中考数学专题复习练习：弦切角

中考数学专题复习练习：弦切角

例 如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长．‎ 解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C，‎ ‎∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE，‎ 又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°．‎ 则有BE=1，AB=，BC=3，AC=2．‎ 说明：此题应用弦切角、解直角三角形的知识，为基础题型．‎ 例 （吉林省，2000）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ACD；‎ ‎（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长．‎ 证明（1）：∵XY是⊙O的切线，∴∠1=∠2‎ ‎∵BD∥XY，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，‎ ‎∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．‎ ‎∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC．∴△ABE≌△ACD．‎ 解（2）：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB ‎∴，∴，即．∵AB=AC=6，BC=4，∴．∴（cm）‎ 说明：①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换；②建立方程求线段的长度．‎ 例 如图，P为⊙O的直径CB延长线上的一点，A为⊙O上一点，若 = ，AE交BC于D，且∠C=∠PAD. ‎ （1） 求证：PA为⊙O的切线；‎ （2） 若∠BEA=30°，ＢＤ＝１，求ＡＰ及ＰＢ长。‎ 证明（1）：连结AO，∵ = ，BC为直径，‎ ‎∴AE⊥BC，AD=DE， = ‎ ‎∵OA=OB，∴∠C=∠3，∴∠1=2∠C 又∵∠C=∠PAD，∴∠1=∠2‎ ‎∵∠1 +∠4=90°，∴∠2 +∠4=90°，∴PA⊥OA ‎∴PA为⊙O的切线. ‎ ‎ 解（2）：在Rt△EBD中，∵∠BEA=30°，ＢＤ＝１. ∴BE=2，DE=‎ 在Rt△ODA和Rt△EBD中 ‎∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E，∠ODA=∠BDE，AD=ED ‎∴Rt△ODA≌Rt△EBD，∴AD=DE= ，OD=BD=1，OA= BE=2.‎ 在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，∴AD2=OD·DP，即=1·DP，∴DP=3，∴BP=2 ‎ 在Rt△ADP中 根据勾股定理，得 AP=．‎ 说明：此题为综合型题目．它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想． ‎ 典型例题四 例 如图，是的角平分线，以为弦的圆与相切于点，⊙交、于点、，求证：.‎ 分析：要证乘积式，只需证比例式，应证 证明 连结，‎ ‎⊙与相切于，‎ 平分，‎ ‎，又，‎ ‎，故.‎ ‎，即.‎ 说明：本题思路明确，转证乘积式为比例式，但在创建平行线过程中，弦切角与圆周角的性质起到关键作用.‎ 典型例题五 例 如图，为⊙的直径，过点作⊙的切线，交⊙于点，的延长线交于点，（1）求证：；（2）若厘米，求、的长.‎ 分析：要证，即要证∽.‎ 证明（1）连结.‎ ‎∽‎ 又，，‎ 厘米.‎ 说明：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件.‎ 典型例题六 例 如图，已知是圆的弦，，是圆的切线，并且与弦的延长线相交于点，求证：.‎ 分析：欲证明乘积式，只需证比例式，只需证明∽.‎ 证明 ，‎ ‎，‎ 又是圆的切线，‎ 故∽，‎ ‎，即.‎ 说明：本题着重考查圆周角、弦切角以及创建相似三角形证明比例线段的基础知识和基本方法.本题是1996年上海中等学校招生试题，难度不大，但体现了证题的基本方法.‎ 典型例题七 例 如图，已知为⊙的弦，切⊙于，于，于，于，求证：.‎ 分析：要证，只需证，但要直接证明有困难，考虑通过过渡比来解决.‎ 证明 连结、‎ 说明：证明线段成比例，如果直接证明比较困难，就要想方设法找出过渡线段或过渡比，本例中的就是过渡比.‎ 典型例题八 例 已知：如图，设是正三角形外接圆上的一点，交于.‎ 求证：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 证明 （1）在上截取，连结.‎ 是正三角形 又≌ ‎ ‎，‎ ‎.即 又，‎ 是等边三角形 ‎.‎ 即 ‎（2），，‎ ‎∽，‎ 即.‎ 又，，‎ ‎∽‎ ‎ ‎ 由上所得：‎ 又 即 ‎ 又，‎ ‎（3）由知，‎ 等式两边同时除以，得：‎ 由知，‎ 即.‎ 说明：本题利用圆中知识点，证明三角形相似，然后推出有关的比例式，证明结论.这是一道典型的综合题.有一定难度，望同学们多思考，多训练从而达到巩固知识，提高能力的目的.‎ 典型例题九 例 如图，CD为⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，.求：的度数.‎ 解 连结CB.∵BE切⊙O于B，‎ ‎∵CD为直径，‎ 在中，‎ 说明：本题考查弦切角性质，解题关键是连结BC，构造弦切角，易错点是不能正确作出辅助线.‎ 典型例题十 例 （黑龙江省，1999）已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于B，DC的延长线交MN于G，若，则的值为多少？‎ 解 连结BD.‎ ‎∵MN为⊙O的切线，‎ 为⊙O的直径，‎ ‎∵四边形ABCD为圆内接四边形，‎ 说明：本题综合考查弦切角与三角函数知识，解题关键是连BD，构成直角三角形，易错点是记错特殊角的三角函数值.‎ 典型例题十一 例 （北京市海淀区，2000）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线相交于点E.（1）求证：；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在上运动，使切线EA变为割线EFA，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要画出示意图，注明条件，不要求证明）.‎ 证明 （1）连结AC.‎ ‎∵A是的中点，∴‎ ‎∴EA切⊙O于点A，点C在⊙O上，‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ 解 （2）如图，具备条件（或或，或等），使原结论成立.‎ 说明：本题主要考查弦切角的应用.解题关键是作辅助线，使构成的与相似，易错点是画不出或画错（2）小题的图形.‎ 选择题 ‎1．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为（ ）‎ ‎ (A)105° (B)115° (C)120° (D)125°‎ ‎2．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为（ ）‎ ‎（A）2 （B）3 （C）2 （D）4‎ ‎3．如图，直线切⊙于点，则图中的弦切角共有（）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．如图，是⊙的直径，，是⊙的弦，是⊙的切线，切点为，，那么等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，在⊙中，是弦，是⊙的切线，是切点，过作于，交⊙于点，若平分，则=（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，⊙与⊙交于，，⊙的弦与⊙相切于点，⊙的弦与⊙相切于点，则下列结论中正确的是（）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎7．如图，是⊙内接四边形两条对角线的交点，延长线与过点的⊙的切线交于点，若，，，则的度数为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，是⊙的直径，，是⊙的弦，是⊙的切线，切点为，，那么等于（　　）． ‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎9．如图，经过⊙上的点的切线和弦的延长线相交于点，若，，则所对的弧的度数为（　　）． ‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎10．过圆内接的顶点引切线交延长线于，若，，则为（　　）．‎ ‎　A． 　　B． 　　C． 　　D．‎ ‎11．过圆内接四边形的顶点引切线，为圆直径，若，则为（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ 答案：‎ ‎1．D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C. 8．B；9．C；10．A；11．B.‎ 填空题 ‎1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 ．‎ ‎2.如图，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙O于C点，则∠CAB的度数为 ，∠DCB的度数为 ，∠ECA的度数为 ．‎ ‎3.如图，，是⊙的两条切线，切点分别为、、是优弧上的点，已知，那么度。‎ ‎4.如图，是⊙的弦，是⊙的切线，为上任一点，，那么=________‎ ‎5. 如图，，切⊙于，两点，，且与⊙相交于，若，则=________‎ ‎6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，与⊙O切于C，那么度.‎ ‎7．已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________.‎ ‎8．已知：如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，，则.‎ ‎9．如图，中，，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则.‎ ‎10．如图，是⊙的直径，，是⊙上的点，，＝，是⊙的切线，则的度数是_________．‎ ‎11．是⊙的弦，是⊙的切线，为上任一点，，那么_________． ‎ ‎12．如图，是⊙的直径，，分别切⊙于，，若，则_________．‎ 参考答案：‎ 1. ‎100°‎ 2. ‎30° 30° 60°‎ 3. ‎50‎ 4. 5. ‎6．30‎ ‎7．100°‎ ‎8．55°‎ ‎9．45°. ‎ ‎10．；‎ ‎11．或；‎ ‎12．‎ 解答题 ‎1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于A，交ED延长线于C．‎ 求证：AE:AE=DC:BE ‎2.如图，PA切⊙O于A，PB交⊙O于B、C，若=，AE交BC于D，且∠BEA=30°，DB=1，求AP及PB长．‎ ‎3．如图，四边形内接于⊙，过点的切线，与的延长线相交于点，求证：‎ ‎4．如图，切⊙于，是直径，交 ⊙于，是切线，于，，。求的长。‎ ‎5．如图，，，过点作圆的切线，若，求的度数。‎ ‎6．如图，MN是⊙O的切线，切点为A，弦CD，弦AB交CD于点E.求证：.‎ ‎7．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，过点C的切线交AD的延长线于点E，且.‎ ‎（1）求证：.‎ ‎（2）若，求的正弦值.‎ ‎8．已知，如图，在⊙中，是直径，是弦，直线切⊙于，长为，长为，求点到的距离．‎ ‎9．已知：如图，是的角平分线，过，作圆与切于交于，于．求证：．‎ ‎10．如图，的角平分线交外接圆于，为圆的切线，求证：到，的距离相等．‎ ‎11．已知：如图，为⊙的直径，与⊙相切于点，交⊙于，．求证：．‎ ‎12．已知：如图，圆内接中，，是圆的切线，与圆相交于点，连．求证：． ‎ ‎13．已知：如图，切⊙于，是割线，平分，平分．求证：．‎ ‎14．已知：如图，是⊙的直径，切⊙于点，交⊙于点，的平分线分别交，于点，，交⊙于点，，并且线段，的长是一元二次方程的两根（为常数）．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：⊙的直径长为常数；‎ ‎(3)求的值． ‎ 答案与提示：‎ ‎1.提示：证△ACD∽△ABE即可．‎ ‎2. 提示：如图，连结AC、AB，可证△ABP≌△ABE，再利用垂径定理和解三角形可得BP=2，AP=2‎ ‎3．连结证明∽‎ ‎4．连结 ‎5．过作交于，‎ ‎6．连结BC，证∽‎ ‎7.．（1）连结BD、OC相交于F，；（2）∽，‎ ‎8．连．；9．连．证．‎ ‎10．连．证．11．连，．证∽；12．连．证∽．‎ ‎13．证为等腰三角形．‎ ‎14．(1)证∽；‎ ‎(2)证，得．∵，的长是两根，可得，即⊙的直径为常数．‎ ‎(3)∵切⊙于，为直径，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴①．‎ ‎∵②，∴，．∴．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ ‎∵，所以．‎