沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数 教学课件
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21.1 二次函数
第21章 二次函数与反比例函数
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学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
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雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等
都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系
式表示？
导入新课
情境引入
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视频引入
思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
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1.什么叫函数?
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变
量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确
定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函
数.
3.一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数
叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比
例函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？
ax2+bx+c=0 (a≠0)
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问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2
此式表示了正方
体表面积y与正方体棱
长x之间的关系，对于
x的每一个值，y都有
唯一的一个对应值，
即y是x的函数.
讲授新课
二次函数的定义一
探究归纳
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问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一
块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，
则它的边长应是多少米？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水
面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，
则有
20S x x 2 20S x x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关
系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个
对应值，即S是x的函数.
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问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每
人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增
加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人
才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？
设增加x 人，这时，则共有 个装配工,每
人每天可少装配_____个玩具，因此，每人每天只装配
个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩
具总数y可表示为y=________________.
(15+x)
(190－10x)
整理为：
y=－10x2+40x+2850
(190－10x)(15+x)
此式表示了每天装配玩具总
数y与增加x人之间的关系，对
于x的每一个值，y都有唯一的
一个对应值，即y是x的函数.
10x
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y=6x2
2 20S x x
y=－10x2+40x+2850
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
想一想
函数都是用
自变量的二次整
式表示的
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二次函数的定义：
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做
二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、
一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常
数项，但不能没有二次项.
归纳总结
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例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③y=x2
④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²-x²2
1y x
=
不一定是，缺少
a≠0的条件.
不是，右边
是分式.
不是，x的最
高次数是3.
y=6x+9
典例精析
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判断一个函数是不是二次函数，先看原函数
和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函
数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊
形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
方法归纳
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想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一
元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c
中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,
后者是0.
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二次函数定义的应用二
例2
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知, 解得 = 2 2;m
（2）由题可知, 解得 m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而
得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
注意
2 73 .my m x
2 7 1,
3 0,
m
m
2 7 2,
3 0,
m
m
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1.已知: ，k取什么值时，y是x的二次
函数？
kxky )2(
解：当 =2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.k
变式训练
2 22. ( 9) ( 2) 4y m x m x
m
若函数
是二次函数，那么 取值范围是什么？
解： 2 9 0m
∴m≠±3
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取值范围是什么？那么是二次函数
若函数
m，
xmxmy mm 4)3()1(.3 122
2 2 1 2
1 0
m m
m
3m m 的 取 值 范 围 是
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概
念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
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例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档
次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高
一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整
数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，
每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
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(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求
该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得 x2－18x＋72＝0，
解得 x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，
确定变量，建立函数模型．
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思考：
1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取值
范围是什么？
2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋
180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，
但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题
有意义.
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二次函数的值三
例4 一个二次函数 .2 3 4( 1) 2 1k ky k x x
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
2 3 4 2,
1 0,
k k
k
解得 =2;k
将x=0.5代入函数关系式得 ， （2）当k=2时，
2 2 1y x x
20.5 2 0.5 1 0.25y
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此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次
项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，
求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入
法将x的值代入其中，求出y的值.
归纳总结
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项
系数为______，常数项为 .
3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
2y x
2
1 1y x
C
-3x2
-16 12
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4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
3
2
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5.若函数 是二次函数，求：2 3 2( 4) a ay a x a
（1）a的值，
(2) 函数关系式，
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
2 3 2 2,
4 0,
a a
a
解得 = 1;a
（2）当a=-1时，函数关系式为 .2 2( 1 4) 1 5 1y x x
（3）将x=-2代入函数关系式中，有 25 ( 2) 1 21.y
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6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的
函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面
积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
)0(4
2
xxy
)0(6 2 aaS
)260(132
1)26(2
1 2 xxxxxS
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7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场
分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销
售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的
销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销
售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y
与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）
元6750,kg450
40000140010
105050040
2
xx
xxy
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8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y
（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
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21.2 二次函数的图象和性质
1.二次函数y=ax²的图象和性质
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学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象
的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.
（难点）
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情境引入
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
二次函数y=ax2的图象一
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
例1 画出二次函数y=x2的图象.
9 4 1 0 1 94
典例精析
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列
表表示几组对应值：
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2 4-2-4 o
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得
到y = x2 的图象．
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-3 3o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的
路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
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练一练：画出函数y=-x2的图象.
y
2 4-2-4 0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
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根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
xo
y=x2
议一议
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．
y
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说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
o x
y
y=-x2
1.y＝-x2是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最高点．
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1. 顶点都在原点;
3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
二次函数y=ax2 的图象性质：
知识要点
2. 图像关于y轴对称;
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观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
关系是什么？
二次项系数互为相反数，
开口相反，大小相同，
它们关于x轴对称. x
y
O
y=ax2
y=-ax2
交流讨论
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二 二次函数y=ax2的性质
问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
2y x 2y ax
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对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
知识要点
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(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
2y x 2y ax
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
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对于抛物线 y = ax2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
知识要点
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解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
21
2y x
22y x
8
4.5
2 0.5 0 84.520.5
8
4.5
2 0.5 0 84.520.5
例2 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
22 2,2
1 xyxy
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-2 2
2
4
6
4-4
8
21
2y x
22y x2y x
思考1：从二次函数 开口大小
与a的大小有什么关系？
2 2 21 , , 22y x y x y x
当a>0时，a越大，开口越小.
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练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
2 21 , 22y x y x
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-8
-4.5
-2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5
-8
-4.5
－2 －0.5 0 －8－4.5－2－0.522y x
21
2y x
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－2 2
－2
－4
－6
4－4
－8
21
2y x
22y x 2y x
当a<0时，a越小（即
a的绝对值越大），
开口越小.
思考2 从二次函数 开
口大小与a的大小有什么关系？
2 2 21 , , 22y x y x y x
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
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y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识要点
y
O x
y
O
x
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3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,
顶点是 ;顶点是抛物线的最 点
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点
是 顶点是抛物线的最 点
1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶
点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是___,顶
点是 ;
3 向上 y轴
(0,0)
向下 y轴
(0,0)
高
低
练一练
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例1已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向
上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
典例精析
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例2：已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关
于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的
坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？
典例精析
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（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
解：（1）当x=2时，y=x2=4，
所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于
y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），
点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关
于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
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（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？
当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
当x=－2时，y=－x2=－4，
所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
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已知 是二次函数，且当x＞0时，
y随x增大而增大，则k= .
2 4( 2) k ky k x
分析： 是二次函数，即二次项的系数
不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,
即说明二次项的系数大于0.因此，
2 4( 2) k ky k x
2 4 2
2 0
k k
k
＞ 解得 k=2
2
练一练
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例3. 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形
ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的
图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积
之和．
<
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(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
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二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左
右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，
我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化
区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数
值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用
等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以
方便求解．
方法总结
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
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3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的
图象,则k的取值范围是 .
x
y
k>1
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
23xy
23xy
2
3
1 xy
2
3
1 xy
开口方向 对称轴 顶点
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
O
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5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1
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6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实
数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
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7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B
两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所
围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
2
3 4,
,
y x
y x
4, 1,
16, 1,
x x
y y
或
1
2
1
2
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
二次函数y=ax2
的图象及性质
画 法 描 点 法 以对称轴为中
心 对 称 取 点
图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形
性 质 重点关注
4 个 方 面
开口方向及大小
对 称 轴
顶 点 坐 标
增 减 性
沪科版九年级数学上册教学课件
21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质
沪科版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）
3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点）
沪科版九年级数学上册教学课件
这个函数的图象
是如何画出来的？
情境引入
x
y
21 840y x
导入新课
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)一
做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图
象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶
点高低、函数最值、函数增减性.
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … …3.5 1 -0.5 1-0.5-1 3.5
5.5 1.53 1.51 3 5.5
讲授新课
沪科版九年级数学上册教学课件
－2 2
2
4
6
4－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
观察上述图象，说说它有哪些特征.
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探究归纳
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数
与 的图象．
21
2y x
21 12y x
21
2y x
21 12y x
9
2
11
2
2 1
2 0
1
2 2
9
2
3 3
2 1 3
2
3 11
2
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x
y
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6 21
2y x
21 12y x
描点、连线，画出这两个函数的图象
沪科版九年级数学上册教学课件
观察与思考
抛物线 ， 的开口方向、对称轴和
顶点各是什么？
21
2y x 21 12y x
21
2y x
21 12y x
二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)
的性质是什么？
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y
-2
-2
4
2
2
-42
3
1xy
23
1 2
1 xy
23
1 2
2 xy
x0
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)二
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
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根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)( 0,2) ( 0,-2)
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(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下
最大值分别为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同：
__________________________
_____________________________
高 大
y=0 y= -2y=2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
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二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性
当x＜0时，y随x的
增大而减小；x＞0
时，y随x的增大而
增大.
当x＞0时，y随x的增
大而减小；x＜0时，
y随x的增大而增大.
知识要点
沪科版九年级数学上册教学课件
例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，
函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，
x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表
达式求出纵坐标为c.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴
对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相
等的两点的对应横坐标互为相反数．
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解析式 y=2x2 y=2x2+1y=2x2-1 +1-1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x, ) (x, ) (x, )2x2-1 2x2 2x2+1
从数的角度探究
二次函数y=ax2+k的图象及平移三
2x2+1
沪科版九年级数学上册教学课件
4－2 2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长
度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平
移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下y=2x2+1
上
从形的角度探究
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平
移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系
u上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识要点
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线
y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
练一练
D
沪科版九年级数学上册教学课件
想一想
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图
象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
沪科版九年级数学上册教学课件
例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点
P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
1
2
6
6 6
2
2 2
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物
线 ．
2.填表：
y = 2x2－４
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
沪科版九年级数学上册教学课件
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)
___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图
象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点
位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则
k .
在
=2
>2
<2
沪科版九年级数学上册教学课件
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线
y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大
而减小；当x 时，函数y有最大值，最大
值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x
轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐
标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1 (0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
沪科版九年级数学上册教学课件
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次
函数y＝ax2＋k的图象大致为( )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开
口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
沪科版九年级数学上册教学课件
能力提升
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而
增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）
则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴
交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图 象 性 质 与y=ax2的关系
1.开口方向由a的符
号决定；
2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
增减性结合
开口方向和
对称轴才能
确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂小结
沪科版九年级数学上册教学课件
21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质
沪科版九年级数学上册教学课件
情境引入
学习目标
1.会画二次函数y=a(x+h)2的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=a(x+h)2的性质.(难点）
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x+h)2的联系.
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
复习引入
沪科版九年级数学上册教学课件
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上 向下
y轴（直线x=0） y轴（直线x=0）
（0,c） （0,c）
当x<0时，y随x增大
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
沪科版九年级数学上册教学课件
问题2 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0)
的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
问题3 函数 的图象，能否也可以由函数
平移得到？ 2
2
1 xy
2)2(2
1 xy
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一
互动探究
引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数
与 的图象．
21
2y x
21 ( 2)2y x
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
21
2y x
21( 2)2y x
9
2
25
2
2 1
2 0
1
2 2
9
2
8 9
2 2 1
2
0 1
2
沪科版九年级数学上册教学课件
x
y
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6 21
2y x
描点、连线，画出这两个函数的图象
21( 2)2y x
2x
沪科版九年级数学上册教学课件
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
21
2y x
21 ( 2)2y x
向上
向上
y轴
x=2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象，填写下表：
想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？
沪科版九年级数学上册教学课件
试一试：画出二次函数
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2 21 11 , 12 2y x y x
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5 －2
0
0
－2
－2
－2 2
－2
－4
－6
4－4
21 12y x
21 12y x
1
2
1
2
1
2
1
2
－4.5
0 x
y
－8
沪科版九年级数学上册教学课件
－2 2
－2
－4
－6
4－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 直线x=-1 ( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1向下
向下 ( 0 , 0 )
( 1, 0)
21 12y x
21 12y x
21
2y x
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数 y=a(x+h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h,0） （h,0）
最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
增减性
当x＜h时，y随x的
增大而减小；x＞h
时，y随x的增大而
增大.
当x＞h时，y随x的
增大而减小；x＜h
时，y随x的增大而
增大.
知识要点
沪科版九年级数学上册教学课件
若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上的三个点，A(－3 ，
y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
________________．
2 2
解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝
3＞0，∴x＜－ 时，y随x的增大而减小；x＞－ 时，
y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 ，y1)，∴点
A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)．∵－1＜0
＜ ，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
22
2 2
2
2
2
练一练
y2＜y3＜y1
沪科版九年级数学上册教学课件
向右平移
1个单位
二次函数y=ax2与y=a(x+h)2的关系二
想一想
抛物线 ， 与抛物线
有什么关系？
21 12y x 21 12y x 21
2y x
－2 2
－2
－4
－6
4－4
21
2y x
向左平移
1个单位
21 12y x 21 12y x
沪科版九年级数学上册教学课件
知识要点
二次函数y=a（x+h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到.
u左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
沪科版九年级数学上册教学课件
例1. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，
求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二
次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.1
4
1= 4a
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3
个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移
3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
沪科版九年级数学上册教学课件
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函
数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物
线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函
数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函
数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
练一练
C
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1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么
平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，
顶点是________.
3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
_______________.
当堂练习
4
13
4
5
4
1
2
3
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
3
2x
3( ,0)2
y1 ＞y2 ＞ y3
沪科版九年级数学上册教学课件
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=3 ( 3, 0 )
直线x=2
直线x=1向下
向上 (2, 0 )
( 1, 0) 23 14y x
22 3y x
22 2y x
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5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的
图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由
函数y=2x2的图象向右平
移2个单位得到.
y
O x
y = 2x2
2
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复习
y=ax2+k
探索
y=a(x+h)2的
图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向 顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=-h
（-h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
课堂小结
平移规律：
括号内：左加右减；括号
外不变.
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21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质
沪科版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会
应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间
的联系.（难点）
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
复习引入
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值
和增减变化情况:
(1)y=ax2
(2)y=ax2+k
(3)y=a(x+h)2
y y y y
x x
x xOO
OO
y y y y
x x
x
xO O
O
O
y
y
x
x
O
O
沪科版九年级数学上册教学课件
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、
对称轴及最值？
3.把y=-2x2的图像
向上平移3个单位 y=-2x2+3
向左平移2个单位 y=-2(x+2)2
4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可
以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
沪科版九年级数学上册教学课件
O X
y
3
-2
22y x
22 3y x
O
y
3
-2
X
22 2 3y x
22 3y x
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
二次函数y=a（x+h）2+k的图象和性质一
引例 画出函数 的图像.指出它的开
口方向、顶点与对称轴.
1)1(2
1 2 xy
探究归纳
沪科版九年级数学上册教学课件
…
…
…
…210-1-2-3-4x
解: 先列表
1)1(2
1 2 xy
再描点、连线
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
1 2 3 4 5 x-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O-1-2-3-4-5
-10
直线x=－1 21 ( 1) 12y x
21 ( 1) 12y x
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)
沪科版九年级数学上册教学课件
试一试
画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口
方向、对称轴、顶点.
开口方向向上；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2) -2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4 2 4
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二次函数 y=a(x+h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h,k） （h,k）
最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的
增大而减小；x＞h
时，y随x的增大而
增大.
当x＞h时，y随x的
增大而减小；x＜h
时，y随x的增大而
增大.
知识要点
沪科版九年级数学上册教学课件
2
2
2
2
0, 0
+ 0
+
0
,
0
0 0
,
y a x h
h k y ax
h k y
k h y a x h
ax k
k a
顶点式
沪科版九年级数学上册教学课件
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
典例精析
A
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例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两
点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
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方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点
(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的
坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数
解析式．
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例3 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根
水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度
为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
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1 2 3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)3
4
－
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向左平移
1个单位
二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系二
1 2 3 4 5 x-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O-1-2-3-4-5
-10
21 ( 1) 12y x
探究归纳
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线
？1)1(2
1 2 xy
21
2y x
平移方法1
21
2y x
21 12y x
向
下
平
移
1 个
单
位
1)1(2
1 2 xy
沪科版九年级数学上册教学课件
1 2 3 4 5 x-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O-1-2-3-4-5
-10
21 ( 1) 12y x
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？1)1(2
1 2 xy21
2y x
平移方法2
21
2y x 向左平移
1个单位
21 ( 1)2y x
向
下
平
移
1 个
单
位
1)1(2
1 2 xy
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数y=ax2 与y=a（x+h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k y = a(x+h )2
y = a( x+h )2 + k
上下平移 左右平移
上
下
平
移
左
右
平
移
u平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
要点归纳
沪科版九年级数学上册教学课件
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平
移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 形状相
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
23
1 2 xy
21 ( 4 ) 23y x
练一练
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
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2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，那么所得抛物线是___________________.
23( 1) 2y x
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平
移1个单位，得到抛物线的解析式为______________ 23 2 3y x
先向右平移1个单位，再向上平移2个单位或
先向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
沪科版九年级数学上册教学课件
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由
二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的
解析式.
y=5(x+1)2+3
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
一般地，抛物线 y = a(x+h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x+h)2+k
的 图 象 和 性 质
图象特点
当a>0,开口向上；
当 a < 0 , 开 口 向 下 .
对 称 轴 是 x = - h ,
顶点坐标是（-h,k).
平移规律
左右平移：括号内
左 加 右 减 ；
上下平移：括号外
上 加 下 减 .
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21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
沪科版九年级数学上册教学课件
情境引入
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成
顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点
坐标、对称轴.（重点）
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
复习引入
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上 向下
(h ,k) (h ,k)
x=h x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
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顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0) y轴 0
(0,-5) y轴 -5
(-2,0) 直线x=-2 0
(-2,-4) 直线x=-2 -4
(4,3) 直线x=4 3
? ? ?
? ? ?
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些
知识来讨论 的图象和性质？21 6 212y x x
问题1 怎样将
化成y=a(x-h)2+k的形式？
21 6 212y x x
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21 6 212y x x 配方可得
2 2 21 ( 12 6 6 42)2 x x
21 ( 12 42)2 x x
2 2 21 [( 12 6 ) 6 42]2 x x
21 [( 6) 6]2 x
21 ( 6) 3.2 x
想一想：配方的方法及
步骤是什么？
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配
方
2162
1 2 xxy 你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的
表达式通常称为
配方式或顶点式.
3)6(2
1 2 xy
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问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21 ( 6) 32y x
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由
怎样平移得到的？
21 ( 6) 32y x 21
2y x
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
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问题4 如何画二次函数 的图象？21 6 212y x x
…
…
…
…9876543x
先利用图形的对称性列表
21( 6) 32y x 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5
5 10 x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
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问题5 结合二次函数 的图象，说出
其性质.
21 6 212y x x
5 10 x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
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例1 画出函数 的图象，并说明这个
函数具有哪些性质.
21 5
2 2y x x
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···-6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
21 5
2 2y x x 21 ( 1) 22y x
典例精析
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2 x
y
-2
0
4-2-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数
具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x
的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x
的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大
值，最大值y=-2.
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求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
22 8 7y x x
22( 4 4) 8 7x x
22( 4 ) 7x x
22( 2) 1.x
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直
线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
练一练
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将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)
化成顶点式y=a(x-h)2+k？
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y=ax²+bx+c
2 2
2
2 2
b b ba x x ca a a
2 2
2
2 2
b b ba x x ca a a
2 2
2 4
b ba x ca a
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归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成
y=a(x-h)2+k的形式，即 2
2 2 4( ) .2 4
b ac by ax bx c a x a a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
24( , ).2 4
b ac b
a a
.2
bx a
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(1) (2)
x
y
O x
y
O
如果a>0,当x< 时，y
随x的增大而减小；当
x> 时，y随x的增大
而增大.
如果a<0,当x< 时，y
随x的增大而增大；当
x> 时，y随x的增大
而减小.
2
bx a
2
bx a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
沪科版九年级数学上册教学课件
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直
线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，
即b≤1，故选择D .
2 ( 1)
bx b
D
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填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3) x=1 最大值1
(0,-1) y轴 最大值-1
最小值-6( ,-6)1
3
直线x= 1
3
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二次函数字母系数与图象的关系三
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据
一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 0
b2 ___ 0
＞
＞ ＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＜
沪科版九年级数学上册教学课件
x
y
O
2
22
bx a
1
12
bx a
问题2 二次函数 的图象如下图所示，
请根据二次函数的性质填空：
2y ax bx c
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴
左侧，x＜0 对称轴在y轴
右侧，x＞0
1
1
02
bx a
＜
2
2
02
bx a
＞
x=0时，y=c.
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x
y
O
4
42
bx a
3
32
bx a
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
x=0 对称轴在y轴
右侧，x＞0
1
1
=02
bx a
2
2
02
bx a
＞
x=0时，
y=c.
沪科版九年级数学上册教学课件
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
沪科版九年级数学上册教学课件
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；
④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限
可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－
1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在
y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
沪科版九年级数学上册教学课件
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )D
当堂练习
5
2
3
2
沪科版九年级数学上册教学课件
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
沪科版九年级数学上册教学课件
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；
③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上
两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）2
3
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
x
y
O 2
x=-1
B
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4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
2
2
(1) 2 12 13;
(2) 5 80 319;
1(3) 2 2 ;2
(4) 1 2 .
y x x
y x x
y x x
y x x
直线x=3 3, 5
直线x=8 8, 1
直线x=1.25
5 9, 4 8
直线x= 0.5 1 9, 2 4
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
24( , )2 4
b ac b
a a
2
bx a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式) (顶点式)
2
2 4( )2 4
b ac by a x a a
沪科版九年级数学上册教学课件
21.2 二次函数的图象和性质
*3.二次函数表达式的确定
沪科版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
（重点）
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要
已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
沪科版九年级数学上册教学课件
一般式法二次函数的表达式一
探究归纳
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个 3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所
列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
讲授新课
沪科版九年级数学上册教学课件
解： 设这个二次函数的表达式是
y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），
试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）
沪科版九年级数学上册教学课件
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
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例1 一个二次函数的图象经过 (-1, 10)、(1,4)、(2,7)
三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,已
知函数图象经过点(-1, 10)、(1,4)、(2,7)三点，
可得
4a+2b+c=7，
a-b+c=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是 y=2x2-3x+5
a+b+c=4，
c=5，
a=2，
b=-3，
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例2 有一个二次函数,当x=0时, y=－1;当x=－2时,
y=0;当x= 时, y=0,求这个二次函数的解析式.
由题意得：解：设所求的二次函数为 ,2 cbxaxy
2
1
1,
4 2 0,
1 1 0.4 2
c
a b c
a b c
解得
1,
3 ,2
1.
a
b
c
所求的二次函数为 2 3 1.2y x x
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顶点法求二次函数的表达式二
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二
次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点
（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
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归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做
顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
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例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标
为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得 9 .64a
∴所求的二次函数的解析式是 29 ( 8) 9.64y x
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解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x
轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-
x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的
表达式.
交点法求二次函数的表达式三
x
y
O 1 2-1-2-3-4 -1-2
-3
-4
-5
1
2
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归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方
法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到
关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
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想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可
平行于x轴，但不可以平行于y轴.
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特殊条件的二次函数的表达式四
例3.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
∴{ a=2，
c=－5.
解得{ 关于y轴
对称
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已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
做一做
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，∴{
解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
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B
C
二次函数与一次函数的综合五
解：如图所示；
例5 ：抛物线 与直线 交于
B,C两点.
（1）在同一平面直角坐标系中
画出直线与抛物线；
842
1 2 xxy 12
1 xy
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解：由
（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；
x
y
O A2-1-2-3 -1
2
1
6
4
8
6
B
C
221 14 8 4 ,2 2y x x x
得点A的坐标为（4,0）
解方程组 2
1 1,2
1 4 8,2
y x
y x x
得B（2,2）,C（7,4.5）
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x
y
O AB1-1-2-3 -1
2
1
6
4
8
6
B
C
过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2
C1
1 11 1ABC ABB ACCBB C CS S S S △ △ △梯形
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
2 2
1 2
BB CC B C AB BB
AC CC
1 12 4.5 5 2 22 2
1 3 4.52
7.5
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练一练 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a
≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
xO
y
A
O x
y
B
xO
y
C
xO
y
D
A
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应
是 .
23
4y x=
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、
y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过
前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O 1 2-1-2-3-4 3
2
1
-1
3
4
5
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2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 .
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
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3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)
和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得 b＝3，
c＝－4，
a＝2，
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4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且
过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
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5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴
交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
2
b
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(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C
在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.1
2
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或
对称轴或最值
③已知抛物线与x轴
的两个交点
已知条件 所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
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21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
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1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间
的联系；（重点）
2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；
（重点）
3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会
数形结合思想的应用.（难点）
学习目标
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°
角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，
如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：
m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
二次函数与一元二次方程的关系一
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
少飞行时间？
O
h
t
15
1 3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出
为什么在两个时间求
的高度为15m吗？
h=20t-5t2
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（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需
要多少飞行时间？
你能结合图形指出为
什么只在一个时间球
的高度为20m？
O
h
t
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，
它的高度为20米.
h=20t-5t2
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（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需
要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出
为什么球不能达到
20.5m的高度?
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2
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（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
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从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一
元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为
一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是
一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
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所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自
变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即
x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次
函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
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利用二次函数深入讨论一元二次方程二
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如
果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐
标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二
次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
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1
y = x2－6x＋9y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴
公共点个数
公共点
横坐标
相 应 的 一 元 二 次
方 程 的 根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0 x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
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知识要点
二次函数
y=ax2+bx+c的
图象与x轴交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点 有两个不相等
的实数根 b2-4ac > 0
有一个交点 有两个相等的实
数根 b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+c=0根的关系
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例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
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(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总
有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值．
2
m
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变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2
与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，
B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都
有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
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例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平
距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的
水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置
的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到3m？为什么？
2 6 8-10 10 5
xy x
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解 （1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
2 6 82.1 -10 10 5
x x
2 6 5 0x x
1 2=1 =5.x x，
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位
置的水平距离是多少？
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（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始
位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
2 6 82.5 -10 10 5
x x
2 6 9 0x x
1 2= =3.x x
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（3）由抛物线的表达式得
即
因为 所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
2 6 83 -10 10 5
x x
2 6 14 0x x
2= -6 -4 1 14 0 （ ） ，
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
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一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
2 ( 0)y ax bx c a y M
2 =ax bx c M
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例3：求一元二次方程 的根的近似值（精
确到0.1）.
2 2 1 0x x
分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x
轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从
图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法
叫作图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解三
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解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象
可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个
在0与1之间.
x
y
0
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先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个
根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x … -2.5 -2.4 …
y … 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的
y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0，
即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这
时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接
近0.故x1≈-2.4.
同理可得另一近似值为x2≈0.4.
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一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的
横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,
另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等
分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
方法归纳
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例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )
A．x1≈－2.1， x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9， x2≈0.9
D．x1≈－3， x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称
轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的
距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，
x2≈0.5.故选B.
1 2
2
x x
B
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解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再
根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，
直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
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判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个
解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 0的解集 是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________.
3-1 O x
y
x1=-1， x2=3
x<-1或x>3
-12的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3-1 O x
2 (4,2)(-2,2)
x1=-2， x2=4
x<-2或x>4
-20（a≠0）的解集是x≠2
的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有
____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是
______.
1 (2,0)
x=2
2O x
y
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问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，
那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
0
解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；
(2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的
解集是一切实数.
3-1 O x
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●思考：
●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的
两个交点关于原点对称？
●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的
正半轴有两个交点？
●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的
负半轴有两个交点？
●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的
正负半轴都有交点？
●m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经过原点？
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试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0;
③-x2+x+2<0.
(2) ①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
(3) ①-x2+x-2=0;
②-x2+x-2>0;
③-x2+x-2<0.
x
y
0
20 x
y
-1 2
x
y
0
x1=-1 , x2=2
-1 ＜ x＜2
x＜-1或 x＞2
x2-4x+4=0
x=2
x≠2的一切实数
x无解
-x2+x-2=0
x无解
x无解
x为全体实数
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二次函数
y=ax2+bx+c的
图象与x轴交点
a＞0 a＜0
有两个交点x1,x2
（x1＜x2）
有一个交点x0
没有交点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不
等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x2＜x或x＜x2
y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x2＜x或x＜x2.
y＞0.x0之外的所有
实数；y＜0，无解
y＜0.x0之外的所有
实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；
y＜0，无解
y＜0，所有实数；
y＞0，无解
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利用两个函数图象求不等式的解集二
例2 已知抛物线 (a＞0）与直线
相交于点O（0,0）和点A（3,2），求不等式
的解集.
2y ax bx y kx
2ax bx kx ＞
分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式.因
此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的
解集.
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解：根据题目提供的条件，画出草图：
x
y
O 3
2
2ax bx kx ＞
2ax bx kx ＞
2ax bx kx ＜
x＞3
x0＜ ＜3
0x＜
由图可知，不等式 的解集为
或 .
2ax bx kx ＞
x＞3 0x＜
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方法归纳
不等式 的解集是二次函数
的图象在直线 上方的点的
横坐标所组成的范围.
2ax bx c mx n ＞
2y ax bx c y mx n
不等式 的解集是二次函数
的图象在直线 下方的点的横坐标所组成的
范围.
2ax bx c mx n ＜ 2y ax bx c
y mx n
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已知函数y1＝x2与函数 的图象大致如图，
若y1＜y2，则自变量x的取值范围是( )
2
1 32y x
做一做
A.
3 22 x ＜ ＜
C.
32 2x ＜ ＜
B. 或2x＜- 3
2x＞
D. 或3
2x＜- 2x＞
C
解析：先根据方程 算出图象交点的
横坐标，然后再结合图象，得出答案.
2 1 32x x
3
22
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1.（1）x取何值时， 关于x的二次三项式 x2-3x+2的
值为负数；
（2）a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 无解？
当堂练习
解：(1) 1＜x＜2；
（2）△=a2+4a＜0，
解得-4≤a＜0.
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2.当1＜x＜3时，二次函数y=x²-(k+1)x+k的图象在
x轴下侧，求k的取值范围.
解：y=x²-(k+1)x+k=（x-k)(x-1)，与x轴交点坐标
为（1,0）、（k，0）.
因为当1＜x＜3时有y＜0，所以k≥3.
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3.已知二次函数 的图象，利用图象回
答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？
862 xxy
0862 xx
x
y
O 2 4
8
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）20）
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0 （a≠0）
的根
不等式ax2+bx+c>0
（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
x2x1
x
y
o O x1= x2 x
y
xO x
y
x
△>0 △＝0 △＜0
x1 ; x2
x1 =x2
＝－b/2a
没有实数根
xx2
x ≠ x1的一切
实数 所有实数
x10)．1000v t
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(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行
车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
解：当 t＝25 时， ；1000 4025v
当 t＝8 时， .1000 1258v
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能力提升：
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1)
成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，
求：
(1) y 关于 x 的关系式；
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解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，2
2 1
ky x
则 . 2
1 1 1
ky k x x
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
2
11 2 k ，
∴k1=1，k2=－2.∴
21 .1y x x
∴
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(2) 当 x = 时，y 的值.1
2
解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 1
2
11.2
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
反
比
例
函
数
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21.5 反比例函数
第2课时 反比例函数的图象和性质
沪科版九年级数学上册教学课件
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程 (重点、难点)
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、
难点)
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函
数图象时的方法吗？
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
复习引入
沪科版九年级数学上册教学课件
反比例函数的图象和性质一
讲授新课
例1 画反比例函数 与 的图象.
合作探究
6y x
12y x
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表
→描点→连线. 需要注意的是在反比例函
数中自变量 x 不能为 0.
沪科版九年级数学上册教学课件
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
6y x
12y x
－1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1
－2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2
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O－2
描点：以表中各组对
应值作为点的坐标，
在直角坐标系内描绘
出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
6y x
连线：用光滑的曲线
顺次连接各点，即可
得 的图象．6y x
12y x
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观察这两个函数图象，回答问题：思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，
你能得出同样的结论吗？
ky x
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●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：ky x
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1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C
y
A. x
y
o B. x
o
D. x
y
oC. x
y
o
练一练
3y x
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2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2 B. y1 = y2
C. y1 < y2 D. 无法确定
C
ky x
2 7
提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因
为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限
部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系.
6y x
2 7
沪科版九年级数学上册教学课件
观察与思考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的
图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图
象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的
性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
ky x
ky x
ky x
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y
xO
y
xO
y
xO
2y x
4y x
6y x
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反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：ky x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
沪科版九年级数学上册教学课件
归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，
它具有以下性质：
ky x
k 的正负决定反比例函
数所在的象限和增减性
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点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
2y x
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例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增
大而增大，求a的值.
2 71 a ay a x
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
反比例函数的图象和性质的初步运用二
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练一练
已知反比例函数 在每个象限
内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
2 103 8 my m x
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
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例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
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(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
12 2
44 5
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
ky x
6 2
k
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D
的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图
象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .12y x
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(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O x
y
例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据
图象，回答下列问题：
5my x
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
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(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
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(1) 如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值；
(2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x
的增大而减小，求k的范围.
例5 已知反比例函数 2k-1.y x
解：(1) 因为函数图象经过点（-3，5），代入
函数的表达式，得
解方程，得k=-7.
2k 15= 3
(2)根据题意，有2k-1>0.
解不等式，得 1
2k
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反比例函数解析式中 k 的几何意义三
1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，
填写下页表格：
4y x
合作探究
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5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2
的关系
猜想 S1，
S2 与 k
的关系
4y x
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5－4－3－2 1 432
－3
－2
－4
－5
－1
Q
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S1的值 S2的值 S1与S2
的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：
4y x
4y x
4 4 S1=S2 S1=S2=－k
y
xO
P
Q
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由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直
于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k
的关系是S矩形 AOBP=|k|.
x
ky
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y
xO
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
ky x
∴ ，即 ab=k.kb a
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (－b)=－ab=－k.
B P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
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点 Q 是其图象上的任意
一
点，作 QA 垂直于 y 轴，
作
QB 垂直于x 轴，矩形
AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO
的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
对于反比例函数 ，
x
ky
A
B
2
k
|k|
y
xO
归纳：
反比例函数的
面积不变性
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A. SA >SB>SC B. SA0) 图像上的任意两点，
过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1= ；梯形CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
典例精析
4y x
2
S1
S2
＞
＝
S3
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如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是
AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、
△ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F，连接 OF，易知，
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，
所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
FS1
S2
S3
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )8y x
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
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2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的
图象大致是 ( )
1y x
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
A. B.
C. D.
B
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3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).(1)(3)
2my x
m ＞ 2
12y x
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5. 在反比例函数 (k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，
B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0.
ky x
＜
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y
D
B A
C x
6. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上
任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的
图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中
点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
2y x
3y x
3 2
5
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7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有 m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
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8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
(1) 求 k 的值；
ky x
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
ky x
4 2
k
解得 k = －8.
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(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化?
解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.
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(3) 画出该函数的图象；
O x
y
解：如图所示：
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(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标
不满足该解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.
解：该反比例函数的解析式为 .8y x
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能力提升：
8. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
ky x
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而
减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
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反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、
三象限
图象位于第二、
四象限
在每个象限内，y 随
x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
课堂小结
ky x
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21.5 反比例函数
第3课时 反比例函数的应用
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学习目标
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，
提高运用代数方法解决问题的能力.
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反
比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图
象、性质的综合能力. (重点、难点)
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围．
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比
例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0).
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有
反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．
实例：
函数解析式： ．
三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x
复习引入
Sa b
2Sy x
(S＞0)
的反比例函数 ；
沪科版九年级数学上册教学课件讲授新课
反比例函数在实际生活中的应用一
引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板
的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的
道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木
板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将
如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合
计600N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比
例函数吗？为什么？
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由p＝ 得p＝
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应
的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，
则p是S的反比例函数．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
当S＝0.2m2时，
p＝ ＝3000(Pa) ．
答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa．
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(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
图象如下
当 p≤6000 Pa时，S ≥0.1m2．
0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
2m
p/Pa
S/
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例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱
形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系?
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
410 .S d
典例精析
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(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向下掘进多深?
解得 d = 20.
如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应
向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
410S d
410500 d
，
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(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公
司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相
应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小
数点后两位)?
解得 S≈666.67.
当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为
666.67 m².
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
410S d
410
15S ，
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第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量
d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
想一想：
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1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用
图象可表示为 ( ) B
练一练
A. B.
C. D.
x
y
x
y
x
y
x
y
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2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升
(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：
dm) 有怎样的函数关系?
d解： 3 .S d
(2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口
的面积为多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得
S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
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(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少?
解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得
d =5.
所以漏斗的深为 5 dm.
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例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载
完毕恰好用了8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：
吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，
可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货
速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函
数解析式.
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k =30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
240.v t
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(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸
载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载
完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例
函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物
不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
解：把 t =5 代入 ，得240v t
240 48.v t
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练一练
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，
这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y
与 x 之间的函数关系式；
解： 1200.y x
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(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的
拖拉机要用多少天才能运完？
解：x =12×5=60，代入函数解析式得
1200 20.60y
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这
样的拖拉机要用 20 天才能运完.
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(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不
超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少
辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
解：运了8天后剩余的垃圾有
1200－8×60=720 (立方米)，
剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天
至少运 720÷6=120 (立方米)，
所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，
即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆).
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例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时
的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6=480 (千米)
答：甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t
有怎样的函数关系？
解：由题意得 vt=480，
整理得 (t ＞0).480v t
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例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力
臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为
1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力?
反比例函数在其他学科中的应用一
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于l 的函数解析式为 600.F l
当 l=1.5m 时， 600 400.1.5F 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此
时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力.
600F l
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(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则
动力臂l至少要加长多少?
提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小.
因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能
确定动力臂 l 至少应加长的量.
600F l
解：当F=400× =200 时，由200 = 得1
2
600
l
600 3200l ，
300－1.5 =1.5 (m).
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越
小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则
动力臂至少要加长 1.5 m.
600F l
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在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一
定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比
例函数的知识对其进行解释吗？
想一想：
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假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，
阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请
你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把
地球撬动？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米，
当 F =500时，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
练一练
变形得：
321.2 10 .F l
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
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例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～
220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如
图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
U~解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
2220 .p R
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(2) 这个用电器功率的范围是多少?
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率
越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
2220 440110p ；
2220 220.220p
因此用电器功率的范围为220~440 W.
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1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电
阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D
练一练
A. B.
C. D.
I
R
I
R
I
R
I
R
UI R
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2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻
R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2
安培．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设
∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，
∴ U =10．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
UI R
，
10.I R
100.5 R
(2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)．
沪科版九年级数学上册教学课件当堂练习
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边
长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为
( )
A.
x
y
1O
2
x
y
4O
4
B.
x
y
1O
4
C.
x
y
1O
4
1
4
D.
C
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2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y
(单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)
的函数关系为 .
(2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2，
则面条的总长度是 cm.
20y SS
＞0
2000
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3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.
(1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时)
之间的函数关系是________．
(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求
在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低
于____________．240千米/时
720v t
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4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，
现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150
天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么
这批煤能维持 y 天.
(1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？
解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)，
根据题意有
90y x
(x＞0).
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(2) 画出函数的图象；
解：如图所示.
30
90
1 x
y
O
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(3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？
解：∵ 每天节约 0.1 吨煤，
∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)，
∴ 这批煤能维持 180 天．
90 90 180.0.5y x
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5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行
车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
解： 3600.v t
(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速
度是多少？
解：把 t =15代入函数的解析式，得：
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
3600 240.15y
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(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少
需要几分钟到达单位?
解：把 v =300 代入函数解析式得：
解得：t =12．
答：他至少需要 12 分钟到达单位．
3600 300t
，
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6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电
阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的表达式；
解：设 ，把 M (4，9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的
表达式为 .
kI R
36I R
O
9
I(A)
4 R(Ω)
M (4，9)
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(2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？
解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，
∴电流不可能是4A．
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7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v
(m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如
下图所示：
(1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表
达式；
O
20
v(m/s)
3000 F(N)
解： 60000.v F
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(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什
么范围内？
(2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多
少 km/h？
解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50，
∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m.
答案：F ≥ 2000 N.
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8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项
开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工
程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；
50
24 x(m/天)
y(天)
O
解： 1200.y x
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(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够
开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完
成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)；
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
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(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内
(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多
少 m？
解：1200÷30=40 (m)，
故每天至少要完成40 m．
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
实
际
问
题
中
的
反
比
例
函
数
过程：
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单
位长度不一定相同
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21.6 综合与实践 获取最大利润
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学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大
利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取
值范围.（难点）
沪科版九年级数学上册教学课件导入新课
情境引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关
的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大
化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
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一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定
成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品
建造厂房 购置设备 培训工人等费用，如果没有更换产
品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数
有关，而每件产品的成本包括劳动力 材料 包装 运输等
费用。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以
近似的表述为
其中C表示生产 t台收音机的总成本，当t=0时
C=120t+1000 ①
C成本=120×0+1000=1000
1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本
如何定价利润最大
讲授新课
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制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年
销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设R表示年总收入，
则
R年总收入=t ·x ②
制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品
的总成本之间的差额，通常设为 p 表示年利润
P利润=R年总收入-C成本
∴ P利润=R-C=t·x-c ③
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问题①
当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向
市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通
常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假
设某市场分析专家提供了下列数据
销售单价x/元 50 100 150 300
年销售量t/件 5000 4000 3000 0
设生产t件该产品的成本为 C=50t+1000
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(1)在下图中，描出上述表格中各组数据对应的点
4000
1000
2000
3000
5000
50 100 150 200 250 300 x/元
t/件
O
·
· ·
·
销售单价x/元 50 100 150 300
年销售量t/件 5000 4000 3000 0
C=50t+1000
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4000
1000
2000
3000
5000
50 100 150 200 250 300 x/元
t/件
O
·
· ·
·
（2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函
数关系式
解：由右图可知：这些点在一条直线上，设函数的解
析式为：t=kx+b
任意选取两点代入
求得：k=-20,b=6000
∴t=-20x+6000
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（3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？
=-20x²+6000x-50t-1000
解：∵R年总收入=t ·x
∴R年总收入=(-20x+6000) ·x
∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c
∴P利润=(-20x+6000) ·x -(50t+1000)
=-20x²+6000x-50(-20x+6000)-1000
=-20x²+7000x-301000
由公式可得：当 x= 时 即x=175, P最大 = -2
b
a
24
4
a c b
a
P=311500元∴t=-20x+6000=2500
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例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，
经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调
整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总
利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则
此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大
∴当x最大= 50时，Q最大= 1200
答：此时每月的总利润最多是1200元.
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（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如
图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月
获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=60
70k+b=20
∴
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
解得： k =－2
b = 160
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∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x + 160)
=－2x2 + 220x－ 4800
=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
最大利润是1250元.
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解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218
当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件)
当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品
售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商
品售价与当月的销售量各是多少？
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变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例
题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数
关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店
每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数关系式为：
60x－1800 （40≤x≤50）
－2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）Q =
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200
若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250
∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
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（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试
确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时，
∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在.
60x－1800 （40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）Q =
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②当50≤x≤70时，
Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得
－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
由Q = －2(x－55)2 +1250的
图象和性质可知:
当51≤x≤59时，Q≥1218
∴若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
x
Q
0 55
1218
5951
1250
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（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品
的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最
大，最大利润是多少元？
解：由题意得：
51≤x≤59
30 (－2 x +160)≥1620
解得：51≤x≤53
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∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时 ，
Q随x的增大而增大
∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242
∴此时售价x应定为53元，
利润最大，最大利润是1242元.
x
Q
0 55
1242
5351
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制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取
得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组
数据
问题②
年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100
设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的
表示为： C=1000t+2 000 000
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（1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点
3500
2000
2500
3000
4000
1000 2000 3000 4000 7000 8000 t/件
x/元
0
5000 6000 9000 10000
· ·
· ·
·
年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100
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（2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和
销售单价 x 分别是多少时，年利润 P 最大？并说说你有
几种求解方法？与同学进行交流.
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解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不
妨设解析式为： x=kt+b
将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b
中可得
1 ; 4 0 0 05k b 1 4 0 0 05x t
∵R年总收入=t ·x 1 4 0 0 0 )5 t t （
∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c
1 4 0 0 0 ) (1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 )5p t t t （
21- 3 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 05 t t （
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∴ x=2500
21- 3 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 05 t t （
由公式 t=- 时，t=7500 2a
b
1 4 0 0 05x t
= 9250000
24 -
4
a c bP a
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1.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，
价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣
的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式
为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之
间的函数关系式为 .(以上关系
式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
当堂练习
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x(元) 15 20 30 …
y(件) 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数.
（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数
关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应
定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
2.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价
x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下:
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（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销
售利润为 w 元.则
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大
销售利润为225元.
15 25
20 20
k b
k b
则
解得 k =－1，b＝40,
解：（1）设此一次函数解析式为 .bkxy
22525
400504010
2
2
x
xxxxw
所以一次函数解析为 .40 xy
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
最 大 利
润 问 题
建立函数
关 系 式
总利润=单件利润×销
售量或总利润=总售价-
总成本.
确定自变量
取 值 范 围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大
利 润
利用配方法或公式求最
大值或利用函数简图和
性质求出.
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小结与复习
第21章 二次函数与
反比例函数
沪科版九年级数学上册教学课件要点梳理
一般地，形如 (a，b，c是常
数， __)的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a ≠０
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的
最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊
的二次函数．
1.二次函数的概念
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二次函数 y=a(x-h)2+k y＝ax2＋bx＋c
开口
方向
对称轴
顶点坐标
最
值
a＞0
a＜0
增
减
性
a＞0
a＜0
2.二次函数的图象与性质：
a＞0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
x=h
(h , k)
y最小=k
y最大=k
在对称轴左边,x↗ y↘ ;在对称轴右边, x↗ y↗
在对称轴左边,x↗ y↗ ;在对称轴右边, x↗ y↘
2
bx a
24( , )2 4
b ac b
a a
y最小=
24
4
ac b
a
y最大=
24
4
ac b
a
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3.二次函数图像的平移
y＝ax2
2( )y a x h
左、右平移 左加右减
2( )y a x h k
上、下平移 上加下减
y＝-ax2
写成一般形式
2y ax bx c
沿x轴翻折
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4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
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5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种
情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二
次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的
横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的根.
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二次函数y＝ax2
＋bx＋c的图像和
x轴交点
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的
根
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0根的
判别式（b2-4ac）
有两个交点 有两个相异的
实数根 b2-4ac > 0
有两个重合
的交点
有两个相等的
实数根 b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0
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6.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最
大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之
间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取
值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
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7. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反
比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例
系数．
三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
ky x
ky x
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8. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的
图象是 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的两条对称轴为直线 和 ；
对称中心是： .
双曲线
原点
ky x
y = x y=－x
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(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k≠0)
k＞0 一、三象
限(x，y
同号)
在每个象
限内，y
随 x 的增
大而减小
k＜0 二、四象
限(x，y
异号)
在每个象
限内，y
随 x 的增
大而增大
ky x
x
y
o
x
y
o
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(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有
两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线
上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 ．
2
k
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9. 反比例函数的应用
◑ 利用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对
对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
ky x
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◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)
的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方
程组.
2ky x
◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确
数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取
非负值.
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考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
考点讲练
例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式 ， ，
则顶点坐标为(1,2)．
2 12 2 1
bx a
2 24 4 1 3 2 24 4 1
ac by a
(1,2)
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解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配
方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直
线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直
接利用公式求解.
方法归纳
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1．对于y＝2(x－3)2＋2的图像下列叙述正确的是( )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
C
针对训练
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考点二 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像
如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)
在此函数图像上，且x1y2
【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x
＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵x1－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b
＋c＜0，故③正确；
由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，
由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故选D.
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方法总结
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴
是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对
称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐
标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐
标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图
像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
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3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随
x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
针对训练
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解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，
在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .2 ( 1)
bx b
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考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长
度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线
解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长
度后，得到的解析式为y＝(x－3－1)2－4＋2，
即y＝ (x－4)2－2.故选B.
B
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4.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可
能（ ）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
B
针对训练
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考点五 二次函数表达式的确定
例5 已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当
x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函
数的解析式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
10
4
4 2 7
a b c
a b c
a b c
解得, a=2,b=－3,c=5.
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
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5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
相同 a=1或－1
又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,－5)
所以其表达式为:
(1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5
(3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5
针对训练
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例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于
x的方程x2+mx=7的解为（ ）
A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7
解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴ =3，解得m=－6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．
故选D．
2
m
考点六 二次函数与一元二次方程
D
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例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试
销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数
y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价
x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得
最大利润，最大利润是多少元？
考点七 二次函数的应用
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解：(1)根据题意，得 65 55
75 45
k b
k c
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而
增大，
而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
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例8 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝
90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.
作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
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解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.
∴BF=2x-30.
（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2=
x2+60x-450.
1
2
1
2
1
2
1
23
2
（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150.
∵a= ＜0,15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，
最大值为150.
3
2
3
2
3
2
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考点八 反比例函数的概念
针对训练
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
① y = 3x－1 ② y = 2x2
⑤ y = 3x
③ 1y x
④ 2
3
xy
1y x
⑥ ⑦ 1
3y x
⑧ 3
2y x
沪科版九年级数学上册教学课件
ky x
1
3
1
3
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，
则 k 的值是 ( )
A. 3 B. －3
C. D.
B
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
2 21 ay a x A
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例9 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比
例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，
y3的值，再比较出其大小即可．
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
考点九 反比例函数的图象和性质
D
6y x
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方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限
内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能
按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
沪科版九年级数学上册教学课件
已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比
例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系
(从大到小) 为 .y1 ＞0＞y2
针对训练
ky x
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例10 如图，两个反比例函数 和 在第一象
限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥
x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .1
考点十 与反比例函数 k 有关的问题
4y x
2y x
沪科版九年级数学上册教学课件
针对训练
如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半
轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与
反比例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交于
P，Q两点，若 S△POQ=14，
则 k 的值为 .
8y x
ky x
20
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考点十一 反比例函数的应用
例11 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数
y =kx+b 与反比例函数 (m＜0)图象的两个交点，
AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值
时，一次函数的值大于反比例函数的值；
1
2 my x
O
B
A
x
y
C
D
解：当－4＜ x ＜－1时，一
次函数的值大于反比例
函数的值.
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(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得 1
2
－4k + b = ， 1
2
－k + b =2，
解得
k = ， 1
2
b = ， 5
2
所以一次函数的解析式为 y = x + . 1
2
5
2
把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. my x
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(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA
和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标.
O
B
A
x
y
C
DP
∵ △PCA面积和△PDB面积相等，
∴ AC·[t－(－4)]= BD·[2－[ 2－( t+ )]，1
2
1
2
5
2
1
2
解得：t = .
∴ 点 P 的坐标为 ( ， )．
5
2
5
2
5
4
解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的
距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－
( t+ )．
1
2
5
2
1
2
5
2
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方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方
程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清
解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积
时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线
段长度.
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针对训练
如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)．
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个
交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
3ky x
O
y
x
解：由题意知点 P 在正比例函数
y =2x 上，
把 P 的纵坐标 2 带入该解析
式，得P (1，2)，
把 P (1，2) 代入 ，
得到
3ky x
2.3k
P2
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(2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y=kx
+b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO
的面积为 时，求直线 l 的解析式；16
3
解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b，
得 b= 2k，∴y = kx+2k，
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x =－3 或 1.
y＝kx+2k，
∴
3ky x
，
∴ B (－3，－k)，A (1，3k).
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∵ △ABO的面积为16
3
，
∴ 2·3k· + 2·k· = 1
2
1
2
16
3
，
解得 4.3k
∴ 直线 l 的解析式为
y = x + ．4
3
8
3
O
y
x
M
l
N A (1，3k)
B (－3，－k)
沪科版九年级数学上册教学课件
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的
值小于反比例函数的值？
O
y
x
M
l
N A (1，3k)
B (－3，－k)
解：当 x ＜－3或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反
比例函数的值.
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例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小
时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知
服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)
与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反
比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比
例函数关系．
设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在
线段上，
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O
y/毫克
x/小时2
4
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(2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系，
设 .ky x
解得 k ＝8.
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以 4 2
k ，
即 8.y x
O
y/毫克
x/小时2
4
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(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，
解得x≥1，∴1≤x≤2；
当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.8
x
所以服药一次，治疗疾病的有
效时间是 1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时2
4
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二
次
函
数
二次函数的概念
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数的图象与性质
课堂小结
不共线三点确定二次函数的表达式
二次函数的应用
沪科版九年级数学上册教学课件课堂小结
反
比
例
函
数
定义
图象
性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用
