2020年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷 (含解析)

2020年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 1. 的相反数是 A. B. C. D. . 下列运算正确的是 A. B. 1C. D. . 如图，A，B，C，D 是 上的四个点， ，若 ㌳ ，则 ᦙ的度数为 A. ㌳B. C. D. . 若实数 a、b、c 在数轴的位置，如图所示，则化简 示 则 sj 则s 的结果是 A. 示 j B. 示 j C. 示 j 则 D. 示 j 则 . 关于 x 的一元二次方程 ݇ 1 1 t 有两个实数根，则整数 k 的最大值是 A. 1 B. 0 C. 1 D. . 在平面直角坐标系中，点 关于 x 轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 7. 如图，在 中， t ᦙ ，垂足为 D，点 E 是 AB 的中点， ᦙ ᦙ 示 ，则 AB 的长为 A. 2a B. 示 C. 3a D. 示 ㌳. 已知二次函数 乌 的图象如图所示，则一次函数 乌 与 反比例函数 乌 的图象可能是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 7 小题，共 22.0 分） . 某桑蚕丝的直径约为 t.tttt1 ，将“ t.tttt1 米”用科学记数法可表示为______米． 1t. 计算： 1 t1 t 1 ______． 11. 一次数学测试中，某学习小组 5 人的成绩分别是 120、100、135、100、125，则他们成绩的中 位数是______ ． 1. 中学校去年有学生 3100 名，今年比去年增加 .栥 ，其中寄宿学生增加了 栥 ，走读学生减少了 栥. 问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？如果设去年有寄宿学生人数为 x，走读学生人 数为 y，根据题意，列出正确的二元一次方程组是：______． 1. 如图，在 中， ，以点 A 为圆心、2 为半径的 与 BC 相切 于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是 上的一点，且 t ， 则图中阴影部分的面积是______ 结果保留 ． 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使 D 点落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 痕. 若 BE： ：1，则线段 CH 的长是 ______． 1. 下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知： ． 求作： 的内接正方形． 作法：如图， 1 作 的直径 AB； 分别以点 A，点 B 为圆心，大于 1 的长为半径作弧，两弧分别相交于 M、N 两点； 作直线 MN 与 交于 C、D 两点，顺次连接 A、C、B、 ᦙ. 即四边形 ACBD 为所求作的圆内 接正方形． 请回答：该尺规作图的依据是______． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 74.0 分） 1. 解不等式组： ㌳ 1t 1 7 1 ，并在数轴上表示不等式组的解集． 17. 为了调查学生对雾霾知识的了解程度，某校抽取 400 名同学做了一次调查，调查结果共分为四 个等级， . 非常了解； . 比较了解； . 基本了解； ᦙ. 不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整 的统计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾的了解程度 百分比 A.非常了解 栥B.比较了解 m C.基本了解 栥D.不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： 1乌 __________， __________； 请在图中补全条形统计图； 请问如图所示的扇形统计图中，D 部分扇形所对应的圆心角是多少度？ 该校共有学生 2400 人，求全校对雾霾非常了解和比较了解的学生共有多少人． 18. 一个不透明的盒子里有五张卡片，分别标有字母 示示jj则 每张卡片除字母不同外其他都相同． 1 小玲先从盒子中随机抽出一张卡片，记下字母后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片 并记下字母，用画树状图 或列表 的方法，求小玲两次抽出的卡片上字母相同的概率． 小玲从盒子中一次抽出两张卡片，用画树状图 或列表 的方法，求小玲抽出的两张卡片字母 相同的概率． 19. 如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 4 米，坡底 AE 为 16 米，在 B 处，E 处分别测得 CD 顶部点 D 的仰角为 t ， t ，求 CD 的长度． 结果保留根号 20. 某中学在商店购进 A、B 两种品牌的书包，已知购买一个 A 品牌书包比购买一个 B 品牌书包多 花 30 元，且用 300 元购买 A 品牌书包的数量比用 320 元购买 B 品牌书包的数量多 2 个． 1 求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的书包各需多少元？ 该学校决定用不超过 2900 元购进 A 品牌、B 品牌的书包共 40 个，则至少购进 A 品牌书包多 少个？ 21. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， ． 1 求证： ≌ ᦙ ； 若 ᦙ ，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD 的形状，并说 明理由． 22. 某公司经销一种水产品，在一段时间内，该水产品的销售量 千克 随销售单价 元 千克 的 变化情况如图所示． 1 求 W 与 x 的关系式； 若该水产品每千克的成本为 50 元，则当销售单价定为多少元时，可获得最大利润 若物价部门规定这种水产品的销售单价不得高于 90 元 千克，且公司想要在这段时间内获 得 2250 元的销售利润，则销售单价应定为多少元 23. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形 的顶点都叫做格点．已知线段 AB 的端点 A、B 都在格点上． 1 仅用直尺，在方格纸中画出正方形 ABCD； 正方形 ABCD 的面积为______． 24. 如图，在 中， t ， ， ㌳ ，动点 P 从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动，速 度为每秒 2 个单位长度，同时，动点 Q 从 C 点出发，沿 CB 向点 B 移动，速度为每秒 1 个单位 长度，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为 t 秒． 1 当 . 秒时，求 䁨 的面积； 求 䁨 的面积 平方米 关于时间 秒 的函数解析式； 在 P，Q 移动的过程中，当 t 为何值时， 䁨 是等腰三角形． 【答案与解析】 1.答案：A 解析：解： 与 只有符号相反， 的相反数是 ． 故选：A． 根据相反数的定义进行解答即可． 本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2.答案：C 解析：解：A、 ，故本选项错误； B、 ，故本选项错误； C、 ，故本选项正确； D、 ，故本选项错误． 故选 C． 根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用 排除法求解． 本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 3.答案：D 解析：【分析 本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 连接 OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到 ㌳ ，根据圆周角定理计算， 得到答案． 解：连接 OC， ， ㌳ ， 由圆周角定理得， ᦙ 1 ， 故选 D． 4.答案：A 解析： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键． 直接利用数轴可得出 示 则 t ， j 则 ܿ t ，进而化简求出答案． 解：由数轴可得： 示 则 t ， j 则 ܿ t ， 则 示 则 sj 则s 示 则 j 则 示 j ． 故选：A． 5.答案：D 解析： 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式 t ，找出关 于 k 的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式 t ，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围，再结合 k 为整数即可找出最大的 k 值． 解： 关于 x 的一元二次方程 ݇ 1 1 t 有两个实数根， ݇ 1 t 1 1 ݇ 1 t 解得： ݇ 且 ݇ 1 ． ݇ 为整数， ݇ 的最大值为 ． 故选 D． 6.答案：D 解析： 本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 1 关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 解：坐标为 的点关于 x 轴对称的点的坐标为 .故选 D． 7.答案：B 解析： 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用，能求出 是解此题的关键， 注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据勾股定理得到 示 ，根据直角三角形的 性质即可得到结论． 解： ᦙ ， ᦙ ᦙ 示 ， 示 ， 在 中， t ，点 E 是 AB 的中点， 示 ， 故选 B． 8.答案：D 解析： 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出 m、n 的取 值范围是解题的关键，根据二次函数图象判断出 乌 t ， ܿ t ，然后求出 乌 t ，再根据一次函 数与反比例函数图象的性质判断即可． 解：由图可知， 乌 t ， ܿ t ， 乌 t ， 一次函数 乌 经过第一、二、四象限， 反比例函数 乌 的图象位于第二、四象限； 故选：D． 9.答案： 1. 1t 解析：解： t.tttt1 米 1. 1t 米． 故答案为： 1. 1t ． 绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 示 1t ，与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 示 1t ，其中 1 s示s 1t ，n 为由原数 左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 10.答案： 解析：解：原式 1 1 ． 故答案为： ． 直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案． 本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 11.答案：120 解析：解：按大小顺序排列为：100，100，120，125，135，中间一个数为 120，这组数据的中位数 为 120，故答案为 120． 根据中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据 或中间两数据的平均数 叫做中位 数，进行求解即可． 本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位 数． 12.答案： 解析： 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，属于基础题． 设去年有寄宿学生人数为 x，走读学生人数为 y，根据去年学生的人数及今年学生的人数，即可得出 关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解． 解：设去年有寄宿学生人数为 x，走读学生人数为 y， 根据题意得： ． 故答案为 ． 13.答案： ㌳ 解析：解：连接 AD，则 ᦙ ； 中， ， ᦙ ； 1 ᦙ ． ㌳t ， ； 扇形 ㌳t t ㌳ ； 阴影 扇形 ㌳ ． 由于 BC 切 于 D，那么连接 AD，可得出 ᦙ ，即 的高 ᦙ ；已知了底边 BC 的 长，可求出 的面积． 根据圆周角定理，易求得 ㌳t ，已知了圆的半径，可求出扇形 AEF 的面积． 图中阴影部分的面积 的面积 扇形 AEF 的面积．由此可求阴影部分的面积． 解决本题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出扇形的圆心角的度数． 14.答案：4 解析： 本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，属于中档题． 根据折叠可得 ᦙ痕 痕 ，设 痕 ，则 ᦙ痕 痕 ，根据 BE： ：1 可得 ，可 以根据勾股定理列出方程，从而解出 CH 的长． 解：设 痕 ，则 ᦙ痕 痕 ， ： ：1， ， 1 ， 在 痕 中， 痕 痕 ， 即 ， 解得： ， 即 痕 ． 故答案为：4． 15.答案：相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角． 解析： 解：由作图知 CD 为 AB 的垂直平分线， 为 的直径， ᦙ 为 的直径，且 ᦙ ᦙ t ， 则 ᦙ ᦙ 相等的圆心角所对的弦相等 ， 四边形 ACBD 是菱形， 由 AB 为 的直径知 t 直径所对的圆周角是直角 ， 四边形 ACBD 是正方形， 故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角． 本题主要考查作图 复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理和圆周角定理及正方形的判定．根 据作图知 CD 为 AB 的垂直平分线，据此得 ᦙ ᦙ t ，依据相等的圆 心角所对的弦相等可判断四边形 ACBD 是菱形，再根据直径所对的圆周角是直角可得四边形 ACBD 是正方形． 16.答案：解： ㌳ 1t 解得： 1 ． 1 7 1 ， 解得： ܿ 17 所以不等式组的解集为 17 1 ． 不等式的解集在数轴上表示为： 解析：先分别解两个不等式，然后再确定出不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示出来即可． 本题主要考查的是解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键． 17.答案：解： 11栥 ； 栥 ． ᦙ 等级的人数为： tt 栥 1t ， 补全条形统计图如图所示： ᦙ 部分扇形所对应的圆心角： t 栥 1 ． tt ％ 1 ％ tt t ％ ㌳t 人 ． 答：全校对雾霾非常了解和比较了解的学生共有 480 人． 解析： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小． 1 根据被调查学生总人数，用 B 的人数除以被调查的学生总人数计算即可求出 m，再根据各部分的 百分比的和等于 1 计算即可求出 n； 求出 D 的学生人数，然后补全统计图即可； 用 D 的百分比乘 t 计算即可得解； 根据非常了解和比较了解的学生共占 ％ 1 ％ ，就可得出答案． 解： 1t tt 1tt栥 1栥 ， 1 栥 1栥 栥 栥 ， 故答案为 1栥 ； 栥 ． 见答案． 见答案． 见答案． 18.答案：解： 1 如图：总情况有 25 种，字母相同法有 9 种，概率为 ； 如图：总情况有 20 种，字母相同法有 4 种，概率为 t 1 ． 解析： 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率． 1 先画树状图展示所有 25 种等可能的结果数，再找出两次抽出的卡片上的字母相同的结果数，然 后根据概率公式求解； 先画树状图展示所有 25 种等可能的结果数，再找出两次抽出的卡片上的字母相同的结果数，然 后根据概率公式求解； 19.答案：解：设 ᦙ 米，则 ᦙ 米， 由题意得，四边形 BACF 为矩形， ， 在 ᦙ 中， tanᦙ ᦙ ᦙ tanᦙ 示t ， 在 ᦙ 中， tanᦙ ᦙ ， 1 ， 解得， ㌳ ， ᦙ ㌳ ， 答：CD 的长度为 ㌳ 米． 解析：设 ᦙ 米，根据正切的定义用 x 表示出 BF、CE，根据题意列方程，解方程得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键． 20.答案：解： 1 设购买一个 A 品牌的书包需 x 元，则一个 B 品牌的书包需 t 元， 根据题意，得： tt t t ， 解得， t 或 t ， 经检验， t 或 t 都是原方程的解，但是 t 不符合题意，舍去． t t ㌳t ． 答：购买一个 A 品牌的书包需 50 元，一个 B 品牌的书包需 80 元； 设购进 A 品牌书包的数量为 a 个，则购进 B 品牌书包的数量为 t 示 个， 根据题意列不等式组得： t示 ㌳tt 示 tt ， 解得 示 1t ， 故至少购进 A 品牌书包 10 个． 解析： 1 设购买一个 A 品牌的书包需 x 元，则一个 B 品牌的书包需 t 元，根据用 300 元购买 A 品牌书包的数量比用 320 元购买 B 品牌书包的数量多 2 个列出方程解答即可； 设购进 A 品牌书包的数量为 a 个，则购进 B 品牌书包的数量为 t 示 个，根据购买 A、B 两种 品牌足球的总费用不超过 2900 元，列出不等式解决问题即可． 此题考查一元一次不等式与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关 键． 21.答案： 1 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ， ， ≌ ᦙ ． 解：四边形 EBFD 是菱形． 理由如下：连接 BF、DE． 四边形 ABCD 是平行四边形， ᦙ ， ， ， 四边形 BEDF 是平行四边形， ᦙ ， 四边形 BEDF 是菱形． 解析： 1 只要证明 ， ᦙ ， ᦙ 即可根据 SAS 证明； 根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明； 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22.答案：解： 1 设 ݇ j ，把 t1t ， 1tt 代入， 可得： t݇ j 1t 1t݇ j t解得： ݇ j t则 t 设利润为 y， 则 t t t t 1ttt ㌳ t ， 当 ㌳ 时，y 的值最大，最大利润为 2450 元； 当 t 时， 可得方程 ㌳ t t 解这个方程， 得 1 7 ， ， 根据题意， 不合题意应舍去， 当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2250 元． 解析：本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大 小 值有三种方法，第一种可由图象 直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． 1 设 ݇ j ，用待定系数法求出解析式； 设利润为 y 元，得出与 x 的关系式，再用配方法求出 y 的最大值即可； 令 t 时，得出一元二次方程，求出 x 的解即可． 23.答案：解： 1 如图所示，正方形 ABCD 即为所求； 1㌳ ． 解析：解： 1 如图所示，正方形 ABCD 即为所求； ， 正方形 ABCD 的面积 1㌳ ， 故答案为：18． 1 根据题意作出图形即可； 根据勾股定理得到 AB 的长，然后根据正方形的面积公式即可得到 结论． 本题考查了作图 应用与设计作图，正方形的面积，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 24.答案：解：在 中， 米， ㌳ 米， 1t 米 由题意得： ，则 䁨 ，则 1t ． 1 图 1 中，作 ᦙ 于 D， . 秒时， . 米， 䁨 . 米， ， ᦙ t ， ᦙ ， ᦙ 1 米， 1 䁨 ᦙ .7 平方米； 图 1 中，作 䁨 于点 E， ， 䁨 t 䁨∽ ， 䁨 䁨 ， 解得： 䁨 ， 1 䁨 1 1t t 中， t ， 米， ㌳ 米， ㌳ 1t ， 当 䁨 时， 1t ， 䁨 ，即 1t ，解得 1t 秒； 当 䁨 䁨 时，如图 1，过点 Q 作 䁨 ， 则 1t ， 䁨 ， 由 䁨∽ ，得 䁨 ，即 ㌳ 1t ，解得 秒； 当 䁨 时，如图 2，过点 P 作 ，则 ， 1t ， 由 ∽ ，故得 ，即 ㌳ 1t 1t ，解得 ㌳t 1 秒 所以当 1t 秒 此时 䁨 ， 秒 此时 䁨 䁨 ，或 ㌳t 1 秒 此时 䁨 䁨 为等腰三角形； 解析：本题主要考查了相似三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质和 判定的有关知识，利用相似三角形的性质是解题的关键，学会转化的思想，把问题转化为方程解决， 属于中考常考题型． 1 图 1 中，作 ᦙ 于 D，利用三角形中位线定理即可求得 PD 的长，然后利用三角形的面积公 式即可求解． 图 1 中，作 䁨 于点 E，利用 䁨∽ 求出 QE 即可． 三种情况进行讨论 䁨䁨 䁨 䁨 ，分别列出方程即可解决．