）本次抽查的人数为：115 23% 500  ， 500 61.6% 308m    ， 即 m 的值是 308； （2）组别 A 的圆心角度数是： 25360 18500   ， 即组别 A 的圆心角度数是18 ； （3） 25 11525000 7000500   （人 ) ， 答：该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的有 7000 人， 建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护． 【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答． 21．（8 分）如图， ABC 内接于 O ， AB 为 O 的直径， 10AB  ， 6AC  ，连结 OC ， 弦 AD 分别交 OC ， BC 于点 E ， F ，其中点 E 是 AD 的中点． （1）求证： CAD CBA   ． （2）求 OE 的长． 【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可． （2）证明 AEC BCA ∽ ，推出 CE AC AC AB  ，求出 EC 即可解决问题． 【解答】（1）证明： AE DE ， OC 是半径，   AC CD ， CAD CBA   ． （2）解： AB 是直径， 90ACB   ， AE DE ， OC AD  ， 90AEC  ， AEC ACB   ， AEC BCA ∽ ，  CE AC AC AB  ，  6 6 10 CE  ， 3.6CE  ， 1 52OC AB  ， 5 3.6 1.4OE OC EC      ． 【点评】本题考查三角形的外心，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．（10 分）2020 年 5 月 16 日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢 州，线路如图 1 所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线 路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为 20 /km h ，游轮行驶的时间记为 ( )t h ，两艘轮船 距离杭州的路程 ( )s km 关于 ( )t h 的图象如图 2 所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12km ？ 【分析】（1）根据图中信息解答即可． （2）①求出 B ， C ， D ， E 的坐标，利用待定系数法求解即可． （3）分两种情形分别构建方程求解即可． 【解答】解：（1） C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23h ． 游轮在“七里扬帆”停靠的时长 23 (420 20) 23 21 2( )h      ． （2）① 280 20 14h  ， 点 (14,280)A ，点 (16,280)B ， 36 60 0.6( )h  ， 23 0.6 22.4  ， 点 (22.4,420)E ， 设 BC 的解析式为 20s t b  ，把 (16,280)B 代入 20s t b  ，可得 40b   ， 20 40(16 23)s t t   „ „ ， 同理由 (14,0)D ， (22E ，4， 420) 可得 DE 的解析式为 50 700(14 22.4)s t t  „ „ ， 由题意： 20 40 50 700t t   ， 解得 22t  ， 22 14 8( )h  ， 货轮出发后 8 小时追上游轮． ②相遇之前相距12km 时， 20 4 (50 700) 12t t    ，解得 21.6t  ． 相遇之后相距12km 时， 50 700 (20 40) 12t t    ，解得 22.4t  ， 21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距12km ． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决 问题，属于中考常考题型． 23．（10 分）如图 1，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A ，C 分別是直线 8 43y x   与 坐标轴的交点，点 B 的坐标为 ( 2,0) ，点 D 是边 AC 上的一点， DE BC 于点 E ，点 F 在 边 AB 上，且 D ， F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF ， EF ．设点 D 的横坐标 为 m ， 2EF 为 l ，请探究： ①线段 EF 长度是否有最小值． ② BEF 能否成为直角三角形． 小明尝试用“观察  猜想  验证  应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在平 面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 2) ．请你在图 2 中连线，观察图象特征并猜 想 l 与 m 可能满足的函数类别． （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值． （3）小明通过观察，推理，发现 BEF 能成为直角三角形，请你求出当 BEF 为直角三角 形时 m 的值． 【分析】（1）根据描点法画图即可； （ 2 ） 过 点 F ， D 分 别 作 FG ， DH 垂 直 于 y 轴 ， 垂 足 分 别 为 G ， H ， 证 明 Rt FGK Rt DHK(AAS)   ，由全等三角形的性质得出 FG DH ，可求出 ( , 2 4)F m m   ， 根据勾股定理得出 2 2 28 16 16 8( 1) 8l EF m m m       ，由二次函数的性质可得出答案； （3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出 m 的方程，解方程求出 m 的值，则可求 出答案． 【解答】解：（1）用描点法画出图形如图 1，由图象可知函数类别为二次函数． （2）如图 2，过点 F ， D 分别作 FG ， DH 垂直于 y 轴，垂足分别为G ， H ， 则 90FGK DHK    ， 记 FD 交 y 轴于点 K ， D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称， KF KD  ， FKG DKH   ， Rt FGK Rt DHK(AAS)    ， FG DH  ， 直线 AC 的解析式为 8 43y x   ， 0x  时， 4y  ， (0,4)A ， 又 ( 2,0)B  ， 设直线 AB 的解析式为 y kx b  ，  2 0 4 k b b      ， 解得 2 4 k b    ， 直线 AB 的解析式为 2 4y x  ， 过点 F 作 FR x 轴于点 R ， D 点的橫坐标为 m ， ( , 2 4)F m m    ， 2ER m  ， 2 4FR m   ， 2 2 2EF FR ER  ， 2 2 28 16 16 8( 1) 8l EF m m m        ， 令 8 4 03 x   ，得 3 2x  ， 30 2m „ „ ． 当 1m  时， l 的最小值为 8， EF 的最小值为 2 2 ． （3）① FBE 为定角，不可能为直角． ② 90BEF   时， E 点与 O 点重合， D 点与 A 点， F 点重合，此时 0m  ． ③如图 3， 90BFE  时，有 2 2 2BF EF BE  ． 由（2）得 2 28 16 16EF m m   ， 又 2BR m   ， 2 4FR m   ， 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2 4) 5 20 20BF BR FR m m m m            ， 又 2 2( 2)BE m  ， 2 2 2 2(5 20 8) (8 16 16) ( 2)m m m m m        ， 化简得， 23 10 8 0m m   ， 解得 1 4 3m  ， 2 2m  （不合题意，舍去）， 4 3m  ． 综合以上可得，当 BEF 为直角三角形时， 0m  或 4 3m  ． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判 定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形 的性质等知识，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键． 24．（12 分）【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AE 平分 BAC ，交 BC 于点 E ．作 DF AE 于点 H ，分别交 AB ， AC 于点 F ， G ． （1）判断 AFG 的形状并说明理由． （2）求证： 2BF OG ． 【迁移应用】 （3）记 DGO 的面积为 1S ， DBF 的面积为 2S ，当 1 2 1 3 S S  时，求 AD AB 的值． 【拓展延伸】 （4）若 DF 交射线 AB 于点 F ，【性质探究】中的其余条件不变，连结 EF ，当 BEF 的面 积为矩形 ABCD 面积的 1 10 时，请直接写出 tan BAE 的值． 【分析】（1）如图 1 中， AFG 是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可． （2）如图 2 中，过点 O 作 / /OL AB 交 DF 于 L ，则 AFG OLG   ．首先证明 OG OL ， 再证明 2BF OL 即可解决问题． （3）如图 3 中，过点 D 作 DK AC 于 K ，则 90DKA CDA     ，利用相似三角形的性 质解决问题即可． （4）设OG a ， AG k ．分两种情形：①如图 4 中，连接 EF ，当点 F 在线段 AB 上时， 点 G 在 OA 上．②如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF ．分 别求解即可解决问题． 【解答】（1）解：如图 1 中， AFG 是等腰三角形． 理由： AE 平分 BAC ， 1 2   ， DF AE ， 90AHF AHG     ， AH AH ， ( )AHF AHG ASA   ， AF AG  ， AFG 是等腰三角形． （2）证明：如图 2 中，过点 O 作 / /OL AB 交 DF 于 L ，则 AFG OLG   ． AF AG ， AFG AGF   ， AGF OGL   ， OGL OLG   ， OG OL  ， / /OL AB ， DLO DFB ∽ ，  OL DO BF BD  ， 四边形 ABCD 是矩形， 2BD OD  ， 2BF OL  ， 2BF OG  ． （3）解：如图 3 中，过点 D 作 DK AC 于 K ，则 90DKA CDA     ， DAK CAD   ， ADK ACD ∽ ，  DK CD AD AC  ， 1 1 2S OG DK   ， 2 1 2S BF AD   ， 又 2BF OG ， 1 2 1 3 S S  ，  2 3 DK CD AD AC   ，设 2CD x ， 3AC x ，则 5AD x ，  5 2 AD AD AB CD   ． （4）解：设 OG a ， AG k ． ①如图 4 中，连接 EF ，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上． AF AG ， 2BF OG ， AF AG k   ， 2BF a ， 2AB k a   ， 2( )AC k a  ， 2 2 2 2 2 2[2( )] ( 2 ) 3 4AD AC CD k a k a k ka         ， 90ABE DAF     ， BAE ADF   ， ABE DAF ∽ ，  BE AE AB AD  ，  2 BE k k a AD  ， ( 2 )k k aBE AD   ， 由题意： 1 ( 2 )10 2 ( 2 )2 k k aa AD k aAD      ， 2 10AD ka  ， 即 210 3 4ka k ka  ， 2k a  ， 2 5AD a  ， ( 2 ) 4 5 5 k k aBE aAD    ， 4AB a ， 5tan 5 BEBAE AB     ． ②如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF ． AF AG ， 2BF OG ， AF AG k   ， 2BF a ， 2AB k a   ， 2( )AC k a  ， 2 2 2 2 2 2[2( )] ( 2 ) 3 4AD AC CD k a k a k ka         ， 90ABE DAF     ， BAE ADF   ， ABE DAF ∽ ，  BE AF AB AD  ，  2 BE k k a AD  ， ( 2 )k k aBE AD   ， 由题意： 1 ( 2 )10 2 ( 2 )2 k k aa AD k aAD      ， 2 10AD ka  ， 即 210 3 4ka k ka  ， 14 3k a  ， 2 105 3AD a  ， ( 2 ) 8 105 45 k k aBE aAD    ， 8 3AB a ， 105tan 15 BEBAE AB     ， 综上所述， tan BAE 的值为 5 5 或 105 15 ． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角 形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学 会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．