人教版九年级上册数学同步课件-第24章-24圆周角

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第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 21.1.4 圆周角 C A E D B 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 圆周角的定义1 · C O AB · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2）（1） （3） （5） （6） ×，顶点不在圆上 ×，顶点不在圆上 ×，边AC没有和圆相交√ √√ 如图，连结BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系. 1 2BAC BOC   圆周角定理及其推论2 ? 测量与猜测: 圆心O在∠BAC 的内部 圆心O在∠BAC 的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 为了验证上面发现的猜想，分下列几种情况： 推导与验证: ①圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 1 2BAC BOC   O A B D O A C D O A B C D ②圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D ③圆心O在∠BAC的外部 ★圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ▼圆周角定理及其推论 A1 A2 A3 ★推论1 同弧所对的圆周角相等. 试一试： 1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点A与点D在点B，C所在 直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º， 理由是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 (1)完成下列填空： ∠1= ，∠2= ，∠3= ， ∠5= ； 2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O1 ((( ( ( ( ( ( 23 4 5 6 7 8 2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒ ⌒ ★推论2：等弧所对的圆周角相等. 解：∠1=∠2.理由如下： 连结DO，AO，BO. ∵ ∴∠AOB=∠AOD. 又 ∴∠1=∠2.  ,AB AD 1 11= 2=2 2AOD AOB   ， ， 2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线. （3）若AC是半圆， ∠ADC= ， ∠ABC= . 90° 90° 若AC是直径， （或直径） ★推论3：半圆 所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径. 例题 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 解：如图，连结OD. ∵AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中，  2 2 2 210 6 8 cm .BC AB AC     ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD. 又在Rt△ABD中， 2 2 2 ,AD BD AB  ∴AD=BD=  2 2 10 5 2 cm .2 2AB    如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. ★圆内接四边形的定义 圆内接四边形3 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形 ABCD的外接圆. 探究性质： 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 . ∠A+ ∠C=180º，∠B+ ∠D=180º ★圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 证明：连结OB，OD. ∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ， 又 和 所对的圆周角的和是周角， ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°. 1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ，则 ∠D= . 70 º 100º 90º 1.判断： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ ） √ × × × 2.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，∠ABD=40°， 则∠BCD=＿＿＿_.50° 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°， 则∠AOB= ． A BO C D 第2题 BA C O 第3题 166° 4.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB= ， ∠ADB= . D A O C B 130° 50° 5.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝ 2，则⊙O的半径是 . C A B O 解析：连结OA，OB. ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °. 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形. ∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2. 2 第4题 第5题 6.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ） A.70° B.110° C.90° D.120° B A CB O DE 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理 的推论 一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半 1.同弧或等弧所对 的圆周角相等； 2.半圆（或直径） 所对的圆周角是直 角，90°的圆周角 所对的弦是直径 1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备） 圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补